Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
«Гомельський державний університет
ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ КІНЦЕВИХ ГРУП З умовах щільність ДЛЯ -Субнормальний ПІДГРУПИ
Курсова робота
Виконавець:
Студентка групи М-33 ____________
Циганцова А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2005
Зміст
Перелік умовних позначень
Введення
1 Визначення та основні властивості кінцевих груп з умовою щільності для -Субнормальних підгруп
2 Властивості максимальних підгруп в групах з щільною системою -Субнормальних підгруп
3 Опис звичайно не -Груп з щільною системою -Субнормальних підгруп
Висновок
Література
Перелік умовних позначень
У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Використовуються позначення, прийняті в книгах. Літерами позначаються прості числа.
Будемо розрізняти знак включення множин і знак суворого включення ;
і --- Відповідно знаки перетину та об'єднання множин;
--- Пусте безліч;
--- Безліч всіх , Для яких виконується умова ;
--- Безліч всіх простих чисел;
--- Деякий безліч простих чисел, тобто ;
--- Додаток до в безлічі всіх простих чисел; зокрема, ;
Примарна число --- будь-яке число виду ;
--- Безліч всіх цілих позитивних чисел.
--- Деякий лінійне впорядкування множини всіх простих чисел .
Запис означає, що передує в упорядкуванні , .
Нехай --- Група. Тоді:
--- Порядок групи ;
--- Порядок елемента групи ;
--- Одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;
--- Безліч всіх простих дільників порядку групи ;
--- Безліч всіх різних простих дільників натурального числа ;
- Група --- група , Для якої ;
- Група --- група , Для якої ;
--- Підгрупа Фраттіні групи , Тобто те що всіх максимальних підгруп групи ;
--- Підгрупа Фиттинг групи , Тобто твір всіх нормальних нільпотентних підгруп групи ;
--- Коммутант групи ;
--- - Холлівських підгрупа групи ;
--- Сіловская - Підгрупа групи ;
--- Додаток до сіловской - Підгрупі у групі , Тобто - Холлівських підгрупа групи ;
--- Група всіх автоморфізмів групи ;
--- є підгрупою групи ;
нетривіальна підгрупа --- непоодинокі власна підгрупа;
--- є нормальною підгрупою групи ;
--- Підгрупа характеристичні в групі , Тобто для будь-якого автоморфізм ;
--- Індекс підгрупи в групі ;
;
--- Централізаторів підгрупи в групі ;
--- Нормалізатор підгрупи в групі ;
--- Центр групи ;
--- Циклічна група порядку ;
Якщо і --- Підгрупи групи , То:
--- Прямий добуток підгруп і ;
--- Полупрямой твір нормальної підгрупи і підгрупи .
Група називається:
примарной, якщо ;
біпрімарной, якщо .
Дужки застосовуються для позначення підгруп, породжених деякими безліччю елементів або підгруп.
--- Підгрупа, породжена всіма , Для яких виконується .
Групу називають - Нільпотентні, якщо .
Групу порядку називають - Дісперсівний, якщо виконується і для будь-якого має нормальну підгрупу порядку . Якщо при цьому упорядкування таке, що завжди тягне , То - Дісперсівний група називається дісперсівний по Оре.
Ланцюг --- це сукупність вкладених одна в одну підгруп. Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю. Ланцюг називається -Ланцюгом (з індексами ); Якщо при цьому є максимальною підгрупою в для будь-якого , То зазначена ланцюг називається максимальною -Ланцюгом.
Ряд підгруп називається:
субнормальний, якщо для будь-якого ;
нормальним, якщо для будь-якого .
Нормальний ряд називається головним, якщо є мінімальною нормальною підгрупою в для всіх .
Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті щодо ізоморфізмів, позначаються прописними готичними літерами. Так само позначаються формації, тобто класи груп, замкнуті щодо факторгрупою і подпрямих творів. За деякими класами закріплені стандартні позначення:
--- Клас всіх груп;
--- Клас всіх абелевих груп;
--- Клас всіх нільпотентних груп;
--- Клас всіх розв'язаних груп;
--- Клас всіх - Груп;
--- Клас всіх сверхразрешімих груп.
Нехай --- Деякий клас груп і --- Група, тоді:
--- - Корадікал групи , Тобто те що всіх тих нормальних підгруп з , Для яких . Якщо --- Формація, то є найменшою нормальною підгрупою групи , Факторгрупою по якій належить . Якщо --- Формація всіх сверхразрешімих груп, то називається сверхразрешімим корадікалом групи .
Формація називається насиченою, якщо завжди з випливає, що і . Клас груп називається спадковим або -Замкнутим, якщо з того, що , Випливає, що і кожна підгрупа групи також належить .
Нехай --- Деяка непорожня формація. Максимальна підгрупа групи називається:
-Нормальною, якщо ;
-Абнормальної, якщо .
Максимальна -Ланцюг називається -Субнормальний, якщо для будь-якого підгрупа -Нормальна у . Підгрупа групи називається -Субнормальний, якщо існує хоча б одна -Субнормальная максимальна -Ланцюг.
Група називається групою з щільною системою -Субнормальних підгруп, якщо для будь-яких двох різних підгруп і групи , З яких перша міститься в другій і не максимальна в ній, у групі існує така -Субнормальная підгрупа , Що . У цьому випадку також кажуть, що безліч -Субнормальних в підгруп щільно.
Введення
Вивчення будови груп за заданими властивостями системи їх підгруп є одним з основних напрямків у теорії кінцевих груп. Зазначимо, що темп і глибина таких досліджень безперервно зростають. Цей напрямок вивчення груп бере свій початок з груп Міллера-Морено, груп Шмідта. Як властивостей, що накладаються на системи підгруп, розглядалися абелевої, нормальність, субнормального, доповнюваність і ін Цей напрямок одержав широкий розвиток в роботах багатьох провідних алгебраїстів.
З Дедекінда груп, тобто груп, у яких нормальні все підгрупи, почалося вивчення різних (як кінцевих, так і нескінченних) груп, у яких деяка система підгруп задовольняє умові нормальності. Опис кінцевих Дедекінда груп дано в роботі Р. Дедекінда, а нескінченних в роботі Р. Бера. Ці роботи визначили важливий напрям досліджень у теорії груп. Головною метою цього напрямку є опис узагальнено Дедекінда груп. Ці узагальнення Дедекінда груп здійснюються або шляхом звуження системи підгруп , Тобто підгруп нормальних у всій групі, або ослаблення властивості нормальності для підгруп із . Серед таких узагальнень виділимо наступні дослідження.
Перше істотне узагальнення Дедекінда груп належить О.Ю. Шмідту. Він описав кінцеві групи з одним і двома класами пов'язаних ненормальних підгруп, а також встановив нільпотентності кінцевої групи, у якої нормальні всі максимальні підгрупи. Кінцеві групи з нормальними -Прищеплені максимальними підгрупами вивчали Б. Хупперт та З. Янко. Д. Баклі вивчав кінцеві групи, у яких нормальні всі мінімальні підгрупи.
Значні розширення класу Дедекінда груп виникають при переході від умови нормальності до різних її узагальнень, як, наприклад, до квазінормальності, субнормального, нормалізаторним умов і ін
На початку 70-х років з ініціативи С. М. Чернікова почалося вивчення груп з щільними системами підгруп. Система підгруп групи , Що володіє деякими властивістю , Називається щільною в , Якщо для будь-яких двох підгруп з , Де не максимально в , Знайдеться -Підгрупа така, що . Групи з щільною системою доповнюваних підгруп були вивчені С. М. Черніковим.
У 1974 році С. М. Черніков поставив таке запитання: яке будова групи , В якій множина всіх її субнормальних підгруп щільно? Відповідь на це питання було отримано А. Манном і В. В. Пилаевим.
Зауважимо, що в теорії формацій поняття субнормального узагальнюється наступним чином. Кажуть, що підгрупа є -Субнормальний в , Якщо існує ланцюг підгруп
така, що є -Нормальної максимальної підгрупою в для будь-якого . Якщо збігається з класом всіх нільпотентних груп (який є, звичайно, -Замкнутої насиченою формацією), то -Субнормальная підгрупа виявляється субнормальний.
У зв'язку з розвитком теорії формацій велика увага стала приділятися дослідженню кінцевих груп, насичених - Підгрупами, - Субнормальний або - Абнормальної підгрупами. У цьому напрямі проводили свої дослідження Л. А. Шеметков, Гашюц, Картер, Шмід, Хоукс і інші.
Ясно, що питання С. Н. Чернікова можна сформулювати в такій загальній формі: якщо --- -Замкнута насичена формація, то яке будова групи, в якій множина всіх її -Субнормальних підгруп щільно?
У такому вигляді запитання С. Н. Чернікова був досліджений в роботі для випадку, коли --- Клас всіх -Нільпотентних груп. У цій роботі ми досліджуємо це питання у випадках, коли --- Довільна -Замкнута насичена формація або -Нільпотентних, або -Дісперсівний, або сверхразрешімих груп.
1. Визначення та основні властивості кінцевих груп з умовою щільності для -Субнормальних підгруп
Опишемо спочатку загальні властивості кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп, де --- Довільна насичена -Замкнута формація.
Група називається групою з щільною системою -Субнормальних підгруп, якщо для будь-яких двох різних підгруп і групи , З яких перша міститься в другій і не максимальна в ній, у групі існує така -Субнормальная підгрупа , Що . У цьому випадку також кажуть, що безліч -Субнормальних в підгруп щільно.
Нехай --- Непорожня -Замкнута насичена формація, --- Підгрупа групи . Тоді справедливі наступні твердження:
1) ;
2) якщо -Субнормальная в і є подформаціей формації , То -Субнормальная в .
Доказ. 1) З того, що
випливає, що . Це означає, що .
2) Оскільки , То і . Звідси випливає, що кожна -Нормальна максимальна підгрупа є -Нормальної максимальною. Лема доведена.
Нехай --- Непорожня -Замкнута насичена формація. Якщо множина всіх -Субнормальних підгруп щільно в групі , То справедливі наступні твердження:
1) якщо , То в множина всіх -Субнормальних підгруп щільно;
2) якщо --- Підгрупа з , То безліч всіх -Субнормальних підгруп із є щільним в .
Доказ. 1) Нехай --- Нормальна підгрупа групи . У фактор-групі розглянемо дві довільні підгрупи , З яких перша не максимальна у другій. Тоді і не максимально в . За умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що . Отже, -Субнормальная в .
2) Нехай --- Підгрупа з і --- Дві довільні підгрупи з такі, що не максимально в . Тоді, за умовою, в існує -Субнормальная підгрупа , Для якої . Зважаючи леми, -Субнормальная в . Лема доведена.
Якщо --- -Субнормальная підгрупа групи , То
.
Доказ. За визначенням, існує ланцюг
така, що є -Нормальної максимальної підгрупою в при будь-якому . Таким чином, і тому
для кожного . Отже, .
Нехай --- Непорожня -Замкнута насичена формація, --- Група, у якої безліч всіх її -Субнормальних підгруп щільно. Справедливі наступні твердження:
1) якщо --- -Абнормальної максимальна підгрупа групи , То або , Або кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з належить ;
2) якщо і , То або максимальна в , Або -Субнормальная в .
Доказ. Доведемо спочатку 1). Нехай --- -Абнормальної максимальна підгрупа, яка не належить . Припустимо, що має -Абнормальної максимальної підгрупою , Що не належить . Тоді в є -Абнормальної максимальна підгрупа . За умовою, в знайдеться така -Субнормальная підгрупа , Що . Ясно, що . За лемі GOTOBUTTON GEQ188 REF GEQ188 \ * MERGEFORMAT (??),
.
Так як -Субнормальная, то вона міститься в -Нормальної максимальної підгрупі, і тому . Значить, . Останнє суперечить наступного:
Доведемо 2). Нехай і . Припустимо, що не максимально в . За умовою, в знайдеться така -Субнормальная підгрупа , Що . Так як -Замкнута, то . Тому -Субнормальная в . Тепер ясно, що -Субнормальная в . Лема доведена.
Нехай --- Насичена -Замкнута формація, --- Група з нормальною сіловской -Підгрупою , Яка задовольняє таким умовам:
1) ;
2) Холловей -Підгрупа -Групи є максимальною в і належить ;
3) будь-яка власна підгрупа з -Субнормальная в .
Тоді є мінімальної не -Групою.
Доказ. З умови прямо випливає, що збігається з і є мінімальною нормальною підгрупою в . Зрозуміло, що кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з пов'язана з і тому належить . Нехай --- Довільна -Нормальна максимальна підгрупа з . Тоді . Так як -Замкнута, то . Підгрупа є власною в і за умовою -Субнормальная в . По теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??),
.
Отже, кожна максимальна підгрупа з належить . Лема доведена.
2. Властивості максимальних підгруп в групах з щільною системою -Субнормальних підгруп
У даному розділі вивчаються властивості максимальних підгруп кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп, де --- Довільна насичена -Замкнута формація.
Нехай далі --- Деяке фіксоване впорядкування множини всіх простих чисел.
Нехай --- Довільна насичена -Замкнута формація, --- -Дісперсівний група з щільною системою -Субнормальних підгруп, яка не належить , У якої все -Абнормальні максимальні підгрупи належать . Тоді справедливо одне з наступних тверджень:
1) --- Максимальна підгрупа в ;
Установа освіти
«Гомельський державний університет
ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ КІНЦЕВИХ ГРУП З умовах щільність ДЛЯ
Курсова робота
Виконавець:
Студентка групи М-33 ____________
Циганцова А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2005
Зміст
Перелік умовних позначень
Введення
1 Визначення та основні властивості кінцевих груп з умовою щільності для -Субнормальних підгруп
2 Властивості максимальних підгруп в групах з щільною системою -Субнормальних підгруп
3 Опис звичайно не -Груп з щільною системою -Субнормальних підгруп
Висновок
Література
Перелік умовних позначень
У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Використовуються позначення, прийняті в книгах. Літерами
Будемо розрізняти знак включення множин
Примарна число --- будь-яке число виду
Запис
Нехай
нетривіальна підгрупа --- непоодинокі власна підгрупа;
Якщо
Група
примарной, якщо
біпрімарной, якщо
Дужки
Групу
Групу
Ланцюг --- це сукупність вкладених одна в одну підгруп. Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю. Ланцюг
Ряд підгруп
субнормальний, якщо
нормальним, якщо
Нормальний ряд називається головним, якщо
Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті щодо ізоморфізмів, позначаються прописними готичними літерами. Так само позначаються формації, тобто класи груп, замкнуті щодо факторгрупою і подпрямих творів. За деякими класами закріплені стандартні позначення:
Нехай
Формація
Нехай
Максимальна
Група
Введення
Вивчення будови груп за заданими властивостями системи їх підгруп є одним з основних напрямків у теорії кінцевих груп. Зазначимо, що темп і глибина таких досліджень безперервно зростають. Цей напрямок вивчення груп бере свій початок з груп Міллера-Морено, груп Шмідта. Як властивостей, що накладаються на системи підгруп, розглядалися абелевої, нормальність, субнормального, доповнюваність і ін Цей напрямок одержав широкий розвиток в роботах багатьох провідних алгебраїстів.
З Дедекінда груп, тобто груп, у яких нормальні все підгрупи, почалося вивчення різних (як кінцевих, так і нескінченних) груп, у яких деяка система підгруп
Перше істотне узагальнення Дедекінда груп належить О.Ю. Шмідту. Він описав кінцеві групи з одним і двома класами пов'язаних ненормальних підгруп, а також встановив нільпотентності кінцевої групи, у якої нормальні всі максимальні підгрупи. Кінцеві групи з нормальними
Значні розширення класу Дедекінда груп виникають при переході від умови нормальності до різних її узагальнень, як, наприклад, до квазінормальності, субнормального, нормалізаторним умов і ін
На початку 70-х років з ініціативи С. М. Чернікова почалося вивчення груп з щільними системами підгруп. Система підгруп групи
У 1974 році С. М. Черніков поставив таке запитання: яке будова групи
Зауважимо, що в теорії формацій поняття субнормального узагальнюється наступним чином. Кажуть, що підгрупа
така, що
У зв'язку з розвитком теорії формацій велика увага стала приділятися дослідженню кінцевих груп, насичених
Ясно, що питання С. Н. Чернікова можна сформулювати в такій загальній формі: якщо
У такому вигляді запитання С. Н. Чернікова був досліджений в роботі для випадку, коли
1. Визначення та основні властивості кінцевих груп з умовою щільності для -Субнормальних підгруп
Опишемо спочатку загальні властивості кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп, де --- Довільна насичена -Замкнута формація.
Група називається групою з щільною системою -Субнормальних підгруп, якщо для будь-яких двох різних підгруп і групи , З яких перша міститься в другій і не максимальна в ній, у групі існує така -Субнормальная підгрупа , Що . У цьому випадку також кажуть, що безліч -Субнормальних в підгруп щільно.
Нехай --- Непорожня -Замкнута насичена формація, --- Підгрупа групи . Тоді справедливі наступні твердження:
1) ;
2) якщо -Субнормальная в і є подформаціей формації , То -Субнормальная в .
Доказ. 1) З того, що
випливає, що . Це означає, що .
2) Оскільки , То і . Звідси випливає, що кожна -Нормальна максимальна підгрупа є -Нормальної максимальною. Лема доведена.
Нехай --- Непорожня -Замкнута насичена формація. Якщо множина всіх -Субнормальних підгруп щільно в групі , То справедливі наступні твердження:
1) якщо , То в множина всіх -Субнормальних підгруп щільно;
2) якщо --- Підгрупа з , То безліч всіх -Субнормальних підгруп із є щільним в .
Доказ. 1) Нехай --- Нормальна підгрупа групи . У фактор-групі розглянемо дві довільні підгрупи , З яких перша не максимальна у другій. Тоді і не максимально в . За умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що . Отже, -Субнормальная в .
2) Нехай --- Підгрупа з і --- Дві довільні підгрупи з такі, що не максимально в . Тоді, за умовою, в існує -Субнормальная підгрупа , Для якої . Зважаючи леми, -Субнормальная в . Лема доведена.
Якщо --- -Субнормальная підгрупа групи , То
.
Доказ. За визначенням, існує ланцюг
така, що є -Нормальної максимальної підгрупою в при будь-якому . Таким чином, і тому
для кожного . Отже, .
Нехай --- Непорожня -Замкнута насичена формація, --- Група, у якої безліч всіх її -Субнормальних підгруп щільно. Справедливі наступні твердження:
1) якщо --- -Абнормальної максимальна підгрупа групи , То або , Або кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з належить ;
2) якщо і , То або максимальна в , Або -Субнормальная в .
Доказ. Доведемо спочатку 1). Нехай --- -Абнормальної максимальна підгрупа, яка не належить . Припустимо, що має -Абнормальної максимальної підгрупою , Що не належить . Тоді в є -Абнормальної максимальна підгрупа . За умовою, в знайдеться така -Субнормальная підгрупа , Що . Ясно, що . За лемі GOTOBUTTON GEQ188 REF GEQ188 \ * MERGEFORMAT (??),
.
Так як -Субнормальная, то вона міститься в -Нормальної максимальної підгрупі, і тому . Значить, . Останнє суперечить наступного:
Доведемо 2). Нехай і . Припустимо, що не максимально в . За умовою, в знайдеться така -Субнормальная підгрупа , Що . Так як -Замкнута, то . Тому -Субнормальная в . Тепер ясно, що -Субнормальная в . Лема доведена.
Нехай --- Насичена -Замкнута формація, --- Група з нормальною сіловской -Підгрупою , Яка задовольняє таким умовам:
1) ;
2) Холловей -Підгрупа -Групи є максимальною в і належить ;
3) будь-яка власна підгрупа з -Субнормальная в .
Тоді є мінімальної не -Групою.
Доказ. З умови прямо випливає, що збігається з і є мінімальною нормальною підгрупою в . Зрозуміло, що кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з пов'язана з і тому належить . Нехай --- Довільна -Нормальна максимальна підгрупа з . Тоді . Так як -Замкнута, то . Підгрупа є власною в і за умовою -Субнормальная в . По теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??),
.
Отже, кожна максимальна підгрупа з належить . Лема доведена.
2. Властивості максимальних підгруп в групах з щільною системою -Субнормальних підгруп
У даному розділі вивчаються властивості максимальних підгруп кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп, де --- Довільна насичена -Замкнута формація.
Нехай далі --- Деяке фіксоване впорядкування множини всіх простих чисел.
Нехай --- Довільна насичена -Замкнута формація, --- -Дісперсівний група з щільною системою -Субнормальних підгруп, яка не належить , У якої все -Абнормальні максимальні підгрупи належать . Тоді справедливо одне з наступних тверджень:
1) --- Максимальна підгрупа в ;
2) --- Максимальна в -Абнормальної максимальної підгрупі з .
Доказ. Нехай --- Група мінімального порядку, для якої лема не вірна. По теоремі --- -Група. Нехай --- -Абнормальної максимальна підгрупа групи . Тоді містить деяку -Халловей підгрупу . За нашим припущенням, не максимально в . Тоді по лемі -Субнормальная в . Якщо --- -Максимальний простий дільник , То підгрупа нормальна в . Тоді, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??),
.
Протиріччя. Нехай --- Безліч простих дільників порядку групи , Великих при упорядкуванні . За доведеним вище безліч не порожньо. Тоді . За індукції максимальна в . Протиріччя. Лема доведена.
Нехай --- Довільна насичена -Замкнута формація, --- -Дісперсівний група з щільною системою -Субнормальних підгруп, яка не належить . Тоді будь-яка -Абнормальної максимальна підгрупа з або належать , Або є мінімальної не -Групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою.
Доказ. Припустимо, що твердження леми не виконуються і в існує -Абнормальної максимальна підгрупа , Не задовольняє твердженнями леми. Зважаючи леми і теореми, , Де --- -Абнормальної максимальна підгрупа з , --- -Група, . Очевидно, що містить деяку -Халловей підгрупу з .
1. Припустимо, що . Якщо , То кожна -Нормальна максимальна підгрупа групи буде мати вигляд , Де --- Деяка максимальна підгрупа з . Так як не максимально в , То, за лемі GOTOBUTTON GEQ191 REF GEQ191 \ * MERGEFORMAT (??), -Субнормальная в . Тоді по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??) і --- Мінімальна не -Група. Припустимо тепер, що . Якщо припустити, що , То не максимально в . Тоді . Якщо НЕ -Максимальний простий дільник порядку групи , То в існує нормальна сіловская -Підгрупа , . Тоді підгрупа
.
Якщо -Халловей підгрупа з не максимально в , То застосовуючи лему і теорему, отримуємо, що . Нехай максимальна в . Тоді кожна власна підгрупа з буде не максимальна в і, отже, по лемі, -Субнормальная в . Якщо підгрупа , То, за теоремою, . максимальна в , Тому що в противному випадку не максимально в . Застосовуючи лему і теорему, отримуємо, що --- Мінімальна не -Група і -Корадікал групи є сіловской -Підгрупою. Так як за нашим припущенням , То порядок групи ділиться на і, отже, . Тоді, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??), . Протиріччя. Значить, --- -Максимальний простий дільник порядку групи . Тоді і кожна власна підгрупа з не максимально в . Якщо -Субнормальная в , То за теоремою . Так як не максимально в , То, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що
.
Так як , То
.
Звідси випливає, що і . Очевидно, що . Підгрупа міститься в деякій -Нормальної максимальної підгрупі з .
1.1
Тоді --- -Максимальний простий дільник порядку групи і сіловская -Підгрупа групи нормальна в . Звідси випливає, що . Так як --- -Група, то міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . За індукції або належить формації, або є мінімальної не -Групою. Якщо --- Мінімальна не -Група, то і . Протиріччя. Значить, . Нехай --- -Головний фактор із . Але так як , То --- -Головний фактор і виконується ізоморфізм . Так як , То --- -Центральний -Головний фактор. Протиріччя.
1.2 ,
Так як , То міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . Тоді в існує -Абнормальної максимальна підгрупа . Якщо не максимально в , То, за лемі, -Субнормальная в . Протиріччя. Значить, максимальна в . За умовою знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що
.
Так як , То . Якщо , То і, отже, -Субнормальная в . Значить, . Але тоді -Субнормальная в . Протиріччя.
2. і --- Мінімальна нормальна підгрупа в . Якщо кожна максимальна підгрупа з -Субнормальная в , То --- Мінімальна не -Група. Значить, в знайдеться максимальна підгрупа , Не -Субнормальная в . Очевидно, що . Розглянемо підгрупу . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . Так як не максимально в , То, за умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що . Так як і , То . Розглянемо підгрупу . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . За індукції або належить , Або є мінімальної не -Групою.
2.1
Тоді . Якщо припустити, що є -Максимальним простим дільником порядку групи , , То сіловская -Підгрупа нормальна в і, по теоремі,
.
Значить, --- -Максимальний простий дільник порядку групи . Це означає, що і . Нехай --- Мінімальна не -Група. Тоді збігається з сіловской -Підгрупою групи і, отже, . Отримали, що . З іншого боку, -Субнормальная в , А значить, і в . Тому
.
Протиріччя. Значить, . Це означає, що . З того, що максимальна в , А максимальна в , Випливає, що --- Абелева доповнювана в підгрупа. Так як і , То і . По теоремі Гашюца має додаток в . Так як не максимально в , То, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що . З того, що випливає, що . Але тоді -Субнормальная в . Протиріччя.
2.2
Тоді --- Сіловская -Підгрупа групи . Розглянемо -Халловей підгрупу групи , Що містить . Так як , То міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . Якщо не максимально в , То буде -Субнормальная в . Тому максимальна в . Зважаючи теореми --- -Група. Якщо , То, згідно доведеному вище, лема вірна. Значить, --- Мінімальна нормальна підгрупа в . максимальна в . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . Так як не максимально в , То, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що . Так як , То . Але підгрупа буде утримуватися в підгрупі групи . Якщо , То -Субнормальная в . Якщо ж , То отримуємо протиріччя з тим, що --- -Абнормальної максимальна підгрупа групи . Теорема доведена
3. Опис звичайно не -Груп з щільною системою -Субнормальних підгруп
У роботі Закревської Л.М. був досліджений питання про будову групи , В якій множина всіх її -Субнормальних підгруп щільно для випадку, коли --- Клас всіх -Нільпотентних груп. При розгляді довільній формації можливий випадок, коли . Будова таких груп досліджується в у даному розділі.
Нехай --- Довільна насичена -Замкнута формація, --- Група з щільною системою -Субнормальних підгруп, яка не належить формації , . Тоді можна вирішити.
Доказ. Нехай і --- Група мінімального порядку, для якої теорема не вірна. Так як , То містить всі сіловскіе -Підгрупи, . Отже, кожна -Субнормальная підгрупа повинна містити всі сіловскіе -Підгрупи, .
Нехай --- Сіловская -Підгрупа групи і . Тоді якщо в ній існує друга максимальна підгрупа, то, за умовою, знайдеться -Субнормальная підгрупа така, що . Тоді, за доведеним, містить всі сіловскіе -Підгрупи, . Протиріччя. Значить, в немає других максимальних підгруп і .
Припустимо, що . Тоді кожна максимальна підгрупа групи буде -Абнормальної в . Нехай деяка непоодинокі сіловская підгрупа групи . Якщо припустити, що в існує друга максимальна підгрупа, то, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що . Звідси випливає, що . Протиріччя. Отже, --- Просте число. Отримали, що кожна непоодинокі сіловская підгрупа з має простий порядок і, значить, розв'язна, що суперечить нашому припущенню.
Нехай тепер . Так як, за доведеним, , То . Тоді по індукції --- Здійсненне група. За доведеним, кожна сіловская підгрупа фактор-групи має простий порядок, і, значить, можна вирішити. Отже, можна залагодити й сама група . Лема доведена.
Нехай --- Непорожня -Замкнута насичена формація, --- Група, в якій безліч всіх -Субнормальних підгруп щільно, . Тоді --- Група одного з наступних типів:
1) , , ;
2) , , максимальна в , , ;
3) , , .
Доказ. За лемі, можна вирішити. Так як , То ясно, що . Покладемо і розглянемо Холловей -Підгрупу групи . Якщо одинична підгрупа не є максимальною в , То існує -Субнормальная в підгрупа така, що . За лемі GOTOBUTTON GEQ190 REF GEQ190 \ * MERGEFORMAT (??), і, значить, --- -Група. Отримали протиріччя. Таким чином, дорівнює або 1, або є простим числом.
Розглянемо тепер Холловей -Підгрупу групи . Нехай --- Нормальна максимальна підгрупа з . Нехай , . Якщо 1 не максимальна в , То між 1 і можна вставити -Субнормальную підгрупу, індекс якої, по лемі GOTOBUTTON GEQ190 REF GEQ190 \ * MERGEFORMAT (??), є -Числом. Зрозуміло, що цей індекс ділиться на . Отримуємо протиріччя. Значить, дорівнює або квадрату простого числа, або простого числа, або добутку двох різних простих чисел.
Якщо , То ясно, що або типу 1), або типу 3). Нехай --- Просте число. Якщо --- Просте число, то --- Група типу 1). Нехай , Де --- Прості числа. Припустимо, що в існує підгрупа порядку . Так як 1 не максимальна в , То між 1 і існує, за умовою, -Субнормальная підгрупа, індекс якої, по лемі, є -Числом. Але цей індекс ділиться і на . Залишається прийняти, --- Максимальна підгрупа групи . Але тоді і --- Група типу 2). Теорема доведена.
Наведемо приклад, який показує, що класи груп, перераховані в теоремі, не порожні.
Нехай --- Така -Замкнута насичена формація -Нільпотентних груп, що не збігається з безліччю всіх простих чисел. Нехай --- Будь-яке просте число, що не входить в . Тоді будь-яка група порядку , Де --- Будь-яке просте число, є групою типу 1), а всяка група порядку або є групою типу 3) теореми. Припустимо, що і існує таке просте число , Що і (Зокрема, можна взяти і ). У сплетенні групи порядку з групою порядку візьмемо підгрупу Шмідта . Тоді має порядок і є групою типу 2) теореми.
Висновок
У даній роботі розглядалися кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп, де --- Довільна -Замкнута насичена формація. У першому розділі даної глави встановлені загальні властивості, які можуть бути використані для вивчення будови кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп. У другому розділі досліджуються властивості максимальних підгруп в кінцевих групах з щільною системою -Субнормальних підгруп. Зокрема, встановлено, що в -Дісперсівний групі з щільною системою -Субнормальних підгруп кожна -Абнормальної максимальна підгрупа або належать , Або є мінімальної не -Групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. У третьому розділі даної глави описані кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп у випадку, коли --- Довільна -Замкнута насичена формація і .
Література
1.Гольфанд Ю.А. Про групи, всі підгрупи яких спеціальні / / Докл. АН СРСР. --- 1948. --- Т. 60, № 8. --- C. 1313 - 1315.
2.Закревская Л.М. Кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп / / В кн: Дослідження нормального і підгруповий будови кінцевих груп. --- Мінськ: Наука і техніка, 1984. --- 71 - 88.
3.Закревская Л.М. Кінцеві групи з -Щільною системою підгруп / / В кн: Арифметичне і підгруповий будова кінцевих груп. --- Мн.: Наука і техніка, 1986. --- 59 - 69.
4.Каморніков С.Ф., Селькін М.В. Подгрупповие функтори і класи кінцевих груп. --- Мінськ: Бел. навука, 2003. --- 254 с.
5.Кехмадзе Ш.С. Квазінільпотентние групи / / Докл. АН СРСР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003 - 1005.
6.Монахов В.С. Про вплив властивостей максимальних підгруп на будову кінцевої групи / / матем. заст. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183 - 190.
7.Пилаев В.В. Кінцеві групи з щільною системою субнормальних підгруп / / В кн: Деякі питання теорії груп. --- Київ: Інст. математики АН УРСР, 1975. --- С. 197 - 217.
8.Пилаев В.В. Кінцеві групи з узагальнено щільною системою субнормальних підгруп / / В кн: Дослідження з теорії груп. --- Київ: Інст. математики АН УРСР, 1976. --- С. 111 - 138.
9.Семенчук В.М. Мінімальні НЕ -Групи / / Алгебра і логіка. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348 - 382.
10.Черніков С.М. Групи з щільною системою доповнюваних підгруп / / Деякі питання теорії груп. --- Київ: Ін-т математики АН УРСР, 1975. --- С. 5 - 29.
11.Черніков С.М. Групи з заданими властивостями системи нескінченних підгруп / / Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111 - 131.
12.Черніков С.М. Про нормалізаторном умови / / Мат. нотатки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45 - 50.
13.Чуніхін С.А. Про -Властивості кінцевих груп / / матем. СБ --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- С. 321 - 346.
Доказ. Нехай --- Група мінімального порядку, для якої лема не вірна. По теоремі --- -Група. Нехай --- -Абнормальної максимальна підгрупа групи . Тоді містить деяку -Халловей підгрупу . За нашим припущенням, не максимально в . Тоді по лемі -Субнормальная в . Якщо --- -Максимальний простий дільник , То підгрупа нормальна в . Тоді, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??),
.
Протиріччя. Нехай --- Безліч простих дільників порядку групи , Великих при упорядкуванні . За доведеним вище безліч не порожньо. Тоді . За індукції максимальна в . Протиріччя. Лема доведена.
Нехай --- Довільна насичена -Замкнута формація, --- -Дісперсівний група з щільною системою -Субнормальних підгруп, яка не належить . Тоді будь-яка -Абнормальної максимальна підгрупа з або належать , Або є мінімальної не -Групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою.
Доказ. Припустимо, що твердження леми не виконуються і в існує -Абнормальної максимальна підгрупа , Не задовольняє твердженнями леми. Зважаючи леми і теореми, , Де --- -Абнормальної максимальна підгрупа з , --- -Група, . Очевидно, що містить деяку -Халловей підгрупу з .
1. Припустимо, що . Якщо , То кожна -Нормальна максимальна підгрупа групи буде мати вигляд , Де --- Деяка максимальна підгрупа з . Так як не максимально в , То, за лемі GOTOBUTTON GEQ191 REF GEQ191 \ * MERGEFORMAT (??), -Субнормальная в . Тоді по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??) і --- Мінімальна не -Група. Припустимо тепер, що . Якщо припустити, що , То не максимально в . Тоді . Якщо НЕ -Максимальний простий дільник порядку групи , То в існує нормальна сіловская -Підгрупа , . Тоді підгрупа
.
Якщо -Халловей підгрупа з не максимально в , То застосовуючи лему і теорему, отримуємо, що . Нехай максимальна в . Тоді кожна власна підгрупа з буде не максимальна в і, отже, по лемі, -Субнормальная в . Якщо підгрупа , То, за теоремою, . максимальна в , Тому що в противному випадку не максимально в . Застосовуючи лему і теорему, отримуємо, що --- Мінімальна не -Група і -Корадікал групи є сіловской -Підгрупою. Так як за нашим припущенням , То порядок групи ділиться на і, отже, . Тоді, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??), . Протиріччя. Значить, --- -Максимальний простий дільник порядку групи . Тоді і кожна власна підгрупа з не максимально в . Якщо -Субнормальная в , То за теоремою . Так як не максимально в , То, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що
.
Так як , То
.
Звідси випливає, що і . Очевидно, що . Підгрупа міститься в деякій -Нормальної максимальної підгрупі з .
1.1
Тоді --- -Максимальний простий дільник порядку групи і сіловская -Підгрупа групи нормальна в . Звідси випливає, що . Так як --- -Група, то міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . За індукції або належить формації, або є мінімальної не -Групою. Якщо --- Мінімальна не -Група, то і . Протиріччя. Значить, . Нехай --- -Головний фактор із . Але так як , То --- -Головний фактор і виконується ізоморфізм . Так як , То --- -Центральний -Головний фактор. Протиріччя.
1.2 ,
Так як , То міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . Тоді в існує -Абнормальної максимальна підгрупа . Якщо не максимально в , То, за лемі, -Субнормальная в . Протиріччя. Значить, максимальна в . За умовою знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що
.
Так як , То . Якщо , То і, отже, -Субнормальная в . Значить, . Але тоді -Субнормальная в . Протиріччя.
2. і --- Мінімальна нормальна підгрупа в . Якщо кожна максимальна підгрупа з -Субнормальная в , То --- Мінімальна не -Група. Значить, в знайдеться максимальна підгрупа , Не -Субнормальная в . Очевидно, що . Розглянемо підгрупу . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . Так як не максимально в , То, за умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що . Так як і , То . Розглянемо підгрупу . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . За індукції або належить , Або є мінімальної не -Групою.
2.1
Тоді . Якщо припустити, що є -Максимальним простим дільником порядку групи , , То сіловская -Підгрупа нормальна в і, по теоремі,
.
Значить, --- -Максимальний простий дільник порядку групи . Це означає, що і . Нехай --- Мінімальна не -Група. Тоді збігається з сіловской -Підгрупою групи і, отже, . Отримали, що . З іншого боку, -Субнормальная в , А значить, і в . Тому
.
Протиріччя. Значить, . Це означає, що . З того, що максимальна в , А максимальна в , Випливає, що --- Абелева доповнювана в підгрупа. Так як і , То і . По теоремі Гашюца має додаток в . Так як не максимально в , То, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що . З того, що випливає, що . Але тоді -Субнормальная в . Протиріччя.
2.2
Тоді --- Сіловская -Підгрупа групи . Розглянемо -Халловей підгрупу групи , Що містить . Так як , То міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . Якщо не максимально в , То буде -Субнормальная в . Тому максимальна в . Зважаючи теореми --- -Група. Якщо , То, згідно доведеному вище, лема вірна. Значить, --- Мінімальна нормальна підгрупа в . максимальна в . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . Так як не максимально в , То, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що . Так як , То . Але підгрупа буде утримуватися в підгрупі групи . Якщо , То -Субнормальная в . Якщо ж , То отримуємо протиріччя з тим, що --- -Абнормальної максимальна підгрупа групи . Теорема доведена
3. Опис звичайно не -Груп з щільною системою -Субнормальних підгруп
У роботі Закревської Л.М. був досліджений питання про будову групи , В якій множина всіх її -Субнормальних підгруп щільно для випадку, коли --- Клас всіх -Нільпотентних груп. При розгляді довільній формації можливий випадок, коли . Будова таких груп досліджується в у даному розділі.
Нехай --- Довільна насичена -Замкнута формація, --- Група з щільною системою -Субнормальних підгруп, яка не належить формації , . Тоді можна вирішити.
Доказ. Нехай і --- Група мінімального порядку, для якої теорема не вірна. Так як , То містить всі сіловскіе -Підгрупи, . Отже, кожна -Субнормальная підгрупа повинна містити всі сіловскіе -Підгрупи, .
Нехай --- Сіловская -Підгрупа групи і . Тоді якщо в ній існує друга максимальна підгрупа, то, за умовою, знайдеться -Субнормальная підгрупа така, що . Тоді, за доведеним, містить всі сіловскіе -Підгрупи, . Протиріччя. Значить, в немає других максимальних підгруп і .
Припустимо, що . Тоді кожна максимальна підгрупа групи буде -Абнормальної в . Нехай деяка непоодинокі сіловская підгрупа групи . Якщо припустити, що в існує друга максимальна підгрупа, то, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що . Звідси випливає, що . Протиріччя. Отже, --- Просте число. Отримали, що кожна непоодинокі сіловская підгрупа з має простий порядок і, значить, розв'язна, що суперечить нашому припущенню.
Нехай тепер . Так як, за доведеним, , То . Тоді по індукції --- Здійсненне група. За доведеним, кожна сіловская підгрупа фактор-групи має простий порядок, і, значить, можна вирішити. Отже, можна залагодити й сама група . Лема доведена.
Нехай --- Непорожня -Замкнута насичена формація, --- Група, в якій безліч всіх -Субнормальних підгруп щільно, . Тоді --- Група одного з наступних типів:
1) , , ;
2) , , максимальна в , , ;
3) , , .
Доказ. За лемі, можна вирішити. Так як , То ясно, що . Покладемо і розглянемо Холловей -Підгрупу групи . Якщо одинична підгрупа не є максимальною в , То існує -Субнормальная в підгрупа така, що . За лемі GOTOBUTTON GEQ190 REF GEQ190 \ * MERGEFORMAT (??), і, значить, --- -Група. Отримали протиріччя. Таким чином, дорівнює або 1, або є простим числом.
Розглянемо тепер Холловей -Підгрупу групи . Нехай --- Нормальна максимальна підгрупа з . Нехай , . Якщо 1 не максимальна в , То між 1 і можна вставити -Субнормальную підгрупу, індекс якої, по лемі GOTOBUTTON GEQ190 REF GEQ190 \ * MERGEFORMAT (??), є -Числом. Зрозуміло, що цей індекс ділиться на . Отримуємо протиріччя. Значить, дорівнює або квадрату простого числа, або простого числа, або добутку двох різних простих чисел.
Якщо , То ясно, що або типу 1), або типу 3). Нехай --- Просте число. Якщо --- Просте число, то --- Група типу 1). Нехай , Де --- Прості числа. Припустимо, що в існує підгрупа порядку . Так як 1 не максимальна в , То між 1 і існує, за умовою, -Субнормальная підгрупа, індекс якої, по лемі, є -Числом. Але цей індекс ділиться і на . Залишається прийняти, --- Максимальна підгрупа групи . Але тоді і --- Група типу 2). Теорема доведена.
Наведемо приклад, який показує, що класи груп, перераховані в теоремі, не порожні.
Нехай --- Така -Замкнута насичена формація -Нільпотентних груп, що не збігається з безліччю всіх простих чисел. Нехай --- Будь-яке просте число, що не входить в . Тоді будь-яка група порядку , Де --- Будь-яке просте число, є групою типу 1), а всяка група порядку або є групою типу 3) теореми. Припустимо, що і існує таке просте число , Що і (Зокрема, можна взяти і ). У сплетенні групи порядку з групою порядку візьмемо підгрупу Шмідта . Тоді має порядок і є групою типу 2) теореми.
Висновок
У даній роботі розглядалися кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп, де --- Довільна -Замкнута насичена формація. У першому розділі даної глави встановлені загальні властивості, які можуть бути використані для вивчення будови кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп. У другому розділі досліджуються властивості максимальних підгруп в кінцевих групах з щільною системою -Субнормальних підгруп. Зокрема, встановлено, що в -Дісперсівний групі з щільною системою -Субнормальних підгруп кожна -Абнормальної максимальна підгрупа або належать , Або є мінімальної не -Групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. У третьому розділі даної глави описані кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп у випадку, коли --- Довільна -Замкнута насичена формація і .
Література
1.Гольфанд Ю.А. Про групи, всі підгрупи яких спеціальні / / Докл. АН СРСР. --- 1948. --- Т. 60, № 8. --- C. 1313 - 1315.
2.Закревская Л.М. Кінцеві групи з щільною системою
3.Закревская Л.М. Кінцеві групи з -Щільною системою підгруп / / В кн: Арифметичне і підгруповий будова кінцевих груп. --- Мн.: Наука і техніка, 1986. --- 59 - 69.
4.Каморніков С.Ф., Селькін М.В. Подгрупповие функтори і класи кінцевих груп. --- Мінськ: Бел. навука, 2003. --- 254 с.
5.Кехмадзе Ш.С. Квазінільпотентние групи / / Докл. АН СРСР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003 - 1005.
6.Монахов В.С. Про вплив властивостей максимальних підгруп на будову кінцевої групи / / матем. заст. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183 - 190.
7.Пилаев В.В. Кінцеві групи з щільною системою субнормальних підгруп / / В кн: Деякі питання теорії груп. --- Київ: Інст. математики АН УРСР, 1975. --- С. 197 - 217.
8.Пилаев В.В. Кінцеві групи з узагальнено щільною системою субнормальних підгруп / / В кн: Дослідження з теорії груп. --- Київ: Інст. математики АН УРСР, 1976. --- С. 111 - 138.
9.Семенчук В.М. Мінімальні НЕ -Групи / / Алгебра і логіка. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348 - 382.
10.Черніков С.М. Групи з щільною системою доповнюваних підгруп / / Деякі питання теорії груп. --- Київ: Ін-т математики АН УРСР, 1975. --- С. 5 - 29.
11.Черніков С.М. Групи з заданими властивостями системи нескінченних підгруп / / Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111 - 131.
12.Черніков С.М. Про нормалізаторном умови / / Мат. нотатки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45 - 50.
13.Чуніхін С.А. Про -Властивості кінцевих груп / / матем. СБ --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- С. 321 - 346.