Зміст
Введення
Розрахунок операторної передаточної функції активного чотириполюсника
Параметричний синтез фільтру
Розрахунок частотних характеристик фільтра
Розрахунок перехідної характеристики фільтра
Аналіз отриманих результатів
Список використаної літератури
Введення
Активні RC-фільтри
Електричні фільтри, тобто пристрої, що пропускають електричні коливання одних частот і затримують коливання інших, широко застосовуються в сучасній промисловій електроніці. Область частот пропускаються коливань, для яких модуль передавальної функції із заданою точністю дорівнює деякому значенню, називається смугою пропускання фільтра. Граничні частоти смуги пропускання прийнято називати частотами зрізу. Область частот затримуваних коливань, для яких модуль передавальної функції не перевершує деякого встановленого рівня, називається смугою затримування. У зв'язку з тим, що ідеального розділення смуг пропускання і затримування домогтися неможливо, говорять про область спаду амплітудно-частотної характеристики (АЧХ) фільтру. У залежності від взаємного розташування смуг пропускання і затримування (рис. 2) розрізняють фільтри нижніх частот (ФНЧ), фільтри верхніх частот (ФВЧ), смугові фільтри (ПФ), режекторние (загороджувальному) фільтри (РФ).
У загальному випадку передавальну функцію фільтру з зосередженими параметрами можна записати у вигляді відношення двох раціональних виразів (поліномів):
=
,
де ,
- Дійсні числа;
- Комплексна частота. Найбільший ступінь
змінної
в знаменнику
відповідає порядку фільтра.
Рис. 2 |
Особливий інтерес представляють фільтри першого і другого порядку, так як фільтри більш високих порядків будуються, як правило, на їх основі. Для різного типу фільтрів першого і другого порядків передавальні функції в дробово-раціональної формі наведено в табл. 1 (форма 1).
Таблиця 1
Порядок фільтра | Тип фільтра | Коефіцієнт передачі фільтра | |
форма 1 | форма 2 | ||
Фільтри перший порядку | ФНЧ | | |
ФВЧ | | | |
Фільтри друга порядку | ФНЧ | | |
ФВЧ | | | |
ПФ | | | |
РФ | | | |
На практиці при описі передавальних функцій фільтрів першого і другого порядків прийнято користуватися такими параметрами, як коефіцієнт передачі фільтра в смузі пропускання , Характеристична (власна) частота
=
, Добротність
(Для фільтрів другого порядку), частота режекциі
=
(Для РФ). Вирази для передавальних функцій, одержувані при використанні названих параметрів, також приведені в табл. 1 (форма 2). Порівняння двох форм запису передавальних функцій дозволяє легко простежити зв'язок параметрів фільтрів
,
,
,
з коефіцієнтами
,
,
,
,
,
.
Аналіз усталеного режиму при впливі синусоїдальних сигналів проводять, вважаючи =
(
,
- Циклічна і кутова частоти синусоїдального коливання;
=
). Має при цьому місце залежність модуля передатної функції
від частоти є рівнянням АЧХ фільтра. Зазвичай значення модуля передатної функції виражається в децибелах:
[ДБ] =
.
Коефіцієнт передачі в смузі пропускання в цій формулі відповідає частоті
= 0 для ФНЧ (
=
),
∞ для ФВЧ (
=
),
=
для ПФ (
=
).
Для РФ характерними є коефіцієнти передачі на частотах = 0 (
=
) І
∞ (
=
). Причому виконується співвідношення
=
. У випадку симетричної АЧХ характеристична частота РФ збігається з частотою максимального загасання коливань - частотою режекциі (
=
), А коефіцієнти передачі для нижнього і верхнього ділянок смуги пропускання рівні (
=
).
За смугу пропускання фільтра зазвичай приймають інтервал частот, на межах якого модуль передавальної функції падає до рівня
≈
, Тобто на -3 дб.
При такому завданні смуги пропускання частота зрізу ФНЧ і ФВЧ першого порядку співпадає з їх характеристичної частотою ( =
). Близькі до характеристичним і частоти зрізу ФНЧ і ФВЧ другого порядку, хоча в загальному випадку вони розрізняються (
≠
). При
>
на графіках АЧХ цих фільтрів в області частоти
спостерігається «сплеск», а
>
. Повний збіг
=
має місце лише за
=
.
У ПФ характеристична частота відповідає частоті, на яку припадає максимум передавальної функції (для найменування такої частоти вживаються терміни резонансна або квазірезонансного). Справедливі співвідношення:
=
;
=
-
=
,
де ,
- Нижня і верхня частоти зрізу ПФ.
Виборчі властивості фільтрів в значній мірі залежать від крутизни їх АЧХ в області спаду. Крутизна спаду є характерним параметром фільтра і розраховується в децибелах на декаду
[ДБ / дек] =
,
де ,
- Вибіркові частоти в області спаду.
Декада - практична одиниця виміру частотного інтервалу; відповідає інтервалу між частотами і
, Які відрізняються в 10 разів (
= 10;
= 1).
Можливі реалізації фільтрів з використанням лише одних пасивних елементів (пасивні фільтри). Проте в даний час побудова фільтрів часто проводиться із застосуванням активних елементів (активні фільтри), зокрема, операційних підсилювачів (ОП). Якщо подібний активний фільтр з пасивних елементів містить тільки ємнісні та резистивні елементи, то його називають активним RC-фільтром.
Активні RC-фільтри не містять котушок індуктивності. Індуктивні котушки - це громіздкі елементи (особливо призначені для роботи при низьких частотах). Їх мікроелектронний виконання дуже важко. Крім того, в низькочастотному діапазоні котушки індуктивності мають невисоку добротність.
Активні фільтри вигідно відрізняються від пасивних ще й тим, що є можливість забезпечення їх високого вхідного та малого вихідного опорів. Це полегшує узгодження фільтрів при їх з'єднаннях між собою (має місце незалежність АЧХ проміжних ланок).
При проектуванні складних фільтрів на основі фільтрів першого і другого порядків використовуються різні комбінації останніх. Наприклад, застосовується каскадне з'єднання - вихід попереднього фільтра з'єднується з входом наступного. Каскадне з'єднання ланок першого і другого порядків дозволяє створити фільтр будь-якого порядку. У цьому випадку передатна функція фільтра дорівнює добутку передаточних функцій входять до його складу елементарних ланок:
=
.
Каскадне проектування є найпоширенішим методом створення активних фільтрів.
1. Розрахунок операторної передаточної функції активного чотириполюсника
На підставі вихідної схеми чотириполюсника складемо операторну схему заміщення (рис. 3). Для цього пасивні елементи у вихідній схемі замінимо пасивними двухполюсника з відповідними операторними опорами (резистивним елементу з опором відповідає двухполюсник з операторних опором
, Ємнісне з ємністю
- Двухполюсник з операторних опором
).
Рис.3. Схема заміщення фільтра
Здійснимо розрахунок методом вузлових напруг. Проведемо топологічний аналіз схеми, в ході якого виявимо і пронумеруємо вузли. Вузол, позначений знаком загальної шини, позначимо як нульовий (вузол 0) і приймемо його за базисний вузол. Для операторних зображень вузлових напруг вузлів 1-4 введемо позначення -
. При цьому зазначимо, що
=
,
=
. Запишемо систему рівнянь:
U11 (g1 + g2 + pC1)-U22pC1-U44g2 = Eg1
-U11pC1 + U22 (g3 + pC1 + pC2) = 0
U33 (g4 + g5)-U44g5 = 0
U44 = k (U22-U33)
При маємо U22 = U33
U11 (g1 + g2 + pC1)-U22pC1-U44g2 = Eg1
-U11pC1 + U22 (g3 + pC1 + pC2) = 0
U22 (g4 + g5)-U44g5 = 0
У матричній формі система вузлових рівнянь прийме вигляд
З цією системою лінійних рівнянь за правилом Крамера можуть бути визначені операторний зображення вузлового напруги виходу чотириполюсника:
=
,
Операторна функція передачі розглянутого активного чотириполюсника буде дорівнює
у вигляді дробово-раціональної функції:
де | | |
| ||
|
2. Параметричний синтез фільтру
Порівняємо між собою дві вживаються форми запису передавальної функції ПФ другого порядку (див. табл. 1, форми 1, 2),
можна бачити, що
=
,
= B 1 / b 2,
в результаті отримуємо =
;
=
=
;
=
.
Таким чином, для визначення параметрів (параметричного синтезу) семи пасивних елементів ( ,
,
-
) Заданої ланцюга, що задовольняє заданим електричним властивостям, маємо три рівняння. Відсутні рівняння отримаємо, наклавши такі додаткові умови. Виходячи зі скорочення номенклатури номіналів елементів і в цілях забезпечення щодо великого вхідного опору каскадів покладемо
=
=
= 10нФ,
=
=
= 1000 Ом.
Скористаємося отриманими в пункті 1 виразами для коефіцієнтів ,
дробово-раціонального подання передавальної функції
через параметри елементів схеми
,
,
-
. У результаті підстановки одержимо
Звідси знаходимо
R 5 =
R 3 = 114 ОМ
Параметри всіх елементів фільтра визначені. Їх конкретні значення вибрані відповідно до рядами номінальних значень опорів резисторів і ємностей конденсаторів.
Чисельні значення коефіцієнтів дробово-раціонального подання передавальної функції =
розрахованого ФНЧ рівні:
= 1.013 ∙ 10 -1 4;
= 1.277 ∙ 10 - 10
= 1. 299 ∙ 10 - 21;
= 2. 099 ∙ 10 -1 6;
Нулі і полюси
фільтра визначимо з рівнянь
M (p 0) = 1.013 ∙ 10 -1 4 p 0 = 0
N (p *) = 1. 299 ∙ 10 - 21 p * 2 +2. 099 ∙ 10 -1 6 p * + 1.277 ∙ 10 - 10 = 0
Отримуємо, що фільтр має один нуль і два комплексно-сполучених полюси: = 0 рад / с;
=- 80792 ± ј ∙ 302950рад / с.
Графічне зображення розташування нулів і полюсів функції на площині операторної змінної р = α + jw називається діаграмою або картою нулів і полюсів
Полюсної-нульова карта, побудована за цими даними, представлена на рис.4.
3. Розрахунок частотних характеристик фільтра
Рівняння комплексної передавальної функції може бути отримано з рівняння операторної передаточної функції
при заміні операторної змінної
на уявну частоту
:
=
.
У свою чергу, після виділення дійсних ,
і уявних
,
складових чисельника
і знаменника
дробового вираження комплексної передавальної функції
=
=
,
легко знаходяться рівняння АЧХ і ФЧХ ланцюга:
=
=
;
=
=
-
;
=
при
;
=
при
,
;
=
при
,
;
=
при
;
=
при
,
;
=
при
,
.
Рівняння АЧХ і ФЧХ фільтра отримаємо з дробово-раціонального виразу його операторної функції передачі:
=
Поклавши =
, Отримаємо вираз для комплексної передатної функції:
=
=
=
=
Визначивши модуль цього комплексного вираження, знайдемо рівняння АЧХ фільтру:
=
=
=
Для знаходження рівняння ФЧХ потрібно знайти аргумент функції :
=
=
=
-
.
Залишаючись дійсним, поліном чисельника
=
при будь-якій частоті не змінює свій знак. Тому = 0 при будь-
(
≥ 0).
У полінома знаменника
=
дійсна частина
=
при частоті ω> 313538 радий \ з міняє знак. У залежності від знаку дійсної частини аргумент комплексної функції буде визначатися за різними формулами:
=
при 0 ≤ <313538 рад / с (
> 0);
=
при ≥ 313538 рад / с (
<0).
=
при = 313538 рад / с
Таким чином, рівняння ФЧХ буде виглядати наступним чином
=-
при 0 ≤ <313538рад / с
=
при > 313538рад / с
=
при = 313538 рад / с
За отриманими рівняннями (задаючи з певним кроком значення і обчислюючи відповідні значення
= 2π
) Можна побудувати графіки АЧХ
і ФЧХ
фільтра, а також діаграму АФХ. Для побудови амплітудно-фазової характеристики (АФХ або частотного годографа) доцільно скористатися не показовою формою комплексного параметра K U (jf) = K (ω) ехр (j φ (f)), а алгебраїчної До U (j f) = A (f) + jB (f) = K (f) cos φ (f) + j K (f) sin φ (f).
За графіком визначимо частоту зрізу смугу пропускання
, Крутизну спаду амплітудно-частотної характеристики
:
Дб / грудня
Дб / грудня
н = 39300 Гц
н = 63300Гц
→ 63300-39300 = 24000Гц
Розрахунок частотних характеристик завжди проводять у певному діапазоні частот, в якому проявляються основні частотні властивості електричного кола. Величину діапазону можна визначити за полюсної-нульовою карті операторної функції.
У якості нижньої граничної частоти f н можна прийняти значення, близьке до величини
де S min - відстань від початку координат до найближчої особливої точки (нуля або полюси)
Ця відстань визначається як модуль особливої точки: S = p 0 або S = p * .
За верхню граничну частоту f в можна взяти значення
де S max - відстань від початку координат до самої віддаленої особливої точки. Розрахуємо граничні частоти для нашого прикладу.
p 0 = 0 рад / c,
Отже, S min = p 0 , S max = p * ,
4. Розрахунок перехідної характеристики фільтра
За формулою =
знайдемо операторний зображення перехідної характеристики
фільтра. Використовуючи вираз для операторної передаточної функції
з пункту 3, запишемо
=
=
Визначення оригіналу перехідної характеристики з даного зображенню
здійснимо по теоремі розкладання. Для цього обчислимо корені рівняння
=
= 0,
які є полюсами операторної функції . Вона має два комплексно-сполучених полюси:
=- 80792 + ј ∙ 302950;
= - 80792-ј ∙ 302950 рад / с.
Скористаємося формулою теореми розкладу для випадку трьох простих (некратний) полюсів, один з яких нульовий:
=
+
+
.
h (t) =
+ +
Провівши перетворення, отримаємо шукане рівняння перехідної характеристики фільтра:
У ході перетворень при подібних обчисленнях корисно пам'ятати формули
;
;
Розрахунок перехідної характеристики проводять у певному часовому інтервалі і з певним кроком зміни часу, що залежить від виду функції, що становлять перехідну характеристику.
Часовий інтервал 0 ÷ T 1 визначається показником експоненти s і приймається приблизно рівним
T 1 = (4 ÷ 5) / s =
Крок зміни часу T 2 можна оцінити по періоду T гармонійного коливання
T = 2 / W = 6.28/302950 = 2,074 ∙
с.
Якщо прийняти 10 точок на період T, то крок зміни часу T 2 буде рівним
5. Аналіз отриманих результатів
У випадку конфігурація ланцюга спрощується, тому що ємнісні опору прагнуть до нуля і ємнісні елементи слід закоротити.
Розглянемо рівняння АЧХ і ФЧХ за умови:
а) =-
при 0 ≤ <313538рад / с
б) =
при > 313538рад / с
в) =
при = 313538 рад / с
так як у нас , То для ФЧХ будемо застосовувати формулу б).
У випадку (Режим постійного струму) конфігурація ланцюга спрощується, так як постійний струм не протікає через ємнісні елементи. Тому для визначення передавальної функції на постійному струмі ємнісні елементи слід замінити розривом ланцюга.
При w = 313538 рад / с маємо
=
Список використаної літератури
1. Розрахунок лінійних активних RC-ланцюгів: Методичні вказівки до виконання курсового проекту з курсу «Теоретичні основи електротехніки». Старцев С.А. -КГЕУ, Казань, 24с.
2. Розрахунок частотних та перехідних характеристик лінійних активних ланцюгів: методичний посібник по курсовій роботі. В.А. Михайлов, Е.І. Султанов. Казан. держ. техн. ун-т. Казань, 2001, 27 с.
3. Основи промислової електроніки / Под ред. В. Г. Герасимова. М.: Вища школа, 1986.