ЗАВДАННЯ № 1
За запропонованою вибіркою спостережень результативної ознаки у і факторних ознак х1, х2, х3 потрібно за допомогою кореляційного аналізу вибрати факторні ознаки для побудови двофакторної моделі і пояснити свій вибір.
Рішення
Для отримання шуканих величин складемо розрахункову таблицю:
Отримаємо: x1 = 54,2, х2 = 67,4, х3 = 66; у * х1 = 3617; у * х2 = 4542,4; у * х3 = 4750,6; х1 * х2 = 3657,2; х1 * х3 = 3415,8; х2 * х3 = 4256,4
Розрахуємо r коефіцієнт кореляції між величинами в і х1; у і х2; в і х3; х1 і х2; х2 і х3; х1 і х3;
Cov (x * у) = х * у-х * у
Cov (x 1 * у) = 3617-54.2 * 69.2 =- 133,64
Cov (x 2 * у) = 4542,4-67,4 * 69,2 =- 121,68
Cov (x 3 * у) = 4750,6-66 * 69,2 = 183,4
Rх1у = cov (х1; в) = -133,64 = -133,64 =- 0,712
Var (x 1) Var (y) 204,16 * 172,56 187,696
Rх2у = cov (х2; у) = -121,68 = -121,68 = -0,5179
Var (x 2) Var (y) 319,84 * 172,56 234,928
R х3у = cov (х3; у) = 183,4 = 183,4 = 0,900
Var (x 3) Var (y) 240,4 * 172,56 203,675
Cov (x1 * x2) = x1 * x2-x1 * x
Cov (x1 * x2) = 3657,2-54,2 * 67,4 = 4,12
Cov (x1 * x3) = 3415,8-54,2 * 66 =- 161,4
Cov (x2 * x3) == 4256,4-67,4 * 66 =- 192
Rх1х2 = cov (х1; х2) = 4,12 = 4,12 = 0,016
Var (x 1) Var (х2) 204,16 * 319,84 255,5357
R х1х3 = cov (х1; х3) = -161,4 = -161,4 = -0,728
Var (х1) Var (х3) 204,16 * 240,4 221,54
R х2х3 = cov (х2; х3) = -192 = -192 = -0,692
Var (х2) Var (х3) 240,4 * 319,84 277,288
Побудуємо розрахункову таблицю для двофакторної моделі
Для побудови двофакторної моделі за модулем підходять х1 і х3 т.к у них більш високий показник, але по факторному ознакою х1 і х3> 0,6 означає вибираємо х1 і х2
ЗАВДАННЯ № 2
Результати обстеження десяти статистично однорідних філій фірми в таблиці (цифри умовні). Потрібно:
А. Побудувати модель парної лінійної прогресії продуктивності праці від фактора фондоозброєнності, визначити коефіцієнт регресії, розрахувати парний коефіцієнт кореляції, оцінити тісноту кореляційного зв'язку, знайти коефіцієнт еластичності та бета - коефіцієнт: пояснити економічний зміст усіх коефіцієнтів;
Б. Побудувати модель множинної лінійної регресії продуктивності праці від факторів фондо-і енерго-озброєності, знайти всі коефіцієнти кореляції і детермінації, коефіцієнти еластичності і - коефіцієнти, пояснити економічний зміст усіх коефіцієнтів.
Рішення
А. Позначимо продуктивність праці через у - резтівний ознака, два інші ознаки фондоозброєність і енергоозброєність будуть фак.х1 і х2. Розглянемо лінійну модель залежності продуктивності праці - у від величини фондоозброєнності - х 1 це модель вираження лінійної функції f виду у = а0 + а1 * х1, параметри якої знаходять в результаті рішення системи нормального рівня, сформованих на основі методу найменших квадратів, суть якого полягає в те, що б сума квадратів відхилень фактичних рівнянь ряду від відповідних, вирівняних по кривій зростання значень була найменшою.
а0 * n + а_х1 = _у
а0 * _х1 + а1 * _х1 ^ 2 = _ (у * х1),
де підсумовування наводиться по всіх
- N-групам,
- Параметри а 0 і а 1можно розрахувати за формулою:
а 1 = cov (х1 * у) = ух 1 - ух 1
var (х1) х 2-2 / х 1
а 0 = у - а 1 * х
10 * а 0 +396 * а 1 = 959
396 * а 0 +15838 * а 1 = 38 856
Складемо розрахункову таблицю
З розрахунку таблиці маємо
ух 1 = 3885,60
х 1 = 1583,80
Додатково розраховуємо
ух 1 = 95,9 * 39,6 = 3797,64
х 1 = (39,6) ^ 2 = 1568.16
а 1 = 3885,6-3797,64 = 87,96 = 5,624040
1583,8-1568,16 15,64
а 0 = 95,9-5,624040 * 39,6 = -126,81,
таким чином однофакторний модель має вигляд:
у регр = а 0 + а 1 * х 1
у регр = -126,812 +5624041 * х 1
Отримане рівняння є рівнянням парної регресії, коефіцієнта а 1 в цьому рівнянні називається коефіцієнтом регресії. Знак цього коефіцієнта визначається напрямом зв'язку між у і х 2. У нашому випадку цей зв'язок утворюється а 1 = +5,624040 (+) - зв'язок прямий.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Тіснота зв'язку між у і х1 визначається коефіцієнтом кореляції:
rух1 = V1-о у регр. ^ 2 / оу ^ 2, де оу - середня квадратна помилка вибірки у з значень таблиці
rух1 = V1-142.79937/637.49 = 0.8809071
Чим ближче коефіцієнт кореляції до одиниці, тим тісніше кореляційний зв'язок: rух1 = 0,881, отже, зв'язок між продуктивністю праці і фондоозброєністю досить тісний.
Коефіцієнт детермінації rух1 ^ 2
Це означає, що фактором фондоозброєнності можна пояснити 77,6% зміни продуктивності праці.
Коефіцієнт еластичності Еух1 = а1 * х1 СР / в СР; Еух1 = 5,624040 * 39,6 / 95,9
Це означає, що при збільшенні фондоозброєності на 1%, продуктивність праці збільшиться на 2,3223%.
Бета коефіцієнт _ух1 = а1 * ох1/оу,
_ух1 = 5,624040 * V15.64 / V637, 49 = 0,8809072
Це означає, що збільшення фондоозброєності на величину середньоквадратичного відхилення цього показника призведе до збільшення середнього значення продуктивності праці на 0,88 середньоквадратичного відхилення.
Б. Модуль множинних регресій розглядається на периметрі двухфакторной лінійної моделі, що відбиває залежність продуктивності праці у, від величини фондоозброєнності (х 1) та енергоозброєності (х 2), модуль множинної регресії має вигляд у = а 0 + а 1 у 1 + а 2 х 2. Параметри моделі а 0, а 1, а 2, знаходяться шляхом рішення системи нормальних рівнянь:
а 0 * n + а 1 * S х 1 + а 2 * S х 2 = S у
а 0 * S х 1 + а 1 * S х 1 ^ 2 + а 2 * S (х 1 * х 2) = S (у * х 1)
а 0 * S х 2 + а 1 * S (х 1 * х 2) + а2 * S х 2 ^ 2 = S у * х 2)
10 * а 0 +396 * а 1 +787 * а 2 = 959
396 * а 0 +15838 * а 1 +31689 * а 2 = 38859
787 * а 0 +31689 * а 1 +64005 * а 2 = 78094
Розрахуємо таблицю
Вирішуємо систему нормальним рівнянням, методом Гаусса (метод виключення невідомих).
Розділимо кожне рівняння системи на коефіцієнт при а 0 відповідно:
а 0 +39,6 * а 1 +78,7 * а 2 = 95,9
а 0 +39,994949 * а 1 +80,022727 * а 2 = 98,128787
а 0 +40,26556 * а 1 +81,327827 * а 2 = 99,229987
з первогоуравненія системи віднімаємо друге рівняння системи
а 0 +39,6 а +78,7 а 2 = 95,9
а 0 +39,994949 а 1 +30,022727 а 2 = 98,128787
-0,394949-1,322727 = -2,228787
З першого віднімаємо третій рівняння:
а 0 +39,6 а +78,7 а 2 = 95,9
а 0 +40,26556 * а 1 +81,327827 * а 2 = 99,229987
-0,665563-2,627827 = -3,329987
отримаємо систему з двома невідомими
0,394949 * а 1 +1,322727 а 2 = 2,228787
0,665565 * а 1 +2,627827 а 2 = 3,329987
Ділимо кожне рівняння на β при а 1 відповідно:
а 1 +3,349108 а 2 = 5,643227
а 1 +3,948265 а 2 = 5,003248
з першого віднімаємо другий
-0,599157 А 2 = 0,639979
Отримане значення а 2 підставимо в рівняння з двома невідомими:
а 1 +3,349108 а 2 = 5,643227
а 1 = 5,643227-3,349108 * (-1,0681323)
а 1 = 5,643227 +3,577290
Отримане значення а 1 і а 2 підставимо в кожне з рівнянь з трьома невідомими
а 0 +39,6 а +78,7 а 2 = 95,9
а 0 = 95,9-39,6 а 1-78,7 а 2
а 0 = 95,9-39,6 * 9,220517-78,7 * (-1,0681323)
а 0 = 95,9-365,132473 +84,062012
а 0 = 185,170461
Отримаємо модель:
у = а 0 + а 1 х 1 + а 2 х 2
у = -185,170461 +9,220517 х 1-1,0681323 х 2
Відповідь: у = -185,170461 +9,220517 х 1-1,0681323 х 2
Парні коефіцієнти кореляції:
А. r ух 1 = ((у * х 1) ср-в ср * х 1ср) / (про у * про х 1)
Б. r ух 2 = ((у * х 2) ср-в ср * х 2ср) / (про у * про х 2), де про х 2 = VS (х 2 - х 2ср) ^ 2 / 10
В. r х 1 х 2 = ((х 1 * х 2) ср-х 1ср * х 2ср) / (про х 1 * про х 2)
Чим ближче коефіцієнт кореляції до 1, тим тісніше зв'язок.
Коефіцієнт множинної кореляції:
А. r ух 1 х 2 = V (r ух 1 ^ 2 + r ух 2 ^ 2-2 * r ух 1 * r ух 2 * r х 1 х 2) / (1-r х 1 х 2 ^ 2)
Таким чином, ступінь тісноти зв'язку продуктивності праці з факторами фондоозброєності і енергоозброєності є високою.
Сукупний коефіцієнт детермінації:
Це означає, що сумісний вплив двох факторів визначає 82,9% продуктивності праці.
Частинні коефіцієнти кореляції:
А. R ух 1 (х 2) = (r ух 1-r ух 2 * r х 1 х 2) / V (1-r ух 2 ^ 2) * (1-r х 1 х 2 ^ 2)
тобто тіснота зв'язку між продуктивністю праці і фондоозброєністю, при енергоозброєності, значна.
В. R ух 2 (х 1) = (r ух 2-r ух 1 * r х 1 х 2) / V (1-r ух 1 ^ 2) * (1-r х 1 х 2 ^ 2)
тобто зв'язку між продуктивністю праці та енергооснащеністю, при незмінній фондоозброєнності, в даній вибірці немає.
Частинні коефіцієнти еластичності:
А. е. ух 1 (х 2) = а 1 * х 1ср / в ср
тобто при збільшенні фондоозброєності на 1% і незмінною енергоозброєності, продуктивність праці збільшиться на 3,807%.
Б. е. ух 2 (х 1) = а 2 * х 2ср / в ср
тобто при збільшенні енергооснащеності, продуктивність праці не зміниться.
Приватні бета β коефіцієнти:
А. β ух 1 (х 2) = а 1 * про х 1 / о у
це означає, що при незмінній енергоозброєності, збільшення на величину середньоквадратичного відхилення розміру фондоозброєнності призведе до збільшення середньої продуктивності праці на 1,444 середньоквадратичного відхилення.
Б. Β ух 2 (х 1) = а 2 * про х 2 / о у
це означає, що зв'язку немає.
За запропонованою вибіркою спостережень результативної ознаки у і факторних ознак х1, х2, х3 потрібно за допомогою кореляційного аналізу вибрати факторні ознаки для побудови двофакторної моделі і пояснити свій вибір.
| n | у | х1 | х2 | х3 |
| 1 | 88 | 38 | 54 | 87 |
| 2 | 71 | 49 | 92 | 57 |
| 3 | 62 | 44 | 74 | 68 |
| 4 | 49 | 78 | 76 | 42 |
| 5 | 76 | 62 | 41 | 76 |
Для отримання шуканих величин складемо розрахункову таблицю:
Отримаємо: x1 = 54,2, х2 = 67,4, х3 = 66; у * х1 = 3617; у * х2 = 4542,4; у * х3 = 4750,6; х1 * х2 = 3657,2; х1 * х3 = 3415,8; х2 * х3 = 4256,4
Розрахуємо r коефіцієнт кореляції між величинами в і х1; у і х2; в і х3; х1 і х2; х2 і х3; х1 і х3;
Cov (x * у) = х * у-х * у
Cov (x 1 * у) = 3617-54.2 * 69.2 =- 133,64
Cov (x 2 * у) = 4542,4-67,4 * 69,2 =- 121,68
Cov (x 3 * у) = 4750,6-66 * 69,2 = 183,4
Rх1у = cov (х1; в) = -133,64 = -133,64 =- 0,712
Var (x 1) Var (y) 204,16 * 172,56 187,696
Rх2у = cov (х2; у) = -121,68 = -121,68 = -0,5179
Var (x 2) Var (y) 319,84 * 172,56 234,928
R х3у = cov (х3; у) = 183,4 = 183,4 = 0,900
Var (x 3) Var (y) 240,4 * 172,56 203,675
Cov (x1 * x2) = x1 * x2-x1 * x
Cov (x1 * x2) = 3657,2-54,2 * 67,4 = 4,12
Cov (x1 * x3) = 3415,8-54,2 * 66 =- 161,4
Cov (x2 * x3) == 4256,4-67,4 * 66 =- 192
Rх1х2 = cov (х1; х2) = 4,12 = 4,12 = 0,016
Var (x 1) Var (х2) 204,16 * 319,84 255,5357
R х1х3 = cov (х1; х3) = -161,4 = -161,4 = -0,728
Var (х1) Var (х3) 204,16 * 240,4 221,54
R х2х3 = cov (х2; х3) = -192 = -192 = -0,692
Var (х2) Var (х3) 240,4 * 319,84 277,288
Побудуємо розрахункову таблицю для двофакторної моделі
Для побудови двофакторної моделі за модулем підходять х1 і х3 т.к у них більш високий показник, але по факторному ознакою х1 і х3> 0,6 означає вибираємо х1 і х2
ЗАВДАННЯ № 2
Результати обстеження десяти статистично однорідних філій фірми в таблиці (цифри умовні). Потрібно:
А. Побудувати модель парної лінійної прогресії продуктивності праці від фактора фондоозброєнності, визначити коефіцієнт регресії, розрахувати парний коефіцієнт кореляції, оцінити тісноту кореляційного зв'язку, знайти коефіцієнт еластичності та бета - коефіцієнт: пояснити економічний зміст усіх коефіцієнтів;
Б. Побудувати модель множинної лінійної регресії продуктивності праці від факторів фондо-і енерго-озброєності, знайти всі коефіцієнти кореляції і детермінації, коефіцієнти еластичності і - коефіцієнти, пояснити економічний зміст усіх коефіцієнтів.
Рішення
А. Позначимо продуктивність праці через у - резтівний ознака, два інші ознаки фондоозброєність і енергоозброєність будуть фак.х1 і х2. Розглянемо лінійну модель залежності продуктивності праці - у від величини фондоозброєнності - х 1 це модель вираження лінійної функції f виду у = а0 + а1 * х1, параметри якої знаходять в результаті рішення системи нормального рівня, сформованих на основі методу найменших квадратів, суть якого полягає в те, що б сума квадратів відхилень фактичних рівнянь ряду від відповідних, вирівняних по кривій зростання значень була найменшою.
а0 * _х1 + а1 * _х1 ^ 2 = _ (у * х1),
де підсумовування наводиться по всіх
- N-групам,
- Параметри а 0 і а 1можно розрахувати за формулою:
var (х1) х 2-2 / х 1
а 0 = у - а 1 * х
396 * а 0 +15838 * а 1 = 38 856
Складемо розрахункову таблицю
З розрахунку таблиці маємо
ух 1 = 3885,60
х 1 = 1583,80
Додатково розраховуємо
ух 1 = 95,9 * 39,6 = 3797,64
х 1 = (39,6) ^ 2 = 1568.16
а 1 = 3885,6-3797,64 = 87,96 = 5,624040
1583,8-1568,16 15,64
а 0 = 95,9-5,624040 * 39,6 = -126,81,
таким чином однофакторний модель має вигляд:
у регр = а 0 + а 1 * х 1
у регр = -126,812 +5624041 * х 1
Отримане рівняння є рівнянням парної регресії, коефіцієнта а 1 в цьому рівнянні називається коефіцієнтом регресії. Знак цього коефіцієнта визначається напрямом зв'язку між у і х 2. У нашому випадку цей зв'язок утворюється а 1 = +5,624040 (+) - зв'язок прямий.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
у |
х |
rух1 = V1-о у регр. ^ 2 / оу ^ 2, де оу - середня квадратна помилка вибірки у з значень таблиці
| rух1 | 0.8809071 |
Чим ближче коефіцієнт кореляції до одиниці, тим тісніше кореляційний зв'язок: rух1 = 0,881, отже, зв'язок між продуктивністю праці і фондоозброєністю досить тісний.
Коефіцієнт детермінації rух1 ^ 2
| rух1 ^ 2 | 0.7759974 |
Коефіцієнт еластичності Еух1 = а1 * х1 СР / в СР; Еух1 = 5,624040 * 39,6 / 95,9
| Еух1 | 2,322336 |
Це означає, що при збільшенні фондоозброєності на 1%, продуктивність праці збільшиться на 2,3223%.
Бета коефіцієнт _ух1 = а1 * ох1/оу,
_ух1 = 5,624040 * V15.64 / V637, 49 = 0,8809072
| _ух1 | 0,8809072 |
Б. Модуль множинних регресій розглядається на периметрі двухфакторной лінійної моделі, що відбиває залежність продуктивності праці у, від величини фондоозброєнності (х 1) та енергоозброєності (х 2), модуль множинної регресії має вигляд у = а 0 + а 1 у 1 + а 2 х 2. Параметри моделі а 0, а 1, а 2, знаходяться шляхом рішення системи нормальних рівнянь:
а 0 * S х 1 + а 1 * S х 1 ^ 2 + а 2 * S (х 1 * х 2) = S (у * х 1)
а 0 * S х 2 + а 1 * S (х 1 * х 2) + а2 * S х 2 ^ 2 = S у * х 2)
396 * а 0 +15838 * а 1 +31689 * а 2 = 38859
787 * а 0 +31689 * а 1 +64005 * а 2 = 78094
Розрахуємо таблицю
Вирішуємо систему нормальним рівнянням, методом Гаусса (метод виключення невідомих).
Розділимо кожне рівняння системи на коефіцієнт при а 0 відповідно:
а 0 +39,994949 * а 1 +80,022727 * а 2 = 98,128787
а 0 +40,26556 * а 1 +81,327827 * а 2 = 99,229987
з первогоуравненія системи віднімаємо друге рівняння системи
а 0 +39,994949 а 1 +30,022727 а 2 = 98,128787
-0,394949-1,322727 = -2,228787
З першого віднімаємо третій рівняння:
а 0 +40,26556 * а 1 +81,327827 * а 2 = 99,229987
-0,665563-2,627827 = -3,329987
отримаємо систему з двома невідомими
0,665565 * а 1 +2,627827 а 2 = 3,329987
Ділимо кожне рівняння на β при а 1 відповідно:
а 1 +3,948265 а 2 = 5,003248
з першого віднімаємо другий
-0,599157 А 2 = 0,639979
| а 2 = -1,0681323 |
а 1 +3,349108 а 2 = 5,643227
а 1 = 5,643227-3,349108 * (-1,0681323)
а 1 = 5,643227 +3,577290
| а 1 = 9,220517 |
а 0 +39,6 а +78,7 а 2 = 95,9
а 0 = 95,9-39,6 а 1-78,7 а 2
а 0 = 95,9-39,6 * 9,220517-78,7 * (-1,0681323)
а 0 = 95,9-365,132473 +84,062012
а 0 = 185,170461
| а 0 = -185,170461 |
у = а 0 + а 1 х 1 + а 2 х 2
у = -185,170461 +9,220517 х 1-1,0681323 х 2
Відповідь: у = -185,170461 +9,220517 х 1-1,0681323 х 2
Парні коефіцієнти кореляції:
А. r ух 1 = ((у * х 1) ср-в ср * х 1ср) / (про у * про х 1)
| r ух 1 | 0,881 |
| r ух 2 | 0,722 |
| про х 2 | 14,38 |
| r х 1 х 2 | 0,921 |
Коефіцієнт множинної кореляції:
А. r ух 1 х 2 = V (r ух 1 ^ 2 + r ух 2 ^ 2-2 * r ух 1 * r ух 2 * r х 1 х 2) / (1-r х 1 х 2 ^ 2)
| r х 1 х 2 | 0,91 |
Сукупний коефіцієнт детермінації:
r ух 1 х 2 ^ 2 | 0,829 |
Частинні коефіцієнти кореляції:
А. R ух 1 (х 2) = (r ух 1-r ух 2 * r х 1 х 2) / V (1-r ух 2 ^ 2) * (1-r х 1 х 2 ^ 2)
| r ух 1 (х 2) | 0,831 |
В. R ух 2 (х 1) = (r ух 2-r ух 1 * r х 1 х 2) / V (1-r ух 1 ^ 2) * (1-r х 1 х 2 ^ 2)
| r ух 2 (х 1) | -0,486 |
Частинні коефіцієнти еластичності:
А. е. ух 1 (х 2) = а 1 * х 1ср / в ср
| е. ух 1 (х 2) | 3.807 |
тобто при збільшенні фондоозброєності на 1% і незмінною енергоозброєності, продуктивність праці збільшиться на 3,807%.
Б. е. ух 2 (х 1) = а 2 * х 2ср / в ср
| е. ух 2 (х 1) | -0,877 |
Приватні бета β коефіцієнти:
А. β ух 1 (х 2) = а 1 * про х 1 / о у
| β ух 1 (х 2) | 1,444 |
Б. Β ух 2 (х 1) = а 2 * про х 2 / о у
| β ух 2 (х 1) | -0,6083377 |