Цілеспрямоване формування навчальної діяльності школярів є головною визначальною рисою цієї системи. Інші системи не пов'язують поняття "розвивальне навчання" з поняттям "навчальна діяльність" і будуються на інших засадах.
Система розвивального навчання не протиставляє себе звичайного навчання: будь-яке навчання в тій чи іншій мірі сприяє розвитку мислення дитини, становленню його особистості. Дану систему необхідно розглядати не як розвивальне навчання взагалі, а як такий тип навчання, який сприяє в першу чергу розвитку у молодших школярів основ теоретичного мислення, це означає здатності розуміти сутність явищ за їх зовнішній формі і діяти відповідним чином. Розвивальне навчання за визначенням В.В. Давидова, спрямоване на формування у дітей основ теоретичного мислення, або, більш широко, основ теоретичної свідомості, до визначальних форм якої разом з наукою відносяться мистецтво, мораль, право, релігія і політика.
В.В. Давидов бачив рішення проблеми гуманізації початкового навчання у створенні умов для становлення молодшого школяра як суб'єкта власної діяльності та у використанні такого змісту і методів навчання, які здатні забезпечити істотне психічний розвиток дитини та сформувати у нього навчальні вміння, необхідні для продовження освіти.
Специфіку освітньої системи Д.Б. Ельконіна - В.В. Давидова можна представити у вигляді схеми, яка відображає єдність змісту, методів і форм навчання.

Розвиток школярів як результат спеціально організованого навчання Підготовчий клас · Розвиток уяви; · Здатність до дій спільно з урахуванням позиції іншої людини. До кінця початкового навчання: · Здатність до теоретичного мислення - розвиток основних дій як компонентів теоретичного мислення, які забезпечують виконання школярами навчальних дій - рефлексії, аналізу, планування, абстракції, узагальнення;

Основна мета на етапі початкового навчання Забезпечення істотного психічного розвитку молодшого школяра в процесі становлення його як суб'єкта різних видів і форм діяльності, зацікавленого в самоизменении і здатного до нього

Завдання · Формування основ теоретичного мислення і свідомості · Розвиток дитини як суб'єкта навчальної діяльності · Виховання особистості за допомогою побудови системи ціннісних орієнтацій

Зміст розвивального початкового навчання Основний компонент - система наукових понять і способи їх отримання

Методи навчання Дослідницькі та частково пошуковий

Форми організації пізнавальної діяльності учнів Колективна навчальна діяльність

· Здатність навчати себе, бути суб'єктом навчальної діяльності, що визначає можливість саморозвитку, самонавчання і самовиховання на подальших етапах навчання; · Сформованість основних ціннісних орієнтирів, які визначають мотиваційно-потребностную основу особистості, моральні норми поведінки і є необхідною психологічною основою подальшого розвитку особистості в - підлітковому і юнацькому віці - пізнавальної активності, самостійності в думках і вчинках, ініціативності та відповідальності, прагнення до співпраці, адекватної самооцінки, критичності у ставленні до своїх та чужих дій, здатності до схильності до перевтілення існуючих способів дії, коли вони входять у суперечність з новими умовами.

Зміст розвивального навчання: є теоретичні знання, які представлені системою понять про дану гілки реальності разом зі способом дій, за допомогою яких поняття та їх система формуються в учнів. Поняття знання істотних відносин між окремими сторонами предмета чи явища. Тому для формування поняття необхідно в першу чергу виділити дані боку, а для цього виконати певні дії з предметами, щоб властивості проявилися.
Навчальний курс починається з вивчення фундаментального узагальненого поняття, яке поступово збагачується і конкретизується окремими фактами і знаннями, служить для учнів орієнтиром і допомагає осмислити все окремі випадки, які вводяться в подальшому. У результаті здійснюється поступовий рух від загального до окремого, від абстрактного до конкретного.
Засвоєння теоретичних знань здійснюється в процесі навчальної діяльності. При цьому виникають і розвиваються такі новоутворення, як змістовна рефлексія, аналіз і планування [5, 383]. Ці новоутворення визначають важливе перестроювання осей пізнавальної та особистісної сфер діяльності дітей і є основою психічного розвитку молодших школярів. Забезпечити якісне засвоєння дітьми досить складної системи понять з опорою на навчальну активність репродуктивного типу свідомо неможливо. Тому організація повноцінної навчальної діяльності школярів є головним і істотною умовою, яка забезпечує їх розвиток в процесі навчання.
Навчальна діяльність - особлива діяльність учнів, яка свідомо спрямована на засвоєння знань [9,478]. Треба враховувати, що засвоєння нових знань може здійснюватися без цілеспрямованої навчальної діяльності школярів у процесі гри, трудової діяльності, під час занять спортом. При цьому не ставиться мета отримати знання: дитина грає заради гри, займається спортом для розвитку своїх фізичних якостей. Тому з психологічної точки зору, отримані знання є побічним продуктом зазначених видів діяльності. Тільки у навчальній діяльності отримання нових знань розглядається як головна мета.
С.Л. Рубінштейн у зв'язку з цим говорив, що існують "два види діяльності, в результаті яких людина опановує новими знаннями й уміннями. Один з них спеціально спрямований на оволодіння цими знаннями та вміннями, як на свою безпосередню мету. Другий призводить до оволодіння цими знаннями та вміннями, здійснюючи інші цілі. Навчання в останньому випадку - не самостійна діяльність, а процес, що здійснюється як компонент і результат діяльності, в яку він включений "[7,76].
Ключове слово "діяльність" має на меті творче перетворення школярами навчального матеріалу, це означає таке його вивчення, при якому з'ясовуються походження, становлення і розвиток предмета чи явища. Тому навчальною діяльністю не можна вважати засвоєння дітьми знань, які їм пропонуються вчителем у готовому вигляді.
Важливим етапом процесу організації навчальної діяльності є постановка навчальної задачі, коли діти переконуються, що способів дії, якими вони володіють, недостатньо для вирішення нового завдання. У цей момент вчитель не дає учням ніяких певних зразків, готових засобів рішення, які можна відновити, а організовує пошук способів дії, яких не вистачає.
Навчальною називається така задача, яка змушує школяра шукати спільну спосіб вирішення всіх задач даного типу. Навчальна завдання може ставитися тільки у відношенні до якого-небудь фундаментально значимого поняття, що відкриває весь навчальний предмет або великий розділ навчального курсу [6, 66].
Здійснюючи навчальну діяльність школярі виконують певні навчальні дії. В.В. Давидов представляє їх в логіці рішення навчальної задачі:
прийняття від вчителя навчальної задачі або її спільна постановка;
перетворення умов завдання з метою виявлення загальних відносин досліджуваного об'єкта (пошук, знаходження і виділення);
моделювання виділених відносин в предметній, графічній або буквеної формі;
перетворення моделі відносин для вивчення їх особливостей у "чистому вигляді";
побудова системи окремих завдань, які вирішуються загальним способом;
контроль за виконанням попередніх дій;
оцінка засвоєння загального способу як результату вирішення даної навчальної задачі [5, 159 - 160].
Вчитель у процесі навчання цілеспрямовано і послідовно веде дітей від однієї навчальної задачі до іншої. За рішенням однієї задачі йде постановка наступної. Відрізок часу від постановки однієї "стратегічної" задачі до іншої через виконання проміжних "тактовних" завдань А.Б. Воронцов називає актом навчальної діяльності [2, 212 - 214].
Коли вчитель освоїв технологію організації повного акту навчальної діяльності і відповідно до них організовує повноцінну навчальну діяльність школярів, то можна говорити, що він оволодів технологією розвивального навчання.
Центром навчальної діяльності є суб'єкт. Позиція суб'єкта характеризується самостійним здійсненням всіх етапів діяльності: постановки мети, планування, реалізації мети та аналізу отриманих результатів. Молодший школяр як суб'єкт здійснює власну навчальну діяльність разом з іншими дітьми і з допомогою вчителя. Виникнення у школяра потреби у навчальній діяльності, виникнення мотивів навчальних дій сприяє формуванню у нього бажання вчитися. Оволодіння навчальними діями з допомогою яких вирішуються навчальні завдання, формує у дитини вміння вчитися. Саме бажання й уміння вчитися характеризують молодшого школяра як суб'єкта навчальної діяльності. При цьому від опановує такими важливими особистісними якостями, як самостійність, ініціативність, відповідальність.

Глава 2. Порівняльний аналіз методики ознайомлення з равенствами, нерівностями, рівняннями в традиційній школі та системі РВ

Вивчення алгебраїчного матеріалу починається з підготовчого класу і проходить в тісному зв'язку з вивченням арифметичного і геометричного матеріалу.
Учні початкових класів знайомляться з такими найважливішими поняттями як рівність, нерівність, рівняння.
Що ж таке рівність, нерівність, рівняння?
Нехай а і в - числові вирази. Числові вирази або числа, між якими стоїть знак рівності, називаються числовими равенствами.
Нерівність - відношення, що зв'язує два числові вирази або два числа за допомогою одного із знаків ">" (більше), "<" (менше), "³" (більше або дорівнює), "£" (менше або дорівнює), "¹" (не дорівнює).
Рівність зі змінною f (х) = g (х) називається рівнянням з однією змінною.
Переходимо до короткого огляду методики ознайомлення з числовими равенствами, нерівностями, рівняннями в традиційній школі.
Поняття про равенствах, нерівностях, рівняннях розкриваються у взаємозв'язку.
Числові рівності і нерівності вивчаються паралельно. Вправи з равенствами і нерівностями використовуються для розкриття та застосування арифметичних знань, а також для вироблення обчислювальних навичок.
Ознайомлення з равенствами і нерівностями в традиційній школі безпосередньо пов'язується з вивченням нумерації і арифметичних дій і відбувається в кілька етапів.

2.1. Безпосереднє порівнювання предметів

На підготовчому етапі в дочісловой період, потрібно в процесі практичних вправ з використанням пар понять навчити дітей порівнювати предмети і встановлювати відношення "більше", "менше", "однаково". Наведемо приклади найбільш поширених пар понять: більше-менше, вище-нижче, ширше-вже, правіше-лівіше, старше-молодший, важче-легше, товще-тонше, далі-ближче, швидше-повільніше.
З перших же уроків відпрацьовується вміння порівнювати чисельності множин. При цьому починати треба з вправ на встановлення між множинами взаємно однозначної відповідності.
Основою таких вправ можуть служити різні ситуації з повсякденного життя: кожному учневі в класі взаємно однозначно відповідає його ранець; кожній чашці в чайному приладі однозначно відповідає блюдце, на яке ставлять чашку.
Пропонуючи учням вправи на порівняння чисельності множин, доцільно починати з множин, кожне з яких складено з однорідних предметів, наприклад, одне безліч складається з трикутників, інше - з квадратів. Через деякий час переходять до порівняння множин різнорідних предметів.
Корисно ознайомити учнів з різними прийомами попарного співвіднесення предметів двох множин. Першим прийомом буде накладення предметів на набірному полотні один на одного. Другий прийом - відбирання з одного предмета з кожного числа й відкладання отриманих пар. Третій прийом - порівняння двох множин, елементи яких не можна вилучати, наприклад, множин предметів, зображених на малюнку. Четвертий прийом доцільно застосовувати для порівняння двох множин, намальованих предметів, якщо ці предмети не розташовані лінійно. Таке порівняння предметів "один до одного" дає можливість встановлювати не тільки, де більше, а де менше, але і на скільки більше, на скільки менше. Вже в підготовчий період включають вправи на перетворення неравночісленних множин у равночисленность і назад.
Таким чином відбувається безпосередній спосіб порівняння предметів у традиційній школі.
Система РВ. Необхідність порівняння з будь-якою ознакою виникає в ситуації відновлення будь-якого об'єкта, що володіє досліджуваними властивостями.
Саме завдання відновлення (а потім і відтворення) змушує дитину виділити властивості предметів і сконструювати способи їх порівняння по виділеному ознакою.
Спочатку дитина виконує практична дія порівняння різних реальних предметів, які можна взяти в руки. У школі діти повинні працювати не з малюнками, а з реальними предметами. Бажано, щоб кожна дитина мала можливість працювати з предметним матеріалом. Якщо такої можливості немає, і вчитель використовує демонстраційні посібники, то з ним працює не вчитель, а діти (по черзі виходячи до дошки), з їх допомогою показуючи, як вони мислять.
Потім дитина порівнює об'єкти, які не можна взяти в руки.
Яким же чином це відбувається?
а) виділяються ті ознаки предмета, за якими його можна порівнювати з іншими;
б) знаходять різні способи порівняння предметів, наприклад, при порівнянні по довжині діти спираються на зорове сприйняття, тобто спочатку порівнюють "на око", а потім, коли цей спосіб не спрацьовує, знаходять інші способи (накладення, додаток).
Навчившись порівнювати предмети (смужки, сторони геометричних фігур або тіл і ін) по довжині, ширині і висоті, дитина потрапляє в ситуацію, коли цього його вміння стане недостатньо для порівняння. Наприклад, коли замість звичних смужок - прямокутників він стикається з колом, у якого дитина не може виявити стали звичними довжину і ширину, тоді він стоїть перед необхідністю порівняння за іншою ознакою - площі.
Такий загальний підхід до появи нових ознак порівняння предметів дозволяє дитині вже на перших етапах навчання використовувати його при вирішенні цілого класу приватних завдань на порівняння, що в свою чергу, значно розширює набір ознак, за якими можна порівнювати предмети. Наприклад не тільки по довжині (ширині, висоті), площі, обсягу, масі, формі, кольору, матеріалу, кількості, але і по кутах, розташуванню на площині і в просторі, за складом частин і навіть по "красі". Порівняння за "красі" є ключем до формування каліграфічного досвіду.
Таким чином, діючи з реальними предметами, їх ознаками і результатами порівняння по заданому ознакою, діти виділяють істотні зв'язки і відносини між компонентами дії виконуючи три основні типи завдань:
а) є предмети, відомий ознака - необхідно встановити результат порівняння;
б) є ​​предмети, відомий результат порівняння - потрібно встановити, яка буде ознака був обраний;
в) відомі ознака і результат порівняння - підібрати відповідні предмети.
Варіативність цих завдань очевидна, що дозволяє в повному обсязі контролювати свої дії і в міру необхідності їх перебудовувати.
Порівнюючи предмети за тією або іншою ознакою, діти встановлюють відношення рівності або нерівності (на перших порах фіксуючи результат порівняння за допомогою слів: "вони однакові", "рівні", "їх стільки ж" або "вони неоднакові, різні, нерівні" і т . д.).
Необхідно зауважити, що чим більше слів-синонімів для опису відносин рівності та нерівності буде використовувати вчитель, тим легше буде дітям "переводити" тексти арифметичних завдань на мову математики. Для введення порівняння груп предметів спочатку необхідно ввести поняття комплекту, що включає складові частини, а потім навчитися порівнювати комплекти за складом частин. При порівнянні комплектів за складом (набору) частин матиме значення не колір, не розмір частин, а тільки їх набір. Це дасть можливість порівнювати різні групи предметів по відношенню до певного комплекту, що включає той чи інший набір частин.

2.2. Моделювання відносин рівності та нерівності:

предметне: за допомогою смужки
графічне:
а) за допомогою копіювального малюнка;
б) за допомогою відрізків (схеми).
Про введення графічної схеми хотілося б розповісти детальніше.
Для підведення дітей до використання графічної моделі необхідно задати конкретно-практичну задачу. Ви показуєте дітям дві різні за обсягом "фігуристі" банки або пляшки і просіть дітей за допомогою малюнка показати, що обсяг однієї банки більше обсягу інший. Досвід показує, що діти починають малювати форму банок, тобто роблять копіює малюнок. Тоді ви підходите до дітей і починаєте "чіплятися": то форма не така, то шийку занадто вузьке і т.д., тобто повинні усвідомити безглуздість такого зображення (копіює малюнка), тим більше, що банки при порівнянні за обсягом можна використовувати різні за формою, але однакові за обсягом.
А потім починається діалог:
Вчитель: - Що ви хотіли повідомити малюнком?
Діти: - У якому відношенні знаходяться обсяги банок.
Вчитель: - А як ми повідомляємо про результати порівняння?
Діти: - За допомогою довжин смужок.
Вчитель: - Спробуйте намалювати, в якому ж відношенні знаходяться обсяги банок.
Якщо діти намалювали смужки, то можна продовжувати розмову далі. Якщо знову стали малювати банки, потрібно дати час для обговорення в групах і прийти до висновку про невдалості такого способу.
Вчитель: - Чи потрібно малювати форму банок або легше намалювати смужки?
Діти: - Легше намалювати смужки.
Вчитель: - Намалюйте.
Виявиться, що різні діти намалювали смужки, різні по довжині, ширині.
Вчитель: "Який же довжини і ширини можна малювати смужки?" Обговорюючи це питання, діти прийдуть до висновку, що смужки повинні бути однаковими або різними по довжині в залежності від результату порівняння, а ось ширина смужки значення не має.
Вчитель: - Якщо ширина може бути кожний, то смужку якої ширини ми будемо малювати?
Для усвідомлення того, що ширину смужки можна зовсім не малювати, можна запропонувати дітям таке завдання: "За моєю команді зобразите в зошиті результат порівняння площ фігур" (вони повинні бути рівні). Після виконання завдання темою обговорення має стати швидкість виконання: чому одні намалювали швидше, а інші повільніше. У результаті ви приходите до висновку, що зручніше ширину взагалі не малювати, а зображати тільки довжину смужки. Якщо величини (довжина, площа, об'єм) виявилися однаковими, то зображують рівні по довжині відрізки, а якщо неоднаковими, то і відрізки неоднакові. Таким чином вводиться зображення величин за допомогою відрізків.
Діти, без сумніву, зможуть навчити цьому інших, показуючи, як зобразити два рівних або нерівних по довжині відрізка. Дуже важливо, щоб дитина усвідомив сам спосіб зображення, при якому відрізки повинні бути фактично паралельними і один кінець повинен при уявному накладення збігатися з іншим.


Звичайно, діти знайдуть свої слова при поясненні способу. Важливо розуміти, що, на відміну від традиційного підходу, при якому діти спочатку розповідають, як потрібно робити, а лише потім починають діяти. У РО все з точністю до навпаки - спочатку дитина виконує практична дія, а лише потім "вчить" інших робити так, як уміє робити сам, тобто пояснює, як потрібно діяти, що ефективно розвиває мову дитини. Адже для пояснення іншій людині потрібно буде підібрати, знайти такі слова, які були б йому зрозумілі. Звідси випливає, що завдання вчителя - уважно слухати дитину, граючи роль нерозуміючого людини для того, щоб діяти у відповідності з поясненням дитини. Тоді й буде зрозуміло, наскільки осмислено виконує дитина практична дія.
Тепер можна пропонувати дітям для вирішення три зворотні завдання:
Дано предмети і величина. Потрібно побудувати схему;
Дано схема і предмети. Треба дізнатися величину;
Дано схема і величина. Потрібно підібрати предмети.
Під час обговорення з дітьми результатів порівняння можна запропонувати дітям придумати завдання з "пастками": з довжиною - взяти дві однакові по довжині нитки, яким надати різну форму; площею - взяти два однакових прямокутника, один з них розрізати і перетворити в квадрат і т.д .
Підіб'ємо підсумки наших міркувань. Спочатку дитина здійснює практична дія з предметами, яке назвемо предметним дією, від якого дитина з опорою спочатку на копіює малюнок, а потім на предметну модель переходить до графічної моделі, а від неї після введення математичних знаків і літер для позначення величин він перейде до опису цих дій за допомогою формули, тобто до буквено-знакової моделі, а потім (значно пізніше) до словесних моделями (правилам, визначень). Дивитися додаток 1.
знакова:
а) за допомогою знаків "=" і "¹"
б) за допомогою літер і знаків "=", ">", "<", (формули)
Основне завдання при введенні літерного позначення полягає в тому, щоб допомогти дитині подумки відокремити властивість предмета від самого предмета. Виділеної в результаті порівняння ставлення рівності або нерівності має бути узагальнено в формулі, тобто в буквено-знакової запису.
Зручніше вводити літерні позначення, використовуючи предмети, які можна порівняти по довжині, ширині, площі і об'єму.
Для постановки конкретно-практичного завдання ставимо дітям дві посудини, які повинні бути однаковими за обсягом, різними по висоті і площі підстави, і просіть порівняти їх по якій небудь ознакою, зобразивши результат порівняння за допомогою схеми. У кожній групі мають бути однакові пари баночок. Роздавши баночки ви швидко проходите по класу і пошепки домовляєтеся з групами, за якою ознакою вони будуть порівнювати.


При порівнянні в різних груп виходять різні схеми (якщо працювало більше трьох груп, не забудьте перед початком обговорення з'ясувати з хлопцями, у яких груп вийшли однакові схеми, і розглядати схеми за цією ознакою).


Виникає проблема. Як таке могло статися? Чому це могло статися? Потрібно дати дітям можливість обговорити це питання. Обов'язково знайдуться хлопці, які скажуть, що різні групи порівнювали за різними ознаками, і навіть якась схема повідомляє про порівняння по висоті, яка - за обсягом, а яка - за площею денець. Тоді виникає питання: чим доповнити схему, щоб іншим людям було зрозуміло, за якими ознаками ми порівнювали ці судини, коли будували кожну зі схем?
Виникає потреба в буквеному позначенні ознаки, а не предмета.
Пропонуємо дітям подумати, як на схемі показати, за якою ознакою порівняли предмет. Хтось намалює поряд зі схемою предмети, хтось напише словом, хтось скористається першою літерою слова - назви ознаки. Після обговорення всіх пропозицій ви прийдете до висновку, що зручніше позначати однією буквою, а потім познайомите хлопців з буквами латинського алфавіту, які використовують для позначення. Діти доповнюють свої схеми літерами і записують з вашою допомогою формулу. Використовуючи питання, підводимо дітей до необхідності введення знаків "<", ">".
Далі пропонуємо зворотні задачі:
на відновлення предметів за схемою і формулою;
на відновлення предметів і схемі за формулою;
на відновлення предметів і формули за схемою;
на відновлення схеми і формули при порівнянні предметів за певною ознакою.
У традиційній школі переважає знакова моделювання - вводяться знаки відносин ">", "<", "=".
Перші числові рівності, з якими знайомляться діти, утворені при ознайомленні з діями додавання, віднімання в концентрі "Десяток".
Введення знака "<" можна здійснити, виконуючи таку вправу. Учитель на дошці, а учні в зошитах малюють один предмет, наприклад квадрат (зафарбовують одну клітинку). Відступивши трохи (три клітки) вправо, малюють два квадрати. Учні роблять висновок, що зліва квадратів менше, ніж справа. Під одним квадратом пишуть цифру 1, а під двома - цифру 2, промовляють: "Число 1 менше числа 2" і між написаними цифрами 1 і 2 ставлять знак "<". Подібним чином вводяться запису виду 1 = 1, 2> 1.
Щоб учні не плутали знаки "<" і ">", корисно скористатися мнемонічним прийомом: де палички розходяться, записують більше число, а де сходяться - менше число.

2.3. Підбір величин за формулами рівності та нерівності

Основне завдання даного етапу роботи полягає в тому, щоб допомогти дитині осмислити способи математичного опису відносин між величинами за допомогою схеми і формули, а також відновлення величин, тобто підбору предметів - носіїв величини - за схемою або формулою. Це означає, що розглядаються завдання трьох основних типів:
1) Дано предмети. Порівнюючи за тією або іншою ознакою, діти креслять схему, що показує відношення між величинами, а потім описують це відношення в знаковій формі:
А А А
В В В
А> B або В <А А = В або В = А А <B або В> А
Важливо, щоб діти розуміли, буквами А і В можуть бути позначені будь-які величини: довжина (висота, ширина, товщина, глибина, периметр, і т.д.), площа, маса, об'єм, кількість, величина кута, а про відношення між ними можна повідомити словами: більше-менше, вище-нижче, ширше-вже, правіше-лівіше, старше-молодший, важче-легше, товще-тонше і т.д. У математиці всі ці відносини описуються поняттями "більше-менше". Відношення "дорівнює-нерівно" може бути в побуті описано словами "стільки ж", "такі ж", "однакові", "різні" та інші, вживаючи які дитина повинна розуміти, про яку величиною йде мова. Так, наприклад, коли говорять: "Купили 6 таких же стільців", мають на увазі не їх забарвлення або форму, а як правило, ціну, за якою придбали ці стільці. Або в задачі сказано: "Якщо пошили 8 таких же суконь", то мова йде знову ж таки не про фасон або забарвленням тканини, а про витрату тканини на одну сукню, і т.д.
2) Дана схема, що описує відношення між величинами, потрібно підібрати відповідні величини (тобто предмети-носії цих величин) і записати формулу.
3) Дана формула, що описує відношення між величинами, потрібно побудувати схему і підібрати відповідні величини.
Відбираючи матеріал до уроку, не можна використовувати однотипні вправи, як це прийнято в традиційній школі, для закріплення і формування досвіду. У даній системі навчання, одним із завдань якої є розвиток і формування здатності думати, міркувати, мислити, потрібно для уроків підбирати завдання різного типу з різних блоків, що дає дитині можливість осмислювати зміна умов, що несе за собою зміну способу дії, і встановлювати різні зв'язку і відносини як між величинами, включеними в завдання, так і між завданнями. Це дозволить надалі усвідомити принцип, який покладений в основу придумування завдань за типом складання "зворотних" завдань, коли змінюються "ролями" відомі й невідомі величини.
Для виконання кожного з даних типів завдань добре використовувати групу з 3-4 дітей: один діє з предметами, мовчки демонструючи спосіб їх порівняння, інший описує результат порівняння за допомогою схеми, третій на підставі або схеми, або побаченого способу порівняння величин позначає їх літерами та записує формулу (рівності або нерівності), використовуючи знаки "=", ">" і "<", а четвертий виступає контролером, при цьому різні групи можуть працювати з різними величинами.
Обговорення підсумків роботи кожної групи може відбуватися таким чином: кожна група називає величину, з якою вона працювала. Решта дітей за схемою і формулою визначають, які предмети могла порівнювати група і які помилки при порівнянні, при складанні схеми або запису формули вона могла допустити.
Після такої перевірки можна запропонувати групам, парам або окремим дітям (за вибором) придумати свої завдання на порівняння або відновлення величин (з якою вона працювала) за схемою і формулою. Придумавши завдання, кожен повинен виконати своє завдання так, як він хотів би, щоб його виконали інші, а потім організувати "аукціон" завдань, при якому кожен вибирає йому сподобався (з придуманих дітьми) завдання.
Запропоновані завдання можна класифікувати і з іншого підставі: більшість з перерахованих завдань дозволяє дітям познайомитися з основними властивостями рівності і нерівностей, проте назв розглянутих властивостей дітям повідомляти не потрібно. Головне, що діти повинні зрозуміти, що іноді безпосереднього порівняння величин проводити не потрібно, щоб дізнатися, в якому відношенні вони перебувають, тобто висновок можна зробити, спираючись на результати порівняння цих величин з іншими.
Так, якщо А = В, то В = А (властивість симетричності), тобто А порівняли з В, то немає потреби знову брати в руки предмети, щоб порівнювати В і А. Якщо ж А = В, а В = С, то немає необхідності А і С порівнювати безпосередньо, так як А напевно буде одно С, - це властивість транзитивності рівності. Аналогічно можна розглянути транзитивність нерівності: якщо А> В, а В> С, то А> С, і якщо А <В, а В <С, то А <С.
Той факт, що буквою може бути позначена будь-яка величина, дає можливість приступити до використання дошкільного досвіду дитини, а саме: після складання однієї з формули А> В або А <У пропонувати дітям підбирати замість літер відповідні числа. Тут слово "відповідні" відноситься як до самого відношенню (більше або менше), так і до дошкільного досвіду дитини, що дає можливість кожній дитині продемонструвати свою дошкільну підготовку і при цьому бути успішним при будь-якому обсязі дошкільних умінь.
Перехід від букв до відповідних числах дає можливість і для зворотних дій, за яких діти відновлюють літерні формули за допомогою числових. Цей зворотний перехід можна задати наступним чином: "Діти в іншому класі замість літер у формулі підібрали відповідні числа. Ось що вони записали: 7 <8. Як ви гадаєте, яка була формула? "Дайте можливість обговорити це в групах.
На додаток до зазначених завдань необхідно запропонувати виконати завдання з "пасткою":
- Поставити двоє ваг: на одні терези покласти однакові за масою предмети і на інші теж. Записати або М ₁ = М ₂ і М ₃ = М _4, або А = В і С = Д.
Виникає питання: чи можна, не зважуючи самих предметів, порівняти маси А і Д (а отже, і В і Д, А і С, В і С)? Якщо дитина розуміє властивість транзитивності, то він повинен затверджувати, що такого порівняння без зважування зробити не можна, маси А і Д можуть виявитися як однаковими, так і різними.
Якщо дитина звертає увагу тільки на знаки рівності, а зв'язки між порівнюваними величинами не бачить, то його висновок буде невірним, тобто він буде стверджувати: А = Д. Тоді й виникає питання: як не помилитися? Для цього слід зробити два записи і порівняти їх.
I II
А = В, а В = Д А = В, а С = Д
Порівняти
А і Д А і Д
Перша дозволяє без безпосереднього порівнювання зробити висновок А = Д, а друга немає: може виявитися А> Д, А <Д, А = Д, все буде залежати саме від ставлення між А і С.
Схема дасть можливість обгрунтувати свою точку зору, а потім знову повернутися до равенствам, за якими можна визначити, по-перше, скільки величин бере участь у порівнянні і, по-друге, як пов'язані ці величини між собою. Можуть з'явитися такі записи і схеми (див. додаток).
Важливо пам'ятати, що обговорення даного матеріалу слід починати не до того, як діти збираються креслити схеми, а після того, як схеми до формул готові.
Традиційно ж все робиться навпаки: спочатку діти говорять, обговорюють, як виконувати завдання, а потім його роблять, а в цій системі навчання потрібно спочатку зробити (здійснити практична дія), а потім обговорювати, як це зробили і як навчити інших робити те, що вмієш робити сам. Повторю, це корінне і принципова відмінність підходу до навчання в системі РВ.
Підсумком роботи над даною темою є складання довідника помилок, у який як раз включаються всі можливі помилки, які були або можуть бути (!) У дітей. Фіксуючи їх у довіднику будь-яким зручним для дітей способом, необхідно кожен раз повертатися до питань про походження цих помилок, а також до способів їх виявлення та виправлення, що є необхідним етапом подальшого попередження цих помилок.

2.4. Перехід від нерівності до рівності і навпаки

Основне завдання в тому, щоб діти змогли знайти три способи зрівнювання:
1) шляхом збільшення однієї (меншою) величини до її рівності з іншого (більшої), тобто за допомогою додавання:
А А


У Після зрівнювання В С
А> В А = В + С
2) шляхом зменшення однієї (більшої) до її рівності з іншого меншою, тобто за допомогою вирахування:
А А


У Після зрівнювання В В З

А> В А - С = В
3) шляхом зменшення однієї і збільшення інший на одну і ту ж величину:
А А


У                        Після зрівнювання С Ь К
А> У В К
А - К = В + К
Третій спосіб передбачає вільне володіння першими двома.
Отже, два перших способи зрівнювання величин є основними.
Постановку задачі, що вимагає зрівнювання величин, почнемо зі казкового сюжету про Незнайка.
Прочитайте ту частину казки, в якій розповідається про те, як Гвинтик і Шпунтик винайшли автомобіль, який працював на газованій воді з сиропом (текст наведений у підручнику).
Результатом обговорення можливих причин зупинки машини стане постановка завдання, що вимагає зрівнювання величин.
Потрібно в бак налити стільки сиропу, скільки його не вистачає, щоб бак став повним.
Налийте води (подкрашенной!) у дві банки так, щоб одна з них була повна (але не до самого краю, щоб можна було при необхідності долити трохи води), а друга заповнена приблизно на 1 / 3. Поясніть, скільки сиропу має бути і скільки залишилося. Умова роботи "двигуна" - повна банку.
Тепер разом з дітьми переведемо це завдання на мову математики:
Є дві нерівні величини (об'єм води в банках). Зобразимо їх, позначивши літерами (наприклад А і В), і запишемо формулу:
А
У
або А
А> В В
У сюжетної задачі про баку нам треба дізнатися, скільки сиропу треба додати в неповну банку, щоб машина знову могла їхати. Ця ж проблема мовою математики виглядає так: потрібно вирівняти величини так, щоб менша величина У стала дорівнювати більшій величині А.
Як це можна зробити?
Спочатку діти виконують практична дія, намагаючись в неповну банку долити води до того ж рівня, що і в першій банку, тобто долити води стільки, скільки її не вистачало до повної банки. Простіше кажучи, проблема спочатку виглядає так: що потрібно зробити, щоб в неповній банку води стало стільки ж, скільки в повній банку? Відповідь не змусить себе чекати, і діти тут же скажуть, що воду потрібно долити. Ви неодмінно виконуєте практична дія, доливаючи води значно менше, ніж потрібно (або, навпаки, більше).
Якщо діти скажуть, що цього мало, то долийте помітно більше, ніж потрібно (або відлийте більше, ніж потрібно). Саме тоді діти і зможуть осмислити те, що мова йде про певну кількість - ні більше, ні менше.
Виникає нове завдання: яку кількість води потрібно долити, щоб стало порівну?
Неможливість відновити колишній обсяг є підстава для народження у дітей про мітки на обох банках.
Оскільки діти вже вміють зображувати величини, то запропонуйте їм спочатку зобразити дані величини (обсяги води або кількість води) за допомогою схеми, позначивши їх буквами.
Потім, запишемо формули: А> B або B <A.
Тепер відповідь на питання (скільки ж потрібно долити води?) Може бути показаний на банках і на схемі: 1) на банках: від мітки на одній банці до мітки на інший або з допомогою двох позначок на одній банці, якщо друга мітка прикріплена дітьми при порівнянні:

Мітка, яку додали
Мітка діти, на тому ж рівні, що
і на першій банку
На схемі цю ж різниця (різницю) діти можуть показати так:


це той об'єм води, який потрібно долити
А в банку з меншим обсягом (В).
Пам'ятайте! Не банку В, а обсяг води
У в банку - це В, банки то однакові.
Показати те, скільки потрібно долити води, - це те ж саме, що дізнатися, на скільки одна величина більша за іншу або менше інший, - А> В (на С). Щоб дізнатися цю нову величину С, потрібно від більшої величини відняти меншу, тобто С = А - В.
Значить, якщо до величини У додати різницю, а "справжні математики" говорять "різницю", - величину С, рівну А - В, то вийде величина, що дорівнює А.
А = В + С (1) або А = В + (А - В) (2)
З
Знайти цю різницю, тобто різниця між величинами і записати формулу (2) діти зможуть лише після введення знаку "мінус".
Щоб змінити відношення між величинами, тобто з нерівності зробити рівність чи, навпаки, з рівності зробити нерівність (але таких завдань мало, тому що вони є зворотними, поновлюючими нерівні величини з рівних, тому їх бажано доповнити), потрібно буде одну з двох величин або збільшити (+), або зменшити (-), а може бути зменшити одну і збільшити іншу, причому на скільки зменшують одну, на стільки ж збільшують іншу.
Дуже важливо, щоб діти розуміли: коли вони від нерівності переходять до рівності, то віднімати або додавати потрібно не скільки завгодно, а певна кількість, відповідне різниці цих величин.
Робота з графічними і знаковими моделями, тобто схемою і формулою, є основною ланкою в ланцюзі рішення навчальної задачі.
Ставлення нерівності однорідних величин (А <В) і операція додавання (А + В = С) володіють наступними властивостями:
Які б не були А і В, має місце одне й тільки одне з трьох відносин: або А = В, або А <В, або В <А.
Якщо А <В і В <С, то А <С (транзитивність відносин "менше", "більше").
Для будь-яких двох величин А і В існує однозначно певна величина С = А + В.
А + В = В + А (комунікативність додавання).
А + (В + З) = (А + В) + С (асоціативність додавання).
А + В> А (монотонність додавання).
Якщо А> В, то існує одна і тільки одна величина С, для якої В + С = А (можливість вирахування).
Вивчення властивостей відносин, про які йшла мова, відкриває перед дитиною нові можливості.

2.5. Як з частин скласти ціле

Система РВ.
Введення про ставлення частин і цілого поняття обумовлено, перш за все необхідністю навчання дитини рішенням текстових завдань (прямих і непрямих) алгебраїчним способом, тобто на основі складання рівнянь. Для цього дитина повинна навчиться зображати це відношення за допомогою схем, спираючись на які він зможе описати це особливе ставлення величин, що не залежить від їх конкретного числового значення, у вигляді буквених формул. Сформувавши це поняття, діти набувають уміння висловлювати ціле через частини та частини через ціле:


І, де
гуртками позначено ціле, а трикутником - частини. Графічною моделлю цього відношення можуть служити різні геометричні фігури (коло, прямокутник, трикутник тощо), але найбільш зручним і простим способом зображення цього відношення є відрізок.


Розглядається і буквено-графічна модель:



всім добре знайомі "промінчики", що використовуються традиційною школою для зображення складу числа.

А = В + С

Введення знаків для позначення цілого і частин дає дитині можливість відносність цих понять. По-перше, діти повинні зрозуміти, що поки над величиною не виробляєш ніякої дії - не можна встановити, чи є вона (величина) частиною або цілим, тобто одна й та сама величина може бути частиною по відношенню до однієї величиною і вона ж є цілим по відношенню до іншої.
Наприклад:
Тепер величину У розіб'ємо ще на 2 частини К і Д, по відношенню до яких В - ціле.

= + +

Величина У по відношенню до А є частиною, а по відношенню до величин К і Д є цілим. Накладення знаків і, один на одного дозволяє краще побачити відносність цього поняття.
Отже, поняття "ціле" і "частина" - це відносні поняття; основна властивість цього відношення: ціле не може бути менше частини, або частина не може бути більше цілого. Порівнювати частини між цілим і іншими частинами.
Уміння зображати графічно і описувати за допомогою формул відношення частин і цілого дасть можливість вирішувати цілий клас текстових завдань з літерними даними шляхом складання рівнянь. Вирішивши таким чином завдання, дитина замість літер підбирає відповідні числа і тим самим усвідомлює, яка область допустимих значень букв не тільки по відношенню до здійсненності арифметичної дії, але і по відношенню до реальності сюжету і до власного досвіду оперування з числом. Такий підхід дозволяє вчителю виявити "слабкі" місця у дітей і негайно приступити до корекції.
Якщо ж завдання запропонована з числовими даними, то перш ніж її вирішувати, необхідно "відновити", якою вона могла бути до того, як замість літер діти з іншого класу (або автор підручника) підібрали (придумали), як їм здається, що підходять числа. Це означає, що, перш ніж приступити до вирішення завдання, потрібно встановити, говорячи мовою математики, чи входять числові дані в область допустимих значень по відношенню до реальності сюжету. Іншими словами, діти повинні оцінити, чи відповідають дані числа змістом завдання, з сюжетом, а потім замінити числа літерами і, вирішивши завдання, замість літер дані числа. Відновлення вихідної (буквеної форми завдання) текстовій завдання ставить перед дітьми нову проблему: заміняти однакові числа однаковими буквами або різними? Відповідь на таке питання з неминучістю зажадає більш глибокого осмислення тексту завдання і тих понять, які складають її зміст.
За допомогою завдань у розділі "Перевір себе!" Ви зможете скласти спочатку перевірочну роботу, а потім і контрольну (контрольна робота з даної теми підводиться не відразу по завершенні її вивчення, а після розгляду наступної!)

2.6. Що таке рівняння?

Система РВ.
Опис методики роботи над побудовою і рішенням рівнянь розглянемо з розгляду різних визначень рівняння.
У шкільній енциклопедії рівняння визначено як "два вирази, з'єднані знаком рівності; в ці вирази містять одну або кілька змінних, званих невідомим. Розв'язати рівняння - означає знайти всі ті значення невідомих (коріння або рішення рівняння), при яких воно звертається в правильне рівність або встановити, що таких значень немає ". Там же дано визначення рівняння як "аналітичної запису задачі про розшуку значень аргументів, при яких значення двох функцій рівні".
Зрозуміло, що під аналітичної записом і розуміється запис рівності, ліва або права частини якого містять невідому (невідомі) літеру (або число). Саме буквене вираз визначає функцію від вхідних у нього букв, задану на допустимих числових значеннях.
Введення запису задачі (про знаходження невідомої величини) за допомогою рівняння починається з конкретного завдання. Способи складання і рішення рівнянь спираються на ставлення цілого і його частин, а не на 6 правил знаходження невідомих при додаванні, відніманні, множенні, розподілі.
Для того, щоб знайти спосіб вирішення рівняння, досить визначити спочатку за схемою, а пізніше і відразу за формулою, чим є невідома величина: частиною або цілим. Якщо відома величина є цілим, то для її знаходження потрібно скласти, а якщо вона частина, то з цілого потрібно відняти відомі частини. Таким чином, дитині не потрібно запам'ятовувати правила знаходження невідомого доданка, зменшуваного і від'ємника.
Успішність дитини, її навик при вирішенні рівнянь будуть залежати від того, чи може дитина переходити від опису відносини між величинами за допомогою схеми до опису за допомогою формули і навпаки. Саме цей перехід від рівняння як одного з виду формул до схеми і визначення за допомогою схеми характеру (частина чи ціле) невідомої величини є тими основними вміннями, які дають можливість вирішувати будь-які рівняння, що містять дії додавання і віднімання. Іншими словами, діти повинні зрозуміти, що для правильного вибору способу розв'язання рівняння, а значить, і завдання потрібно вміти бачити ставлення цілого і частин у чому й допоможе схема. Схема тут виступає як засіб рішення рівняння, а рівняння, у свою чергу, як засіб вирішення завдання. Тому більшість завдань орієнтоване на складання рівнянь за заданою схемою та на вирішення текстових завдань шляхом складання схеми і з її допомогою складання рівняння, що дозволяє знайти рішення задачі.

Традиційна школа.
Вивчення рівнянь в початкових класах традиційної школи відбувається в кілька етапів. Програмою традиційної школи передбачено знайомство дітей з рівняннями першого ступеня з однієї невідомої. Велике значення в плані підготовки до введення рівнянь мають вправи на підбір пропущеного числа в равенствах, деформованих прикладах, виду 4 + € = 5, 4 - € = 2, € -7 = 3, і т.п. в процесі виконання таких вправ діти звикають до думки, що невідомим може бути не тільки сума або різниця, а й одне з доданків (зменшуване або від'ємник). До 2 класу невідоме число позначається, як правило, так: €,?, *. Тепер же для позначення невідомого числа використовують букви латинського алфавіту. Рівність виду 4 + х = 5 називають рівнянням. Рівність, де є буква, називають рівнянням.
На першому етапі рівняння вирішують на основі складу числа. Учитель знайомить з поняттям невідомого, поняттям рівняння, показує різні форми читання, вчить записувати рівняння за диктовку, розбирає поняття "вирішити рівняння", "що називається коренем", "що є рішення рівняння", вчить перевіряти вирішені рівняння.
На другому етапі рішення рівнянь відбувається з використанням залежності між компонентами. У цьому випадку при знаходженні невідомого числа можна користуватися прийомом заміни даного рівняння рівноцінним рівнянням. Опорою переходу може бути граф. Наведу приклади рівнянь і заміни їх рівнозначними рівняннями з опорою на графи.

× 4 х 16 : 4

х × 4 = 16
х = 16: 4
х = 4
4 × 4 = 16

: 5 х 7 × 5

х: 5 = 7
х = 7 × 5
х = 35
35: 5 = 7
Після того як учні навчаться вирішувати найпростіші рівняння, включаються складніші рівняння видів: 48 - х = 16 + 9, а - (60 - 14) = 27, 51 - (х + 15) = 20, рішення яких виконується також на основі взаємозв'язку між результатами і компонентами арифметичних дій, ведеться підготовка до вирішення завдань способом складання рівнянь. Для вирішення таких рівнянь необхідні знання порядку дій у виразі, а також вміння виконувати найпростіші перетворення виразів. Рівняння зазначених видів вводяться поступово. Спочатку найпростіші рівняння ускладнюються тим, що їх права частина задається не числом, а вираженням. Далі включаються рівняння, в яких відомий компонент заданий виразом. Корисно вчити читати ці рівняння з назвою компонентів. Нарешті, приступають до вирішення таких рівнянь, де один з компонентів є виразом, що включає невідоме число, наприклад: 60 - (х + 7) = 25, (12 - х) + 10 = 18.
При вирішенні рівнянь такого виду доводиться використовувати двічі правила знаходження невідомих компонентів. Розглянемо.
Навчання рішенню таких рівнянь вимагає тривалих вправ в аналізі виразів і доброго знання правил знаходження невідомих компонентів. На перших порах корисні вправи в поясненні вирішених рівнянь. Крім того, слід частіше вирішувати такі рівняння з попереднім з'ясуванням, що невідомо і які правила треба згадати, щоб вирішити дане рівняння. Така робота попереджає помилки і сприяє оволодінню умінням вирішувати рівняння.
Особливу увагу слід приділяти перевірці рішення рівняння. Учні повинні чітко знати, засвоїти послідовність і зміст дій, які виконуються при перевірці: знайдене число підставляють замість букви в слові, потім обчислюють значення цього виразу і, нарешті, порівнюють його із заданим значенням або з обчисленими значенням висловлювання, що стоїть в іншій частині рівняння. Якщо виходять рівні числа, значить, рівняння вирішено вірно.
Діти можуть виконувати перевірку усно або письмово, але при цьому завжди повинні бути чітко виділені основні її ланки: підставляємо ..., обчислюємо ..., порівнюємо ...

2.7. Методика навчання рішенню текстових задач

Традиційна школа.
Рівняння використовуються для вирішення завдань. Існує правило складання рівняння:
З'ясовується, що відомо, що невідомо.
Позначення невідомого за х.
Складання рівняння.
Рішення рівняння.
Отримане число тлумачиться за вимогою завдання.
Необхідною вимогою для формування вміння розв'язувати задачі за допомогою рівнянь є вміння складати висловлювання за їхніми умовами. Тому вводиться запис вирішення завдань у вигляді виразу. Учні вправляються у поясненні сенсу виразів, складених за умовами задачі; самі складають висловлювання по заданій умові завдання, а також становлять завдання щодо їх вирішення, записаному у вигляді виразів.
Одним із найважчих моментів є запис задачі у вигляді рівняння, тому спочатку при складанні рівняння широко використовуються засоби наочності: малюнки, схеми, креслення.
Для формування в учнів уміння вирішувати завдання алгебраїчним способом необхідно, щоб вони могли вирішувати рівняння, складати висловлювання по завданню і усвідомлювати сутність процесу "зрівнювання нерівностей", тобто перетворення нерівності в рівняння. Вже на перших уроках діти, порівнюючи дві множини, встановлюють, в якому з них міститься більше елементів і що потрібно зробити, щоб в обох множинах було однакове їх кількість.
Разом з тим можливості використання алгебраїчного методу розв'язання текстових задач у початкових класах традиційної школи обмежені, тому арифметичний спосіб залишається в традиційній школі основним.
Система РВ.
Спочатку вчитель читає завдання для загального ознайомлення, а потім знов переходить до читання, але "по частинах". Учитель (і тільки вчитель!) Читає таку частину тексту, яка дозволяє дитині намалювати елемент майбутньої схеми, потім наступні частина - і знову діти зображують частина схеми, і т.д. Накресливши схему, діти повинні замінити буквою (х, y, z) невідому величину, після чого приступати до аналізу відносин між відомими і невідомими величинами.
Схема, яку діти складуть до даної задачі, фактично є моделлю (зверніть увагу на те, що на схемі завжди відсутня найменування), тому що з її допомогою може бути вирішена не тільки це завдання, а цілий клас приватних задач. Моделювання (з допомогою спочатку схем, а потім буквених формул) як навчальний дію служить засобом виділення відносин при аналізі умов конкретних завдань, а сама графічна або (і) беквенно-знакова модель є засобом фіксації виділених відносин (див. додатку).
Отже, процес вирішення текстовій завдання з літерними даними протягом перших трьох років ми будемо здійснювати у сім етапів.
I етап - це переклад умови задачі у графічну модель, тобто в схему. До речі, схема, на відміну від креслення, не вимагає, по-перше, спеціальних креслярських інструментів, і, по-друге, точного дотримання заданих відносин. Схема може виконуватися від руки, зазначати і відображати задані відносини;
II етап - це перетворення однієї графічної моделі в іншу. Цей етап може бути пропущений, якщо необхідності в перетворенні немає спочатку, або вона відпала у зв'язку зі згорнутими дії;
III етап - складання буквено-знакової моделі (формули), тобто складання рівняння.
Коли дитина переходить від схеми до складання рівняння, то бувають, при правильно побудованій схемі, помилки в описі відносин (заданих через схему) в знаковій формі, тобто з допомогою рівняння. Щоб попередити ці помилки, потрібно використовувати ті значки, які ми використовували, коли працювали над переходом від тексту до схеми, від схеми до перетвореної схемою і від неї до знаковій формі. Це були допоміжні значки - "доріжки".
Наприклад:
"У три магазину привезли а кг. печива, в другій - на в кг більше, ніж у перший, а в третій - на с кг менше, ніж у другій. Скільки кг печива привезли в кожен магазин? "
Будуємо ступеневу схему, потім позначаємо першу величину буквою х (так зручніше)

а

х
х в

	?

х в
? з

а

Якщо ми зразу переходимо від східчастої схеми до опису у вигляді формули, то діти часто втрачають елементи схеми, компоненти дій. Це найпоширеніша помилка. Щоб усунути помилки такого характеру. Щоб навчити дитину бачити кожну частину входить в цей ціле, ми вводимо етап перетворення схеми (II етап). Ми перетворюємо ступінчасту схему в схему лінійну. Щоб нічого не втратити, введемо "доріжку" від елемента схеми до розгортці.

?

х
х в

	?

х в
? з
а
з
х х у х у
За допомогою "доріжок" дитина стежить, щоб кожен елемент ступінчастою схеми входив в загальну лінійну схему, в загальну величину. Поступово ці "доріжки" йдуть, стають не потрібні, тому що дитина бачить всі частини складові цілу величину. При переході від лінійної системи до складання рівняння знову могла статися втрата. Щоб перевіряти самих себе, ми "доріжками" показуємо кожен елемент рівності:
а
з
х х у х у
3х + 2в - з = а
Якщо діти навчилися бачити, з чого складається лінійна схема, то перетворювати ступінчасту схему в лінійну не потрібно. Якщо дитина навчився діяти, то ніякі доріжки йому не потрібні. Але якщо ви повертаєтеся до аналізу того, які помилки можуть бути і як їх виявити, то тоді ті значки, які були на етапі навчання дитини, дитина використовує знову для самоконтролю і для самоперевірки.
Завдання полягає в тому, щоб сформувати у дитини дію самоконтролю.
Як буде виглядати наша картинка
якщо не сформовано: якщо сформовано
виконую перевіряю виконую перевіряю


IV етап - рішення складеного рівняння. Етап може збігтися з попереднім, якщо дитина записує рівняння відразу у формі рішення: х = вираз;
V етап - це підбір замість літер відповідних чисел. Відповідних з трьох точок зору:
сюжет завдання;
здійсненності арифметичної дії;
вміння успішно оперувати з підібраними числами.
Іншими словами, мова йде про область допустимих значень по відношенню до сюжету і т.д.
VI етап - виконання необхідних обчислень, що вимагають послідовного виконання арифметичних дій з числами.
VII етап - повернення до умови задачі для отримання відповіді на питання її, тому що не завжди величина, яку позначили літерою х і щодо якої складається і вирішується рівняння, може збігатися з величиною, яку треба знайти для відповіді на питання завдання. Розв'язавши рівняння, необхідно його перевірити, отриманий чи відповідь на питання завдання.
Отже, виділено сім етапів, хоча основними є чотири: побудова схеми, складання і рішення рівняння і обчислення числового значення.

2.8. Діагностика та контроль у системі РВ

Нами були проведені експериментальні дослідження, які проводилися у 2-му класі РВ та 2-му класі традиційного навчання.
Основне завдання полягало в тому, щоб проаналізувати якість засвоєння математичних знань.
Дітям були дані три завдання з теми "Рішення рівнянь" (див. додаток 4), а також три текстові завдання (див. Приложение5).
Аналіз результатів свідчать про те, що навчальна діяльність у системі РВ сприяє інтенсивному розвитку теоретичного мислення. У дітей експериментальних класів підвищився рівень загального розвитку, а також значною мірою збільшилася якість навченості. У результаті навчальної діяльності школярі здобувають нові знання, рухаються вперед у своєму розвитку.

Висновок

Про методику проведення уроків, прийоми з способи РВ можна говорити багато, але ось кілька висловлювань батьків:
"Нас вражає здатність Ірини вирішувати складні проблеми простим способом, нехай і по-своєму, але завжди правильно".
"У слави про все є своя думка, яку він завжди відстоює".
"Мені подобається, що син при вирішенні будь-якої проблемної ситуації аналізує можливі варіанти" і т.д.
Становлення людини здійснюється у початковій школі.
Головна мета вчителя - навчити дітей вчитися - в класах РВ досягається на виході в середню ланку. Тому школярі можуть вчитися в будь-якій школі і в будь-якому класі. Поруч з ними змінюється сам учитель. А це добре, якщо вчитель нарешті замислиться над тим, з яким запасом знань він прийде до дітей, чи буде він цікавий їм як людина.
Хочеться дати поради вчителям і батькам:
Умій мріяти, не ставши рабом мрій,
І мислити, думки не обожнив,
Так само зустрічай успіх і наругу,
Не забуваючи, що їх голос брехливий.
Май примусити серце, нерви, тіло
Тобі служити, коли в твоїх грудях
Всі порожньо, все у ж згоріло,
І тільки говорить - іди.
Р. Кіплінг
Намагайтеся знайти в дитині те, за що його можна похвалити, а не те, за що посварити.
Знайте, що дитині тоді цікаво з вами, коли вам цікаво з ним.
Давайте можливість кожній дитині зробити своє маленьке відкриття.
Якщо дитині важко, то знайдіть для нього таке завдання, яке йому під силу.
Не нав'язуйте дитині своїх форм роботи, він повинен вибрати їх сам.
Чим вище рівень емоційного комфорту, тим більше шансів на успіх у навчанні.
Замість відміток - головної причини шкільних бід (вони акцентують більшою мірою провали у навчанні, ніж успіх) - користуйтеся рекомендованою системою оцінок у РО.
Пам'ятайте, що помилка одного може породити думку іншого. Не лякайтеся дитячих помилок.
Не бійтеся зробити вигляд, що ви щось не розумієте, цьому завжди можна і потрібно знайти розумне обгрунтування.
Не бійтеся зізнатися в тому, чого самі не знаєте.
Не намагайтеся пояснити дитині те, до чого він може додуматися сам.
Вступайте в діалог з дітьми тільки в тому випадку, якщо у вас є розумні аргументи "за" чи "проти" висловлювань дітей.
Не вимагайте від дитини словесних формулювань і узагальнень до того, як він виконає предметна дія або якесь завдання.
Знайте, що підручники носять рефлексивний характер: діти разом з дорослими конструюють їх зміст. Дитина працює не з картинками з підручників, а з реальними предметами (фігурами), зображеними в ньому.
Пам'ятайте, що невдачі в житті мають дві причини - брак любові і занижена самооцінка, а значить, дитина особливо потребує в почутті власної гідності. Просто любите дітей і не бійтеся їм показати це.
Володій собою серед натовпу смятенной,
Вір сам у себе наперекір всесвіту
І маловірні відпусти їм гріх.
Нехай годину не пробив, чекай не втомлюючись,
Нехай брешуть жерці, не зглянулися до них,
Умій прощати і не здайся, прощаючи,
Великодушний і мудріше інших. (Р. Кіплінг)

Література

1. Виготський Л.С. Педагогічна психологія / За ред. В.В. Давидова. М.: Педагогіка, 1991
2. Воронцов А.Б. Практика розвивального навчання за системою Д. Б. Ельконіна - В.В. Давидова. М: ЦПФО "Розвиток особистості", 1998
3. Давидов В.В. Види навчання. М.: Інтор, 1996
4. Давидов В.В. Проблеми навчання. М.: Педагогіка, 1997
5. Давидов В.В. Теорія розвивального навчання. М.: Інтор, 1999
6. Давидов В.В. Навчальна діяльність та розвивальне навчання / / Давидов В.В. Останні виступи. ПЦ "Експеримент", 1998
7. Основи загальної психології. М., 1991
8. Дусавицьким А.К. Розвиток особистості в навчальній діяльності. М.: Будинок педагогіки, 1996
9. Російська педагогічна енциклопедія: у 2-х т. / Гол. ред. В.В. Давидов. М.: Велика Російська енциклопедія, 1993, 1998
10. Цукерман Г.А. Види спілкування в навчанні. Томськ: Пеленг, 1993
11. Чуприкова Н.А. Розумовий розвиток і навчання: психологічні основи навчання. М.: АТ "Сторіччя", 1995
12. Інформаційно-методичний журнал "Фенікс". - 1997 - № 6, - 1995 - № 3 - (міжрегіональний вісник розвитку особистості)
13. Ерднієв П.М. Навчання математики в початкових класах.
14. А.А. Столяр. Методика початкового навчання математики.
15. Давивидов В.В., Горбов С.Ф., Мікуліна Г.Г. "Навчання математики". М.: МИРОС, 1999
16. Александрова Е.І. "Методика навчання математики в початковій школі". М.: Віта-Пресс, 1999
17. Александрова Е.І. Математика. М.: "Будинок педагогіки", 2000
18. Александрова Е.І. Навчальні зошита з математики. М.: "Будинок педагогіки", 2000
19. Александрова Е.І. Розвиваючі прописи. М.: "Будинок педагогіки", 2000
20. Давивидов В.В., Горбов С.Ф., Мікуліна Г.Г. Математика. М.: "Будинок педагогіки", 2000
21. Мікуліна Г.Г. Вчимося розуміти математику. М.: "Будинок педагогіки" 2000
22. Захаров А. М., Фещенко Т.І. Математика. М.: "Будинок педагогіки" 2000
23. Пачатковая школа 2001 - № 6, 11