Перехідні процеси в коливальних контурах

Академія Росії
Кафедра Фізики
Лекція
Перехідні процеси в коливальних контурах

 

 

 

Орел 2009

Зміст
Вступ
Перехідні коливання в паралельному контурі
Вільні коливання в паралельному контурі
Режими перехідних коливань в коливальних контурах
Перехідні коливання при гармонійному впливі
Література

Вступ
Коливальні контури складають значну частину апаратури зв'язку. Вони можуть виконувати самі різні функції: наприклад, брати участь у виділенні гармонійних коливань з послідовності відеоімпульсів, у формуванні прямокутних імпульсів заданої тривалості та ін На практиці досить поширений випадок, коли на контур діє прямокутний імпульс (рис. 1).

Рис. 1

Якщо припустити , То неважко бачити, що при в контурі буде спостерігатися режим перехідних коливань, а з моменту - Вільні коливання за рахунок запасеної реактивними елементами енергії. Розглянемо обидва ці випадку на прикладі паралельного контуру.

Перехідні коливання в паралельному контурі
Нехай на паралельний контур, який знаходиться при Нну, в момент діє перепад струму величиною . Потрібно визначити реакцію - тимчасову залежність напруги на контурі (рис. 2а).

а) б)
Рис. 2
Для знаходження скористаємося операторної схемою заміщення, показаної на рис. 2, б. Знайдемо :

де - Є коефіцієнт загасання;
- Частота власних незатухаючих коливань.
Скористаємося таблицею відповідностей (Л.0.1, стор 222):
,
де - Частота власних затухаючих коливань.
Графік має вигляд:

Рис. 3
Вільні коливання в паралельному контурі
Нехай в момент у схемі, показаної на малюнку 4а гаситься джерело струму . Потрібно визначити тимчасову залежність напруги на контурі.
Примітка: Така задача виникає після закінчення дії прямокутного імпульсу (рис. 1) на контур.

а) б) в)
Рис. 4
Для визначення початкових умов зобразимо еквівалентну схему (рис. 4б) для моменту часу, що безпосередньо передує комутації. При цьому для постійного струму індуктивність представляється коротким замиканням, а місткість - обривом ланцюга. Легко бачити, що до моменту гасіння весь струм джерела буде проходити через індуктивність. Тому , .
У операторної схемою (рис. 4б) індуктивність відображена схемою заміщення з джерелом струму. Знаходження тут відрізняється від попереднього випадку (рис. 2б) лише напрямом операторного джерела струму. Отже, можна записати:
.
Графік даної залежності буде дзеркальним відображенням залежності (*), одержаної для перехідного процесу (рис. 5).

Рис. 5
Можна показати, що аналогічні результати виходять при аналізі перехідних і вільних коливань у послідовному контурі.
Відзначимо дві особливості отриманих виразів:
- По-перше, коливання носять гармонійний характер, на що вказує множник гармонійної функції ;
- По-друге, амплітуда отриманих коливань змінюється в часі за експоненціальним законом .
Очевидно, що вид графіків знайдених функцій буде залежати від величини коефіцієнта загасання та його співвідношення з оскільки останнім визначається величина .
Тому залежно від і розрізняють кілька режимів коливань. Розглянемо їх детальніше стосовно до паралельного контуру.
Режими перехідних коливань в коливальних контурах
Раніше було отримано вираз для напруги на контурі при ступінчастому впливі:
,
де .
Для зручності викладу наступного матеріалу висловимо коефіцієнт затухання та частоту , Через добротність:
.
У залежності від величини (Або добротності ) Будемо розрізняти чотири режими коливань: коливальний, квазіколебательний, критичний і аперіодичний.
а) Коливальний режим.
Цей режим виходить в контурі без втрат (ідеальний контур), тобто в суто теоретичному разі: .
Вираз приймає вигляд:
.
Графік отриманого виразу показаний на малюнку 6.

Рис. 6
б) Квазіколебательний режим.
Режим, який використовується у переважній більшості випадків.
Він виходить при .
Для побудови графіка (рис. 7) використовуємо вираз:
,
де - Амплітуда напруги, яка зменшується за експоненціальним законом.

Рис. 7
Тривалість перехідних коливань може бути знайдена з умови, що амплітуда напруги буде менше 5% від свого максимального значення, тобто:
, Звідки .
Звідси можна зробити висновок, що чим вище добротність контуру (Або чим менше смуга пропускання ), Тим тривалішим буде перехідний процес.
Частота затухаючих коливань , Однак ця відмінність незначно. Дійсно при середній добротності ( ), Наприклад , Маємо: .
в) Критичний режим.
Він виникає, коли .
У цьому випадку і виходить невизначеність .
Розкриємо її:
.
Вираз для приймає вигляд:
.
Графік цієї функції починається і закінчується нулем, не перетинає вісь часу. Досліджуємо його на екстремум:
.
Екстремальні точки знайдемо з умови:
,
при цьому:
.
Графік напруги в розглянутому режимі зображений на рисунку 8.

Рис. 8
г) аперіодичний режим.
Такий режим виходить при ( ), Звідки випливає, що буде комплексною і не має фізичного сенсу. Графік напруги при цьому буде менш вираженим, ніж при критичному режимі (пунктир на малюнку 8).
Висновок: змінюючи добротність контуру (наприклад, за допомогою шунтуючого опору) можна змінювати тривалість і вид коливального процесу.
Завдання: Самостійно накреслити графік квазіколебательного процесу при впливі на контур прямокутного імпульсу.
Перехідні коливання в паралельному контурі при гармонійному впливі
Нехай на паралельний контур з резонансною частотою (Рис. 9, а) знаходиться при нульових початкових умовах, в момент діє гармонійне коливання, частота якого збігається з :
.
Потрібно визначити закон зміни напруги на контурі.
Задачу вирішимо в операторної формі, для чого перейдемо до схеми заміщення, показаної на малюнку 9, б.

а) б)
Рис. 9
По таблиці відповідностей вплив має зображення:
.
Визначимо операторну провідність контуру:
,
де і визначені раніше.
За законом Ома у операторної формі маємо:
.
Оскільки в таблиці відповідностей немає потрібної формули для переходу в тимчасову область, то даний вираз слід перетворити.
Для цього скористаємося теоремою розкладання і методом невизначених коефіцієнтів. Уявімо правильну дріб 4-го порядку у вигляді суми двох правильних дробів 2-го порядку:
,
де , , , - Коефіцієнти, що підлягають визначенню.
Якщо даний вираз звести до спільного знаменника, розкрити дужки в чисельнику і прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях , То отримаємо систему 4-х рівнянь з 4-ма невідомими.
Вирішуючи систему рівнянь маємо: ; ; .
Тепер отриманий вираз можна записати у вигляді:

і використовувати таблицю відповідностей.
По таблиці відповідностей знаходимо оригінал:
.
Припускаючи, що контур має добротність, при якій , і, нехтуючи твором як дуже малою величиною, отримаємо:
.
З формули випливає, що процес встановлення гармонійної напруги в контурі до амплітудного значення відбувається не миттєво, а за кінцевий час, обумовлений множником .
Якщо процес встановлення коливань в контурі вважати закінченим при досягненні напругою величини більше 95% від максимальної, то можна визначити :
; .
Видно, що час встановлення залежить від добротності контуру: чим вище добротність, тим довше відбуваються в контурі перехідні процеси. На малюнку 10 показані графіки перехідних коливань при різних добротність контуру.

Рис. 10

У радіотехнічних пристроях (наприклад, у радіоприймачах) на паралельний контур зазвичай діють гармонійні коливання у вигляді радіоімпульсів з прямокутною огинаючої.
При цьому щоб напруга на контурі досягла свого максимального значення, необхідно виконувати умову: .
Звідси, знаючи тривалість радіоімпульсів, можна розрахувати мінімальну смугу пропускання контуру:
, Або його добротність: .

Література

Білецький А. Ф. Теорія лінійних електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1986,
Шалашов Г. В. Перехідні процеси в електричних ланцюгах. - Орел: 1981