Приклад рішення задачі по розділу Перехідні процеси

Завдання. Дана електричний ланцюг, у якій відбувається комутація (Мал. 1). У ланцюзі діє постійна ЕРС Е. Потрібно визначити закон зміни в часі струмів і напруг після комутації в гілках схеми.

Завдання слід вирішити двома методами: класичним і операторних. На підставі отриманого аналітичного виразу побудувати графік зміни шуканої величини у функції часу в інтервалі від t = 0 до t =, де - Менший за модулем корінь характеристичного рівняння.

Параметри ланцюга: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.

Рішення.

Класичний метод.

Рішення завдання виходить у вигляді суми примусового та вільного параметри:

i (t) = Іпр (t) + iсв (t); u (t) = Uпр (t) + Uсв (t), (1)

де, а .

1. Знаходимо струми і напруги докоммутаціонного режиму для моменту часу t = (0 -). Так як опір індуктивності постійному струму дорівнює нулю, а ємності - нескінченності, то розрахункова схема буде виглядати так, як це зображено на рис. 2. Індуктивність закорочена, гілка з ємністю виключена. Так як у схемі тільки одна гілка, то струм i1 (0 -) дорівнює струму i3 (0 -), струм i2 (0 -) дорівнює нулю, і в схемі всього один контур.

Складаємо рівняння за другим законом Кірхгофа для цього контуру:

,

звідки

= 4 А.

Напруга на ємності дорівнює нулю [uC (0 -) = 0].

2. Визначимо струми і напруги безпосередньо після комутації для моменту часу t = 0 +. Розрахункова схема наведена на рис. 3. За першим законом комутації iL (0 -) = iL (0 +), тобто струм i3 (0 +) = 4 А. За другим законом комутації uC (0 -) = uC (0 +) = 0.

Для контуру, утвореного ЕРС Е, опором R2 і ємністю С, згідно другого закону Кірхгофа маємо:

або

;

i1 (0 +) = i2 (0 +) + i3 (0 +) = 14 А.

Напруга на опорі R2 одно Е - uC (0 +) = 100 В, напруга на індуктивності дорівнює напрузі на ємності.

3. Розраховуємо примушені складові струмів і напруг для. Як і для докоммутаціонного режиму індуктивність закорачивается, гілка з ємністю виключається. Схема наведена на рис. 4. і аналогічна схемі для розрахунку параметрів докоммутаціоного режиму.

= 10 А;

= 100 В;;

4. Визначаємо вільні складові струмів і напруг для моменту часу t = 0 +, виходячи з виразів i (0 +) = Іпр (0 +) + iсв (0 +) і u (0 +) = Uпр (0 +) + Uсв (0 +).

iсв1 (0 +) = 4 А; iсв2 (0 +) = 10 А; iсв3 (0 +) = -6 А; uсвL (0 +) = uсвС (0 +) = 0;.

5. Визначаємо похідні вільних струмів і напруг у момент часу безпосередньо після комутації (t = 0 +), для чого складемо систему рівнянь, використовуючи закони Кірхгофа для схеми, зображеної на рис. 3, поклавши Е = 0.

;

(2)

Похідну струму через індуктивність можна знайти, використовуючи вираз:, а похідну напруги на ємності - з рівняння. Тобто

і ,

звідки

; (3)

Підставляючи (3) в (2), після рішення отримуємо:

; ;;

Всі отримані результати заносимо в таблицю.

6. Складаємо характеристичне рівняння. Для цього виключимо в послекоммутаціонной схемою джерело ЕРС, розірвемо будь-яку гілку і щодо розриву запишемо вхідний опір для синусоїдального струму. Наприклад, розірвемо гілка з опором R2:

.

Замінимо jw на р і прирівняємо отримане рівняння нулю. Отримаємо:

або

R2CLp2 + pL + R2 = 0.

Звідки знаходимо коріння р1 і р2.

р1 = -1127, р2 = -8873.

7. Визначимо постійні інтегрування А1 і А2. Для чого складемо систему рівнянь:

;

або

;

Наприклад, визначимо постійні інтегрування для струму i1 і напруги uL. Для струму i1 рівняння запишуться у наступному вигляді:

4 = А1i + А2i;

.

Після рішення: А1i = -8,328 А, А2i = 12,328 А.

для напруги uL:

;

.

Після рішення: = 129,1 В, = -129,1 В.

8. Струм i1 згідно зі (1) змінюється в часі за законом:

i1 (t) = 10 - 8,328 е-1127t + 12,328 e-8873t,

а напруга uL:

uL (t) = 129,1 e-1127t - 129,1 e-8873t.