Перехідні і вільні коливання

Академія Росії
Кафедра Фізики
Перехідні та ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ У колах З ОДНИМ реактивних елементів ПРИ поетапне вплив

 

 

 

 

 

 

Орел 2009

Зміст
Вступ
Перехідні коливання в ланцюзі з ємністю
Перехідні коливання в ланцюзі з індуктивністю
Методика знаходження реакцій
Вільні коливання в електричному ланцюзі

Бібліографічний список

ВСТУП
У даній лекції буде показаний принцип застосування операторного методу для аналізу перехідних коливань в електричних ланцюгах, що містять один реактивний елемент і резистори.
Будемо вважати, що на електричну ланцюг, що містить один реактивний елемент і резистори, в момент діє поетапне вплив у вигляді перепаду постійного струму або постійної напруги, умовне позначення яких показано на малюнку 1. Ланцюг знаходиться при нульових початкових умовах (НУ).

Рис. 1
У результаті вивчення матеріалу курсанти повинні вміти знаходити математичний вираз і будувати графік будь-якої реакції на поетапне вплив в ланцюгах, що містять один реактивний елемент і один або кілька резисторів.
Перехідні коливання в ланцюзі з ємністю
Розглянемо вплив перепаду напруги на послідовну RC-ланцюг. Нехай на послідовну RC-ланцюг, що знаходиться при нульових НУ в момент впливає перепад напруги (Рис. 2).

Рис. 2
Знайдемо закони зміни струму в ланцюзі і напруг на її елементах і .
На підставі 2 закону комутації: .
Для аналізу перехідного процесу використовуємо операторний метод, для чого перейдемо до операторної схемою заміщення RC-ланцюга (рис. 3)

Рис. 3
Зображення струму в ланцюзі визначається за законом Ома у операторної формі:
.
По таблиці відповідностей знайдемо оригінал:
,
де є постійна часу ланцюга.
Постійна часу τ - проміжок часу, протягом якого напруга (струм), убуваючи за експоненціальним законом, зменшується в е раз по відношенню до значення напруги (струму) на початку аналізованого проміжку часу. Вона залежить від параметрів ланцюга і впливає на крутість експоненти.
Напруга на резисторі визначається за законом Ома для оригіналу:
.
Закон зміни напруги на ємності найпростіше знайти за другим законом Кірхгофа для оригіналів:
.
Відзначимо, що при , , Тобто в момент перепаду напруги конденсатор є КЗ.
Графіки даних функцій описуються експоненціальним законом і відрізняються лише початковим значенням реакцій. Їх можна побудувати, склавши таблицю значень для і для :

	0
	1	0,368	0,135	0,05	0,01	<0,01
	0	0,632	0,865	0,95	0,99	> 0,99

На малюнку 4 показані графіки і і їх деформація при зміні ланцюга.

Рис. 4
Постійну часу ланцюга τ можна визначити за наступним відношенню величин, взятих з графіка (рис. 4).
.
Постійна часу τ залежить від параметрів ланцюга (R і С) і впливає на крутість експоненти (рис. 4):
- При зменшенні τ експонента проходить крутіше і процес перехідних коливань прискорюється;
- При збільшенні τ, навпаки, експонента проходить положення і процес перехідних коливань сповільнюється.
З графіка видно, що теоретично перехідні коливання в RC-ланцюга тривають нескінченно довго: f (t) → 0 (Е) при t → ∞.
Якщо розглянути проміжок часу t = 3 τ, то виявиться, що значення вихідної функції зменшується до 0,05 (збільшується до 0,95) від початкового значення, а при t = 4,6 τ значення функції буде складати всього 0,01 (0 , 99) від початкового. Прийнято вважати проміжок часу від t = 0 до t = (3 4,6) τ тривалістю процесу перехідних коливань або часом встановлення.
Таким чином, t _УСТ = (3 4,6) τ.
Примітка: постійна часу складної ланцюга визначається за тією ж формулою τ = RC, де R = R _ЕКВ - еквівалентний опір, підключений до елемента ємності після вчинення комутації, тобто при t = +0. Це опір знаходиться, як у звичайній резистивної ланцюга.
Відповідна операторна схема показана на малюнку 6.

Рис. 6
Скористаємося методом контурних струмів:
;
;
.
Далі знаходимо інші реакції по першому закону Кірхгофа:
.
Графіки цих реакцій, при , Будуть мати вигляд (рис. 7):

Рис. 7
Напруження на резисторах легко визначаються шляхом множення струмів і на відповідні опору, а напруга на ємності можна знайти за другим законом Кірхгофа:
.
Графік цієї функції має такий же вигляд, як і на малюнку 4.
Висновки:
1. Тимчасові залежності всіх реакцій визначаються експоненційної функцією.
2. Перехідні процеси теоретично тривають нескінченно довго, проте на практиці їх вважають закінченими за час , Яке називають часом встановлення. Змінюючи постійну часу ланцюга можна змінювати тривалість перехідного процесу.
3. З фізичної точки зору всі графіки пояснюються процесом заряду ємності при східчастому вплив.
Перехідні коливання в ланцюзі з індуктивністю
Аналіз перехідних коливань в ланцюзі з індуктивністю при дії перепаду напруги виконується аналогічно розглянутому вище. Знайдемо реакції в послідовному ланцюзі , Показаної на малюнку 8.

Рис. 8

,
де - Постійна часу ланцюга .
Відзначимо, що при - , А , Тобто при перепаді напруги індуктивність еквівалентна обриву ланцюга, а при еквівалентна КЗ.
Графіки часової залежності напружень наведені на рисунку 9.

Рис. 9
Змінюючи величину , Можна регулювати тривалість перехідного процесу.
Аналогічно можна розглянути перехідні процеси в паралельній -Ланцюга при впливі на неї перепаду струму і зобразити графіки часової залежності струмів в гілках , і напруги .

Методика знаходження реакцій на поетапне вплив у колах з одним реактивним елементом і кількома резисторами
Якщо ланцюг містить декілька резисторів, то їх по відношенню до реактивного елементу відомими способами можна звести до одного еквівалентному резистивного опору. Тому раніше отримані висновки справедливі і для цих ланцюгів. У таких випадках для перебування реакцій можна не складати рівняння в операторної формі, а відразу записати рішення у вигляді:
,
де і - Значення шуканої функції відповідно в момент комутації і в сталому режимі.
При знаходженні величин у наведеній формулі слід користуватися такими міркуваннями:
1. Постійна часу знаходиться на -Ланцюга для -Ланцюга - , Де - Еквівалентний резистивное опір з боку затисків реактивного елемента при погашеному джерелі.
2. При знаходженні незаряджений конденсатор замінити КЗ, а індуктивність - розривом.
3. При визначенні конденсатор слід замінити розривом, а індуктивність - КЗ.

Вільні коливання в електричному ланцюзі з одним реактивним елементом
4.1. Вільні перехідні процеси в ланцюзі з ємністю
Нехай заряджена до напруги E ємність C в момент часу t = 0 підключається до резистору R (рисунок 10).

Рис. 10
За рахунок енергії, запасеної в ємності C, в ланцюзі будуть відбуватися вільні коливання. Знайдемо часові залежності струму в ланцюзі і напруги на елементах R і C, які, як видно з малюнка 10, однакові.
Початкові значення струму і напруги на елементах можна визначити на підставі законів комутації. Тому що напруга на ємності не може змінитися стрибком, то u _C (-0) = u _C (+0) = E, тобто початкові умови ненульові. Розглянута схема для моменту часу t = +0 (відразу ж після комутації) має вигляд, показаний на малюнку 11, при цьому ємність можна розглядати як джерело заданої напруги.

Рис. 11
Застосуємо операторний метод, для чого заряджену ємність замінимо однієї з еквівалентних схем заміщення (інакше не можна застосовувати закон Ома у операторної формі). У даному випадку зручніше використовувати послідовну схему заміщення. При цьому ЕРС операторного джерела напруги відповідає початковому напрузі на ємності. На малюнку 12 схема заміщення зарядженої ємності виділена пунктиром.

Рис. 12
За законом Ома у операторної формі:
; .
Завдання в операторної формі вирішена - отримано вираз для перетвореного струму в ланцюзі.
Перейдемо від зображення до оригіналу. Згідно таблиці відповідностей
. Отже: .
Твір RC позначається τ, вимірюється в секундах і називається постійної часу RC-ланцюга.
Так як u _C = u _R, то їх тимчасові залежності також однакові. Тому, знаючи вираз для струму в ланцюзі, можна отримати і вираз для напруг на елементах:
.
Графіки отриманих виразів доцільно побудувати у вигляді відношення
,
де f (t) = i (t) або f (t) = u _C (t) = u _R (t),
- Максимальне значення визначається величини, одержане на підставі законів комутації і фізичного змісту:
(Немає стрибка),
(Стрибок напруги),
(Стрибок струму).
Зауважимо, що всі ці відносини однакові, тому досить побудувати один графік залежності . У таблиці наведені результати розрахунку .

t	0	τ	2 τ	3 τ	4,6 τ	→ ∞
	1	0,368	0,135	0,05	0,01	→ 0

На малюнку 13 показані графіки функцій для різних значень τ:

Рис. 13
Даний графік є експоненту, убуваючу зі зростанням часу t. Важливо зауважити, що за проміжок часу τ значення експоненти зменшуються в е = 2,718 ... раз, причому таке спадання характерно для будь-якої ділянки експоненти.
4.2. Вільні перехідні процеси в ланцюзі з індуктивністю
Хай через індуктивність L протікає струм I _0, тобто при , . У момент часу відбувається комутація - гаситься джерело (рис. 14).

Рис. 14
За рахунок енергії, запасеної індуктивністю, відбувається процес вільних коливань, поки вся енергія не витратиться на нагрів резистора R. Знайдемо часові залежності струму в ланцюзі і напруги на елементах R і L, які, як видно з малюнка 14, однакові.
На підставі 1-го закону комутації струм через індуктивність не може змінитися стрибком, тобто , І в момент часу , , Тобто початкові умови ненульові.
Розглянута схема для моменту часу , Тобто відразу ж після комутації, має вигляд, показаний на малюнку 15, при цьому індуктивність можна розглядати як джерело задає струму.

Рис. 15
Для знаходження закону зміни струму в ланцюзі і напруги на елементах R і L скористаємося операторних методом, для чого індуктивність зі струмом замінимо однієї з еквівалентних схем заміщення. Тут зручніше використовувати паралельну схему заміщення, при цьому струм операторного джерела струму відповідає початковому струму через індуктивність. На малюнку 16 схема заміщення індуктивності з струмом виділена пунктиром.

Рис. 16
На підставі правила розподілу струмів:
.
Завдання в операторної формі вирішена - отримано вираз для перетвореного струму в ланцюзі. На підставі таблиці відповідностей отримаємо оригінал - тимчасову залежність струму в режимі вільних коливань:
,
де τ = - Постійна часу ланцюга, що має розмірність [з].
Так як u _L = u _R, то їх тимчасові залежності також однакові. За законом Ома для оригіналів:
.
Таким чином, в ланцюзі з індуктивністю в режимі вільних коливань струм і напруга на елементах R і L будуть змінюватися (як і в ланцюзі з ємністю) за експоненціальним законом з постійною часу τ = . Фізичний сенс τ такий же, як і в ланцюзі з ємністю. Постійна часу залежить від параметрів ланцюга R і L і впливає на крутість експоненти:
- При збільшенні τ, що досягається зменшенням величини R або збільшенням величини L, експонента проходить положен - процес затухання вільних коливань сповільнюється;
- При зменшенні τ, що досягається збільшенням величини R або зменшенням L, експонента проходить крутіше, і процес затухання вільних коливань прискорюється.
При цьому , Тобто стрибок струму неможливий, а , Тобто спостерігається стрибок напруги.
Тоді .
Цей графік є убуваючу експонента. Крутизна убування визначається величиною постійною часу τ. Вид графіка не відрізняється від раніше розглянутого для ланцюга з ємністю.
Час закінчення вільних коливань залежить від постійної часу ланцюга і визначається так само, як і для ланцюга з ємністю:
t _УСТ = (3 4,6) τ.
Примітка: Постійна часу складного ланцюга визначається за формулою, τ = , Де R = R _Е - еквівалентний опір, підключений до елемента індуктивності після здійснення комутації, тобто при . Це опір знаходиться як у звичайній резистивної ланцюга.
У результаті аналізу вільних коливань в ланцюзі з одним реактивним елементом можна зробити загальні висновки.
1. Реакція (струм, напруга) ланцюга на поетапне вплив, формується шляхом відключення від кола джерела енергії, являє собою експоненційну убуваючу функцію вида:
.
Це відповідає фізичній змісту: при відключенні джерела накопичена енергія убуває, вона витрачається на нагрівання активного опору.
При аналізі вільних коливань необхідно визначити початкове значення реакції, використовуючи закони комутації, початкові умови, постійну часу ланцюга.
2. Закон зміни реакцій справедливий і для складних ланцюгів, що містять один реактивний елемент і кілька резисторів.

Бібліографічний список

1. Білецький А. Ф. ТЛЕЦ: підручник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 1986.
2. Шалашов Г. В. Перехідні процеси в електричних ланцюгах.
3. Бакалов В. П. ТЕЦ: підручник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 1998