Академія Росії
Кафедра Фізики
Лекція: «Операторна МЕТОД АНАЛІЗУ перехідних КОЛИВАНЬ в електричних ланцюгах»
Зміст
1. Основні властивості
перетворення Лапласа 2.
Закони Кірхгофа і Ома в операторній формі
3. Операторні схеми заміщення реактивних елементів при ненульових початкових умовах
4.
Бібліографічний список
1. Основні властивості перетворення Лапласа Знаходження зображень
функції часу (так само як і зворотні переходи від зображень до оригіналу) виконуються за допомогою спеціальних інтегральних перетворень, що приводяться в курсі вищої математики. В даний час в більшої частини сучасної технічної літератури операторні методи пов'язують із застосуванням
перетворення Лапласа, в основі якого лежить співвідношення:
.
Важливо зазначити, що функції, що описують реально можливі дії та
відповідні їм реакції, завжди перетворені по Лапласа. Отриману в результаті такого перетворення функцію називають іноді лапласовий зображенням функції
або її
-Зображенням і позначають:
.
Відшукування
-Зображення заданої функції називається прямим
перетворенням Лапласа, а знаходження
за відомим
- Зворотним перетворенням Лапласа.
Основні властивості та правила цих перетворень:
Властивість одиничності. Кожному оригіналу (вихідної функції)
відповідає єдине зображення і навпаки, кожному зображенню відповідає єдиний оригінал.
Властивість лінійності. Лінійної комбінації оригіналів відповідає така ж лінійна комбінація зображень:
- Оригінал;
- Зображення.
Перетворення операції диференціювання. Якщо оригінал
представляє похідну від деякої функції
,
то його зображення має вигляд:
.
При нульових початкових умовах (Нну)
і
, Тобто диференціюванню оригіналу відповідає множення його зображення на оператор
(При Нну).
Перетворення операції інтегрування. Якщо оригінал становить від деякої функції інтеграл:
,
то його зображення має вигляд:
, Тобто інтегруванню оригіналу відповідає розподіл його зображення на оператор
.
Теорема запізнювання (оригіналу). Якщо
, То
, Де
- Час запізнювання, тобто запізнювання оригіналу на час
відповідає множення його зображення на експонентний множник
.
Теорема зсуву (зображення). Якщо
, То
, Тобто множенню оригіналу на експонентний множник
відповідає зміщення його зображення на величину
.
Рішення задач прямого і зворотного перетворень Лапласа істотно спрощуються у тих випадках, коли вдається використовувати довідкові
таблиці, які містять пари оригінал - зображення. Ці таблиці наводяться в довідниках.
Слід врахувати, що при зворотному перетворенні Лапласа отримані функції іноді не підходять під табличні. У цьому випадку використовується розкладання цієї функції на прості
дроби або в ряд з подальшим застосуванням зворотного перетворення Лапласа.
2. Закони Кірхгофа і Ома в операторній формі Можливість суттєвого спрощення рішення задачі аналізу коливань в електричних ланцюгах операторних методом грунтується на тому, що для
-Зображень коливань формально вірні
закони Кірхгофа і Ома.
Дійсно, згідно з першим законом Кірхгофа:
Якщо обидві частини цієї рівності піддати перетворенню Лапласа, то воно переходить у рівність:
,
і отже, алгебраїчна сума
-Зображень струмів у кожному вузлі ланцюга дорівнює нулю.
Аналогічно доводиться
справедливість другого закону Кірхгофа для операторних напружень в контурі:
.
При висновку закону Ома в операторної формі будемо вважати, що реактивні елементи знаходяться при Нну (
конденсатор розряджений, через котушку індуктивності не протікає струм).
Розглянемо співвідношення в елементах електричних ланцюгів.
Елемент резистивного опору.
- Операторний резистивное опір,
- Резистивна операторна провідність.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Таким чином, операторний напруга на резистивном опорі дорівнює добутку опору на величину операторного струму.
Елемент індуктивності.
- Операторний індуктивний опір,
- Операторна індуктивна провідність.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Отже, операторний напруга на індуктивності дорівнює добутку операторного індуктивного опору на величину операторного струму.
Елемент ємності.
- Операторний опір місткості,
- Операторна емкостная провідність.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Операторний напруга на ємності дорівнює добутку операторного ємнісного опору на величину операторного струму.
Вирази
представляють
закон Ома у операторної формі.
Висновки:
-
Закони Кірхгофа і Ома справедливі і в операторної формі, причому закон Ома справедливий лише за нульових початкових умовах;
- Всі раніше вивчені методи аналізу електричних ланцюгів (метод контурних струмів, метод вузлових напруг, метод еквівалентного генератора та ін) справедливі і в операторної формі;
3. Операторні схеми заміщення реактивних елементів при ненульових початкових умовах
Часто комутація здійснюється в момент часу, коли реактивні елементи мають енергію. У цьому випадку вони перебувають при ненульових початкових умовах і до них не можна застосувати закон Ома у операторної формі. Для усунення цієї перешкоди використовують прийом, суть якого полягає в тому, що фізично один реактивний елемент штучно замінюють двома: операторних джерелом, що відображає енергію реактивного елемента на момент комутації, і самим реактивним елементом, але які тепер вже при нульових початкових умовах. Таке зображення називається схемою заміщення. Її можна отримати, використовуючи властивості перетворення Лапласа:
.
Так, для індуктивності з струмом схеми заміщення мають вигляд, показаний на малюнку 1.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
а) б) в)
Рис. 1
Вони є наслідком перетворення таких висловлювань:
;
Тут слід
мати на увазі дві обставини: направлення операторного струму повинен співпадати з напрямом струму через індуктивність у момент безпосередньо передує комутації і друге, що реально існує один елемент, тому операторний струм через індуктивність у схемі заміщення визначається в загальній гілки (рис. 1б).
Заряджена ємність відображається схемами заміщення, показаними на малюнку 2б, в.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
а) б) в)
Рис. 2
Вони є наслідком перетворення таких висловлювань:
,
.
Тут напруга операторного джерела збігається з напругою на ємності до комутації, а операторний напруга на ємності визначається між затискачами 1 - 1 ¢.
Застосування операторних схем заміщення реактивних елементів, що знаходяться при ненульових початкових умовах, дає можливість застосовувати закон Ома у операторної формі, що широко використовується на практиці і, зокрема, при розгляді вільних коливань в електричних ланцюгах. Відомо, що такі
коливання виникають за рахунок енергії, запасеної реактивними елементами при відключенні зовнішніх джерел. Слід мати на увазі, що зазначена комутація може здійснюватися як шляхом механічного відключення, так і шляхом гасіння джерел. В останньому випадку джерело напруги замінюється коротким замиканням, а джерело струму - обривом.
При вирішенні завдань доводиться здійснювати перехід від звичайної до операторної схемою. Якщо реактивні елементи знаходяться при Нну, то
такий перехід не викликає особливих труднощів. Наприклад, на малюнку 3, а показана схема, а на малюнку 3, б - еквівалентна їй операторна.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
а) б)
Рис. 3
Якщо ж реактивні елементи знаходяться при ненульових початкових умовах, то в операторної схемою вони повинні бути відображені схемами заміщення.
Приклад.
Нехай в ланцюзі, зображеної на малюнку 4 в момент
замикається ключ "К". Потрібно визначити еквівалентну їй операторну схему.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 4
Так як реактивні елементи в даному випадку знаходяться при ненульових початкових умовах, то попередньо слід визначити
і
. Для цього зобразимо еквівалентну схему ланцюга при
(Рис. 5).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 5
Видно, що
;
.
Таким чином
;
та
відповідний до цього схема показана на малюнку 6.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 6
Далі знаходиться необхідна реакція в операторної формі, а потім здійснюється перехід в область реального часу.
Висновок: знаходження реакцій при ненульових початкових умовах вимагає застосування схем заміщення в операторної формі і є більш складним завданням, ніж при Нну.
Бібліографічний список
1. Білецький А.Ф. ТЛЕЦ:
підручник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 1986. С. 218 - 226.
2. Шалашов Г.В.
Перехідні процеси в електричних ланцюгах. -З. 7 - 20.
3. Бакалов В.П. ТЕЦ: підручник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 1998 р. с. 169 - 180.
