Академія ФСО Росії

Кафедра Фізики

Тема:

«Закони Кірхгофа та їх застосування для розрахунку електричних ланцюгів»

Орел-2009

Зміст

Перший закон Кірхгофа
Другий закон Кірхгофа
Розрахунок складних кіл за допомогою рівнянь Кірхгофа

Перший закон Кірхгофа
Алгебраїчна сума струмів у гілках, що сходяться до будь-якого вузла електричного кола, тотожно дорівнює нулю. Згідно з цим законом, якщо до деякого вузла ланцюга приєднано n гілок зі струмами i _1, i _2, ..., i _n, то в будь-який момент часу
,
де , Якщо напрямок струму позитивно і орієнтоване від вузла (струм виходить з вузла), або , Якщо струм входить у вузол. Таким чином, будь-якому вузлу ланцюга відповідає рівняння, що зв'язує струми в гілках ланцюга, з'єднаних з даним вузлом.
В якості прикладу наведемо схему на малюнку 1.

Рис.1.
Відповідно до першого закону Кірхгофа:
.
Загальне число рівнянь, яке можна скласти за першим законом Кірхгофа для ланцюга, дорівнює числу вузлів ланцюга .
Так, для чотирьох вузлів графа (малюнок 2) можна скласти наступні чотири рівняння:

4

2

i 1

i 3

i 2

i 4

i 6

i 5

3

1

Рис.2.
вузол 1: ,
вузол 2: ,
вузол 3: ,
вузол 4: .
Перший закон Кірхгофа часто називають законом Кірхгофа для струмів і скорочено у тексті позначають ЗКТ.
Число незалежних рівнянь дорівнює трьом, так як будь-яке з цих рівнянь відрізняється від суми трьох інших тільки знаком. Отже, якщо ланцюг містить вузлів, то для неї можна скласти за першим законом Кірхгофа незалежних рівнянь. Сукупність з N вузлів ланцюга, рівняння для яких утворюють систему лінійно незалежних рівнянь, називають сукупністю незалежних вузлів ланцюга.

Приклади на застосування першого закону Кірхгофа. Паралельне з'єднання елементів

Як приклад на застосування першого закону Кірхгофа розглянемо паралельне з'єднання декількох елементів активних опорів, конденсаторів, котушок індуктивності.
Особливістю паралельного з'єднання декількох елементів є рівність напруг, прикладених до затискачів кожного з елементів, що входять у з'єднання. Ланцюг при такому з'єднанні характеризується тільки одним незалежним вузлом.
Нехай паралельно з'єднані n елементів активного опору. Якщо вибрати напрями звітів струмів в елементах такими як це показано на малюнку 3, то згідно з першим законом Кірхгофа при паралельному з'єднанні елементів запишемо:

i 1

i 2

i n

i

G 1

G 2

G n

u

Рис.3.
;
враховуючи, що , Маємо ,
де .
Залежність не відрізняється від залежності між напругою на затискачах і струмом в елементі активного опору з провідністю G. Отже, ланцюг, складена з кількох опорі, включених паралельно, може бути замінена одним активним опором, при цьому провідність еквівалентного елемента дорівнює сумі провідностей елементів, що входять у з'єднання.
При паралельному з'єднанні конденсаторів (малюнок 4) струм гілці можна визначити за формулою: .

i

u

i

1

i

2

i

n

C

1

C

2

C

n

Рис.4.
Для обчислення загального струму необхідно підсумувати струми гілок:
,
де _..
Таким чином, при паралельному з'єднанні декількох конденсаторів еквівалентна ємність дорівнює сумі ємностей, що входять у з'єднання.
У разі паралельного з'єднання котушок індуктивностей (рисунок 5)

i

i

1

i

2

i

n

L

1

L

2

L

n

u

струм кожної з гілок дорівнює: .
Рис.5.
Рівняння для обчислення загального струму має вигляд:
.
Отже , Тобто .
Це означає, що значення еквівалентної індуктивності будить менше найменшого із значень з'єднаних паралельно індуктивностей.
Другий закон Кірхгофа
Другий закон Кірхгофа формулюється наступним чином: алгебраїчна сума напруг гілок в будь-якому контурі ланцюга тотожно дорівнює нулю. Для замкнутого контуру, зображеного на малюнку 6, можна записати співвідношення:
.

u 3

u 2

u 5

u 1

u 4

e 5

e 3

Рис.6.
Згідно з другим законом Кірхгофа при обході контура за годинниковою стрілкою справедливе співвідношення:
.
Зміна напрямку обходу еквівалентно зміни знаків напружень на протилежні (множенню на мінус одиницю).

Приклади на застосування другого закону Кірхгофа

Послідовне з'єднання елементів

R 1

R 2

R n

u 1

u 2

u n

i

u

Нехай n елементів активного опору з'єднані послідовно (рисунок 7).
Рис.7.
Відповідно до вибраного напрямом обходу за другим законом Кірхгофа отримаємо рівняння:
.
характерною особливістю послідовного з'єднання є рівність струмів в кожному з елементів, що входять у з'єднання.
При запишемо:
, Тобто .
Таким чином, при послідовному з'єднанні декількох резисторів еквівалентний опір дорівнює сумі опорів, що входять у з'єднання.
При послідовному з'єднанні котушок індуктивності (рисунок 8) можна записати:
.

L 1

L 2

L n

u 1

u 2

u n

i

u

Рис.8.
Якщо , То ,
отже .
Це означає, що еквівалентна індуктивність дорівнює сумі індуктивностей, що входять у послідовне з'єднання.
У разі послідовного з'єднання конденсаторів (малюнок 9) за другим законом Кірхгофа можна записати:

C 1

C 2

C n

u 1

u 2

u n

i

u

.
Рис.9.
Замінюючи отримаємо: .
Зворотній ємність всіх конденсаторів, з'єднаних послідовно, дорівнює сумі зворотних ємностей конденсаторів, які входять у з'єднання:
.
При цьому еквівалентна ємність з'єднання буде менше найменшою ємності конденсатора, який входить у послідовне з'єднання.

Розрахунок складних кіл за допомогою рівнянь Кірхгофа

Приклад 1
Далеко не у всіх випадках ланцюг представляє собою сукупність лише послідовно і паралельно з'єднаних гілок. В якості прикладу розглянемо варіант розрахунку за допомогою рівнянь Кірхгофа електричного кола (рисунок 10). Ланцюг містить = 4 вузлів і = 6 гілок, включаючи джерела напруги.

R 1

R 0

R 0

R 0

R 2

U

i 1

i 2

i 3

i 4

i 6

i 5

III

I

II

3

2

1

0

Рис.10.
Для визначення всіх струмів і напруг у схемі достатньо знайти значення струмів у всіх гілках ланцюга. Знаючи струм, що проходить через будь-яку з гілок ланцюга, можна знайти як напруга цієї гілки, так і напругу між будь-якою парою вузлів ланцюга.
Якщо ми поставимо собі довільно позитивними напрямками струмів в гілках ланцюги і пронумеруємо довільно ці струми, то за першим законом Кірхгофа можна скласти рівнянь відносно струмів в гілках ланцюга.
За другим законом Кірхгофа буде лінійно-незалежних рівнянь для напружень гілок схеми.
Сукупність з рівнянь за першим законом Кірхгофа, і рівнянь, складених за другим законом Кірхгофа, утворює систему лінійно - незалежних рівнянь. Ця система буде неоднорідною системою рівнянь, так як її вільними членами є задані напруги джерел.

Подібна система рівнянь має єдине рішення, що дозволяє знайти струми в гілках ланцюги, а за ним і значення напруг між будь-якою парою вузлів ланцюга.
Для прикладу складемо систему рівнянь за першим законом Кірхгофа (рисунок 10).
Число рівнянь: .
Вузол 1: ,
вузол 2: ,
вузол 3:   .
У теж час за другим законом Кірхгофа для контурів I, II, III можна скласти систему з рівнянь.
.
Контур I:   ,
контур II:   ,
контур III: .
Таким чином, вирішуючи систему з 6 рівнянь з шістьма невідомими струмами, наприклад за методом Крамера, визначимо невідомі. Якщо в ланцюзі буде джерело струму, то в системі рівнянь невідомим буде напруга на затискачах цього джерела, а струм через джерело буде дорівнює струму задає джерела. Загальне число невідомих збережеться колишнім.

Приклад 2

Для ланцюга (рисунок 11) визначити струми і , Якщо E = 20 В, I ₀ = 2 A , R ₁ = 15 Ом, R ₂ = 85 Ом.

I 0

E

R 1

R 2

i 1

i 2

2

1

Рис.11.

Рішення

Виберемо напрямки струмів ,   і обходу в контурі, складемо рівняння за законами Кірхгофа. Число рівнянь, що складаються за першим законом Кірхгофа:
.
Число рівнянь за другим законом Кірхгофа:
.
Рівняння струмів для вузла 1:
. (A)
Рівняння за другим законом Кірхгофа:
. (Б)
Підставимо в рівняння (а) і (б) числові значення отримаємо:
,
.
Вирішивши цю систему, визначимо струми і :
; .

Література
1. Білецький А.Ф. Теорія лінійних електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1986.
2. Бакалов В.П. та ін Теорія електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1998.
3. Качанов Н. С. та ін Лінійні радіотехнічні пристрої. М.: Воен. издат., 1974.
4. В.П. Попов Основи теорії ланцюгів - М.: Вища школа, 2000