Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа
вищої професійної освіти
«Вятський державний гуманітарний університет»
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Випускна кваліфікаційна робота
Методика вивчення обсягів багатогранників у курсі стереометрії
Виконала студентка V курсу фізико-математичного факультету Черезова Валентина Анатоліївна
Науковий керівник: к.пед.н., доц. каф. дидактики фізики і математики Шилова З. В.
Рецензент: к.пед.н., ст.викл. каф. дидактики фізики і математики Горєв П. М.
Допущена до захисту в ГАК
«» Заст. Зав. кафедрою М. В. Крутіхін
«» Декан факультету Є. В. Кантор
Кіров 2008
Зміст
Для продуктивної діяльності в сучасному інформаційному світі потрібно досить міцна базова математична підготовка, тому вивчення теми «Обсяги фігур» дуже актуально, так як вони необхідні для вивчення суміжних дисциплін, для продовження освіти.
Тема «Обсяги» - одна з центральних тем у курсі стереометрії середньої школи. Проблема організації уроків з вивчення обсягів багатогранників одна з найактуальніших, оскільки вона займає значну частину в курсі стереометрії. Якщо педагог не знає методики, особливостей проведення уроків з того чи іншого підручника, то в класі не може йти мови про засвоєння програмного матеріалу з математики.
На думку А.Д. Александрова, питання про необхідність будь-якого шкільного предмета, про необхідність того чи іншого його розділу зводиться до питання про його практичної потреби і значення у розвитку особистості [2].
Розуміння того, що практично потрібно в геометрії і що в даному предметі може служити розвитку особистості, має визначати і зміст предмета, і постановку його викладання.
Жоден предмет учні так ні готові сприймати, як наочну геометрію, в той же час, жоден предмет не починають вивчати в школі з таким запізненням, як геометрію. Шестирічний провал в геометричному освіту дітей - це важко восполнима втрата з точки зору і загального емоційного і розумового розвитку дитини. Процес геометричного освіти повинен бути безперервним (не допускати періодів бездіяльності), рівномірним (не допускати перевантажень на будь-яких етапах), різноманітним [30].
У всякому справді геометричному пропозиції, будь то аксіома, теорема або визначення, нерозривно присутні ці два елементи: наочна картина і сувора формулювання, строгий логічний висновок. Там, де немає жодної з двох сторін, немає і справжньої геометрії.
Саме при вивченні багатогранників та їх обсягів рішення даного завдання виступає найбільш яскраво, і їх розгляду має бути приділено більше уваги, тому що багатогранники дають особливо багатий матеріал для розвитку просторових уявлень, для розвитку того з'єднання живого просторової уяви з суворою логікою, яка складає сутність геометрії .
Об'єктом випускний кваліфікаційної роботи є процес навчання стереометрії в середній школі.
Предмет дослідження - вивчення обсягів багатогранників у курсі стереометрії.
Основна мета дослідження - розробити методичні рекомендації щодо вивчення теми «Обсяги багатогранників» в курсі стереометрії за підручниками [7] і [8].
Гіпотеза дослідження: вивчення обсягів багатогранників у курсі стереометрії в середній школі буде більш ефективним, якщо:
· Формувати поняття об'єму на наочно-інтуїтивному рівні із залученням життєвого досвіду учнів;
· Цілеспрямовано працювати з формування поняття об'єму і навичок вирішення основних типів завдань у 5-6 класах;
· Систематично звертатися до завдань на обсяги багатогранників у старших класах;
· Проводити факультативні курси.
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:
· Проаналізувати програму з математики для 10-11 класів та низку підручників з геометрії у відповідності з програмою;
· Проаналізувати навчально-методичну та науково-педагогічну і математичну літературу з теми дослідження;
· Виділити різні підходи до визначення поняття «Обсяги багатогранників»
· Розглянути методичні аспекти вивчення теми «Обсяги багатогранників»
· Скласти план факультативних занять з теми «Обсяги багатогранників»;
· Провести дослідне викладання.
Методи дослідження:
1) вивчення й аналіз науково-педагогічної, методичної та математичної літератури, програми, підручників, навчальних і методичних посібників з теми;
2) відвідування уроків, на яких розглядалися многогранники і їх обсяги і спостереження за роботою учнів;
3) дослідне викладання.
Глава 1. Теоретичні основи вивчення теми «Обсяги багатогранників» в курсі геометрії 10-11 класів
Курсу притаманні систематизуючого та узагальнюючий характер викладу, спрямованість на закріплення та розвиток умінь і навичок, отриманих в неповній середній школі. При доведенні теорем і вирішенні завдань активно використовуються вивчені в курсі планіметрії властивості геометричних фігур, застосовуються геометричні перетворення, вектори і координати. Високий рівень абстрактності досліджуваного матеріалу, логічна строгість систематичного викладу з'єднуються із залученням наочності на всіх етапах навчального процесу та постійним зверненням до досвіду учнів. Уміння зображати найважливіші геометричні тіла, обчислювати їх площі поверхонь і обсяги мають велику практичну значимість.
Інший підхід до структурування курсу математики старших класів пов'язаний з реалізацією профільної диференціації навчання. Вводяться два курси - курс А і курс В різного обсягу та рівня.
Курс А орієнтований на тих учнів, які розглядають математику як елемент загальної освіти і не передбачають використовувати її безпосередньо у своїй майбутній професії. Цей курс представлений одним предметом математикою, в якому в розумній послідовності чергуються відомості алгебри і початків аналізу з геометричним матеріалом.
Мета вивчення курсу А в 10-11 класах - дати учням уявлення про роль математики в сучасному світі, про способи застосування математики, як у технічних, так і в гуманітарних сферах. При вивченні в цьому курсі елементів аналізу опора робиться на наочно-інтуїтивне уявлення учнів, роль формальних міркувань і доказів невелика. Вивчення геометричного матеріалу також широко спирається на наочність. Істотно знижується увага до ідеї аксіоматичної побудови курсу стереометрії. Основний акцент робиться на формування умінь застосувати вивчені факти в найпростіших випадках.
Курс У призначений для учнів, що вибрали для себе ті галузі діяльності, в яких математика відіграє роль апарату, специфічного засобу для вивчення закономірностей навколишнього світу. У рамках цього курсу зберігаються традиції поділу на два предмети - алгебра і початки аналізу і геометрія.
Вивчення алгебри і початків аналізу і геометрії як складових курсу У припускає реалізацію тих же цілей, які ставляться перед цими математичними дисциплінами в загальноосвітньому курсі, але на більш високому та ускладненому рівні [36].
Вивчення програмового матеріалу з теми «Обсяги багатогранників» дає можливість учням:
· Отримати уявлення про широту застосування геометрії в різних областях людської діяльності; познайомитися з деякими фактами історії геометрії;
· Засвоїти систематизовані відомості про просторові форми;
· Навчитися проводити аналогію плоскими і просторовими конфігураціями, бачити спільність і відмінність властивостей аналогічних структур на площині і в просторі, використовувати планіметричних відомості для опису і дослідження просторових фігур;
· Навчитися ілюструвати і моделювати проекційним кресленням просторові форми, вирішувати позиційні завдання (зокрема, завдання на перетину) на проекційному кресленні;
· Вирішувати завдання на знаходження площ поверхонь і об'ємів тіл, на обчислення лінійних і кутових елементів просторових конфігурацій;
· Вирішувати задачі на доведення;
· Оволодіти набором прийомів, часто застосовуються для вирішення стереометричних задач на обчислення і доказ.
Рівень обов'язкової підготовки за темою «Обсяги багатогранників» обмежується наступними вимогами:
· Вміти розпізнавати на моделях і за описом основні просторові тіла (призма, піраміда), вказувати їх основні елементи, дізнаватися ці форми в оточуючих предметах;
· Вміти ілюструвати умова стереометричних задач або кресленням, або моделлю;
· Вміти обчислювати значення геометричних величин (довжин, площ, обсягів), застосовувати вивчені формули;
· Вміти вирішувати нескладні завдання на обчислення з використанням вивчених властивостей і формул (властивості паралельності прямих і площин, багатогранників і тіл обертання).
У зміст матеріалу по темі «Обсяги багатогранників» входять розділи: «Обсяг прямокутного паралелепіпеда». «Обсяги прямої призми і циліндра». «Обсяги похилій призми, піраміди і конуса». «Обсяг кулі і площа сфери». «Обсяги кульового сегмента, кульового шару та кульового сектора».
Це обов'язковий мінімум, яким повинні оволодіти учні, вивчаючи тему «Обсяги багатогранників».
§ 2 Аналіз підручників геометрії 10-11 класів
Виходячи з вимог програми, різні авторські колективи пропонують ряд підручників геометрії 10-11 класів. Розглянемо деякі з них.
Підручник [7] є продовженням і розвитком підручника для 7-9 класів того ж авторського колективу. Виклад теоретичного матеріалу більш суворе, ніж на попередній ступені навчання. Теоретичні тексти короткі й доступні. Система вправ послідовна, містить завдання різного рівня складності, приклади вирішення найбільш важливих завдань, причому дані вирішення найбільш важких завдань будуть потрібні учням як опорні, при доказі теорем, наслідків з теорем і т. д. Є додаткові завдання, які йдуть після всієї глави. Для вирішення цих завдань необхідно знати не тільки матеріал вивченою глави («Обсяги тіл»), а й застосувати знання, вміння та навички, отримані при вивченні інших тем. У процесі їх вирішення дуже добре розвивається логіка, уяву. Іншими словами можна сказати, що при вирішенні додаткових завдань в учнів розвиваються три якості: просторова уява, практичне розуміння та логічне мислення.
На вивчення теми «Об'єми тіл» відводиться 19 год Входять такі розділи, як: обсяг прямокутного паралелепіпеда, обсяги прямої призми і циліндра, обсяги похилій призми, піраміди і конуса, об'єм кулі і площа сфери, обсяги кульового сегмента, кульового шару та кульового сектора .
Основна мета - продовжити систематичне вивчення багатогранників і тіл обертання в ході вирішення завдань на обчислення їх обсягів. У курсі стереометрії поняття об'єму вводиться за аналогією з поняттям площі плоскої фігури, і формулюються основні властивості об'ємів. Існування та єдиність обсягу тіла в шкільному курсі математики доводиться приймати без доказу, так як питання про обсяги належить, по суті, до важких розділів вищої математики. Тому потрібні результати встановлюються, керуючись більше наочними міркуваннями. Навчальний матеріал глави в основному має засвоюватися в процесі вирішення завдань.
Основна теорія на початку курсу стереометрії вивчається з опорою на геометричні тіла, що підвищує доступність матеріалу, а значить, і результативність навчання.
Підручник І. Ф. Шаригіна [11] реалізує авторську наочно-емпіричну концепцію побудови шкільного курсу геометрії. Його характеризує відмова від аксіоматичного методу і акцент на використання наочних методів у процесі побудови теорії і вирішення завдань. У підручнику нетрадиційно викладені багато необхідні теоретичні факти. Їх докази оригінальні і, що важливо, красиві. Навчальні тексти написані гарною літературною мовою.
Теореми в підручнику націлені не стільки на «проходження програми», скільки на створення необхідного запасу даних для вирішення завдань. Наприклад, вельми цікаво викладений розділ «Обсяги», в якому є теореми, зазвичай не розглядаються в школі. Докази цих теорем повчальні самі по собі, а володіння ними дає запас фактів і прийомів, що дозволяють вирішувати досить складні завдання.
Система вправ у підручнику дозволяє реалізувати ідею рівневої диференціації. Тут є завдання, відмічені зірочкою, призначені для поглибленої підготовки; спеціально виділені корисні (П), важливі (В) і важкі (Т) завдання. Державна освітня установа
вищої професійної освіти
«Вятський державний гуманітарний університет»
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Випускна кваліфікаційна робота
Методика вивчення обсягів багатогранників у курсі стереометрії
Виконала студентка V курсу фізико-математичного факультету Черезова Валентина Анатоліївна
Науковий керівник: к.пед.н., доц. каф. дидактики фізики і математики Шилова З. В.
Рецензент: к.пед.н., ст.викл. каф. дидактики фізики і математики Горєв П. М.
Допущена до захисту в ГАК
«» Заст. Зав. кафедрою М. В. Крутіхін
«» Декан факультету Є. В. Кантор
Кіров 2008
Зміст
Введення
Глава 1. Теоретичні основи вивчення теми «Обсяги багатогранників» в курсі геометрії 10-11 класів
§ 1 Аналіз навчальної програми з математики 10-11 класів
§ 2 Аналіз підручників геометрії 10-11 класів
§ 3 Різні підходи до визначення обсягу багатогранників
§ 4 Цілі вивчення теми «Обсяги багатогранників»
в курсі стереометрії
1.4.1. Розвиток просторових уявлень
1.4.2. Розвиток логічного мислення
Глава 2. Методика вивчення теми «Обсяги багатогранників»
§ 1 Пропедевтика вивчення теми «Обсяги багатогранників»
§ 2 Методика вивчення теми «Об'єм. Обсяги призми. Обсяги прямокутного паралелепіпеда »
§ 3 Методика вивчення теми «Обсяги піраміди»
Глава 3. Дослідне викладання
Висновок
Бібліографічний список
Додаток 1
Додаток 2
Додаток 3
Додаток 4
Додаток 5
Додаток 6
Додаток 7
Додаток 8
Додаток 9
Введення
Основним завданням модернізації російської освіти є підвищення його доступності, якості та ефективності. Це передбачає точний і правильний підхід до всього освітнього процесу, приведення його у відповідність до вимог часу. В даний час традиційний погляд на зміст навчання математики, її роль і місце в загальному освіту переглядаються і уточнюються. Поряд з підготовкою учнів, які в подальшому в своїй професійній діяльності будуть користуватися математикою, найважливішим завданням навчання стає забезпечення деякого гарантованого рівня математичної підготовки всіх школярів незалежно від спеціальності, яку вони оберуть надалі [10].Для продуктивної діяльності в сучасному інформаційному світі потрібно досить міцна базова математична підготовка, тому вивчення теми «Обсяги фігур» дуже актуально, так як вони необхідні для вивчення суміжних дисциплін, для продовження освіти.
Тема «Обсяги» - одна з центральних тем у курсі стереометрії середньої школи. Проблема організації уроків з вивчення обсягів багатогранників одна з найактуальніших, оскільки вона займає значну частину в курсі стереометрії. Якщо педагог не знає методики, особливостей проведення уроків з того чи іншого підручника, то в класі не може йти мови про засвоєння програмного матеріалу з математики.
На думку А.Д. Александрова, питання про необхідність будь-якого шкільного предмета, про необхідність того чи іншого його розділу зводиться до питання про його практичної потреби і значення у розвитку особистості [2].
Розуміння того, що практично потрібно в геометрії і що в даному предметі може служити розвитку особистості, має визначати і зміст предмета, і постановку його викладання.
Жоден предмет учні так ні готові сприймати, як наочну геометрію, в той же час, жоден предмет не починають вивчати в школі з таким запізненням, як геометрію. Шестирічний провал в геометричному освіту дітей - це важко восполнима втрата з точки зору і загального емоційного і розумового розвитку дитини. Процес геометричного освіти повинен бути безперервним (не допускати періодів бездіяльності), рівномірним (не допускати перевантажень на будь-яких етапах), різноманітним [30].
У всякому справді геометричному пропозиції, будь то аксіома, теорема або визначення, нерозривно присутні ці два елементи: наочна картина і сувора формулювання, строгий логічний висновок. Там, де немає жодної з двох сторін, немає і справжньої геометрії.
Саме при вивченні багатогранників та їх обсягів рішення даного завдання виступає найбільш яскраво, і їх розгляду має бути приділено більше уваги, тому що багатогранники дають особливо багатий матеріал для розвитку просторових уявлень, для розвитку того з'єднання живого просторової уяви з суворою логікою, яка складає сутність геометрії .
Об'єктом випускний кваліфікаційної роботи є процес навчання стереометрії в середній школі.
Предмет дослідження - вивчення обсягів багатогранників у курсі стереометрії.
Основна мета дослідження - розробити методичні рекомендації щодо вивчення теми «Обсяги багатогранників» в курсі стереометрії за підручниками [7] і [8].
Гіпотеза дослідження: вивчення обсягів багатогранників у курсі стереометрії в середній школі буде більш ефективним, якщо:
· Формувати поняття об'єму на наочно-інтуїтивному рівні із залученням життєвого досвіду учнів;
· Цілеспрямовано працювати з формування поняття об'єму і навичок вирішення основних типів завдань у 5-6 класах;
· Систематично звертатися до завдань на обсяги багатогранників у старших класах;
· Проводити факультативні курси.
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:
· Проаналізувати програму з математики для 10-11 класів та низку підручників з геометрії у відповідності з програмою;
· Проаналізувати навчально-методичну та науково-педагогічну і математичну літературу з теми дослідження;
· Виділити різні підходи до визначення поняття «Обсяги багатогранників»
· Розглянути методичні аспекти вивчення теми «Обсяги багатогранників»
· Скласти план факультативних занять з теми «Обсяги багатогранників»;
· Провести дослідне викладання.
Методи дослідження:
1) вивчення й аналіз науково-педагогічної, методичної та математичної літератури, програми, підручників, навчальних і методичних посібників з теми;
2) відвідування уроків, на яких розглядалися многогранники і їх обсяги і спостереження за роботою учнів;
3) дослідне викладання.
Глава 1. Теоретичні основи вивчення теми «Обсяги багатогранників» в курсі геометрії 10-11 класів
§ 1 Аналіз навчальної програми з математики 10-11 класів
Проаналізувавши навчальну програму з математики [23], можна помітити, що основною метою вивчення властивостей геометричних тіл у просторі є розвиток просторових уявлень учнів, освоєння способів обчислення практично важливих геометричних величин і подальший розвиток логічного мислення учнів.Курсу притаманні систематизуючого та узагальнюючий характер викладу, спрямованість на закріплення та розвиток умінь і навичок, отриманих в неповній середній школі. При доведенні теорем і вирішенні завдань активно використовуються вивчені в курсі планіметрії властивості геометричних фігур, застосовуються геометричні перетворення, вектори і координати. Високий рівень абстрактності досліджуваного матеріалу, логічна строгість систематичного викладу з'єднуються із залученням наочності на всіх етапах навчального процесу та постійним зверненням до досвіду учнів. Уміння зображати найважливіші геометричні тіла, обчислювати їх площі поверхонь і обсяги мають велику практичну значимість.
Інший підхід до структурування курсу математики старших класів пов'язаний з реалізацією профільної диференціації навчання. Вводяться два курси - курс А і курс В різного обсягу та рівня.
Курс А орієнтований на тих учнів, які розглядають математику як елемент загальної освіти і не передбачають використовувати її безпосередньо у своїй майбутній професії. Цей курс представлений одним предметом математикою, в якому в розумній послідовності чергуються відомості алгебри і початків аналізу з геометричним матеріалом.
Мета вивчення курсу А в 10-11 класах - дати учням уявлення про роль математики в сучасному світі, про способи застосування математики, як у технічних, так і в гуманітарних сферах. При вивченні в цьому курсі елементів аналізу опора робиться на наочно-інтуїтивне уявлення учнів, роль формальних міркувань і доказів невелика. Вивчення геометричного матеріалу також широко спирається на наочність. Істотно знижується увага до ідеї аксіоматичної побудови курсу стереометрії. Основний акцент робиться на формування умінь застосувати вивчені факти в найпростіших випадках.
Курс У призначений для учнів, що вибрали для себе ті галузі діяльності, в яких математика відіграє роль апарату, специфічного засобу для вивчення закономірностей навколишнього світу. У рамках цього курсу зберігаються традиції поділу на два предмети - алгебра і початки аналізу і геометрія.
Вивчення алгебри і початків аналізу і геометрії як складових курсу У припускає реалізацію тих же цілей, які ставляться перед цими математичними дисциплінами в загальноосвітньому курсі, але на більш високому та ускладненому рівні [36].
Вивчення програмового матеріалу з теми «Обсяги багатогранників» дає можливість учням:
· Отримати уявлення про широту застосування геометрії в різних областях людської діяльності; познайомитися з деякими фактами історії геометрії;
· Засвоїти систематизовані відомості про просторові форми;
· Навчитися проводити аналогію плоскими і просторовими конфігураціями, бачити спільність і відмінність властивостей аналогічних структур на площині і в просторі, використовувати планіметричних відомості для опису і дослідження просторових фігур;
· Навчитися ілюструвати і моделювати проекційним кресленням просторові форми, вирішувати позиційні завдання (зокрема, завдання на перетину) на проекційному кресленні;
· Вирішувати завдання на знаходження площ поверхонь і об'ємів тіл, на обчислення лінійних і кутових елементів просторових конфігурацій;
· Вирішувати задачі на доведення;
· Оволодіти набором прийомів, часто застосовуються для вирішення стереометричних задач на обчислення і доказ.
Рівень обов'язкової підготовки за темою «Обсяги багатогранників» обмежується наступними вимогами:
· Вміти розпізнавати на моделях і за описом основні просторові тіла (призма, піраміда), вказувати їх основні елементи, дізнаватися ці форми в оточуючих предметах;
· Вміти ілюструвати умова стереометричних задач або кресленням, або моделлю;
· Вміти обчислювати значення геометричних величин (довжин, площ, обсягів), застосовувати вивчені формули;
· Вміти вирішувати нескладні завдання на обчислення з використанням вивчених властивостей і формул (властивості паралельності прямих і площин, багатогранників і тіл обертання).
У зміст матеріалу по темі «Обсяги багатогранників» входять розділи: «Обсяг прямокутного паралелепіпеда». «Обсяги прямої призми і циліндра». «Обсяги похилій призми, піраміди і конуса». «Обсяг кулі і площа сфери». «Обсяги кульового сегмента, кульового шару та кульового сектора».
Це обов'язковий мінімум, яким повинні оволодіти учні, вивчаючи тему «Обсяги багатогранників».
§ 2 Аналіз підручників геометрії 10-11 класів
Виходячи з вимог програми, різні авторські колективи пропонують ряд підручників геометрії 10-11 класів. Розглянемо деякі з них.
Підручник [7] є продовженням і розвитком підручника для 7-9 класів того ж авторського колективу. Виклад теоретичного матеріалу більш суворе, ніж на попередній ступені навчання. Теоретичні тексти короткі й доступні. Система вправ послідовна, містить завдання різного рівня складності, приклади вирішення найбільш важливих завдань, причому дані вирішення найбільш важких завдань будуть потрібні учням як опорні, при доказі теорем, наслідків з теорем і т. д. Є додаткові завдання, які йдуть після всієї глави. Для вирішення цих завдань необхідно знати не тільки матеріал вивченою глави («Обсяги тіл»), а й застосувати знання, вміння та навички, отримані при вивченні інших тем. У процесі їх вирішення дуже добре розвивається логіка, уяву. Іншими словами можна сказати, що при вирішенні додаткових завдань в учнів розвиваються три якості: просторова уява, практичне розуміння та логічне мислення.
На вивчення теми «Об'єми тіл» відводиться 19 год Входять такі розділи, як: обсяг прямокутного паралелепіпеда, обсяги прямої призми і циліндра, обсяги похилій призми, піраміди і конуса, об'єм кулі і площа сфери, обсяги кульового сегмента, кульового шару та кульового сектора .
Основна мета - продовжити систематичне вивчення багатогранників і тіл обертання в ході вирішення завдань на обчислення їх обсягів. У курсі стереометрії поняття об'єму вводиться за аналогією з поняттям площі плоскої фігури, і формулюються основні властивості об'ємів. Існування та єдиність обсягу тіла в шкільному курсі математики доводиться приймати без доказу, так як питання про обсяги належить, по суті, до важких розділів вищої математики. Тому потрібні результати встановлюються, керуючись більше наочними міркуваннями. Навчальний матеріал глави в основному має засвоюватися в процесі вирішення завдань.
Основна теорія на початку курсу стереометрії вивчається з опорою на геометричні тіла, що підвищує доступність матеріалу, а значить, і результативність навчання.
Підручник І. Ф. Шаригіна [11] реалізує авторську наочно-емпіричну концепцію побудови шкільного курсу геометрії. Його характеризує відмова від аксіоматичного методу і акцент на використання наочних методів у процесі побудови теорії і вирішення завдань. У підручнику нетрадиційно викладені багато необхідні теоретичні факти. Їх докази оригінальні і, що важливо, красиві. Навчальні тексти написані гарною літературною мовою.
Теореми в підручнику націлені не стільки на «проходження програми», скільки на створення необхідного запасу даних для вирішення завдань. Наприклад, вельми цікаво викладений розділ «Обсяги», в якому є теореми, зазвичай не розглядаються в школі. Докази цих теорем повчальні самі по собі, а володіння ними дає запас фактів і прийомів, що дозволяють вирішувати досить складні завдання.
Підручник І. М. Смирнової [9] для природничого профілю є одним з кількох навчальних посібників, написаних І. М. Смирнової та В. А. Смирновим. Ці підручники об'єднує єдина концепція авторського підходу до геометрії як науки і навчального предмету, а їх відмінності пов'язані з навчальними завданнями, які ставляться в тому чи іншому профілі. Так підручник для природничого профілю дозволяє поглибити знання учнів з геометрії, в ньому розширено матеріал про багатогранника, наприклад, є теорема Ейлера, навчальні пункти, присвячені правильним, напівправильні, зірчастим багатогранника, багатогранника, вписаним у сферу, описаним близько сфери і т. п. Більше уваги в підручнику приділено вивченню кривих і поверхонь, розглядаються аналітичні способи завдання фігур. Поряд з декартовими координатами в просторі використовуються полярні і сферичні координати.
Підручник [6] написаний коротко і просто, в ньому реалізований аксіоматичний підхід до побудови курсу. У теоретичній частині підручника автори виділяють основні теореми, з яких інші виходять як слідства. Наприклад, у першому параграфі виводиться формула обсягу прямого циліндра, а потім подання обсягу інтегралом. Але після параграфа йдуть завдання на обсяг прямої призми. Таким чином, учні самі виводять формули. У підручнику звертається увага на практичне застосування геометрії, на її зв'язок з мистецтвом, архітектурою. Автори представляють геометрію як живу розвивається науку, провідну свою історію від єгипетських землемірів і геометрів Стародавньої Греції. Виклад теоретичного матеріалу суворе. Чітка структура, висока науковість, доступність викладу, простота і стислість - відмінні риси цього підручника. Автори представляють геометрію, як науку, тісно пов'язану з навколишнім світом. Появі абстрактного поняття передує реальна картина, яка аргументує необхідність цієї абстракції.
До кожного параграфу дається набір завдань. Серед них виділені основні завдання, тобто обов'язкові для всіх. Саме в задачах закладено принцип навчання. Велику допомогу учням нададуть предметний покажчик і відповіді.
За підручником [6] на вивчення теми «Об'єми тіл та площі їх поверхонь» відводиться 20 год Входять такі параграфи, як: визначення обсягу, подання обсягу інтегралом, обсяги деяких тіл - циліндра (у тому числі призми), конуса (у тому числі піраміди), кулі, площа поверхні, площа сфери, площа поверхні циліндра і конуса.
Основна мета - продовжити ознайомлення учнів з геометричними величинами.
Апарат для знаходження цих величин взято з курсу початків аналізу: інтегрування й обчислення меж. Тонкі питання існування цих величин вимагають деякого коментарю з боку вчителя. Наприклад, якщо ми вміємо обчислювати об'єм кулі, то з яких міркувань знаходиться обсяг будь-якої його частини?
Слід зауважити, що лише в цьому розділі теорії в підручнику зустрічаються твердження, що не мають достатньо повного обгрунтування, які спираються на наочно ясні міркування. Наприклад, постулюється, що будь-яке просте тіло є об'ємним.
У підручнику І. М. Смирнової та ін [10] реалізований курс, дещо менший за обсягом, ніж у звичайних класах, він розрахований на 2 години на тиждень протягом півтора років. У ньому збережені основні питання традиційної програми з стереометрії. При цьому усунені зайва деталізація і теореми, які відіграють допоміжну роль.
Гуманітарна спрямованість курсу підтримується за рахунок питань історичного, філософського та світоглядного характеру, розгляду додатків геометрії. При цьому курс логічно пов'язаний, містить необхідні визначення, властивості, теореми та їх доведення. Велику роль відіграє наочність.
Після теоретичного матеріалу є завдання для самоконтролю з теорії та різні завдання, серед яких виділено важливі задачі, які використовуються при вирішенні інших завдань. Глави закінчуються списком завдань, за допомогою яких можна повторити зміст глави.
Таким чином, в даний час діючих підручників з геометрії для 10-11 класів дуже багато. Кожен авторський колектив вносить у зміст своїх підручників щось нове, що відрізняє їх від інших. Школа і вчителі мають право вибирати ті з них, які, на їхню думку, дадуть оптимальний рівень знань з геометрії учням того чи іншого класу. У загальноосвітніх школах, де немає поглибленого вивчення окремих предметів, найчастіше використовують підручник [7].
§ 3 Різні підходи до визначення обсягу багатогранників
Задача визначення обсягів тіл відноситься до глибокої давнини. Вона виникла у зв'язку з практичною діяльністю людей. Говорячи простою мовою, обсяг - це частина простору, займана тілом. Точніше: обсяг - деяка фізична, а саме геометрична величина, що характеризує те властивість тіл, що вони тривимірні або займають частину простору. З поняттям величини ми багато разів зустрічалися у фізиці і в геометрії.Перш за все, величини можна вимірювати, отримуючи при цьому іменовані числа. Будемо вважати, що величина, або іменоване число, яке її висловлює, - це одне і те ж.
Тоді: 1) величина не може приймати від'ємних значень, 2) якщо тіло (або носій величини) розбито на частини, то сума величин частин дорівнює величині цілого. Величини одного роду можна складати; 3) для двох величин одного роду існує відношення - абстрактне число, яке не залежить від способу вимірювання величин [3].
Розглянемо конкретний приклад.
|
· По-перше, тому що для заповнення кожної судини потрібна певна кількість рідини, то кожен судина має певний (позитивний) об'єм.
· По-друге, для заповнення рівних судин потрібно одне і те ж кількість рідини. Тому рівні судини мають рівні обсяги.
· По-третє, якщо даний посудину розділити на дві частини, то кількість рідини, необхідне для заповнення всієї судини, складається з кількості рідини, необхідної для заповнення його частин. Тому обсяг всієї судини дорівнює сумі обсягів його частин [24].
За цим визначенням для того, щоб дізнатися об'єм посудини, треба заповнити його рідиною. У житті, однак, потрібно вирішувати зворотну задачу. Потрібно дізнатися кількість рідини, необхідної для заповнення судини, не виробляючи самозаповнення. Якщо б ми знали об'єм посудини, то кількість рідини ми б отримали, множачи обсяг судини на кількість рідини, необхідної для заповнення одиниці об'єму.
Тіло ми будемо називати простим, якщо його можна розбити на кінцеве число тетраедрів, тобто трикутних пірамід. Зокрема, такі тіла як призма, піраміда, взагалі опуклий багатогранник, є простими.
|
Розглянемо інше визначення обсягу багатогранників.
Число, що характеризує величину внутрішньої області багатогранника, називається об'ємом багатогранника.
Суміжними многогранниками називаються такі многогранники, які мають одну або кілька спільних граней, причому інші точки кожного з багатогранників розташовані поза іншого (рис. 2).
Домовимося розглядати обсяг багатогранника як величину, що володіє наступними властивостями:
1. Два рівних багатогранника мають один і той же обсяг, незалежно від їх розташування в просторі.
2. Обсяг багатогранника, що представляє собою суму двох суміжних багатогранників, дорівнює сумі об'ємів цих багатогранників.
3. Якщо з двох багатогранників перший міститься цілком усередині другого, то обсяг першого багатогранника не перевершує обсягу другого.
Многогранники, мають рівні об'єми, називаються рівновеликими [37]. За одиницю об'єму приймається обсяг куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини (мм, см, дм, м тощо).
Природно, такі визначення поняття обсягу багатогранників даються на строгому математичному мовою. Розглянемо підходи до визначення поняття обсягів багатогранників у шкільних підручниках.
У всіх підручниках обсяг вводиться аналогічно площі, з тією лише різницею, що в підручнику [7] визначення немає, а в підручниках [8] і [6] вони є: у підручнику [8] - це позитивна величина, а в підручнику [6 ] - невід'ємна.
Існують два підходи до визначення обсягу:
1 підхід. Поняття обсягу вводиться аксіоматично. Обсяг - це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості:
- Рівні тіла мають рівні об'єми;
- Якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами, то обсяг цього тіла дорівнює сумі обсягів його частин;
- Обсяг куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.
Такий підхід реалізований у підручниках [8] і [6]. Причому, як говорилося вище, перед поняттям обсягу проговорюється аналогія з поняттям площі.
2 підхід. Поняття вводиться конструктивно. Будемо вважати, що кожне з розглянутих нами тіл має обсяг, який можна виміряти за допомогою обраної одиниці вимірювання обсягів. За одиницю вимірювання обсягів приймемо куб, ребро якого дорівнює одиниці виміру відрізків. Куб з ребром
Такий підхід реалізований в підручнику [7]. Відмінність також полягає в тому, що аксіоми, сформульовані в підручнику [8] у визначенні, в підручнику [7] прописані окремою рисою як властивості.
Подальше вивчення відбувається по-різному.
У всіх підручниках першою формулою вводиться обсяг прямокутного паралелепіпеда, як твори трьох його вимірів. Що стосується навчального посібника [6], то в ньому виклад матеріалу відрізняється від інших підручників. Це пов'язано з тим, що призначений він для класів з поглибленим вивченням математики. Матеріал побудований таким чином, що спочатку сформовані наочні уявлення розширюються, причому відштовхуючись від реальності. Потім, переходячи від наочності, здійснюється точна словесна формулювання. Так, наприклад, доводиться теорема про обсяг прямого циліндра. Призма розглядається як окремий випадок - це циліндр, але з іншою підставою. Аналогічним чином вводиться обсяг конуса, а звідси отримуємо як наслідок обсяг піраміди. Представлення обсягу інтегралом доводиться у вигляді теореми, але не в повному обсязі, так як воно складно і потребує розширення поняття інтеграла. Застосування цей матеріал знайшов при доказі формул обсягів циліндра, конуса (піраміди) і кулі. Для деяких тіл обертання дається загальна формула об'єму через інтеграл. У вигляді завдань сформульовані метод Кавальєрі і формула Сімпсона, причому пропонується знайти їм аналоги в планіметрії. Аналогічно пропонується вивести самостійно формули для кульового сегмента, кульових пояса і сектора, визначення яких дано у формулюванні завдань. Є також доповнення до глави, де розглядається питання равновеликости і равносоставленності. Практична частина посібника представлена достатньою кількістю завдань, при цьому їх тематика досить велика в порівнянні з іншими підручниками. Відмінною рисою завдань є те, що учні повинні шукати і, вирішуючи, проводити самостійно аналогію з курсом планіметрії. Це розвиває пам'ять, мислення, уява, а також сприяє більш міцному закріпленню матеріалу.
Проаналізувавши навчальні посібники з даної теми при подальшому розгляді підручників будемо спиратися тільки на підручники [7] і [8], так як у них виклад матеріалу і побудова курсу більш зрозуміло для вивчення школярами.
У молодших і середніх класах (IV) поняття об'єму фігури вживається по суті як первинне, невизначені. В учнів формується переконання в тому, що оточуючі їх фізичні тіла мають певний обсяг, це переконання по інтуїції переноситься і на геометричні тіла. По відношенню до куба і прямокутного паралелепіпеда в IV класі пропонуються формули, які ілюструються (для випадку цілих вимірювань) за допомогою розбиття даної фігури на одиничні кубики. Таке розбиття можна умовно вважати першим у шкільному курсі підходом до визначення поняття обсягу; число одиничних кубів, складових прямокутний паралелепіпед (зокрема куб), приймається за числове значення обсягу відповідної фігури.
У курсі VIII класу учні знайомляться із загальною задачею знаходження обсягів багатогранників і деяких інших фігур. Практика викладання виявила деякі труднощі у засвоєнні цього матеріалу восьмикласниками, до того ж характер його викладу не цілком пов'язаний із загальною практичною спрямованістю пропедевтичного курсу стереометрії [16].
Таким чином, поглиблене вивчення визначення обсягу доводиться відкласти до X класу, де до цього поняття повертаються і в темі «Многогранники» і в темі «Постаті обертання».
§ 4 Цілі вивчення теми «Обсяги багатогранників» в курсі стереометрії
1.4.1. Розвиток просторових уявлень
Широкі можливості для розвитку просторових уявлень відкриваються при використанні різних наочних посібників і ТЗН. Можна організувати роботу з виготовлення наочних посібників силами учнів. Ця робота потребує від них і певних знань, і досить розвинутого просторового уяви. Робота з виготовлення саморобних навчальних наочних посібників проводиться під керівництвом вчителя в класі, в позаурочний час, у гуртках і шкільних виробничих майстерень. Крім позитивного впливу на засвоєння курсу математики, така робота сприяє підвищенню ефективності уроку. Інша річ, коли вчитель зловживає демонстрацією наочних посібників. Цим він позбавляє учнів від потреби напружувати, вправляти уяву і в результаті заважає його розвитку.Використання наочних моделей багатогранників сприяє вирішенню різних дидактичних завдань. Вони будуть корисні на уроках геометрії. Набори багатогранників (каркасні моделі, дерев'яні, з паперу) демонстративні, дають необхідні подання про форму. Вони можуть служити об'єктами для вимірювання та визначення площ поверхонь і об'ємів. Тіла зі скла прозорі і дозволяють бачити елементи фігур, перерізу тіла, які показуються або скляними вкладишами, або за допомогою натягнутих ниток. Ці моделі можуть демонструватися цілому класу. З ними корисно попрацювати і окремому учневі, що пропустив урок або зайнятому вирішенням завдань.
Корисно мати в кабінеті і розбираються набори геометричних тіл, зроблені з картону або щільного паперу. Учні можуть самостійно виготовити розгортки багатогранників. Достатня міцність фігури в збірці може бути досягнута навіть без клею. При необхідності модель можна розібрати (Додаток 1).
Також при вивченні багатогранників та їх обсягів можна використовувати різні робочі і довідкові таблиці. Робочі таблиці - це такі таблиці, за матеріалом яких можна організувати активну розумову діяльність учнів як по засвоєнню нового теоретичного матеріалу, так і за його закріплення. За допомогою робочих таблиць можливо здійснити виконання великого числа вправ, що сприяють виробленню і закріпленню в учнів певних навичок. За ними можна проводити опитування учнів або створити проблемну ситуацію перед класом. На відміну від робочих таблиць, довідкові таблиці, тобто таблиці для запам'ятовування, призначені для тривалого впливу на зоровий апарат учнів. Такі таблиці можуть бути вивішені в кабінеті математики на тривалий час. Таким чином, основною властивістю довідкових таблиць є (крім наочності, яка у ряді випадків відіграє важливу роль) їх дидактична спрямованість. Таблиці ці призначені для примусового впливу на пам'ять учня для запам'ятовування основних фактів, формул, графіків і ін Прикладом таких таблиць може служити таблиця «Обчислення площ і обсягів багатогранників», в якій зображені різні види многогранників і зазначені формули обчислення об'єму та площі поверхні для кожного виду.
Великі можливості виховання самостійності та активності відкриваються при використанні зошитів з друкованою основою. На даний момент вони все частіше з'являються в школах. Зошити з друкованою основою призначаються для організації самостійної роботи на етапі закріплення та повторення пройденого матеріалу. Основна відмінна риса зошити в тому, що вона дозволяє більш раціонально використовувати навчальний час, так як учні звільняються при роботі із зошитом від механічного переписування тексту завдань і основну увагу зосереджують на виконанні завдань, включених у зошит. Зошити з друкованою основою включають велику кількість завдань. Мета завдань різна. Завдання можуть дати учневі зразок способу міркувань, рішення. Дані в зошити можуть містити пропуски в тексті, які учні повинні заповнити при роботі з зошитом (причому пропущені не випадкові слова, а такі, які змушують учня зайвий раз звернутися до визначень, задуматися над послідовністю операцій). Отже, зошит з друкованою основою дає можливість відпрацьовувати і прищеплювати учням навички розв'язання типових задач.
Також не можна забувати й про такі засоби навчання як діапозитиви, кодопозітіви, комп'ютерні засоби, які можуть бути ефективно застосовані при вивченні багатогранників та їх обсягів.
Нерідко наочні засоби розглядають лише як тимчасову опору при початковому засвоєнні знань. Прихильники такої оцінки ролі наочних засобів вважають, що моделі в цьому випадку привчають учнів до очевидності і тому не сприяють розвитку логічного мислення. Висувається навіть дидактичне правило: чим старше учні, тим менше моделей повинне застосовуватися у викладанні математики. Прийняти таку точку зору і що з неї дидактичне правило не можна, так як вони неспроможні. Правильно розуміється застосування наочних засобів не тільки доречно, але і необхідно на всіх ступенях навчання.
Таким чином, готуючись до конкретного уроку, вчитель вибирає ті кошти, з якими легше організувати необхідну роботу учнів, тобто найбільш прості в даний момент для їх сприйняття.
Щоб деяка матеріальна модель дозволяла організувати засвоєння того чи іншого поняття, вона повинна не тільки правильно його відображати, а й бути простий для сприйняття учнями.
Таким чином, щоб досягти основної мети вивчення багатогранників - це розвиток просторових уявлень і просторового уяви учнів - необхідно використовувати на уроках геометрії наочність і ТЗН.
1.4.2. Розвиток логічного мислення
Дана мета реалізується через правильно підібраний задачний матеріал і розумне поєднання логіки і інтуїції учнів. Заданий матеріал по темі «Обсяг багатогранників» дає можливість застосування різних методів. Одна і та ж завдання може бути вирішена по-різному. Цілеспрямована робота вчителя за рішенням «опорних» завдань (задач, часто зустрічаються і є елементами інших завдань по темі «Обсяг багатогранників»), з навчання умінню застосовувати різні методи при їх вирішенні, з відбору завдань для демонстрації ефективності того чи іншого методу розв'язання дає відчутні результати.Матеріал підручника, різних допомог представляє вчителю багаті можливості для подальшого розвитку логічного мислення учнів. Тут вводяться багато нових понять, визначень, доводяться теореми, при цьому можливе ефективне застосування різних методів (координатний, векторний та ін.) Рішення задач на побудову або задач, що включають побудову як проміжний елемент, вимагає логічного обгрунтування, вмілої запису. При роботі над визначенням, теоремою не можна обмежуватися відтворенням тексту підручника, потрібно так організувати роботу на уроці, щоб учні зрозуміли необхідність кожного з властивостей, що фігурують у визначенні поняття, вміли розпізнати поняття за його визначенням, вміли виділяти умову і висновок теореми. Безперечну користь принесе переформулировка досліджуваних властивостей обсягу і багатогранників в термінах «якщо - то», «необхідно - достатньо», виявлення умов застосовності кожної з теорем.
Необхідно також пам'ятати, що при вивченні обсягів багатогранників, як і при вивченні інших розділів курсу стереометрії, повинно здійснюватися розумне поєднання інтуїції учнів та логіки. Педагогічно недоцільно прагнути суворо визначати ті поняття, про які учні мають досить чітке і правильне уявлення з власного життєвого досвіду, а формулювання яких є занадто громіздкими.
Висновки по § 1
1. Основні цілі вивчення теми «Обсяги багатогранників» в курсі стереометрії - розвиток просторових уявлень учнів, освоєння способів обчислення практично важливих величин і подальший розвиток логічного мислення учнів.
2. Аналіз програми та підручників показав, що в даний час найбільш адаптованими підручниками для загальноосвітніх шкіл є [7] і [8].
3. На сучасному етапі навчання найбільш доцільним є конструктивний спосіб введення поняття «Обсяг багатогранників».
4. При підготовці до кожного уроку необхідно вибирати такі засоби наочності, які дозволяють легше організувати роботу з учнями з розвитку просторових уявлень.
5. Для реалізації основних цілей вивчення теми необхідна ретельно продумана система завдань з практичним змістом і завдань на розвиток логічного мислення.
Глава 2. Методика вивчення теми «Обсяги багатогранників»
§ 1 Пропедевтика вивчення теми «Обсяги багатогранників»
Як за раніше діяла, так і за новою програмою тема «Прямокутний паралелепіпед і його об'єм» вивчається у 5 класі і ув'язується з вивченням законів арифметичних дій. Виклад цього матеріалу містить максимально повний розгляд питань, пов'язаних з початковими просторовими уявленнями, прямокутним паралелепіпедом і поняттям обсягу. Експеримент, проведений у багатьох школах, показав, що таке викладення теми потребує 15-16 уроків, в той час, як нова програма відводить на цей матеріал (разом з вирішенням завдань) кілька менший час. Підручник математики повинен містити повне пояснення, що дозволяє учневі у разі необхідності (наприклад, у разі пропуску двох-трьох уроків через хворобу) самостійно розібратися в матеріалі за підручником. Між тим виклад початкового геометричного матеріалу в наших підручниках для 5 класу традиційно є надмірно стислим, практично не розкриває всі моменти елементарної геометрії. Тому при поясненні матеріалу і при вирішенні завдань вчитель змушений сам давати додаткові роз'яснення.По-перше, учні повинні розуміти, що таке прямокутний паралелепіпед. Йдеться зовсім не про те, щоб вони уявляли собі прямокутний паралелепіпед як щось схоже на коробку або брусок. В учнів повинні бути сформовані початкові просторові уявлення: поверхня і каркас прямокутного паралелепіпеда, четвірки паралельних ребер, вимірювання прямокутного паралелепіпеда, рівність протилежних граней, розгортка і т. д.
Яким би простим тілом не здавався паралелепіпед, учням потрібен певний час на знайомство з ним. Кожен учень повинен мати на уроці та вдома якусь модель паралелепіпеда. При цьому важливо, щоб учні не просто розглядали паралелепіпед, а й задіяли при його вивченні та інші види сприйняття. Так, вони повинні не тільки очима, але й пальцями провести по його ребрах, «відчути», що в кожній вершині сходяться три ребра. Взявши паралелепіпед у руки так, щоб в кожній його вершині виявилося по одному пальцю, вони побачать і відчують м'язово, що число задіяних пальців дорівнює 8, отже, у паралелепіпеда 8 вершин. Аналогічно можна порахувати і число його граней. Таке використання при сприйнятті тіла різних органів почуттів допомагає створити більш повний його розумовий образ [19].
Результатом подібного вивчення паралелепіпеда має стати усвідомлення цілого ряду особливостей. Всі грані прямокутного паралелепіпеда - прямокутники, і всього їх шість, навпроти один одного розташовані рівні межі, таких пар рівних граней і три, в кожній вершині сходиться три нерівні межі. Аналогічні висновки можна зробити і про ребрах: всього їх 12; є рівні ребра - три групи по чотири ребра; в кожній вершині сходиться три ребра різної довжини. Нарешті, вершини: їх 8, по чотири вершини в кожній з протилежних граней. Таке всебічне та уважне вивчення паралелепіпеда, однак, не передбачає, що пропоновані далі завдання виконуються учнями в розумовому плані без опори на моделі і малюнки.
Особливістю розгляду паралелепіпеда є комбінований характер більшості розглянутих завдань, який полягає не тільки в активній роботі просторової уяви, а й у залученні вивчених раніше понять в нових ситуаціях і поєднаннях: ламана, складена з ребер куба, периметр межі, площа поверхні і ін Це створює певні складності для учнів, тому виконання таких вправ вимагає додаткових коментарів і роз'яснень вчителя.
По-друге, учні повинні отримати початкове уявлення про об'єм тіла як про місце, що займається цим тілом у просторі. Це завдання нам представляється особливо важливою. Учні повинні отримати внутрішнє переконання про те, що об'єм - це об'єктивне властивість навколишніх предметів [1].
Почати вивчення пункту «Обсяг паралелепіпеда» корисно з нагадування про те, як вимірюються довжини та площі (вибір одиниці вимірювання та ін) (Додаток 4)
Висновок правила обчислення обсягу паралелепіпеда аналогічний висновку правила обчислення площі прямокутника, тому спочатку корисно повторити висновок останнього. Зауважимо, що дуже важливо супроводити висновок правила знаходження об'єму паралелепіпеда практичним виконанням учнями описаних у підручнику дій. Корисно дати кожному учневі можливість повторити ці дії самостійно, промовляючи і пояснюючи їх. Ці дії щодо заповнення простору кубиками слід поступово перевести в розумовий план. Необхідність у них з часом відпаде і, зберігаючи ідею вимірювання простору, учні зможуть спочатку перейти до правила обчислення обсягу паралелепіпеда, а пізніше і до формули. Цим і визначається значна частка завдань з кубиками, в яких потрібно зобразити тіло заданого обсягу, скласти (подумки або практично) паралелепіпед і визначити його вимірювання, по зображенню визначити число кубиків, що увійшли в коробку, і т. д. Крім того, ці вправи чудово розвивають просторову уяву: вміння уявити фігуру по її опису або зображенню, виконати за допомогою неї задані дії.
По-третє, учні повинні засвоїти формулу обчислення обсягу прямокутного паралелепіпеда. При цьому вони повинні чітко розуміти, що, наприклад, формула V = abc дає не визначення обсягу прямокутного паралелепіпеда, а спосіб його обчислення. Нам видається абсолютно неприпустимим відповідь учнів, який частіше за все доводиться чути: «Обсяг прямокутного паралелепіпеда - це добуток трьох його вимірів».
Якщо до цього додати, що зазначений матеріал повинен бути пов'язаний з законами арифметичних дій, що необхідно навчити п'ятикласників вирішувати завдання, пов'язані з перебування обсягу прямокутного паралелепіпеда, що потрібно розглянути питання про одиниці вимірювання обсягів та про перехід від одних одиниць до інших і що, нарешті , необхідно провести заключну контрольну роботу по темі, то стане ясно, що укласти все це в 16 годин можна лише при напруженому режимі часу в класі. Тенденція до зменшення кількості годин, відведених на дану тему, нам представляється не тільки методично не виправданою, а й шкідливою.
Учні повинні вміти приблизно уявляти кубічні одиниці виміру: 1 см 3, 1 дм 3,
Переклад одних одиниць в інші повинен спиратися на знання лінійних метричних залежностей. Корисно, якщо учні складуть табличку залежностей між основними одиницями обсягу, і будуть користуватися нею в подальшому при виконанні вправ (Додаток 4).
Дуже важливий момент в темі «Обсяги» - це перехід від одних одиниць виміру до інших. Утруднення дітей в нерозумінні, а що ж таке «куб. од. »(од 3)? Звідси велика кількість помилок при виконанні завдань типу: «Висловіть в кубічних сантиметрах 2 дм 3 80 см 3». Учень судорожно згадує, скільки кубічних сантиметрів в кубічному дециметрі. Природно, він часто помиляється і не має алгоритму для перевірки своїх знань.
Особливе місце при вивченні обсягу тел займає навчання порівнянні, зокрема порівнянні факту, вираженого словесно, з його інтерпретацією на кресленні. Креслення може служити спростуванням якогось загального висловлювання. Навчаючись спростовувати невірні висловлювання, школярі поступово звикають до доказів. А це необхідний вид діяльності при вивченні геометрії.
Отже, різнобічна робота з малюнком, кресленням не тільки сприяє загальному розумовому розвитку школярів, але розвиває просторову уяву, забезпечуючи більш повне і продуктивне вивчення геометрії, і починати цю роботу необхідно у 5-6 класах при вивченні математики.
Завдання: 1) Є дві посудини місткістю
2) Якими можуть бути розміри кімнати, об'єм якої дорівнює
3) Виготовте каркасну модель куба об'ємом 1дм 3.
4) Куб з ребром
5) Обчисліть об'єм вашої кімнати, де ви займаєтеся будинку [5].
Відзначимо, що при вивченні обсягів тіл необхідно приділяти увагу і розгортки геометричних тіл. Почати роботу з вивчення цього матеріалу необхідно з практичної діяльності: виготовлення розгортки і згортання її в просторове тіло. Важливо при цьому звертати увагу учнів на сам процес згортання, на те, які грані виявилися протилежними, а які - сусідніми, які відрізки і точки поєдналися. Перехід від практичного рішення до уявного повинен здійснюватися поступово, з урахуванням індивідуального розвитку учнів.
Завдання: 1) Куб складний з 8 маленьких кубиків. Скільки прямокутних паралелепіпедів міститься в цьому кубі?
2) Дерев'яний куб пофарбували з усіх боків, потім розпиляли його на 27 однакових кубиків. Скільки серед них мають одну, дві, три пофарбовані грані? Скільки кубиків не забарвлене?
3) З постатей виберіть ті, які є розгортками куба? (Рис. 3)
|
4) Якої довжини вийде смуга, якщо кубічний кілометр розрізати на кубічні метри і викласти їх в одну лінію?
5) У порожній прямокутний басейн, розміри якого 100 х
§ 2 Методика вивчення теми «Об'єм. Обсяги призми. Обсяги прямокутного паралелепіпеда »
При плануванні даної теми слід попередньо розбити її на логічно закінчені частини. Це допоможе вчителю правильно організувати повторення, проводити систематично облік і контроль знань учнів, вчасно і поступово готувати засоби наочності, згрупувати вміння та навички у відповідності до вказівок програми, завчасно підібрати відповідні завдання та порядок їх, підготувати тематику і зміст самостійних і контрольних робіт, а також інші дидактичні матеріали (Додаток 2).Тема «Обсяги багатогранників» вивчається в 11 класі. На уроки геометрії в 11 класі відводиться по дві години на тиждень, всього 68 годин. З них на обсяги багатогранників відводиться 15-19 годин (в залежності від підручника).
Підготовчою роботою до початку вивчення теми «Обсяги багатогранників» може служити повторення теми «Многокутники», властивостей і формул площ багатокутників, багатогранників, задач на побудову перерізів з курсу 10 класу.
Вже у 7-9 класах вчитель може включати в уроки завдання типу:
1) Чому дорівнює площа поверхні прямокутного паралелепіпеда, у якого довжини ребер, що виходять з однієї вершини, рівні a, b, c?
Рис. 4 |
3) Скільки фарби потрібно, щоб пофарбувати
куб з ребром
4) Обчисліть площу повної поверхні правильної чотирикутної призми, сторона підстави якої дорівнює
|
5) На рис. 5 зображено розгортка чотирикутної призми. Виконайте необхідні вимірювання і обчисліть площа повної поверхні призми.
6) Обчисліть площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона підстави якої дорівнює
7) Обчисліть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, сторона підстави якої дорівнює
Основна мета уроків - ввести поняття об'єму тіла, розглянути властивості обсягів, теорему про обсяг прямокутного паралелепіпеда і слідство про обсяг прямої призми, підставою якої є прямокутний трикутник.
Для введення поняття обсягу учням знадобляться знання з курсу планіметрії, які необхідно повторити, а саме: поняття багатокутника, його площа, властивості площ, знання формул для знаходження площ деяких багатокутників, поняття багатогранника, їх види, властивості.
Необхідно нагадати відомі учням поняття призми і прямокутного паралелепіпеда. Підкреслити, що кожна з цих поверхонь обмежує деякий геометричне тіло й відокремлює його від решти частини простору. Якщо слідувати строго дедуктивного шляху викладу шкільного курсу стереометрії за підручником [7], треба визначити такі поняття як «геометричне тіло», «обмеженість тіла», «просте тіло», які лежать в основі визначення обсягу багатогранника. Однак на будь-якому етапі навчання в середній школі слід керуватися принципом педагогічної доцільності при введенні поняття. У даному випадку, як поняття геометричного тіла, так і поняття обмеженості тіла, педагогічно доцільно вважати інтуїтивно зрозумілим для учнів з їх досвіду і не давати їм формально-логічних визначень, які виявляться недоступними для всіх учнів. Цей матеріал можуть прочитати самостійно найбільш підготовлені учні, які виявляють підвищений інтерес до математики.
Вважаємо, що корисно перед вивченням визначення «Об'єм» провести з учнями бесіду з теми «Многогранники та його елементи».
1. Поясніть, що таке:
а) багатогранник;
б) поверхню багатогранника.
2. Дан опуклий багатогранник. Що називають його гранню, ребром, вершиною?
3. Назвіть відомі вам багатогранники. Опуклим або неопуклих є кожен з них? Скільки граней, ребер, вершин у кожного з них?
4. Два тетраедра мають загальну межу і розташовані по різні боки від неї. Скільки вершин, ребер, граней має отриманий багатогранник?
5. Які фігури можна отримати в перетині куба площиною, що проходить через:
а) одне з ребер;
б) одну з діагоналей;
в) одну з його вершин?
6. Наведіть приклад, який показує, що об'єднання опуклих фігур може не бути опуклою фігурою.
7. Чи є просторовий хрест (фігура з семи рівних кубів) правильним багатогранником? Скільки квадратів його обмежує? Скільки у нього вершин і ребер?
8. Чи обов'язково є багатогранник правильним, якщо всі його ребра і багатогранні кути рівні? [17]
Після введення поняття обсягів багатогранників необхідне рішення задач на знаходження обсягів, на властивості об'ємів многогранників. У вчителя є вибір: або він сам підбирає необхідні завдання, або він бере завдання з підручника.
Для формування поняття об'єму тіла авторами підручника [7] пропонується використовувати такі типи завдань:
ü знаходження об'ємів тіл за допомогою формул;
ü знаходження елементів тіл по їх об'єму;
ü обчислення обсягів багатогранників, використовуючи властивість адитивності.
Використовуючи моделі багатогранників (куб, тетраедр, паралелепіпед, призма тощо) необхідно назвати його елементи: вершини, грані, діагоналі граней, діагоналі розглядуваних тіл. Важливо, щоб школярі засвоїли ці поняття, що дозволить правильно розуміти формулювання завдань, не змішуючи назви різних елементів у процесі їх вирішення. Також ці знання знадобляться в подальшому при виведенні формул для знаходження об'ємів тіл.
В даний час в шкільних програмах з геометрії все частіше використовують навчальні посібники [7] і [8]. Докази теорем в даних підручниках представлені в додатках 5 і 6, виділимо позитивні та негативні сторони викладу матеріалу.
Доказ теореми в підручнику [7] розбито на два випадки:
1) вимірювання a, b, c - кінцеві десяткові дробу,
2) хоча б один з вимірів a, b, c - нескінченна десятковий дріб. При цьому автор робить посилання, що доказ цієї теореми не є обов'язковим для вивчення. У першому випадку (a, b, c - нескінченна десятковий дріб), автор пропонує розбити кожне ребро паралелепіпеда на рівні частини довжини 1 / 10 n, а потім через ці точки провести площині, перпендикулярні даному ребру. Після знаходять обсяг кожного такого куба (з опорою на поняття обсягу), а потім за властивостями обсягу знаходять обсяг даного тіла, тобто прямокутного паралелепіпеда.
Наслідком теореми є узагальнення отриманої формули для прямокутного паралелепіпеда і прямої призми, в основі якої лежить прямокутний трикутник, як твори площі основи на висоту.
За підручником [8] при виведенні даної формули спочатку доводять твердження про те, що обсяги двох прямокутних паралелепіпедів з рівними підставами ставляться як їх висоти. При доведенні цього твердження автор також пропонує розбити ребро одного з паралелепіпедів на велике число n рівних частин, а ребро іншого паралелепіпеда на m рівних частин. Потім через точки поділу проводить площині, паралельні основи. Знаходить для кожного з них обсяги, розглядає проміжки, в яких вони знаходяться. А так як число n можна брати як завгодно великим, то отже доводиться умова цього твердження. Потім автор бере куб, який є одиницею виміру обсягу, і три прямокутних паралелепіпеда з вимірами: а, 1,1; а, b, 1; a, b, c. Позначив їх обсяги і з доведеним твердженням вивів формулу.
Перевага підручника [7] у тому, що після кожного пункту йде список питань і задач, у той час, як у підручнику [8] практична частина представлена невеликою кількістю завдань. Але основна тематика завдань двох підручників схожа одна на одну. Далі порядок вивчення тем розходиться. У підручнику [8] пропонується розглянути обсяг похилого паралелепіпеда, причому доказ зводиться до додавання і відсікання трикутної призми. Тоді доказ буде спиратися на формулу прямокутного паралелепіпеда.
Використовуючи наслідок теореми і властивості обсягів, доводиться формула обсягу прямої призми, також у два етапи. Спочатку для прямої призми, в основі якої лежить довільний трикутник, а потім більш загальний випадок - для довільної призми. При доведенні авторський колектив підручника [7] спирається на виведену формулу обсягу прямої призми, в основі якої прямокутний трикутник. Тому на другому етапі учні легко можуть довести формулу для довільної прямої призми, розбивши підставу на трикутники.
Автор підручника [8] при доведенні теореми про обсяг призми, доповнює спочатку її до паралелепіпеда; використовується властивість симетрії для того, щоб показати, що добудована призма симетрична вихідної, а отже їх обсяги рівні. Учні вже вміють знаходити обсяг паралелепіпеда, а площа основи (що складається з двох трикутників) вони вміють знаходити ще з планіметрії. Отже, вони зможуть знайти об'єм призми. Далі Погорєлов розглядає довільну призму. Так само як і Атанасян, Погорєлов розбиває підставу призми на трикутники. Потім знаходить обсяг кожної такої призми, а вже потім за визначенням обсягів знаходить обсяг даної призми (як сума обсягів трикутних призм, її складових).
§ 3 Методика вивчення теми «Обсяги піраміди»
На вивчення теми «Об'єм піраміди» доцільно відвести три уроки.На першому уроці слід розглянути доказ теореми про обсяг піраміди. Основна мета даного уроку - вивести формулу для знаходження об'єму піраміди, показати застосування теорії до вирішення завдань.
Для цього необхідно запропонувати учням завдання на знаходження площі поверхні піраміди, згадати основні елементи, властивості. Запропонувати учням завдання на знаходження площі основи і т.д.
Використовуючи текст підручника, необхідно докладно розібрати, як виходить вираз для площі перерізу піраміди через площу її заснування:
S (x) =
Обчислити інтеграл
Другий урок можна присвятити повторення питань теорії та вирішення завдань. При підведенні підсумків уроку можна використовувати питання 4, 5 до глави VII підручника [7], а також завдання:
·
|
|
На третьому уроці виводиться формула об'єму усіченої піраміди як наслідок теореми про обсяг піраміди. У підручнику [7] пропонується вивести цю формулу самостійно.
У кінці цього уроку проводиться самостійна робота з підручником [7] контролюючого характеру (на 6-8 хв):
Варіант I: завдання № 686 (а) для l =
Варіант II: завдання № 688 (а) для Н =
Можна провести практичну роботу (враховується як контрольна). Учитель заздалегідь готує моделі правильних пірамід (4-6) для роботи в класі. Моделі, покупні або виготовлені учнями, перенумеровуються і лунають по одній. Учень не отримує ту модель, яку він сам виготовив. Учитель має готові відповіді. Виміри проводяться в см або в мм.
Вказівки даються усно:
1) Замість літери n поставити цифри 4 або 6.
2) Виконати всі необхідні вимірювання, зробити креслення, заповнити таблицю.
3) Вираз для обчислення площі підстави Q записати.
4) Всі обчислення записувати в таблицю.
Модель № ... ... ... Правильна n-вугільна піраміда | |
| Сторона основи ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Периметр підстави ... ... ... ... ... ... ... ... .... Площа підстави ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. Апофема піраміди ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. Площа бічної поверхні ... ... ... ... ... Площа повної поверхні ... ... ... ... .... Висота піраміди ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... Об'єм піраміди ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. | а (см) Р (см) Q (см) А (см) S бік (см 2) S (см 2) Н (см) V (см 3) |
1. За розгортці, даної в масштабі, обчислити дійсні площа повної поверхні і об'єм: 1) правильної призми (рис. 8), 2) правильної піраміди (рис. 9)
2.
|
|
Вказівка: при виконанні у зошиті креслень піраміди і призми учень може взяти довільні розміри основних елементів.
3. Обчислити об'єм башти, розміри якої в метрах дані на малюнку 10.
Виведення формули об'єму піраміди в підручнику [7] розглядається в два етапи (додаток 7). Спочатку автор пропонує розглянути для трикутної піраміди, а потім - для довільної. Автор проводить вісь, розглядає переріз площиною, висловлює площа перерізу через площу основи, застосовує основну формулу для обчислення обсягів (певний інтеграл). У доказі автор також використовує ознаки подібності. Таким чином, добре простежується зв'язок з раніше вже вивченим.
Наслідком теореми, на відміну від [8], є формула об'єму для усіченої піраміди. Докази в даному підручнику, не наведено. У підручнику [7] формулювання формули наведена, як завдання, причому автор сам завдання вирішує.
Ми розглянули основні рекомендації для вивчення даної теми, які описані у відповідній літературі. Але є й інші прийоми і методи, якими практично не користуються, але вони мають свої переваги. Далі наведена приблизна (авторська) система даних уроків.
|
Справа в тому, що обсяги тіл - тема, яка викликає чималі труднощі в учнів. У цьому розділі є чотири важких для засвоєння теореми: 1) про обсяг прямокутного паралелепіпеда, 2) про обсяг піраміди; 3) про обсяг циліндра; 4) про об'єм тіла, отриманого обертанням криволінійної трапеції [21].
Висновки формул для обчислення обсягу кожного виду багатогранника, циліндра, конуса проводяться різними методами, що викликає значні труднощі при їх відтворенні.
Пропонована мною система вивчення цього розділу усуває недоліки та створює умови для засвоєння основної ідеї вимірювання фігур у просторі: обсяг фігури може бути знайдений за допомогою обчислення інтеграла від певним чином заданої функції.
З метою здійснення такого підходу до вимірювань просторових фігур пропонується присвятити кілька уроків узагальнення вивченого раніше матеріалу про вимірювання відрізків і плоских фігур (про довжини і площах) і ввести аналогічним чином вимір просторових фігур. Розглянемо їх зміст більш докладно.
Урок 1
Тема уроку: узагальнення властивості довжин відрізків і площ плоских фігур.
Мета уроку: повторити властивості довжин відрізків і площ фігур, провести необхідні аналогії.
На початку уроку необхідно повторити таблицю метричної системи мір довжини, площі та обсягів. Для цього зручно заготовити таку таблицю заздалегідь (якщо її немає в кабінеті) і вивісити її перед учнями (Додаток 4).
Вправи для повторення властивостей площ фігур:
1. На рис. 11 зображено відрізок АВ. Знайдіть довжину відрізка АВ, вважаючи одиницею вимірювання: а) бік однієї клітини, б)
При вирішенні цього завдання слід акцентувати увагу учнів на тому, що довжина одного і того ж відрізка може виражатися різними числами в залежності від вибору одиниці виміру. Але якщо одиниця вимірювання вже вибрана, то довжина відрізка є єдине число. При цьому довжина відрізка завжди позитивна.
2. На рис. 12 зображена плоска фігура ABCDEF. Знайдіть її площа, прийнявши за одиницю вимірювання: а) половину клітини, б) одну клітку, в) трикутник POQ.
При вирішенні цього завдання слід звернути увагу учнів на те, що площа плоскої фігури є число, яке залежить від вибору одиниці виміру. Якщо одиниця виміру обрана, то площа фігури єдина. Крім того, площа фігури обов'язково неотрицательна, яка б фігура не була взята в якості одиниці виміру.
|
|
3. Прямокутник має боку 5
4.
|
Вирішуючи це завдання, ми користуємося такою властивістю площ плоских фігур: якщо плоска фігура розбита на дві, загальна частина яких є лінія або точка, то площа всієї фігури рівна сумі площ, її складових.
5.
Рис.14 |
Вирішивши цей комплекс завдань, можна зробити висновки, сформулювавши їх як властивості вимірювання площ плоских фігур.
Вправа для закріплення:
1. Доведіть, що два трикутника, на які діагональ ділить паралелограм, мають рівні площі.
2.Основаніе прямокутника в два рази більше його висоти. Покажіть на малюнку: а) як потрібно розрізати цей прямокутник на дві частини, щоб з них можна було скласти прямокутний трикутник, б) як розрізати його на дві частини, щоб з них можна було скласти рівнобедрений трикутник, в) як розрізати його на три частини так, щоб з них можна було скласти квадрат. Що можна стверджувати про площі цих фігур (рис. 14, а-в)?
Урок 2
Тема уроку: об'єм тіла.
Мета уроку: сформулювати основні властивості об'ємів.
Вимірювання обсягів просторових фігур має задовольняти властивостям, аналогічним властивостям вимірювання довжин відрізків і площ плоских фігур.
Учитель формує такі властивості.
Кожній просторовому тел ставиться у відповідність величина (об'єм тіла), причому це відповідність задовольняє таким умовам:
· Обсяг будь-якого тіла неотрицатель;
· Конгруентні тіла мають рівні об'єми;
· Якщо тіло М є об'єднання тел М 1 і М 2, перетин яких або містить тільки точки або лінії поверхонь обох тіл, або порожньо, то обсяг тіла М дорівнює сумі об'ємів тіл М 1 і М 2;
· Обсяг куба, довжина ребра якого дорівнює 1, дорівнює одиниці.
Вправи для закріплення властивостей обсягів просторових фігур:
1. Прямокутний паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, обсяг якого 18 см 3, розділений перетином KLMN на два конгруентних тіла (рис. 15). Знайдіть обсяг кожної частини.
2. З кубів, довжини ребер яких рівні
|
4. Прямокутний паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 розділений площиною АСС 1 А на дві трикутні призми, обсяг однієї з яких дорівнює 8 см 3. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
|
|
Урок 3
Тема уроку: інтегральна формула для обчислення обсягу фігури.
Мета уроку: показати побудова підінтегральної функції і спосіб обчислення обсягів фігур за допомогою інтеграла.
На початку уроку в ході вирішення ряду вправ слід нагадати учням спосіб обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла:
Після цього слід повідомити учням, що для обчислення обсягів просторових фігур існує аналогічний спосіб, до вивчення якого ми й переходимо.
Нехай дана просторова фігура Ф. Виберемо площину
Виберемо пряму Ох, перпендикулярну площині
Серед площин даної множини є такі, які перетинають фігуру Ф. Перша з цих площин має координату а, а остання - b. Таким чином, постать Ф укладена між площинами
Вправи:
1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, довжина ребра якого дорівнює 3. Як площині
2. Дана піраміда ABCD. Як площині
3. Дан кулю радіуса
4. Побудуйте функцію S (x) для кулі радіуса
5. Побудуйте функцію S (x) для конуса з висотою Н і радіусом основи R, якщо як площині
Після вирішення цих вправ формулюється наступне визначення: об'ємом фігури Ф називається інтеграл від a до b функції S (x):
Вправи:
6. Запишіть інтегральну формулу для обчислення обсягів фігур, заданих у упр. 4, 5.
7. Запишіть формулу для обчислення об'єму циліндра висоти Н і радіуса R, якщо як площині
8. Запишіть формулу для обчислення обсягу прямокутного паралелепіпеда з вимірами m, p, n (площина
Урок 4
Тема уроку: інтегральна формула для обчислення обсягу фігури.
Мета уроку: закріпити вивчене на попередньому уроці і провести доказ обгрунтованості даного визначення обсягу.
Вправи:
1. Виведіть формулу для обчислення обсягу призми з висотою Н та площею основи S.
Рішення. Тут a = 0, b = H, S (x) = 0. Отже,
2. Виведіть формулу для обчислення об'єму піраміди з висотою Н та площею основи Q (аналогічно тому, як це робилося для конуса).
Рішення. Виберемо як площині
Оскільки обсяги фігур повинні задовольняти раніше перерахованим властивостям обсягів, то треба показати, що при такому визначенні обсягу ці властивості виконані.
Вправи:
Випишіть інтегральні формули і виведіть формули для обчислення об'єму:
1. Призми з висотою Н та площею основи S.
2. Піраміди з висотою Н та площею основи Q.
3. Циліндра з висотою Н і радіусом підстави R.
4. Конуса з висотою Н і радіусом підстави R.
5. Шара радіуса R.
Після вивчення всіх формул для знаходження об'єму тіл слід провести перевірочну роботу в вигляді тесту.
Тест (обсяг прямокутного паралелепіпеда) [34]
1. Виберіть неправильне твердження.
а) За одиницю вимірювання обсягів приймається куб, ребро якого дорівнює одиниці виміру відрізків;
б) тіла, які мають рівні обсяги, рівні;
в) обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів;
г) обсяг куба дорівнює кубу його ребра;
д) обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі підстави на висоту.
2. Знайдіть обсяг прямокутного паралелепіпеда, якщо його довжина дорівнює
а) 252 см 3; б) 126 см 3; в) 164 см 3; г) 462 см 3; д) 194 см 3.
3. Підставою прямокутного паралелепіпеда служить квадрат, діагональ якого дорівнює 6. Через діагональ підстави і протилежними вершинами верхнього підстави проведена площину під кутом 45 0 до нижнього основи. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
а) 108; б) 216; в) 27; г) 54; д) 81.
4. Сторони підстави прямокутного паралелепіпеда дорівнюють
а) 390
Тест (обсяг призми)
1. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 2
а) 15
2. Виберіть неправильне твердження.
а) Обсяг прямої призми, підставою якої є прямокутний трикутник, дорівнює добутку площі підстави на висоту;
б) обсяг правильної трикутної призми обчислюється за формулою
в) обсяг прямої призми дорівнює половині добутку площі основи на висоту;
г) обсяг правильної чотирикутної призми обчислюється за формулою
д) обсяг правильної шестикутної призми обчислюється за формулою
3. Підставою прямої призми є ромб, сторона якого дорівнює
а) 720
4. Підставою прямої призми служить трикутник зі сторонами 10, 10, 12. Діагональ меншою бічній грані складає з площиною підстави кут 60 0. знайдіть обсяг призми.
а) 480
Тест (обсяг піраміди)
1. Обсяг правильного тетраедра дорівнює 9 см 3. Знайдіть його ребро.
а)
2. Виберіть неправильне твердження.
а) обсяг піраміди дорівнює добутку однієї третьої площі основи на висоту;
б) обсяг правильного тетраедра обчислюється за формулою
в) обсяг усіченої піраміди, висота якої дорівнює h, а площі підстави рівні S і M, обчислюється за формулою
г) обсяг правильної трикутної піраміди, ребро якої дорівнює а і всі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом
д) обсяг правильної шестикутної піраміди, ребро якої дорівнює а і всі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом
3. Знайдіть обсяг усіченої піраміди, площі підстав якої рівні 3 см 2 і 12 см 2, а висота дорівнює
а) визначити не можна, б) 7 см 3; в) 42 см 3; г) 14 см 3; д) 56 см 3.
4. Підставою піраміди мавсим служить трикутник зі сторонами АВ = 5 см, ВС =
а) 300 см 3; б) 260 см 3; в) 780 см 3; г) визначити не можна; д) см 3.
Поглиблене вивчення геометрії за підручником [6]
Розглянемо методичні рекомендації для поглибленого вивчення теми «Обсяги багатогранників». В даний час для даного навчання в школах використовують підручник [6], так як саме він рекомендований (допущений) Міністерством освіти і науки Російської Федерації до використання в освітньому процесі в загальноосвітніх установах. Теоретичний матеріал підручника розбитий на дві частини - основну та додаткову. Основна частина містить теоретичні відомості (аксіоми, визначення, теореми); матеріал, в якому розказано про значення найбільш важливих геометричних результатів, про різних застосуваннях стереометрії в інших науках, техніці, мистецтві, побуті, про історію геометрії.
У додатковому матеріалі з більшою глибиною і подробицею обговорюються найважчі питання курсу. Цей матеріал розрахований на учнів, особливо цікавляться математикою.
Глава V даного навчального посібника присвячена обсягами тел багатогранників. Ця глава традиційна для шкільного курсу геометрії. І побудова її начебто б традиційне: спочатку вироблення загального поняття, потім висновок конкретних формул. Однак є й характерні відмінності.
1. Чітко з'ясовується безліч фігур, які мають об'єм в сенсі цього визначення.
2. Вперше в шкільному курсі (і в такому формулюванні) дається теорема про існування та єдність обсягу.
3. Теорема про представлення обсягу інтегралом розглянута за допомогою наочних міркувань, так як повний доказ «складно і вимагає розширення поняття інтеграла», однак міркування наведено тактовно і не порушує впевненості учня у можливість довести це твердження.
4. У цьому підручнику виводиться формула для знаходження об'єму похилого паралелепіпеда.
Обсяг прямого циліндра
У пункті 26.1 висловлені наочні міркування, «доказ математичного твердження з точки зору фізики». З урахуванням рівня класу можна припустити кілька варіантів подальших подій:
а) цим і обмежитися;
б) запропонувати бажаючим розібрати пункт 26.2 самостійно і відповісти індивідуально на оцінку;
в) запропонувати окремим учням зробити повідомлення про теорему на уроці. (Для цього теорему можна розбити на 4-5 частин);
г) запропонувати учням розібратися в теоремі самостійно, а вчитель організовує по ній семінар у класі;
д) довести теорему і попросити повторити «сильних» учнів на наступному уроці. І т. д.
Представлення обсягу інтегралом
З точки зору методичної видається більш зручним дати формулювання теореми після доказу, а саме виведення розбити на чотири частини, приблизно відповідні існувало колись алгоритму виведення формул і теорем диференціювання:
1) 
Перший спосіб міркування в теоремі більш аналітичний, а другий наочний, і тут можна «задіяти» теорему про стислій змінної.
Обсяги деяких тіл
Зміст параграфа - незалежний висновок формул обсягів чотирьох конкретних видів тел. При бажанні цей набір можна доповнити висновком формул обсягів усіченого конуса (піраміди) і кульового сегмента. Це дозволяє провести з учнями групову роботу. Схема проведення таких робіт складається з декількох етапів.
I етап. Клас розбивається на групи по шість осіб. Кожному учаснику групи дається завдання вивчити висновок однієї з формул (природно, завдання всім у групі різні). Чотири учня вчать пункти § 27, а двоє отримують від вчителя тексти, де виводяться формули обсягів усіченого конуса та кульового сегмента. (Учитель може замінити їх іншими формулами або взагалі не давати інших формул, але тоді група зменшується до чотирьох чоловік і змінюється час подальшої роботи.) Вивчивши відповідну теорему, учень записує її в конспект і відшукує учня зі своєї групи, також закінчив запис. Вони розповідають один одному кожен свою теорему, записуючи коротко висновок в конспекті. Після цього кожен з них задає питання іншому і відповідає на його питання. Після цього пара «розпадається», і кожен знову шукає вільного учасника своєї групи і т. д. На все це йде дві години. На будинок учні отримують завдання вивести залишилися формули.
II етап. Триває робота в тих же групах (це вже наступний урок геометрії). Однак правила змінюються. Тепер кожен отримує завдання питати висновок якоїсь однієї з шести формул обсягу і відповідає запитують одну з чотирьох формул (крім тієї, що пояснював на тому уроці, і тією, що сам питає). За відповідь він ставить оцінку. На це йде 1 годину.
III етап. І нарешті, вчитель може на наступному (вже четвертому) уроці викликати по 1-2 представники від кожної групи, щоб за жеребом відповісти біля дошки одну з теорем (можна додати і формули з домашнього завдання). Інші групи при цьому слухають, рецензують, задають питання, додають. У результаті кожен учень оцінюється за чотирма позиціями: 1) запис в конспекті, 2) оцінка при відповіді товариша, 3) відповідь представника з групи, 4) якість запитань і рецензій.
Елемент випадковості приносить додаткову відповідальність, ігровий момент і компенсується іншими складовими оцінки [22].
У період проходження педагогічної практики в МОУ СЗШ с. Сировини мною були розроблені факультативні заняття для учнів 11 класу по темі «Обсяги багатогранників». Надалі даними конспектами скористалися вчителя для викладання у своїх класах. Крім конспектів уроків була розроблена система завдань для контролю знань учнів (самостійні та контрольні роботи, тести) [15], [20], [26], [35].
Експеримент проводився в ПТУ № 16 г . Біла Холуніца в групах С-21 і С-22. Ці групи сформовані на базі 9-річної освіти з учнів міста та району. На першому курсі вони вивчили матеріал 10-11 класів (за підручником Л. С. Атанасян), а на другому передбачалася поглиблена робота по деяких з тим пройденого курсу. На момент проведення занять учні були знайомі з поняттями багатогранника, обсягу багатогранників, тілами обертання.
На першому занятті учням було запропоновано самостійна робота, в яку були включені питання, які охоплюють досліджувану тематику.
Робота № 1
Завдання 1.1: Підставою прямого паралелепіпеда є ромб, діагоналі якого дорівнюють 24 см і 10 см . кут між меншою діагоналлю паралелепіпеда та площиною основи дорівнює 45 0. Обчисліть об'єм паралелепіпеда.
Завдання 1.2: Підставою піраміди мавсим з рівними бічними ребрами є прямокутний трикутник. Його гіпотенуза АВ дорівнює с,
Завдання 1.3: У кулі радіуса R висвердлені конічна воронка, вісь якої збігається з діаметром кулі. Знайдіть обсяг решти кулі, якщо кут при вершині в осьовому перерізі воронки дорівнює
В експерименті взяли участь 20 осіб. У ході перевірки та обробки даних отримані такі результати:
Таким чином, рівень знань учнів з даної теми різний. При цьому повністю впоралися з роботою 3 людини, вирішили два завдання з трьох - 5 осіб, не впоралися з роботою - 7 осіб, решта 5 вирішили одну задачу. Найбільш чітке уявлення учні мають про багатогранника, про способи обчислення їх обсягу. У деяких учнів виникли проблеми з побудовою креслення, із застосуванням правильної формули при рішенні. Зустрілося багато обчислювальних помилок. Хоча в учнів високий середній бал успішності з геометрії. Це говорить про те, що цей матеріал не був доведений до досвіду і даній темі не приділено належної уваги.
На заняттях вони вивчали різні методи знаходження обсягів, розглядалися нові формули їх обчислення, не виведені в основному курсі, але знання яких потрібно при вирішенні завдань, шукали раціональні шляхи вирішення. Зверталася увага й на побудову креслень по заданій умові з урахуванням того, щоб зображення вийшло наочним і більш простим для сприйняття. Були розглянуті додаткові завдання, систематизовані раніше вивчені поняття і включені у взаємозв'язок з новими фактами, навчання проводилось за темами, запропонованим мною для факультативного вивчення (Додаток 8, додаток 9).
В кінці вивчення була проведена самостійна робота, яка включала в себе завдання на застосування вивчених формул, фактів, методів.
Робота № 2
Завдання 2.1: Підставою прямої призми є трикутник АВС, у якому АВ = АС = 17 см, ВС = 8 см. Кут між площиною основи і площиною, що містить ребро ВС і вершину А 1, дорівнює 30 0. обчисліть обсяг призми.
Завдання 2.2: Підставою піраміди є ромб, велика діагональ якого дорівнює 2 d, а гострий кут
Завдання 2.3: Сфера з центром у вершині конуса стосується його заснування і ділить конус на 2 рівновеликі частини. Знайдіть кут між твірною конуса та його висотою.
В експерименті взяли участь 20 осіб. У ході перевірки та обробки даних отримані такі результати:
За результатами другої самостійної роботи можна зробити висновок, що тему обсягів потрібно вивчати більш глибоко і послідовно, щоб оволодіти методами обчислення й отримати достатньо знань для їх реалізації. За підсумками цього дослідження складається наступна картина: з роботою успішно впоралися 6 осіб, стільки ж вирішило дві з трьох завдань, по одній задачі подужали 4 людини, не впоралися з роботою 4 учні. Не дивлячись на це, можна спостерігати позитивну тенденцію. Якщо при виконанні першої роботи в деяких впоралися не було навіть ідей для вирішення, то вдруге таких не виявилося (вони не впоралися з роботою через неуважність, допускали обчислювальні помилки). Серед вирішили два завдання з трьох опинилися і «слабкі» учні, що особливо порадувало. На мій погляд, це хороший показник, оскільки за досить короткий проміжок часу були досягнуті непогані результати. Учні показали володіння методами вирішення завдань, застосовували вивчені раніше факти та узагальнення теорем. Не можна не відзначити і підвищення інтересу (особливо серед хлопчиків), в результаті чого учні стали просити завдання важче. Отже, часу відводиться на вивчення цієї теми, явно не достатньо, а при систематичному вивченні можна домогтися засвоєння матеріалу на більш високому рівні. На наш погляд, у загальноосвітній школі доцільно доповнити вивчення обсягів тіл на уроках заняттями по темі в рамках факультативних та інших позакласних занять.
У ході дослідження були вирішені такі завдання:
1. Проаналізовано навчальна програма та підручники з стереометрії та виявлено, що з великої розмаїтості найбільш адаптованим підручником для загальноосвітніх шкіл є підручник [7].
2. Розглянуто різні підходи до визначення поняття обсягу багатогранника і визначено, що доцільно використовувати конструктивний спосіб для введення поняття.
3. З огляду на основні цілі вивчення теми «Обсяги багатогранників», розроблена методика її вивчення.
4. Для вирішення питань, які потребують більш глибокого вивчення, складений факультативний курс з даної теми.
5. Проведено дослідне викладання з метою апробації розробленої методики.
У ході дослідного викладання отримала підтвердження теоретична гіпотеза. Мета дослідження була досягнута.
2. Александров, О. Д. Про геометрії [Текст] / А. Д. Александров / / Математика в школі. - 1980. - № 3. - С. 56.
3. Бескін, Л. М. Стереометрія [Текст]: кн. для вчителя / М.: Просвещение, 1960.
4. Борисов, М. І. Як навчати математики [Текст]: посібник для вчителя / М.: Просвещение, 1979.
5. Долбінін, Н. П. Про необхідність курсу наочної геометрії в молодших класах [Текст] / Н. П. Долбінін, І. Ф. Шаригін / / Математика в школі. - 1990. - № 6. - С. 19.
6. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для загальноосвітніх закладів [Текст] / Александров А. Д. [и др.] - М.: Просвещение, 1998.
7. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для загальноосвітніх закладів [Текст] / Л. С. Атанасян [и др.] - М.: Просвещение, 2003.
8. Геометрія 7-11 кл. середовищ. шк. [Текст] / О. В. Погорєлов. - М.: Просвещение, 1991.
9. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для їсть .- наукового профілю [Текст] / І. М. Смирнова [и др.]. - М.: Просвещение, 2003.
10. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для гуманітарного профілю [Текст] / І. М. Смирнова [и др.]. - М.: Просвещение, 2001.
11. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для загальноосвітніх навчальних закладів [Текст] / І. Ф. Шаригін. - М.: Дрофа, 1999.
12. Гусєв, В. А. Дидактичні матеріали з геометрії для 10 кл. [Текст]: посібник для вчителя / В. А. Гусєв. - М.: Просвещение, 1979.
13. Глаголєв, Н. А. Елементарна геометрія: стереометрія для 10-11 кл. СР шк. [Текст]: у 2ч. / Д. І. Перепьолкіна. - М.: Просвещение, 1954. - Ч. 2.
14. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для учнів СР шк. [Текст] / Кисельов. - М.: Дрофа, 1995.
15. Геометрія 11 кл.: Задачник для загальноосвітніх установ з поглиблений. і профільним. вивченням математики / Є. В. Потоскуев, Л. І. Звавіч. - М.: Дрофа, 2003.
16. Монахов, Н. І. З досвіду навчання геометрії в старших класах [Текст] / Н. І. Монахов. - М.: Просвещение, 1984.
17. Методика викладання математики в порівн. шк. Приватна методика [Текст]: навч. посібник для студентів педінститутів по спеціальності «Математика» / А. Я. Блох [и др.]; сост. В. І. Мішин. - М.: Просвещение, 1987.
18. Методика навчання геометрії [Текст]: навчальний посібник для вузів / під ред. В. А. Гусєва. - М.: Академія, 2004.
19. Математика 5-6 [Текст]: кн. для вчителя / С. Б. Суворова, Л. В. Кузнєцова. - М.: Просвещение, 2006, - 191 с.
20. Методичні рекомендації з геометрії [Текст]: кн. для вчителя / С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. - М.: Просвещение, 2004.
21. Методичні рекомендації з математики [Текст] / за ред. І. А. Лур'є. - М.: Вища школа, 1984.
22. Паповскій, В. М. Поглиблене вивчення геометрії в 10-11 класах [Текст]: книга для вчителя / В. М. Паповскій. - М.: Просвещение, 1993.
23. Павлова, О. Навчальна програма 10-11 кл. [Текст] / О. Павлова / / Математика. - 2003. - № 37.
24. Погорєлов, А. В. Елементарна геометрія [Текст] / О. В. Погорєлов. - М.: Наука, 1974.
25. Рогановскій, Н. М. Методика викладання математики в порівн. шк. [Текст] / Н. М. Рогановскій [и др.]. - М.: Вища школа, 1990.
26. Рижик, В. 25000 уроків математики [Текст]: кн. для вчителя / В. Рижик. - М.: Просвещение, 1993
27. Наочна геометрія [Текст]: навчальний посібник для учнів V-VI кл. / І. Ф. Шаригін - М.: МИРОС, 1995.
28. Левітас, Г. Г. Введення в геометрію [Текст] / Г. Г. Левітас / / Математика в школі. - 1990. - № 6. - С. 17.
29. Березанська, Є. С. Питання стереометрії [Текст]: посібник для вчителя / Є. С. Березанська - М.: Просвещение, 1964.
30. Саранцев, Г. І. Цілі навчання математики в середній школі в сучасних умовах [Текст] / Г. І. Саранцев / / Математика в школі. - 1991. - № 6. - С. 38.
31. Тематичне планування до підручників федерального комплекту [Текст] / / Математика в школі. - 2002. - № 4. - С. 20.
32. Теоретичні основи навчання математики в середній школі [Текст]: навчальний посібник для вузів / Під ред. Т. А. Іванової. - Н. Новгород: Изд-во МДПУ. - 2003.
33. Саакян, С. М. Примірне планування навчального матеріалу з математики в X-XI класах / / Математика в школі. - 2005. - № 7. - С. 2.
34. Сичова, Є. І. Тести зі стереометрії / / Математика в школі. - 2006. - № 4. - С. 24.
35. Факультативні курси з математики 10-11 кл. / Експеримент. матеріали [Текст] / Сост. Ю. М. Колягін. - М.: НДІ шкіл МНО РРФСР, 1989.
36. Шовкун, Л. Від реформи до реформи / спроба огляду підручників з математики / / Шкільна освіта. - 2002. - № 5.
37. Шувалова, Е. В. Геометрія [Текст] / Е. В. Шувалова - М.: Наука, 1968.
Перший спосіб міркування в теоремі більш аналітичний, а другий наочний, і тут можна «задіяти» теорему про стислій змінної.
Обсяги деяких тіл
Зміст параграфа - незалежний висновок формул обсягів чотирьох конкретних видів тел. При бажанні цей набір можна доповнити висновком формул обсягів усіченого конуса (піраміди) і кульового сегмента. Це дозволяє провести з учнями групову роботу. Схема проведення таких робіт складається з декількох етапів.
I етап. Клас розбивається на групи по шість осіб. Кожному учаснику групи дається завдання вивчити висновок однієї з формул (природно, завдання всім у групі різні). Чотири учня вчать пункти § 27, а двоє отримують від вчителя тексти, де виводяться формули обсягів усіченого конуса та кульового сегмента. (Учитель може замінити їх іншими формулами або взагалі не давати інших формул, але тоді група зменшується до чотирьох чоловік і змінюється час подальшої роботи.) Вивчивши відповідну теорему, учень записує її в конспект і відшукує учня зі своєї групи, також закінчив запис. Вони розповідають один одному кожен свою теорему, записуючи коротко висновок в конспекті. Після цього кожен з них задає питання іншому і відповідає на його питання. Після цього пара «розпадається», і кожен знову шукає вільного учасника своєї групи і т. д. На все це йде дві години. На будинок учні отримують завдання вивести залишилися формули.
II етап. Триває робота в тих же групах (це вже наступний урок геометрії). Однак правила змінюються. Тепер кожен отримує завдання питати висновок якоїсь однієї з шести формул обсягу і відповідає запитують одну з чотирьох формул (крім тієї, що пояснював на тому уроці, і тією, що сам питає). За відповідь він ставить оцінку. На це йде 1 годину.
III етап. І нарешті, вчитель може на наступному (вже четвертому) уроці викликати по 1-2 представники від кожної групи, щоб за жеребом відповісти біля дошки одну з теорем (можна додати і формули з домашнього завдання). Інші групи при цьому слухають, рецензують, задають питання, додають. У результаті кожен учень оцінюється за чотирма позиціями: 1) запис в конспекті, 2) оцінка при відповіді товариша, 3) відповідь представника з групи, 4) якість запитань і рецензій.
Елемент випадковості приносить додаткову відповідальність, ігровий момент і компенсується іншими складовими оцінки [22].
Глава 3. Дослідне викладання
Одним з методів наукового дослідження найбільш підходящим для вивчення та аналізу інтелектуального розвитку групи учнів є педагогічний експеримент. У ході його проведення належить з'ясувати, яким чином факультативні заняття впливають на зміну розумового, логічного, абстрактного мислення.У період проходження педагогічної практики в МОУ СЗШ с. Сировини мною були розроблені факультативні заняття для учнів 11 класу по темі «Обсяги багатогранників». Надалі даними конспектами скористалися вчителя для викладання у своїх класах. Крім конспектів уроків була розроблена система завдань для контролю знань учнів (самостійні та контрольні роботи, тести) [15], [20], [26], [35].
Експеримент проводився в ПТУ №
На першому занятті учням було запропоновано самостійна робота, в яку були включені питання, які охоплюють досліджувану тематику.
Робота № 1
Завдання 1.1: Підставою прямого паралелепіпеда є ромб, діагоналі якого дорівнюють
Завдання 1.2: Підставою піраміди мавсим з рівними бічними ребрами є прямокутний трикутник. Його гіпотенуза АВ дорівнює с,
Завдання 1.3: У кулі радіуса R висвердлені конічна воронка, вісь якої збігається з діаметром кулі. Знайдіть обсяг решти кулі, якщо кут при вершині в осьовому перерізі воронки дорівнює
В експерименті взяли участь 20 осіб. У ході перевірки та обробки даних отримані такі результати:
| № завдання | 1 | 2 | 3 | |||
| Кількість учнів | 20 | 100% | 20 | 100% | 20 | 100% |
| Зробили креслення | 20 | 100% | 20 | 100% | 17 | 85% |
| Не вирішили задачу | 3 | 15% | 7 | 35% | 12 | 60% |
| Хід вирішення вірний, але допущено помилку | 4 | 20% | 5 | 25% | 5 | 25% |
| Вирішили вірно | 13 | 65% | 8 | 40% | 3 | 15% |
Таким чином, рівень знань учнів з даної теми різний. При цьому повністю впоралися з роботою 3 людини, вирішили два завдання з трьох - 5 осіб, не впоралися з роботою - 7 осіб, решта 5 вирішили одну задачу. Найбільш чітке уявлення учні мають про багатогранника, про способи обчислення їх обсягу. У деяких учнів виникли проблеми з побудовою креслення, із застосуванням правильної формули при рішенні. Зустрілося багато обчислювальних помилок. Хоча в учнів високий середній бал успішності з геометрії. Це говорить про те, що цей матеріал не був доведений до досвіду і даній темі не приділено належної уваги.
На заняттях вони вивчали різні методи знаходження обсягів, розглядалися нові формули їх обчислення, не виведені в основному курсі, але знання яких потрібно при вирішенні завдань, шукали раціональні шляхи вирішення. Зверталася увага й на побудову креслень по заданій умові з урахуванням того, щоб зображення вийшло наочним і більш простим для сприйняття. Були розглянуті додаткові завдання, систематизовані раніше вивчені поняття і включені у взаємозв'язок з новими фактами, навчання проводилось за темами, запропонованим мною для факультативного вивчення (Додаток 8, додаток 9).
В кінці вивчення була проведена самостійна робота, яка включала в себе завдання на застосування вивчених формул, фактів, методів.
Робота № 2
Завдання 2.1: Підставою прямої призми є трикутник АВС, у якому АВ = АС = 17 см, ВС = 8 см. Кут між площиною основи і площиною, що містить ребро ВС і вершину А 1, дорівнює 30 0. обчисліть обсяг призми.
Завдання 2.2: Підставою піраміди є ромб, велика діагональ якого дорівнює 2 d, а гострий кут
Завдання 2.3: Сфера з центром у вершині конуса стосується його заснування і ділить конус на 2 рівновеликі частини. Знайдіть кут між твірною конуса та його висотою.
В експерименті взяли участь 20 осіб. У ході перевірки та обробки даних отримані такі результати:
| № завдання | 1 | 2 | 3 | |||
| Кількість учнів | 20 | 100% | 20 | 100% | 20 | 100% |
| Зробили креслення | 18 | 100% | 20 | 100% | 19 | 95% |
| Не вирішили задачу | 6 | 30% | 0 | 0% | 3 | 15% |
| Хід вирішення вірний, але допущено помилку | 6 | 30% | 5 | 25% | 7 | 35% |
| Вирішили вірно | 8 | 40% | 15 | 75% | 10 | 50% |
За результатами другої самостійної роботи можна зробити висновок, що тему обсягів потрібно вивчати більш глибоко і послідовно, щоб оволодіти методами обчислення й отримати достатньо знань для їх реалізації. За підсумками цього дослідження складається наступна картина: з роботою успішно впоралися 6 осіб, стільки ж вирішило дві з трьох завдань, по одній задачі подужали 4 людини, не впоралися з роботою 4 учні. Не дивлячись на це, можна спостерігати позитивну тенденцію. Якщо при виконанні першої роботи в деяких впоралися не було навіть ідей для вирішення, то вдруге таких не виявилося (вони не впоралися з роботою через неуважність, допускали обчислювальні помилки). Серед вирішили два завдання з трьох опинилися і «слабкі» учні, що особливо порадувало. На мій погляд, це хороший показник, оскільки за досить короткий проміжок часу були досягнуті непогані результати. Учні показали володіння методами вирішення завдань, застосовували вивчені раніше факти та узагальнення теорем. Не можна не відзначити і підвищення інтересу (особливо серед хлопчиків), в результаті чого учні стали просити завдання важче. Отже, часу відводиться на вивчення цієї теми, явно не достатньо, а при систематичному вивченні можна домогтися засвоєння матеріалу на більш високому рівні. На наш погляд, у загальноосвітній школі доцільно доповнити вивчення обсягів тіл на уроках заняттями по темі в рамках факультативних та інших позакласних занять.
Висновок
Тема «Обсяги багатогранників» одна зі складних, але в той же час потрібних тем у курсі 10-11 класів. У ній зібрано та узагальнено багато знань з планіметрії та стереометрії.У ході дослідження були вирішені такі завдання:
1. Проаналізовано навчальна програма та підручники з стереометрії та виявлено, що з великої розмаїтості найбільш адаптованим підручником для загальноосвітніх шкіл є підручник [7].
2. Розглянуто різні підходи до визначення поняття обсягу багатогранника і визначено, що доцільно використовувати конструктивний спосіб для введення поняття.
3. З огляду на основні цілі вивчення теми «Обсяги багатогранників», розроблена методика її вивчення.
4. Для вирішення питань, які потребують більш глибокого вивчення, складений факультативний курс з даної теми.
5. Проведено дослідне викладання з метою апробації розробленої методики.
У ході дослідного викладання отримала підтвердження теоретична гіпотеза. Мета дослідження була досягнута.
Бібліографічний список
1. Антоновський, М. Я. Формування поняття обсягу в 4 класі [Текст] / М. Я. Антоновський, В. Г. Болтянский / / Математика в школі. - 1970. - № 4. - С. 15.2. Александров, О. Д. Про геометрії [Текст] / А. Д. Александров / / Математика в школі. - 1980. - № 3. - С. 56.
3. Бескін, Л. М. Стереометрія [Текст]: кн. для вчителя / М.: Просвещение, 1960.
4. Борисов, М. І. Як навчати математики [Текст]: посібник для вчителя / М.: Просвещение, 1979.
5. Долбінін, Н. П. Про необхідність курсу наочної геометрії в молодших класах [Текст] / Н. П. Долбінін, І. Ф. Шаригін / / Математика в школі. - 1990. - № 6. - С. 19.
6. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для загальноосвітніх закладів [Текст] / Александров А. Д. [и др.] - М.: Просвещение, 1998.
7. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для загальноосвітніх закладів [Текст] / Л. С. Атанасян [и др.] - М.: Просвещение, 2003.
8. Геометрія 7-11 кл. середовищ. шк. [Текст] / О. В. Погорєлов. - М.: Просвещение, 1991.
9. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для їсть .- наукового профілю [Текст] / І. М. Смирнова [и др.]. - М.: Просвещение, 2003.
10. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для гуманітарного профілю [Текст] / І. М. Смирнова [и др.]. - М.: Просвещение, 2001.
11. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для загальноосвітніх навчальних закладів [Текст] / І. Ф. Шаригін. - М.: Дрофа, 1999.
12. Гусєв, В. А. Дидактичні матеріали з геометрії для 10 кл. [Текст]: посібник для вчителя / В. А. Гусєв. - М.: Просвещение, 1979.
13. Глаголєв, Н. А. Елементарна геометрія: стереометрія для 10-11 кл. СР шк. [Текст]: у 2ч. / Д. І. Перепьолкіна. - М.: Просвещение, 1954. - Ч. 2.
14. Геометрія 10-11 кл.: Навч. для учнів СР шк. [Текст] / Кисельов. - М.: Дрофа, 1995.
15. Геометрія 11 кл.: Задачник для загальноосвітніх установ з поглиблений. і профільним. вивченням математики / Є. В. Потоскуев, Л. І. Звавіч. - М.: Дрофа, 2003.
16. Монахов, Н. І. З досвіду навчання геометрії в старших класах [Текст] / Н. І. Монахов. - М.: Просвещение, 1984.
17. Методика викладання математики в порівн. шк. Приватна методика [Текст]: навч. посібник для студентів педінститутів по спеціальності «Математика» / А. Я. Блох [и др.]; сост. В. І. Мішин. - М.: Просвещение, 1987.
18. Методика навчання геометрії [Текст]: навчальний посібник для вузів / під ред. В. А. Гусєва. - М.: Академія, 2004.
19. Математика 5-6 [Текст]: кн. для вчителя / С. Б. Суворова, Л. В. Кузнєцова. - М.: Просвещение, 2006, - 191 с.
20. Методичні рекомендації з геометрії [Текст]: кн. для вчителя / С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. - М.: Просвещение, 2004.
21. Методичні рекомендації з математики [Текст] / за ред. І. А. Лур'є. - М.: Вища школа, 1984.
22. Паповскій, В. М. Поглиблене вивчення геометрії в 10-11 класах [Текст]: книга для вчителя / В. М. Паповскій. - М.: Просвещение, 1993.
23. Павлова, О. Навчальна програма 10-11 кл. [Текст] / О. Павлова / / Математика. - 2003. - № 37.
24. Погорєлов, А. В. Елементарна геометрія [Текст] / О. В. Погорєлов. - М.: Наука, 1974.
25. Рогановскій, Н. М. Методика викладання математики в порівн. шк. [Текст] / Н. М. Рогановскій [и др.]. - М.: Вища школа, 1990.
26. Рижик, В. 25000 уроків математики [Текст]: кн. для вчителя / В. Рижик. - М.: Просвещение, 1993
27. Наочна геометрія [Текст]: навчальний посібник для учнів V-VI кл. / І. Ф. Шаригін - М.: МИРОС, 1995.
28. Левітас, Г. Г. Введення в геометрію [Текст] / Г. Г. Левітас / / Математика в школі. - 1990. - № 6. - С. 17.
29. Березанська, Є. С. Питання стереометрії [Текст]: посібник для вчителя / Є. С. Березанська - М.: Просвещение, 1964.
30. Саранцев, Г. І. Цілі навчання математики в середній школі в сучасних умовах [Текст] / Г. І. Саранцев / / Математика в школі. - 1991. - № 6. - С. 38.
31. Тематичне планування до підручників федерального комплекту [Текст] / / Математика в школі. - 2002. - № 4. - С. 20.
32. Теоретичні основи навчання математики в середній школі [Текст]: навчальний посібник для вузів / Під ред. Т. А. Іванової. - Н. Новгород: Изд-во МДПУ. - 2003.
33. Саакян, С. М. Примірне планування навчального матеріалу з математики в X-XI класах / / Математика в школі. - 2005. - № 7. - С. 2.
34. Сичова, Є. І. Тести зі стереометрії / / Математика в школі. - 2006. - № 4. - С. 24.
35. Факультативні курси з математики 10-11 кл. / Експеримент. матеріали [Текст] / Сост. Ю. М. Колягін. - М.: НДІ шкіл МНО РРФСР, 1989.
36. Шовкун, Л. Від реформи до реформи / спроба огляду підручників з математики / / Шкільна освіта. - 2002. - № 5.
37. Шувалова, Е. В. Геометрія [Текст] / Е. В. Шувалова - М.: Наука, 1968.