Методика вивчення багатогранників у шкільному курсі стереометрії

Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і МПМ
Випускна кваліфікаційна робота
Методика вивчення багатогранників у шкільному курсі стереометрії
Виконав:
студент V курсу математичного факультету
Конопльова Олена Олександрівна
Науковий керівник:
кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математичного аналізу і МПМ І.В. Ситникова
Рецензент:
кандидат педагогічних наук, старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ З.В. Шилова
Допущена до захисту в державної атестаційної комісії
«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою М.В. Крутіхін
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров 2005
Зміст
Введення ................................................. .................................................. ........ 3
1. Підходи до визначення багатогранника і його видів ............................... 6
1.1. Підходи до визначення багатогранника ............................................ 6
1.2. Підходи до визначення опуклого багатогранника ....................... 13
1.3. Підходи до визначення правильного багатогранника .................... 16
2.Изучение теми «Многогранники» у шкільному курсі стереометрії ...... 19
2.1. Вивчення теми в підручнику Атанасян Л.С. ...................................... 21
2.2. Вивчення теми в підручнику Смирнової І.М. ................................... 26
2.3. Вивчення теми в підручнику Александрова А.Д. ................................ 28
3. Види і роль наочних засобів при вивченні багатогранників ........... 30
4. Опорні задачі при вивченні теми «Многогранники »........................ 34
4.1. Завдання по темі «Призма »............................................ ..................... 35
4.2. Завдання по темі «Піраміда »............................................ ................. 43
Висновок ................................................. .................................................. . 51
Література ................................................. .................................................. . 52
Додаток 1. Дослідне викладання ................................................ ........ 55
Додаток 2. Різні доведення теореми Ейлера ...................... 58

Введення
Тема «Многогранники» одна з основних у традиційному курсі шкільної геометрії. Вони складають, можна сказати, центральний предмет стереометрії. Вивчення паралельних і перпендикулярних прямих і площин, двогранних кутів і інше, так само як введення векторів і координат, - все це тільки почала стереометрії, підготовка засобів для дослідження її більш змістовних об'єктів - головним чином тіл і поверхонь.
Центральна роль багатогранників визначається перш за все тим, що багато результати, пов'язані з інших тіл, виходять виходячи з відповідних результатів для багатогранників; Досить згадати визначення об'ємів тіл та площ поверхонь шляхом граничного переходу від багатогранників.
Крім того, багатогранники самі по собі представляють надзвичайно змістовний предмет дослідження, виділяючись серед всіх тіл багатьма цікавими властивостями, спеціально до них відносяться теоремами і завданнями. Можна, наприклад, згадати теорему Ейлера про кількість граней, ребер і вершин, симетрію правильних багатогранників, питання про заповнення простору многогранниками та ін
Багатогранника повинно бути приділено в шкільному курсі більше уваги ще й тому, що вони дають особливо багатий матеріал для розвитку просторових уявлень, для розвитку того з'єднання живого просторової уяви з суворою логікою, яке становить сутність геометрії. Вже самі прості факти, що стосуються багатогранників, вимагають такого з'єднання, яке виявляється при цьому не зовсім легкою справою. Навіть такий простий факт, як перетин діагоналей паралелепіпеда в одній точці, потребує зусиль уяви, щоб його побачити наочно, і потребує строгого доказі.
Більш того, використання многогранників з самого початку вивчення стереометрії служить різним дидактичним цілям. На багатогранника зручно демонструвати взаємне розташування прямих і площин у просторі, показувати застосування ознак паралельності та перпендикулярності прямих і площин у просторі. Ілюстрація перших теорем стереометрії на конкретних моделях підвищує інтерес учнів до предмету.
Також однією з основних завдань навчання математики є розвиток в учнів абстрактного мислення. Цієї мети значною мірою сприяє застосування наочних посібників, причому не тільки в молодших класах, але і в старших. Широкі можливості для реалізації цієї мети надає тема «Многогранники», зокрема, самостійне виготовлення учнями наочних посібників. У процесі виготовлення моделей багатогранників, крім теоретичних знань і навичок, учні закріплюють сформувалися нові поняття за допомогою креслення і фактичного рішення задач на побудову. При самостійному виготовленні моделей образ створюється по частинах, в силу цього з ними можна робити різні маніпуляції. При цьому всі їхні властивості і особливості легко пізнаються і міцно закріплюються в пам'яті учнів.
Мета роботи: розглянути особливості методики вивчення теми «Многогранники» в курсі стереометрії 10-11 класів.
Завдання роботи:
1) розглянути підходи до основних визначень даної теми: багатогранника, опуклого багатогранника, правильного багатогранника;
2) вивчити виклад даної теми в шкільних підручниках;
3) виділити наочні засоби, які можуть бути застосовані при вивченні багатогранників;
4) підібрати основні завдання для вирішення по даній темі;
5) здійснити дослідне викладання.
Гіпотеза дослідження: вивчення теми «Многогранники» у школі буде більш успішним, якщо при підготовці до уроків учитель математики буде враховувати наступні моменти:
· Існуючі підходи до визначення поняття багатогранник і правильний багатогранник;
· Підходи до вивчення теми в різних підручниках геометрії;
· Особливості вивчення приватних видів багатогранників;
· Вдало підібраний задачний матеріал.
Об'єкт дослідження: процес навчання геометрії в 10-11 класах середньої школи.
Предмет дослідження: методика вивчення багатогранників.

1. Підходи до визначення багатогранника і його видів.
1.1 підходи до визначення багатогранника.
Саме визначення поняття багатогранника виявляється саме таким питанням, де необхідно особливо уважно поєднувати наочні уявлення, розгляд реальних прикладів і логічної точності формулювань. Формулювання повинні виходити з реальних прикладів, з наочних уявлень, і повертатися до них для перевірки і далі - до застосування.
Виділяють два основних способи введення поняття многогранника в шкільному курсі стереометрії:
1) багатогранник як поверхню (наприклад, в підручниках [3] та [22]);
2) багатогранник як тіло.
Частіше використовується другий шлях.
Дати суворе визначення поняттю многогранника в школі важко, так як у визначення входять такі поняття як поверхня, обмеженість, внутрішні точки і ін Така спроба була зроблена в книзі В.М. Клопського, З.А. Скопець, М.І. Ягодовської «Геометрія 9-10» [16], але було дуже складно, так як визначення вводилося в кілька кроків, було багато допоміжних понять.
Найбільш доцільно дати опис на основі наочних уявлень школяра. Простіше і коротше за все визначити багатогранник як тіло, поверхня якого складається з багатокутників (в кінцевому числі). При цьому «тіло» і «поверхня» можна розуміти в наочному сенсі, як розуміють звичайно. Тіло у відверненні його від матеріальності - це частина простору. Тому дане визначення можна переказати й так: багатогранник - це частина простору, обмежена кінцевим числом багатокутників.
Наприклад, у Погорєлова О.В.: «Багатогранник - це таке тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників»; У Атанасян Л.С.: «Багатогранник - це поверхня, складена з багатокутників і обмежує деякий геометричне тіло».
При цьому у згоді з наочним поданням мається на увазі наступне:

Рис 1.1

(1) Мається на увазі кінцева частина простору; кінцева у сенсі кінцівки її розмірів, або, як прийнято говорити в математиці, обмежена. (Це обумовлюється, оскільки можна вважати, що багатокутники, що обмежують кінцеву частину простору, обмежують разом з нею і решту його частина - нескінченну, в усякому разі, вони теж утворюють його межу.)
(2) Багатокутники, що обмежують багатогранник, приєднуються до нього (міститися в ньому). Вони утворюють його поверхню; інша ж частина багатогранника - це його нутро, так що багатогранник складається з поверхні і нутрощі. (Це можна вважати описовим визначенням поверхні і нутрощі.) Поверхня всюди прилягає до нутрощі й відокремлює його від іншого простору - зовнішнього по відношенню до багатограннику. Тому, наприклад, куб з «крилом», тобто з прикладеним до нього прямокутником зі стороною на ребрі куба, не вважається багатогранником: крило не прилягає до нутрощі і ніяким чином її не обмежує, не відокремлює від решти простору (рис 1.1).

Рис 1.2

(3) Багатогранник, і навіть одна його нутро, складається з одного шматка, або, як прийнято говорити в математиці, связна: не виходячи з неї, можна безперервно пройти від однієї її точки до будь-якої іншої. Або, що в даному випадку рівносильно, будь-які дві точки нутрощі можна з'єднати лежить в ній ламаною.
Тому, наприклад, два куби, приставлені один до іншого по ребру, тобто які мають загальне ребро і нічого більше, не утворюють багатогранника, а приставлені по шматку грані - утворюють його, так само як об'єднання паралелепіпеда з поставленим на нього кубом і т . п. (рис.1.2)
Все сказане міститься в наочному уявленні про многограннику і явно обговорюється для того, щоб проаналізувати це наочне уявлення і тим самим з'ясувати, по-перше, ті його елементи, які повинні фігурувати у формально строгому визначенні багатогранника, а по-друге, точніше розрізняти в конкретних випадках, яка фігура повинна бути визнана багатогранником, а яка - ні.
2) Дамо суворе визначення багатогранника, запропоноване А.Д. Александровим.
Почнемо з коротких попередніх визначень; всі вони ставляться як до простору, так і до площини.
Фігура - це те ж, що безліч точок.
Точка називається граничною точкою даної фігури, якщо як завгодно близько від неї є точки, як належать фігури, так і не належать їй.
Точка фігури, що не є її граничною точкою, називається внутрішньою.
Множина всіх граничних точок фігури називається її кордоном, а множина всіх її внутрішніх точок - внутрішністю.
Замкнутої областю називається безліч точок, що володіє наступними властивостями:
(1) Воно містить внутрішні точки, а нутро його связна.
(2) Вона містить свій кордон, і вона збігається з межею його нутрощі.
Дане визначення належить або до безлічі точок на площині, або - в просторі. Замкнута область в просторі називається тілом, а на площині - плоскої замкнутої областю чи просто замкнутої областю, якщо ясно, що мова йде про фігуру на площині.
З визначення замкнутої області - як на площині, так і в просторі - слід, що вона складається з внутрішньої та її межі, яка виявляється так само кордоном самої замкнутої області. Тому замкнуту область можна визначити трохи інакше. Замкнута область - це безліч точок, що має (не порожню) зв'язну нирки та складається з неї та її межі.
Обидва дані вище визначення рівносильні. Кордон замкнутої області усюди прилягає до її нутрощі. У «куба з крилом» (рис 1.1) «крило» входить в межу фігури, але не міститься в межі її нутрощі. Кордон тіла називається його поверхнею.
У визначенні замкнутої області не потрібно, щоб вона була обмеженою - мала кінцеві розміри; допускаються і нескінченні області. Прикладами у просторі можуть служити півпростір, двогранний кут, як безліч, обмежене двома півплощині, та ін Всі простір теж є тілом - це єдине тіло, що не має кордону.
Часто в саме поняття тіла включають вимогу його обмеженості - кінцівки його розмірів, але цього робити не будемо, тому що в геометрії мають справу і з нескінченними тілами. Точно так само і в планіметрії зустрічаються і нескінченні області, наприклад кут - частина площини, обмежена двома променями із загальним початком.
Дамо тепер визначення багатокутника і багатогранника.
Багатокутником називається замкнута область кінцевих розмірів, межа якої складається з кінцевого числа відрізків. Багатокутник називається простим, якщо його межа являє собою одну просту замкнену ламану.
Багатогранником називається тіло кінцевих розмірів, кордон (поверхня) якого складається з кінцевого числа багатокутників. Дане визначення повторює визначення на основі наочних уявлень, однак тепер входять до нього поняття тіла і його поверхні розуміються не тільки наочно, але і з точки зору даних їм вище визначень.
Нерідко, як уже говорилося, багатогранником називають не тіло, обмежене багатокутниками, а поверхня, складену з багатокутників; таке слововживання зустрічається поза шкільного курсу навіть частіше. Зустрічається й змішання термінів, коли «багатогранник» розуміється то в одному, то в іншому сенсі. Так, коли говорять, наприклад, «склеим з розгортки куб», то мають на увазі не тіло, а поверхню.
Подібне вживання одного й того ж слова в різних, хоча і тісно пов'язаних, сенсах зустрічається в геометрії постійно і, можна навіть сказати, характерно для неї. Кутом називають і фігуру, що складається з двох променів, і обмежену нею частина площині; так само як двогранний кут розуміється або як фігура з двох площин, або як обмежена нею частина простору; багатокутником називають і ламану, і обмежену нею частина площини, і т. п. У цьому немає нічого страшного, якщо щораз розуміти, в якому саме значенні вживається в даний момент той чи інший термін.
3) Чи можна дати інше визначення поняття багатогранника, якщо врахувати наступне: фігура, складена з багатогранників, прилеглих один до одного по гранях або по шматках граней, сама виявляється багатогранником, і так можна з простих багатогранників складати як завгодно складні. Це зауваження можна уточнити і отримати з нього нове визначення багатогранника, виходячи з найпростіших багатогранників - з тетраедрів. А саме виконується теорема.
Теорема. Всяке тіло, складене з тетраедрів, є багатогранником і всякий багатогранник можна розбити на тетраедри або, що рівносильно, скласти з тетраедрів.
У кілька уточненої формі і не користуючись поняттям тіла, цю теорему можна висловити так:
Фігура є багатогранником тоді і тільки тоді, коли її можна скласти з кінцевого числа тетраедрів так, що:
(1) кожні два тетраедра або не мають спільних точок, або мають тільки одну спільну вершину, або одне загальне ребро, або одну загальну межу;
(2) від кожного тетраедра до кожного можна пройти по тетраедра, послідовно прилеглим один до іншого по цілим гранях.
Дана теорема дозволяє визначити багатогранник як фігуру, складену з тетраедрів так, що виконані умови (1), (2).
Таке визначення, яке характеризує предмет тим способом, яким він може бути побудований, називається конструктивним. Отримане визначення багатогранника саме таке; будь багатогранник будується послідовним прикладанням тетраедрів по гранях; а як будувати тетраедри - відомо.

На противагу цьому визначення багатогранника, розглянуті раніше, полягають у вказівці його характерних властивостей або, інакше кажучи, у точній його описі. Такі визначення називають дескриптивними, тобто описовими.
Описове визначення багатогранника дозволяє судити про фігуру, чи є вона багатогранником чи ні. Подивився з усіх боків на дане тіло, побачив, що всюди його поверхня складається з багатокутників, - значить, багатогранник. Такий же характер мають, наприклад, звичайні визначення призми і піраміди.

Як і для багатогранника, конструктивні визначення можна дати багатокутників багатогранної поверхні. [2]
4) Інший підхід до визначення багатогранника представлений в книзі В.Г. Болтянською «Елементарна геометрія» [7], побудований на основі вейлевской векторної аксіоматики геометрії. Цей підхід не застосовується у шкільних підручниках, але для прикладу можна навести одне з визначень.
При вейлевском викладі геометрії первісними поняттями є точка, вектор і наступні операції над ними: парі точок зіставляється деякий вектор, сума векторів, добуток вектора на число та скалярний твір, а також їх властивості.

Рис 1.3

A ₁

D ₁

C ₁

B ₁

Найбільш відомим прикладом багатогранника є паралелепіпед. Його можна описати таким чином. Береться паралелограм ABCD і з його вершин відкладаються рівні вектори АА ₁ = ВВ ₁ = СС ₁ = DD ₁ = e, де з не паралельний площині паралелограма ABCD (Рис. 1.3). [7]
Визначення приватних видів багатогранників (призми, піраміди та ін) в даному підході практично не відрізняються від визначень в шкільному курсі, але цікавий сам підхід до визначення на основі іншої аксіоматиці.
Таким чином, визначення багатогранника може бути дано різними способами, і в різній літературі і в різних підручниках можна зустріти різні підходи до визначення.
Можна дати поняттю багатогранника як дескриптивное, так і конструктивне визначення, як визначення, засноване на наочному поданні, так і суворе. Можна визначити багатогранник як тіло і як поверхню. Різні також визначення багатогранника, дані на основі різних аксіоматики. У шкільних підручниках частіше дається якесь одне визначення, але корисно учням показувати й інші способи визначення багатогранника.
Як і при введенні поняття багатогранника, існують різні способи введення опуклих багатогранників і правильних багатогранників. Розглянемо ці способи докладніше.
1.2 Підходи до визначення опуклого многогранника.
Після введення поняття многогранника в школі, як правило, розглядають опуклі багатогранники. Вдалим вважається підхід, коли відразу дається визначення опуклого багатогранника і для нього визначаються елементи, що зробити легше. Вивчення властивостей як опуклих багатокутників, так і опуклих багатогранників займає дуже велике місце в шкільному курсі геометрії. Однак точний зміст поняття «опуклий» в середній школі не розкривається і причини, що змушують вимагати опуклості розглянутих багатокутників і многогранників, ніде не пояснюються. Учні часто взагалі не сприймають сенсу прикметника «опуклий» і лише за звичкою, машинально у відповідь на пропозицію зобразити будь-якої чотирикутник малюють фігуру, зображену на малюнку l.4, а (А іноді навіть фігуру, зображену на рис 1.4, б), а не фігуру, зображену на рис l.4, ст. При цьому може здатися, що лише недолік загальної математичної культури змушує їх вважати всі чотирикутники опуклими, подібно до того як найбільш слабкі школярі іноді не в змозі уявити собі чотирикутника, відмінного від прямокутника (рис. 1.4, б), паралелограма або, в кращому випадку, від трапеції. У деяких випадках ігнорування умови про опуклості многокутника або багатогранника виявляється навіть цілком законним - яку, наприклад, цінність має застереження про опуклості в теоремі: сума кутів опуклого n-кутника дорівнює (n - 2) .180 ° Умова цієї теореми повністю зберігає силу і для неопуклих (простих) багатокутників; так, наприклад, ясно, що сума кутів і неопуклого чотирикутника (рис. 1.4, в) дорівнює 360 °. Правда, що приводиться в школі доказ теореми справедливо лише для опуклих багатокутників.

Рис 1.6

Рис 1.5

Поняття опуклого багатогранника найчастіше вводять по аналогії з опуклим багатокутником. Дуже добре ця аналогія проглядається в підручнику Александрова [3]. Існує два способи визначення опуклого многогранника. Багатогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від кожної з обмежують його площин. Такий підхід прийнятий в підручниках [4] та [22]. Або багатогранник називається опуклим, якщо будь-які дві його точки можуть бути з'єднані відрізком. Таке визначення дається у підручнику [28]. У підручнику [3] за основу береться друге визначення і доводиться можливість іншого (в нашому випадку першого) визначення.
Зупинимося докладніше на другому визначенні. Найчастіше в геометрії розглядають зв'язкові фігури, тобто такі, в яких будь-які дві точки можна з'єднати лінією, цілком належить цій фігурі. При цьому з'єднує лінія може виявитися досить складною (рис 1.5). Природно виділити клас фігур, для яких в якості лінії, що з'єднує дві її точки А, В, завжди можна вибрати найпростішу лінію - прямолінійний відрізок АВ. Такі постаті називаються опуклими.
Фігура F називається опуклою, якщо разом з кожними двома точками А, В вона цілком містить і весь відрізок АВ. Приклади опуклих фігур показані на рис.1.6; на рис. 1.7 зображені деякі неопуклі фігури.
Крім плоских, можна розглядати просторові опуклі фігури (їх зазвичай називають опуклими тілами). Прикладами можуть служити тетраедр, паралелепіпед, куля, кульовий шар та інші.

Рис. 1.7

Опуклі тіла в просторі можна визначити як перетин деякого безлічі півпросторів. Найпростішими опуклими тілами є ті, які можна представити у вигляді перетину кінцевого числа півпросторів. Такі опуклі тіла називаються опуклими многогранниками.

Рис. 1.8

A
•

Властивість, покладене в основу визначення опуклих фігур (існування у фігурі прямолінійного відрізка, що з'єднує будь-які дві її точки), з першого погляду може здатися несуттєвими, навіть надуманим. У дійсності ж виділяється цим визначенням клас опуклих фігур є досить цікавим і важливим для геометрії. Справа в тому, що «довільні» геометричні фігури можуть бути влаштовані надзвичайно складно. Наприклад, визначити, чи знаходиться точка А «всередині» або «поза» замкнутого багатокутника, зображеного на ріс1.8, зовсім не просто. Якщо ж розглядати постаті, які не є багатокутниками, то можна зіткнутися і з набагато більшими труднощами. Існує, наприклад, плоска фігура, обмежена не перетинає себе замкненою лінією і в той же час не має ні площі, ні периметра. Для опуклих фігур такі жахливі явища не можуть мати місця: внутрішня область опуклої фігури порівняно просто влаштована, будь-яка обмежена плоска опукла фігура володіє певними площею і периметром, а просторове опукле тіло - обсягом і площею поверхні і т. д. Таким чином, опуклі фігури складають клас порівняно просто влаштованих фігур, що допускають вивчення геометричними методами.
З іншого боку, клас опуклих фігур є досить великим. Так, всі фігури і тіла, що розглядаються в елементарній геометрії, або є опуклими, або представляють собою нескладні комбінації опуклих фігур і тіл. [6]
1.3 Підходи до визначення правильного багатогранника.
Після введення опуклих багатогранників вивчаються їх види: призми, піраміди та їх різновиди. Практично у всіх підручниках вони визначаються однаково. А при введенні визначення правильного багатогранника автори підручників розходяться в поглядах. Тому цікаво розглянути різні підходи до визначення поняття правильного багатогранника і їх методичні особливості.
У різних підручниках з стереометрії використовуються різні визначення цього поняття. Так, в підручнику [4] та інших опуклий багатогранник називається правильним, якщо всі його грані - рівні правильні багатокутники і, крім того, в кожній вершині сходиться одне і те ж число ребер. У підручнику [22] замість умови рівності правильних багатокутників потрібно, щоб правильні багатокутники були з одним і тим же числом сторін. Посібник А.Д. Александрова та інших [3] у порівнянні з підручником [4] накладає додаткову вимогу рівності всіх двогранних кутів правильного багатогранника. При цьому багатогранник називається опуклим, якщо будь-які дві його точки поєднувані в ньому відрізком. [3]
Навчальний посібник [16] дає таке визначення: опуклий багатогранник називається правильним, якщо всі його грані - конгруентні правильні багатокутники, і всі його багатогранні кути мають однакове число граней.
В [15] багатогранник називається правильним, якщо всі його грані - рівні правильні багатокутники і всі багатогранні кути рівні. І, нарешті, в книзі [9] сказано: багатогранник називається правильним, якщо всі його грані рівні правильні багатокутники, і всі його двогранні кути рівні.
Як бачимо, у всіх перерахованих підручниках даються різні визначення поняття правильного багатогранника, що використовують різні властивості правильних багатогранників.
Перелічимо їх:
1 °. Випуклість багатогранника.
2 °. Всі грані - рівні правильні багатокутники.
3 °. Всі грані - правильні багатокутники з одним і
тим же числом сторін.
4 °. У кожній вершині сходиться однакове число ребер.
5 °. Всі багатогранні кути мають однакове число граней.
6 °. Рівні всі багатогранні кути.
7 °. Рівні всі двогранні кути.
Можливі й інші властивості правильних багатогранників,
наприклад:
8 °. Рівні всі ребра багатогранника.
9 °. Рівні всі плоскі кути багатогранника.
Які ж властивості слід взяти для визначення правильного багатогранника? Яким методичним вимогам воно повинно задовольняти?
Нам видається, що для відбору властивостей у визначенні правильного багатогранника потрібно керуватися наступними вимогами:
- Будь-яке визначення повинно бути повним, тобто включати ті властивості, які повністю визначають дане поняття. Іншими словами, будь-яку властивість даного поняття має бути виведено з властивостей, перерахованих у визначенні.
- Будь-яке визначення повинно бути по можливості економним, тобто не містити зайвих властивостей, які виводяться з інших властивостей правильного багатогранника.
- Визначення поняття правильного багатогранника має відображати вже наявні уявлення учнів про слово "правильний" (правильний багатокутник, правильна піраміда і т. д.).
- Визначення поняття правильного багатогранника повинно бути просторовим аналогом визначення поняття правильного багатокутника на площині.
- Визначення правильного багатогранника повинно допускати можливі узагальнення, наприклад, на випадок напівправильні і топологічно правильних багатогранників.
- Визначення має бути педагогічно доцільним, тобто властивості, включені до нього, повинні в тій чи іншій мірі використовуватися при вивченні правильних багатогранників, нести певні педагогічні функції.
Просторовими аналогами визначення правильного багатокутника є визначення, дані в посібниках [15] та [9]. До достоїнств цих визначень ми відносимо і те, що в них відсутня вимога опуклості, яке, з одного боку, є досить складним для учнів, а з іншого - фактично не використовується при доказі теорем і розв'язанні задач. До недоліків цих визначень слід віднести те, що вони не узагальнюються на випадки напівправильні і топологічно правильних багатогранників. Наприклад, рівність двогранних кутів не переноситься на випадок напівправильні багатогранників.
Для визначення топологічно правильних багатогранників слід використовувати властивості, що носять топологічний характер. Такими властивостями з перерахованих вище є 3 °, 4 ° і 5 °. Тому краще всього для цих цілей підходить визначення правильних багатогранників, дане в підручнику [22].
Таким чином, ми бачимо, що жодна з розглянутих вище визначень правильного багатогранника не є універсальним, тобто задовольняє всім вимогам. У залежності від цілей навчання слід вибирати і відповідне їм визначення. Так, якщо треба тільки ознайомити учнів з визначенням правильного багатогранника, встановивши аналогію з визначенням правильного багатокутника, не досліджуючи при цьому докладно властивості правильних багатогранників, то доцільно використовувати визначення, дані в посібниках [15] та [9]. Якщо ж ми хочемо розглянути властивості правильних багатогранників більш докладно, зокрема перейти до напівправильні і топологічно правильних багатогранників, то краще всього звернутися до визначень з підручників [4] та [22]. [29], [27]
2.Изучение багатогранників у шкільному курсі математики.
У шкільних підручниках після вивчення «нескінченно-протяжних» і в силу цього досить абстрактних геометричних фігур: прямих і площин (вірніше сказати, їх взаємного розташування в просторі) вивчаються зримі, «кінцеві», навіть, можна сказати, відчутні просторові фігури, і в першу чергу багатогранники. Багатогранник {точніше, модель многогранника) можна виготовити, покрутити в руках, «розвернути» його поверхню або навіть «розрізати» - подивитися на розтин. У даній темі це досить суттєво, і вчителю необхідно використовувати значно розширилися можливості залучення наочності, наочних засобів (не забуваючи приділяти достатню увагу і побудови проекційних креслень). Про наочних засобах поговоримо трохи пізніше.
Можна вказати на такі дві проводяться методологічні лінії у вивченні геометрії багатогранників: це їх класифікація та вивчення різного роду кількісних характеристик. Звичайно, ці лінії переплітаються між собою. У даній темі розглядаються прості характеристики - чисельні: довжини ребер, висоти, величини кутів, площі поверхонь, - і якісні, типу «правильності». Власне кажучи, якісні характеристики - це одна з основ класифікації багатогранників. Якщо виключити стояли трохи в стороні від провідної лінії курсу правильні багатогранники (п'ять «платонових тіл»), то логічну схему класифікації «шкільних» багатогранників можна описати приблизно таким чином. Розглядаються (і строго визначаються) тільки два види багатогранників: призми і піраміди. Звичайно, всередині цих видів проводиться груба класифікація за кількістю кутів - призми і піраміди бувають n-вугільними, де n = 3, 4, 5, .... Більш детальна класифікація - по взаємному розташуванню ребер і граней, з вигляду граней. Для призм вона відносно «розгалужена»:

призми

похилі

прямі

Правильні призми

паралелепіпеди

І далі:

паралелепіпеди

похилі

прямі

прямокутні

куб

Шкільна класифікація пірамід менш розгалужена:

піраміди

тетраедри

НЕ тетраедри

Правильний тетраедр

Правильні піраміди

Перше завдання вчителя - домогтися від всіх учнів знання цієї класифікації в тому вигляді, в якому вона подається у навчальному посібнику, тобто у вигляді відповідних визначень. І в учня, і у вчителя при вивченні даної теми може виникнути цілком природне запитання: чому стільки уваги (і стільки завдань) присвячується всього лише трьом приватним типам багатогранників - паралелепіпеда, правильним призмам і правильним пірамідам? Причин принаймні три: 1) ці багатогранники потрібні для подальшої побудови теорії (головним чином теорії обсягів), 2) вони мають симетрією, як багато форм природи і творіння рук людських (скажімо, архітектурні форми), 3) вони мають «хорошими властивостями », тобто для них можна сформулювати і довести досить прості теореми.
Остання перевага обумовлена властивостями симетричності, з іншого боку, саме «хороші властивості» і використовуються в теоретичних цілях. Всі теореми цієї теми відносяться до «обраних» багатогранника, причому зовсім просто доводяться і наполовину мають обчислювальний характер (тобто вид формул). Тому друге завдання вчителя - домогтися знання учнями всіх теорем (з доказами).
Третя за рахунком, але першочергове для вчителя завдання - навчити школярів розв'язувати задачі. Практично всі завдання (вправи) теми обчислювальні, більшу частину з них складають прості або зовсім прості завдання, і тут перед учителем розкриваються великі можливості у продовження лінії навчання школярів магічними прийомів вирішення завдань. У завданнях знаходять відображення і головні методологічні ідеї вирішення завдань - аналогія стереометрії з планіметрії, зведення стереометричних задач до планіметричних.
Розглянемо вивчення теми «Многогранники» у шкільних підручниках. Для прикладу візьмемо підручники різного рівня викладу матеріалу: призначені для загальноосвітньої школи, для гуманітарних класів, для класів з математичним ухилом.
2.1 Підручник Атанасян Л.С.
Розглянемо вивчення теми «Многогранники» за підручником Атанасян. Цей підручник призначений для загальноосвітньої школи. Зупинимося на ньому докладніше.
Дана тема вивчається в розділі 3. На вивчення її відводиться 12 уроків. Нижче наведено поурочне планування в таблиці.

Номер уроку	Зміст навчального матеріалу
1-4	§ 1. Поняття багатогранника. Призма. Поняття багатогранника. Призма. Площа поверхні призми. (П.25-27)
5-9	§ 2. Піраміда. Піраміда. Правильна піраміда. Усічена піраміда. Площа поверхні піраміди. (П.28-30)
10	§ 3. Правильні багатогранники. Симетрія в просторі. Поняття правильного багатогранника. Елементи симетрії правильних багатогранників. (П. 31-33)
11	Контрольна робота.
12	Залік по темі.

Ще до вивчення теми «Многогранники» учні знайомляться з їх найпростішими видами у розділі 1 § 4 «Тетраедр і паралелепіпед». На їх вивчення відводиться 5 годин. Поняття тетраедра і паралелепіпеда вводяться в цьому розділі для того, щоб розгляд їх властивостей, побудова перерізів сприяли поглибленню розуміння питань взаємного розташування прямих і площин, тому необхідно, щоб рішення завдань супроводжувалося посиланнями на аксіоми, визначення і теореми.
При поясненні понять тетраедра і паралелепіпеда необхідно підкреслити, що багатокутник в просторі представляє собою плоску поверхню, а тетраедр і паралелепіпед - поверхні, складені з плоских поверхонь (багатокутників).
Для формування в учнів уявлення про способи зображення на кресленні тетраедра і паралелепіпеда корисно за допомогою діапроектора показати на екрані різні проекції їх каркасних моделей. Корисно також обговорити найпростіші властивості паралельної проекції.
У результаті вивчення параграфа учні повинні вміти пояснити, що називається тетраедром, паралелепіпедом, зазначати і називати на моделях і кресленнях елементи цих многогранників; знати властивості граней і діагоналей паралелепіпеда; вміти зображати тетраедр і паралелепіпед, будувати їх перетину.
Основна мета теми «Многогранники» - дати учням систематичні відомості про основні види многогранників.
Учні вже знайомі з такими поняттями, як тетраедр і паралелепіпед, і тепер їм належить розширити уявлення про багатогранника і їх властивості. У підручнику немає строгого математичного визначення багатогранника, а наводиться лише деякий опис, так як суворе визначення громіздко і важко не тільки для розуміння учнями, але і для його застосування. Таке наочне уявлення про геометричні тілах цілком достатньо для учня на первинному рівні розгляду поняття. Нижче, у п. 26, розглядається визначення геометричного тіла, у зв'язку з чим вводиться ряд нових понять. Цей матеріал можуть прочитати самостійно найбільш підготовлені учні, які виявляють підвищений інтерес до математики.
На уроці, використовуючи моделі багатогранників (куб, паралелепіпед, тетраедр, призма), необхідно назвати учням їх елементи: вершини, грані, ребра, діагоналі граней і діагоналі розглядуваних тіл. Важливо, щоб школярі засвоїли ці поняття, що дозволить правильно розуміти формулювання завдань, не змішуючи назви різних елементів у процесі їх вирішення. Після цього вводиться поняття опуклого і не опуклого багатогранників; обов'язково учням показати приклади неопуклих багатогранників.
Призма А ₁ А _{2 ...} А _n В ₁ В ₂ ... У _n визначається як багатогранник, складений з двох рівних багатокутників А ₁ А _{2 ...} А _n і В ₁ В ₂ ... У _n, розташованих у паралельних площинах, і n-паралелограмів А ₁ А ₂ В ₂ В _1, ..., А _n А ₁ В ₁ У _n. Далі вводяться визначення елементів призми, за допомогою моделей роз'яснюються поняття прямої призми, похилій призми, правильної призми. Необхідно звернути увагу учнів на те, що чотирикутна призма - це знайомий їм паралелепіпед. У довільного паралелепіпеда всі шість граней - паралелограми, а бічні грані - прямокутники, у прямокутного паралелепіпеда всі шість граней - прямокутники. При вивченні площі поверхні призми доводиться теорема про площу бічної поверхні прямої призми.
Піраміда визначається як багатогранник, складений з n-кутника А ₁ А ₂ ... А _n і n-трикутників. При введенні поняття правильної піраміди слід акцентувати увагу учнів на двох моментах: підстава піраміди - правильний багатокутник, і відрізок, що з'єднує вершину піраміди з центром її заснування, є висотою піраміди. Можна усно довести, що бічні грані правильної піраміди - рівні рівнобедрені трикутники. Після цього вводиться поняття апофема правильної піраміди (висота бічної грані правильної піраміди, проведеної з її вершини), при цьому треба підкреслити, що цей термін вживається тільки для правильної піраміди, хоча у неправильної піраміди також можуть бути рівні висоти бічних граней.
При вивченні теореми про площу бічної поверхні правильної піраміди корисна символічна запис докази. Нехай сторона підстави n-вугільної піраміди дорівнює а, апофема дорівнює d, S _Δ - площа бічної грані. Тоді
_S-пліч = n ∙ S _{Δ, S-пліч} = n ∙ ad, _S-пліч = (N ∙ a) ∙ d, _S-пліч = Pd, де P - периметр основи піраміди.
Далі вводиться поняття усіченої піраміди. Площина, паралельна підставі піраміди, розбиває її на два багатогранника: один з них є пірамідою, а інший називається усіченою пірамідою. Усічена піраміда - це частина повної піраміди, укладена між її основою і січною площиною, паралельною основи цієї піраміди. При виконанні малюнків до задач на усічену піраміду зручно спочатку накреслити повну піраміду, а потім виділити усічену піраміду.
При введенні поняття правильної усіченої піраміди треба зазначити, що її заснування - правильні багатокутники, а бічні грані - рівні рівнобедрені трапеції; висоти цих трапецій називаються апофема усіченої піраміди. Також виводиться формула площі бічної поверхні правильної усіченої піраміди.
Останнє, що вивчається в темі «Многогранники» у підручнику [4], це симетрія у просторі і поняття правильного багатогранника. Основними поняттями тут є поняття симетричних точок відносно точки, прямої, площини; поняття центру, осі, площини симетрії фігури. При введенні поняття правильного багатогранника потрібно підкреслити дві умови, що входять у визначення: а) всі грані такого багатогранника - рівні правильні багатокутники, б) в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер. У підручнику доведено, що існує п'ять видів правильних багатогранників і не існує правильного багатогранника, гранями якого є правильні n-косинці при n ≥ 6. Доцільно запропонувати учням виготовити вдома моделі правильних багатогранників. Для цієї мети треба використовувати розгортки, зображені в підручнику.
Таким чином, в даному підручнику багатогранники вивчаються з опорою на наочність, предмети навколишньої дійсності.
Весь теоретичний матеріал теми відноситься або до прямих призмам, або до правильних призмам і правильним пірамідам. Всі теореми доводяться досить просто, результати можуть бути записані формулами, тому в темі багато завдань обчислювального характеру, при вирішенні яких відпрацьовуються вміння учнів користуватися відомостями з тригонометрії, формулами площ, вирішувати задачі з використанням таких понять, як «кут між прямою і площиною», «двогранний кут» та ін [4], [24]
2.2Учебнік Смирнової І.М.
Цей підручник призначений для викладання геометрії 10-11 класах гуманітарного профілю. У порівнянні з традиційним викладом у підручнику трохи скорочено теоретичний матеріал, більше уваги приділяється питанням історичного, світоглядного і прикладного характеру.
Як і в [4], особливістю підручника є раннє введення просторових фігур, у тому числі багатогранників, в п.3 «Основні просторові фігури». Мета - сформувати уявлення учнів про основні поняття стереометрії, ознайомити з просторовими фігурами і моделюванням багатогранників. Вводиться поняття багатогранника як просторової фігури, поверхня якої складається з кінцевого числа багатокутників, званих гранями багатогранника. Сторони цих багатокутників називаються ребрами багатогранника, а вершини багатокутників - вершинами багатогранника.
Учням демонструються такі многогранники:
- Куб - багатогранник, поверхня якого складається з шести квадратів;
- Паралелепіпед - багатогранник, поверхня якого складається з шести паралелограмів;
- Прямокутний паралелепіпед - паралелепіпед, у якого грані - прямокутники;
- Призма - багатогранник, поверхня якого складається з двох рівних багатокутників, званих підставами призми, і паралелограма, званих бічними гранями (причому у кожного паралелограма два протилежних ребра лежать на підставах призми);
- Пряма призма - призма, бічні грані якої - прямокутники; правильна призма - пряма призма, підставами якої є правильні багатокутники;
- Піраміда - багатогранник, поверхня якого складається з багатокутника, званого основою піраміди, і трикутників із загальною вершиною, званих бічними гранями піраміди;
- Правильна піраміда - піраміда, в основі якої правильний багатокутник, і всі бічні ребра рівні.
Показуються більш складні многогранники, в тому числі правильні, напівправильні і зірчасті многогранники. Розглядається декілька способів виготовлення моделей багатогранників з розгорток та геометричного конструктора. Моделювання багатогранників служить важливим фактором розвитку просторових уявлень учнів.
Таким чином, до початку безпосереднього вивчення теми «Многогранники» учні вже знайомі (на доступному для них рівні) з традиційним матеріалом по цій темі. З'являється можливість розширити уявлення учнів про багатогранника, розглянувши з ними більш докладно правильні, напівправильні і зірчасті многогранники.
Основна мета даного розділу - ознайомити учнів з поняттям опуклості і властивостями опуклих багатогранників, розглянути теорему Ейлера і її застосування до вирішення завдань, сформувати уявлення про правильні, напівправильні і зірчастих багатогранника.
Можна навести зразкову тематичне планування даної теми.

Пункт підручника	Зміст	Кількість годин
18	Опуклі багатогранники	2
19	Теорема Ейлера	2
20 *	Програми теореми Ейлера	2
21	Правильні багатогранники	2
22 *	Топологічно правильні багатогранники	1
23	Напівправильні багатогранники	2
23	Зірчасті багатогранники	1

Серед просторових фігур особливе значення мають опуклі фігури і, зокрема, опуклі багатогранники. Дане поняття в підручнику вводиться таким чином: багатогранник називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і з'єднує їх відрізок. Далі розглядаються властивості опуклих багатогранників.
Після вивчення опуклих багатогранників розглядається теорема Ейлера і її застосування. В якості таких додатків розглядаються завдання про трьох будиночках і трьох колодязях, проблема чотирьох фарб, вводиться поняття графа.
Опуклий багатогранник називається правильним, якщо його гранями є рівні правильні багатокутники, і в кожній вершині сходиться однакове число граней. Опуклий багатогранник називають напівправильною, якщо його гранями є правильні багатокутники (можливо, і з різним числом сторін), причому в кожній вершині сходиться однакове число граней. Розглядаються п'ять видів правильних багатогранників, деякі види напівправильні і чотири зірчастих багатогранника.
При вивченні правильних, напівправильні і зірчастих багатогранників слід використовувати моделі цих багатогранників, виготовлення яких описано в підручнику, а також графічні комп'ютерні засоби. [28], [27], [29], [30]
2.3 Підручник Александрова А.Д.
Цей підручник призначений для класів і шкіл з математичної спеціалізацією, він дає багату математичну інформацію, розвиває учня, але є досить важко засвоюваним. У підручнику розглядаються такі теми, які в основній школі не доступні навіть для «сильних» учнів, наприклад, сферична геометрія.
Відзначимо особливості вивчення багатогранників у цьому підручнику. По-перше, багатогранники вивчаються після круглих тел. По-друге, при вивченні багатогранника і його елементів простежується зв'язок з багатокутником. Внаслідок чого можливі дві послідовності викладу теми: 1) узагальнити поняття багатокутника, потім розібрати аналогічні питання в просторі, 2) користуючись § 21 підручника, дати спочатку визначення багатогранника, далі узагальнити поняття багатокутника. Особливістю є введення двох визначень призми (як у підручниках, розглянутих вище, і як циліндр, в основі якого лежить багатокутник), причому доводиться равносильность цих визначень. Аналогічно дається інше визначення піраміді: як конус з багатокутником в основі. Пункт 23.6 містить розділ про тріангулірованіі багатогранника, і в ньому дається інше, конструктивне визначення багатогранника. § 24 «Опуклі многогранники» вперше викладається в такому серйозному вигляді, розглядається питання равносильности двох визначень опуклого многогранника. Виклад теми «Правильні многогранники» також відрізняється від її викладу в підручниках з геометрії інших авторських колективів: спочатку показуються п'ять типів правильних багатогранників, побудовою доводиться, що всі п'ять типів правильних багатогранників існують, і тільки після цього доводиться, що інших правильних опуклих багатогранників бути не може. Звичайно ж після визначення відразу доводилася теорема, а існування показувалося пізніше, що ускладнювало методику розповіді.
Таким чином, підручник містить дуже багатий теоретичний матеріал з багатогранника, якого немає в інших підручниках з геометрії, також він може бути використаний як підручник для додаткового вивчення в основній школі. Нижче в таблиці наведено зразкову поурочне планування матеріалу. [3], [20]

№ уроку	Зміст навчального матеріалу
1-2	Узагальнення поняття багатокутника. Багатогранник.
3-5	Призма, паралелепіпед. Вправи.
6-10	Піраміда. Види пірамід. Вправи.
11-13	Опуклі багатогранники.
14-16	Теорема Ейлера. Розгортка опуклого многогранника.
17-19	Правильні багатогранники.

Підводячи підсумки вище сказаного, можна сказати, що у всіх підручниках при вивченні багатогранників розглядається практично одні й ті ж основні теми: визначення багатогранника, опуклі багатогранники, призма, піраміда, правильні багатогранники. Різниця лише в глибині вивчення цих питань: у гуманітарних класах [28] тема вивчається більш поверхнево, практично без доказів, в класах з поглибленим вивченням математики [3] дане питання розглядається глибоко, з науковими обгрунтуваннями. Також є відмінності в деяких додаткових темах, наприклад, напівправильні і зірчасті многогранники розглядаються тільки в [28]. В даний час у багатьох загальноосвітніх школах йде навчання за підручником [4], тому при виборі змісту можна спиратися на нього.
3. Види і роль наочних засобів при вивченні багатогранників.
Тема «Многогранники», як ніяка інша тема шкільного курсу стереометрії, за винятком, можливо, вивчення круглих тіл, дає широкі можливості використання різних наочних засобів.
Наочність є обов'язковим якістю будь-якого навчання. Шляхом цілеспрямованих дій ми формуємо у свідомості учня деяку систему понять, відносин між ними. Для того щоб навчання було успішним, необхідно, щоб учень міг сприймати цю систему і працювати з нею. Але для цього, у свою чергу, необхідно пред'явити учневі деяку її матеріальну модель. Для цього застосовують наочні засоби навчання. Наприклад, якщо вивчається поняття піраміди, то такою моделлю може бути: 1) словесний опис (визначення) цього поняття; 2) об'ємна модель піраміди (каркасна або суцільна), 3) її розгортка; 4) зображення піраміди або її розгортки на дошці, на папері, на екрані і т. п. Всі перераховані об'єкти є матеріальними моделями, з тієї чи іншої сторони відбивають поняття піраміди.
Основними наочними засобами при вивченні багатогранників є об'ємні моделі. Такі моделі, зроблені з різних матеріалів, відповідають різним дидактичним цілям.
Так, наприклад, за допомогою картонної моделі можна показати форму багатогранника. Також на таких моделях зручно показати розгортку поверхні тіла. Але через непрозорість картону вже не можна використовувати картонні багатогранники для демонстрації перетину тіл і тіл, вписаних один в одного. Скляні моделі рекомендується використовувати в тих випадках, коли необхідно показати в многограннику перетин або інше вписане в нього геометричне тіло. Дерев'яні моделі відрізняються міцністю. Дротяні каркасні моделі також знаходять широке застосування на уроках стереометрії. Вони дозволяють показати види, елементи і проекцію багатогранника на площину (тінь моделі на аркуші білого паперу), перетин багатогранника площиною, комбінації геометричних тіл. Така модель є сполучною ланкою між об'ємною моделлю багатогранника та кресленням на папері. Можна перерахувати серії каркасних моделей, які можуть бути використані на уроці: набір моделей правильних призм і пірамід (повних і усічених), набір моделей чотирикутних пірамід, вершини яких проектуються в точку перетину діагоналей основи (крім основного контуру, модель повинна мати висоту, діагональ підстави і висоти бічних граней), набір моделей на комбінації багатогранників.
Випускаються промисловістю моделі не завжди можуть задовольнити потреби, що виникають при навчанні школярів математики. Тому вчителі часто вдаються до виготовлення моделей своїми силами з залученням учнів. Це робиться не тільки в тих випадках, коли в школі відсутні необхідна модель, прилад або інструмент, але і коли вчитель вважає, що наявна модель, прилад не повною мірою сприяють ясному і чіткому сприйняттю досліджуваного матеріалу. Вносячи в модель удосконалення, вчитель залучає учнів до виготовлення нового варіанту моделі. Це сприяє отриманню учнями більш глибоких і міцних знань, умінь застосовувати теоретичний матеріал на практиці. Моделі як фабричного, так і саморобного виготовлення можуть бути використані при введенні нових понять і доказі теорем, при вирішенні завдань, при виконанні практичних та лабораторних робіт.
Іншим зручним видом навчального обладнання є гумові штемпелі (штампи) із зображенням різних плоских та об'ємних фігур, графіків, таблиць і т. д. На жаль, такий засіб навчання зараз рідко зустрічається в школі. При використанні цього виду навчального обладнання досить прикласти штемпель до штемпельної подушці і притиснути його до листа паперу, щоб отримати потрібне зображення, наприклад зображення куба або прямокутного паралелепіпеда. При вирішенні завдань, пов'язаних з побудовою зображень куба або прямокутного паралелепіпеда, учні, скориставшись штемпелем, можуть швидко одержати в зошити правильний креслення, що дає велику економію часу. Природно, застосування штемпелів неповинно призвести до втрати учнями навичок креслення фігур. Тому вчитель повинен спочатку навчити учнів зображувати фігури на площині, а потім застосовувати штемпелі на уроці. Штемпелі можуть використовуватися вчителем при підготовці багатоваріантних контрольних завдань. Можна, наприклад, заготовити 35-40 креслень з зображенням прямокутного паралелепіпеда, щоб потім, проставивши розміри, отримати набір індивідуальних завдань.
Також при вивченні багатогранників можна використовувати різні робочі і довідкові таблиці. Робочі таблиці - це такі таблиці, за матеріалом яких можна організувати активну розумову діяльність учнів як по засвоєнню нового теоретичного матеріалу, так і за його закріплення. За допомогою робочих таблиць можливо здійснити виконання великого числа вправ, що сприяють виробленню і закріпленню в учнів певних навичок, можна проводити опитування учнів або створити проблемну ситуацію перед усім класом. Наприклад, при веденні поняття «піраміда» можна використовувати таблицю із зображенням піраміди, її основних елементів і приватних видів. На відміну від робочих таблиць довідкові таблиці, тобто таблиці для запам'ятовування, призначені для тривалого впливу на зоровий апарат учня. Такі таблиці можуть бути вивішені в кабінеті математики на тривалий час. Таким чином, основною властивістю довідкових таблиць є (крім наочності, яка у ряді випадків відіграє важливу роль) їх дидактична спрямованість. Таблиці ці призначені для примусового впливу на пам'ять учня для запам'ятовування основних фактів, формул, графіків і ін Прикладом таких таблиць може служити таблиця «Обчислення площ і обсягів багатогранників», в якій зображені різні види многогранників і зазначені формули обчислення об'єму та площі поверхні для кожного виду.
Великі можливості виховання самостійності та активності відкриваються при використанні зошитів з друкованою основою. На даний момент вони все частіше з'являються в школах. Зошити з друкованою основою призначаються для організації самостійної роботи на етапі закріплення та повторення пройденого матеріалу. Основна відмінна риса зошити в тому, що вона дозволяє більш раціонально використовувати навчальний час, так як учні звільняються при роботі із зошитом від механічного переписування тексту завдань і основну увагу зосереджують на виконанні завдань, включених у зошит. Як правило, такі зошити частіше використовуються в молодших класах. Зошити з друкованою основою включають велику кількість завдань. Мета завдань різна. Завдання можуть дати учневі зразок способу міркувань, рішення, дані в зошиті, можуть містити пропуски в тексті, які учні повинні заповнити при роботі з зошитом (причому пропущені не випадкові слова, а такі, які змушують учня зайвий раз звернутися до визначень, задуматися над послідовністю операцій). Отже, зошит з друкованою основою дає можливість відпрацьовувати поняття і прищеплювати учням навички розв'язання типових задач.
Також не можна забувати й про такі засоби навчання як діапозитиви, кодопозітіви, комп'ютерні засоби, які можуть бути ефективно застосовані при вивченні багатогранників і не тільки їх.
Нерідко наочні засоби розглядають лише як тимчасову опору при початковому засвоєнні знань. Прихильники такої оцінки ролі наочних засобів вважають, що моделі в цьому випадку привчають учнів до очевидності і тому не сприяють розвитку логічного мислення. Висувається навіть дидактичне правило: чим старше учні, тим менше моделей повинне застосовуватися у викладанні математики. Прийняти таку точку зору і що з неї дидактичне правило не можна, так як вони неспроможні. Правильно розуміється застосування наочних засобів не тільки доречно, але і необхідно на всіх ступенях навчання.
Таким чином, готуючись до конкретного уроку, вчитель вибирає ті кошти, з якими легше організувати необхідну роботу учнів, тобто найбільш в даний момент прості для їх сприйняття. Наприклад, якщо на уроці передбачається почати знайомство з поняттям якогось приватного виду багатогранника, то найбільш зручними виявляться об'ємні зображення або зображення на кіноекрані. У процесі ж закріплення цього поняття досить прості для сприйняття плоскі креслення або словесні описи.
Таким чином, щоб деяка матеріальна модель дозволяла організувати засвоєння того чи іншого поняття, вона повинна не тільки правильно його відображати, а й бути простий для сприйняття учнів. [19], [21]

4.Опорние завдання з теми «Многогранники».
Як вже говорилося, вивчення багатогранників є найважливішою частиною курсу стереометрії. Вони дають багатий матеріал задачний як при вивченні самої теми «багатогранники», так і щодо наступних тим стереометрії. Найчастіше в підручниках мало простих завдань «на геометричні тіла», тому на уроці вдається вирішити всього 2-3 завдання середніх труднощів. Але вони не всім учням під силу. Якщо обмежуватися лише такими завданнями, то багато учнів не зможуть брати активну участь у їх вирішенні, і будуть відставати. Якщо ж спеціально приділяти на уроці час для задач, які зводяться до однієї-двох операцій і тому доступні для усного рішення, то можна втягнути в роботу всіх учнів.
Усне рішення завдань «на багатогранники» значно покращує просторове мислення учнів, яке відіграє важливу роль в стереометрії. Тому докладніше зупинимося саме на таких завданнях.
Так як основні геометричні тіла, що вивчаються в школі, це призми і піраміди, то завдання, наведені нижче, присвячені темам: «Призма. Піраміда. Їх перетину. Площі повної і бічних поверхонь ». Крім того, завдання розбиті на типи: завдання на доказ, на дослідження, на побудову, на обчислення.
Велика кількість завдань можна пропонувати для вирішення разом з готовим малюнком, коли один малюнок буде супроводжувати декілька завдань, в яких йде мова про одне й те ж геометричному тілі. Але готові малюнки супроводжують далеко не всім завданням, оскільки саме виготовлення зображення є важливою частиною рішення. Учитель може варіювати стратегію навчання. В одних випадках - починати з готового малюнка, а в інших демонструвати малюнок (на відкидний дошці або на екрані) тільки після того, як учні самі зробили потрібні зображення у своїх зошитах.
4.1 Завдання за темою «Призма».
Для простоти введемо позначення. Буквами а, b, c позначимо відповідно довжину, ширину і висоту прямокутного паралелепіпеда, буквою d - Довжину діагоналі підстави. Прописні літери Н, D і P відповідають висоті, довжині найбільшої діагоналі призми і периметру її заснування, а букви s, Q, S _б і S _n - Площ: s - підстави, Q - діагонального перерізу, S _б - боковій поверхні, S _n - повної поверхні призми. Кут між діагоналлю прямокутного паралелепіпеда та площиною основи позначаємо грецькою буквою γ.
1) Завдання на обчислення.
Чотирикутна призма.
Перед рішенням завдань 1 і 2 слід повторити формули для обчислення елементів куба зі стороною a:
, , , .
Завдання 3 та деякі з наступних за нею, в яких мова йде про прямокутному паралелепіпеді, зажадають використання формул:
D ² = а ² + b ² + з ^2, d ² = a ² + b ^2, s = а b, Q = d ∙ с, S _б = Р ∙ с.
1. Ребро куба одно а. Знайдіть: діагональ грані; діагональ куба; периметр основи; площа грані; площа діагонального перерізу; площа поверхні куба; периметр і площа перетину, що проходить через кінці трьох ребер, що виходять з однієї і тієї ж вершини. .
2. За рис. 4.1 і за даними елементам в табл. 1 знайдіть інші елементи куба.
Таблиця 1

а	d	D	s	Q
5
	14
		11
			196

3. За рис.4.2 і за даними елементам в табл. 2 знайдіть інші елементи прямокутного паралелепіпеда.
Таблиця 2.

а	b	з	d	D	γ	s	Q
3	4	5

5	12
7	24				45 ˚
8	6
15		17	17

Ріс4.1

Ріс4.2

4. Перпендикулярним перетином похилій 4-вугільної призми є ромб із стороною 3 см. Обчисліть площу бічної поверхні призми, якщо бічне ребро дорівнює 12 см.
5. Знайдіть бічну поверхню похилого паралелепіпеда з бічним ребром 32 см і суміжними сторонами перпендикулярного перетину 10 см і 8 см.
6. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 3 см. Висота призми - 5 см. Знайдіть: діагональ основи; діагональ бічної грані; діагональ призми; площа підстави; площа діагонального перерізу; площа бічної поверхні; площа поверхні призми.
7. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює -32 см, а площа поверхні 40 см. Знайдіть висоту призми.
Рішення. Площа підстави дорівнює S =

(См ^2), сторона підстави - 2 см, периметр підстави Р = 8 см, а висота призми

(См ^2).
Трикутна, шестикутна і n-вугільна призми.
Перед рішенням завдань доцільно повторити формули; S _б = РН і S _п = 2 S _б + 2s для довільної призми, а також формули:
Р = 3а, s =

- Для правильної трикутної та
Р = 6а, s =

-Для правильної шестикутної призми із стороною підстави а.
8. Відстані між бічними ребрами похилій трикутної призми рівні: 2 см, 3 см і 4 см. Бічна поверхня призми - 45 см '. Знайдіть її бічне ребро.

Рис. 4.3

Рис.4.4

Рішення. У перпендикулярному перетині призми - трикутник (рис. 4.3), периметр якого 2 + 3 + 4 = 9 (см), тому бічне ребро одно 45: 9 = 5 (см).
9. Обчисліть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, якщо відомо, що площа перерізу, що проходить через середні лінії підстав, дорівнює 25 см '.
Рішення. У перетині - прямокутник, у якого одна сторона дорівнює бічному ребру, а інша - половина сторони підстави (рис. 4.4). Отже, його площу в 2 рази менше площі бічної грані. Отже, площа бічної грані 50 см ', а бічній поверхні - 50 ∙ 3 = 150 (см').
10. Кожне ребро правильної трикутної призми дорівнює 12 см. Обчисліть: площа підстави; площа бічної поверхні; площа поверхні; площа перерізу, проведеного через медіану підстави і бічне ребро, які проходять через одну вершину підстави.
11. У прямій трикутної призмі всі ребра рівні. Площа бічної поверхні 12 см '. Знайдіть висоту.
12. Знайдіть невідомі елементи правильно трикутно ї призми за елементами, заданим в табл.3.

а	Н	Р	S _б	S _п
6			90
		6
	15		90
		12	144
			108	12б

Ріс45

Ріс46

13. Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, якщо дана площа Q більшого діагонального перерізу.

Рішення. Площа більшого діагонального перерізу (рис. 4.5) Q = 2 a H, aH = . Площа бічної поверхні дорівнює 6 ∙ Q = 3 Q.
14. Через дві нерівні діагоналі підстави правильної 6-вугільної призми проведені діагональні перетину. Знайдіть відношення їх площ.
Рішення. Відношення площ діагональних перетинів (рис. 4.5-4.6) дорівнює відношенню нерівних діагоналей правильного 6-кутника, сторона якого а: S _1,: S ₂ = 2а: а

= 2:

.
15. За елементами, даними в табл. 4, знайдіть невідомі елементи правильної шестикутної призми.
Таблиця 4

а	Н	Р	S _б	S _п
4	7
6			720
	5	18
	20		240
		12	144

16. У правильній n-вугільної призмі проведена площину під кутом 60 ˚ до підстави так, що вона перетинає всі бічні грані призми. Площа підстави дорівнює 50 см ^2. Знайдіть площу перерізу.
Рішення. S _осн = S _січ ∙ cos 60,
S _{се ч} = = 100 (см ^2).
17. Дана n-вугільна призма. Знайти суму величин її плоских кутів.
Рішення. Знайдемо суму плоских кутів двох підстав і всіх бічних граней: 180 (n - 2) ∙ 2 + 360 n = 360 n - 720 + 360 n = 720 (n - 1).
2) Завдання на дослідження.
1. Поставте куб так, щоб жодна грань не була вертикальною. Чи будуть тоді у нього горизонтальні межі?
Відповідь: ні.
2. Чи можна куб з ребром в 7 см обклеїти аркушем паперу у вигляді прямокутника шіріной14 см і довжиною в 21 см?
Рішення. Для обклеювання потрібні 6 квадратів зі стороною 7 см. Даний прямокутник розрізати на два зі сторонами 7 см і 21 см, а потім кожен з них - на три квадрати зі стороною 7 см. Отримаємо 6 потрібних квадратів, якими можна обклеїти куб.
3. Скільки потрібно взяти прямокутників і яким властивістю вони повинні володіти, щоб з них можна було скласти прямокутний паралелепіпед?
Рішення. Два прямокутника для основ зі сторонами а і b, чотири прямокутники для бічної грані. З них два зі сторонами з і а і два зі сторонами з і b.
4. Встановіть, прямий або похилій є призма, у якої дві суміжні бічні грані перпендикулярні основі.
Рішення. Призма є прямою. Дві суміжні бічні грані перетинаються по прямій, перпендикулярній площині підстави. Решта ребра паралельні даному ребру і, отже, теж перпендикулярні основі.
5. Дослідіть, чи існує призма, що має 50 ребер? 54 ребра?
Рішення. Число ребер n-вугільної призми 3 n, тому призми, що має 50 ребер, не існує, а 54 ребра має 18-вугільна призма.
6. Який багатокутник лежить в основі призми, якщо вона має n граней?
Рішення. Кількість сторін багатокутника, що лежить в основі, дорівнює числу бічних граней призми. З умови випливає, що це число дорівнює n - 2, так як у призмі дві грані є підставами. Таким чином, в основі (n - 2)-кутник.
3) Завдання на доказ.
1. У паралелепіпеді діагоналі підстави рівні, а бічне ребро перпендикулярно двом суміжним сторонам підстави. Доведіть, що паралелепіпед прямокутний.
Доказ. У підставі - паралелограм з рівними діагоналями, тобто прямокутник, а бічне ребро перпендикулярно основи за ознакою перпендикулярності прямої і площини.
2. Доведіть, що число ребер призми кратно 3.
Доказ. У n-вугільної призмі бічних ребер n, а ребер нижнього і верхнього підстав 2 n, всього 3n ребер.
3. Доведіть, що сума двогранних кутів при всіх бічних ребрах чотирикутної призми дорівнює 360 ".
Доказ. Розглянемо перпендикулярне перетин призми. У перетині - чотирикутник, сума його кутів S = 180 ° (4 - 2) = 360 °.
4. Якщо призма має 18 граней, то в її основі лежить 16-кутник. Доведіть.
Доказ. У призми дві грані підстав і, значить, бічних граней 16. Отже, в основі 16-кутник.
5. У кубі з вершини N проведені діагоналі граней NE, NF, NK Кінці їх з'єднані відрізками (рис. 4.7). Доведіть, що багатогранник NEFK - правильний тетраедр.

Рис.4.7

Рис.4.8

6. Якщо дві бічні грані трикутної призми взаємно перпендикулярні, то сума квадратів їх площ дорівнює квадрату площі третього бічній грані (рис. 4.8). Доведіть.
7. Доведіть, що перетин паралелепіпеда площиною не може бути правильним п'ятикутником.
Доказ. Серед сторін багатокутника в перетині паралелепіпеда площиною знайдуться паралельні, а у правильного п'ятикутника ніякі дві сторони не паралельні.
4) Задачі на побудову
Перетину можна малювати на заздалегідь підготовленому зображенні призми.
1. Побудуйте переріз куба у вигляді: а) трикутника, б) чотирикутника, в) п'ятикутника, г) шестикутника.

2. Побудуйте площину, що проходить через сторону нижньої основи трикутної призми. Які багатокутники виходять в перетині призми при обертанні цій площині навколо сторони?
Відповідь: перетин може мати форму
трикутника, трапеції.

Рис. 4.9

3. У правильній трикутній призмі площину перерізу ВСМ утворює з площиною підстави двогранний кут α (рис. 4.9). Побудуйте лінійний кут цього двогранного кута. Дайте пояснення.
Побудова. Проведемо з вершини A правильного трикутника АВС висоту АК. Точка K належить ребру НД Відповідно відрізок МК перпендикулярний ребру НД Кут МКА - шуканий.

Ріс4.10

4. В основі прямої призми (рис. 4.10) лежить рівнобедрена трапеція. Перетин ABC ₁ D ₁ утворює з площиною підстави двогранний кут α. Побудуйте його лінійний кут.

Ріс4.11

Побудова. Це кут між висотами трапецій ABCD і ABC ₁ D ₁ проведеними з їх загальної вершини тупого кута. (Використовуємо теорему про три перпендикуляри.)
5. Перетин BCD ₁ A ₁ прямокутного паралелепіпеда (рис. 4.11) утворює з площиною підстави двогранний кут β. Як побудувати його лінійний кут? Побудова. Слід використовувати теорему про три перпендикуляри. Шуканий кут - це кут між діагоналлю А ₁ В (або D ₁ C). Бічній грані і стороною основи АВ (або CD), що лежить у цій грані.
4.2 Завдання за темою «Піраміда».
1) Завдання на обчислення
1. У правильній чотирикутної піраміді висота складає з бічною гранню кут, рівний 37 °. Знайдіть кут між апофема протилежних бічних граней.
Відповідь: 74 °.
2. Бічне ребро правильної піраміди вдвічі більше її висоти. Визначте кут нахилу бічного ребра до площини підстави.
Відповідь: 30 °.
3. Периметр підстави піраміди дорівнює 20 см, а площа її заснування 16 см ^2. Знайдіть периметр і площа перетину піраміди, проведеного паралельно підставі через середину бічного ребра.
Відповідь: 10 см, 4 см ^2.
4. Бічні ребра піраміди рівні гіпотенузі прямокутного трикутника, що лежить в основі, і рівні 12 см. Обчисліть висоту піраміди.
Відповідь: 6

см.
5. У правильній чотирикутної піраміді бічне ребро дорівнює 20 см, воно складає з основою кут 45 °. Визначте відстань від центра підстави до бічного ребра.
Рішення. Шукане відстань d дорівнює довжині висоти, опущеної з вершини рівнобедреного прямокутного трикутника на гіпотенузу, якої є бічне ребро, d = 10 см.
Відповідь: 10 см.
6. Використовуючи рис. 4.12, на якому зображена правильна трикутна піраміда, заповніть порожні клітинки в табл. 1 і табл. 2.
Таблиця 1

№	а	b	h	k	β
1	6	4
2	12				45 °
3		4			60 °
4			4	2

Таблиця 2

№	а	k	h	b	α
I	2
2			1		45 °
3		4	2
4	4				60 °

Зазначення. Перед рішенням завдання слід повторити і потім записати на дошці формули
NC =

, ON =

, OC =

Рис. 4.12

Рис. 4.13

7. Використовуючи рис. 4.13, на якому зображена правильна чотирикутна піраміда, заповніть порожні клітинки в табл. 3 та табл. 4.
Таблиця 3

№	а	k	h	b	α
1	2
2	2				45 °
3		6	3
4		4			30 °

Таблиця 4

№	а	b	h	k	β
1		4			60 °
2			2		45 °
3		8	4
4	4	8

Зазначення. Перед вирішенням цього завдання слід повторити і потім записати на дошці формули
AC =

, ON =

, OC =

8. Площа бічної поверхні піраміди, в основі якої лежить трапеція, дорівнює 2 Q. Бічні грані піраміди складають з площиною підстави рівні кути. Знайдіть суму площ бічних граней, що проходять через непаралельних боку трапеції.
Відповідь: Q.
9. В основі піраміди лежить ромб. Бічні грані піраміди утворюють з основою рівні кути. Площа однієї з бічних граней дорівнює Q. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Відповідь: 4 Q.
10. Обчисліть площу бічної поверхні правильної п'ятикутною піраміди, якщо відомо, що її бічне ребро. рівне а. зі стороною основи складає кут 60 °
Відповідь:

11. Дана правильна трикутна піраміда, у якої а - сторона підстави, k - Апофема, P - периметр підстави, S ₁ - площа бічної поверхні, S - площа піраміди. Заповніть табл. 5.
Таблиця 5

№	а	k	Р	S ₁	S
1	5			75
2		24	24
3		18		297
4			45	315
5				198	202

Зазначення. Задачу слід вирішувати за заздалегідь заготовленому кресленням.
Перед рішенням необхідно повторити і записати на дошці формули:
, P = 3 a, S = S ₁ + S _2, S ₂ =

(S ₂ - площа підстави бенкетам іди.)
12. Дана правильна чотирикутна піраміда. у якої а - сторона підстави, k - Апофема, P - Периметр підстави, S ₁ - площа бічної поверхні, S - площа піраміди.
Таблиця 6

№	а	k	р	S,	S
I	6	12
2	13				689
3		16		288
4			44	396
5				352	416

Зазначення. Задачу слід вирішувати за заздалегідь заготовленому кресленням.
Перед рішенням слід повторити і записати на дошці формули:
, P = 4a, S = S ₁ + S _2, S ₂ = a ² (S2 - площа основи піраміди.)
2) Завдання на дослідження.
1. Скільки вершин, ребер і граней має n-вугільна піраміда?
Відповідь: n + 1 вершин. N + 1 граней, 2п ребер.
2. Яке підстава може мати піраміда, у якої всі ребра рівні?
Рішення. Плоскі кути при вершині піраміди рівні 60 °, так як кожна бічна грань - рівносторонній трикутник. Отже, бічних граней менше, ніж 360 °: 60 ° = 6. тобто в основі може бути рівносторонній трикутник, квадрат або п'ятикутник.
3. В яких межах знаходиться плоский кут α при вершині правильної n-вугільної піраміди. якщо n = 3, 4, 5, 6?
4. У трикутної піраміди всі бічні ребра рівні. Чи може висота такої піраміди знаходитися на одній з граней?
Відповідь: може, якщо в основі прямокутний трикутник.
5. Порівняйте терміни: «правильна трикутна піраміда» і «правильний тетраедр». Чи можна стверджувати, що вони визначають одне і те ж?
6. Бічні ребра піраміди рівні. Чи може її підставою бути: а) прямокутна трапеція, б) ромб?
Відповідь: а) не може, оскільки таку трапецію можна вписати в коло, б) може тільки в разі, якщо підстава - квадрат.
7. При якому співвідношенні в правильній трикутній піраміді між стороною основи а і бічним ребром b її можна побудувати?
Відповідь:

3) Завдання на доказ.
1. Доведіть, що число плоских кутів у n - вугільної піраміді ділиться на 4.
2. Якщо у правильній трикутній піраміді висота М дорівнює стороні підстави а, то бічні ребра складають з площиною підстави кути в 60 °. Чи вірно це твердження?
Рішення. Висота піраміди проектується в центр кола радіуса R, описаної близько підстави, α - шуканий кут,
tgα =

, Α = 60 °.
3. Довести чи спростувати твердження: «якщо в піраміді всі ребра рівні, то піраміда правильна».
Рішення. Підстава піраміди - правильний багатокутник. Так як бічні ребра рівні, то вершина проектується в центр підстави, отже, піраміда - правильна.
4. Довести, що сума площ проекцій бічних граней піраміди на підстава може бути більше площі основи.
Відповідь: може, якщо висота піраміди не
проходить через основу піраміди.
5.. Сторона квадрата дорівнює 10 см. Довести, що не можна, використовуючи його в якості підстави, побудувати правильну чотирикутну піраміду з бічним ребром 7 см.
Рішення. Половина діагоналі квадрата є катетом в прямокутному трикутнику, цей катет дорівнює

, а бічне ребро - гіпотенуза - дорівнює 7 см. Виходить, що катет більше гіпотенузи.
6. Довести, що в правильній піраміді кут нахилу бічного ребра до площини підстави α менше кута нахилу бічної грані до площини підстави β.
4) Задачі на побудову.
1. Побудуйте два зображення однієї піраміди, одне - що має найбільше число видимих ребер, інше - найменше число видимих ребер.
Зазначення. Вид з боку вершини, всі ребра видимі. Вид з боку підстави, видно тільки ребра підстави.

Рис. 4.15

Ріс.4.14

Рис. 4

Рис. 3

2. У правильній чотирикутної піраміди (рис. 4.14) апофема утворює з площиною основи кут 1. Позначте цей кут на малюнку.
3. На рис. 4.15 зображена піраміда РАВС, у якої PH АВС, PK. ВС, TE РВС, Е

PBC. Чи вірний креслення?
Рішення. За умовою PH АВС, PK ВС, тобто по теоремі про три перпендикуляри HK ВС, і PHK PBC. Оскільки, знову ж таки за умовою, TE РВС, то відрізок ТІ або паралельний площині РНК, або належить їй. У будь-якому випадку креслення невірний.
4. На рис. 4.16 зображена піраміда КА BCD. Через точку М, М

АВК, провести пряму, паралельну BD.

Рис. 4.17

Рис. 4.16

Рис. 6

Рис. 5

Рішення. Проведемо через пряму BD і дану точку М площину. Вона перетне межу АВК по прямій ВЕ (Е

КА), а грань ADK по прямій ED. У побудованій площині BED проведемо через точку М пряму паралельно BD.
5. Побудуйте точку перетину прямої МН з площиною основи піраміди SABCD (Рис. 4.17).

Рис. 4.19

Рис. 4.18

6. В основі трикутної піраміди, бічні ребра якої рівні, лежить прямокутний трикутник (рис. 4.18). Побудуйте висоту піраміди.
7. Через точку М на площині α (рис. 4.19) проведена пряма, яка перетинає межу АКС піраміди КАВС у точці Н. Яку ще грань перетне ця пряма?
8. Побудуйте багатогранник, що має 11 ребер.
Зазначення. Чотирикутна піраміда має 8 ребер, якщо у неї «зрізати» кут при основі, додасться 3 ребра. Всього у багатогранника буде 11 ребер. [25], [26], [8], [12], [13]
Висновок
Метою даної роботи був розгляд особливостей методики вивчення теми «Многогранники» в курсі стереометрії 10-11 класів. У зв'язку з чим були виконані наступні завдання: були розглянуті різні підходи до визначень багатогранника, опуклого багатогранника і правильного багатогранника, а також були зроблені висновки про те, які підходи доцільніше використовувати в школі. Крім того, були розглянуті особливості вивчення теми в підручниках різної спрямованості: загальноосвітньої, гуманітарної, з математичним ухилом. Були розглянуті також різні засоби наочності, які можуть бути використані при вивченні даної теми. І, нарешті, були підібрані опорні задачі, які можна використовувати на уроці при вивченні даної теми.
Таким чином, в даній роботі були розглянуті основні, загальні моменти вивчення багатогранників у шкільному курсі стереометрії. У наслідок чого подальші дослідження можуть проходити в напрямку більш детального вивчення окремих розділів даної теми, а також пропедевтичного введення багатогранників у курсі математики 5-6 класів.

Література
1. Автономова Т.В. Основні поняття і методи шкільного курсу геометрії: Книга для вчителя. / Т.В. Автономова, Б.І. Аргунов. - М.: Просвещение, 1988.
2. Александров А.Д. Що таке багатогранник? / А.Д. Александров / / Математика в школі. - 1981. - № 1-2.
3. Александров А.Д. Геометрія для 10-11 класів: Учеб. Посібник для учнів шк. і класів з поглиблений. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.І. Рижик. - М.: Просвещение, 1992. - 464 с.
4. Атанасян Л.С. Геометрія: Учеб. для 10-11 кл. загаль. установ. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 1998. - 207 с.
5. Бескін Л.М. Стереометрія. / Л.М. Бескін. - М.: Просвещение, 1971.
6. Болтянский В.Г. Опуклі многокутники і многогранники. / В.Г. Болтянский, І.М. Яглом / / Математика в школі. - 1966. - № 3.
7. Болтянский В.Г. Елементарна геометрія: Кн. для вчителя. / В.Г. Болтянский. - М.: Просвещение, 1985. - 320 с.
8. Веселовський С.Б. Дидактичні матеріали з геометрії для 11 класу. / С.Б. Веселовський, В.Д. Рябчинская. - М.: Просвещение, 1998. - 96 с.
9. Глаголєв Н.А. Геометрія: Стереометрія. / Н.А. Глаголєв, А.А. Глаголєв. - М.: Учпедгиз, 1958.
10. Джордж Пойа. Математичне відкриття. / Джордж Пойа. - М.: Наука, 1976.
11. Земляков О.М. Геометрія в 10 класі: Метод. рекомендації до викладання курсу геометрії за навч. посібника А.В. Погорєлова: Посібник для вчителя. / О.М. Земляков. - М.: Просвещение, 1986. - 208 с.
12. Зів Б.Г. Задачі з геометрії: Посібник для учнів 7-11 кл. загаль. установ. / Б.Г. Зів, В.М. Мейлер, А.Г. Баханскій. - М.: Просвещение, 2000.
13. Зів Б.Г. Завдання до уроків геометрії. 7-11 класи. / Б.Г. Зів. - С.-Петербург, 1998.
14. Каченовський М.І. Математичний практикум з моделювання. / М.І. Каченовський. - М.: Просвещение, 1959.
15. Кисельов А.П. Геометрія: Підручник для 9-10 класів середньої школи. / А.П. Кисельов. - М.: Учпедгиз, 1956.
16. Клопскій В.М. Геометрія: Навчальний посібник для 9 та 10 класів середньої школи. / В.М. Клопскій, З.А. Скопець, М.І. Ягодовський / Під. ред. З.А. Скопець. - М.: Просвещение, 1979.
17. Люстерник Л.А. Опуклі фігури і многогранники. / Л.А. Люстерник. - М.: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1956.
18. Методика викладання геометрії в старших класах середньої школи. / Під. ред. А.І. Фетісова. - М.: Просвещение, 1967.
19. Методика викладання математики: Загальна методика. / Укладачі: Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985.
20. Паповскій В.М. Поглиблене вивчення геометрії в 10-11 класах: Метод. рекомендації до викладання курсу геометрії в 10-11 кл. за навч. посібника А.Д. Александрова, А.Л. Вернера, В.І. Рижика: Кн. для вчителя. / В.М. Паповскій. - М.: Просвещение, 1993. - 223 с.
21. Петрова О.С. Теорія і методика навчання математики: Навчальний метод. посібник для студ. мат. спец.: У 3 ч. Ч. 1. Загальна методика. / Є.С. Петрова - Саратов: Изд-во Сарат. ун-ту, 2004. - 84 с.
22. Погорєлов А.В. Геометрія: Учеб. для 7-11 кл. середовищ. шк. / О.В. Погорєлов. - М.: Просвещение, 1990. - 384 с.
23. Викладання геометрії в 9-10 класах. / (Зб. статей) сост. З.А. Скопець, Р.А. Хабіб. - М.: Просвещение, 1980.
24. Саакян С.М. Вивчення теми «Многогранники» в курсі 10 класу. / С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. / / Математика в школі. - 2000. - № 2.
25. Сверчевським І.А. Усні завдання по темі «Призма». / І.А. Свєрчевського. / / Математика в школі. - 2003. - № 6.
26. Сверчевським І.А. Усні завдання з теми «Піраміда». / І.А. Свєрчевського. / / Математика в школі. - 2003. - № 7.
27. Смирнова І.М. У світі багатогранників: Кн. для учнів. / І.М. Смирнова. - М.: Просвещение, 1995. - 144 с.
28. Смирнова І.М. Геометрія: Учеб. посібник для 10-11 кл. гуманіт. Профілю. / І.М. Смирнова. - М.: Просвещение, 1997. - 159 с.
29. Смирнова І.М. Про визначення поняття правильного багатогранника. / І.М. Смирнова. / / Математика в школі. - 1995. - № 3.
30. Смирнова І.М. Уроки стереометрії в гуманітарних класах. Вивчення багатогранників. / І.М. Смирнова. / / Математика в школі. - 1994. - № 4.
31. Ходеева Т. Властивості багатогранників. / Т. Ходеева. / / Математика. - 2002. - № 11.

Додаток 1.
Урок повторення з теми «Многогранники» (10 клас).
Урок був проведений у 10 класі після вивчення основних багатогранників перед вивченням правильних багатогранників і симетрії.
Цілі:
1) повторити основні види многогранників (призми та піраміди), їхні приватні види;
2) повторити основні формули для знаходження площі поверхні багатогранників і його приватних видів;
3) вирішити завдання різного рівня складності з даної теми із застосуванням вже відомих знань з багатогранника.
Обладнання: довідкова таблиця «Обчислення площ і обсягів багатогранників», яка містить 4 стовпці: вид багатогранника, креслення, площа бічної і повної поверхні, об'єм; готові креслення на лацкані дошки для вирішення завдань.
Хід уроку:
1) Організаційний момент.
2) Актуалізація знань.

Проводиться фронтальна робота за таблицею. Листочками на таблиці закриті назви багатогранників, основні формули і креслення. Поступово відкриваються креслення, учні за кресленням називають вид багатогранника і основні формули знаходження його повній і бічній поверхні. Колонка таблиці з формулами обсягу в роботі не бере участь, тому що обсяг вивчається в 11 класі. Таким чином, учні згадують всі необхідні факти для вирішення завдань.
3) Рішення задач.
На уроці пропонується вирішити два завдання за готовими кресленнями (усне рішення), два завдання письмово з побудовою креслення і додаткову завдання більш сильним учням.
Завдання 1. Дано: ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ - куб. Знайдіть: tg α. (рис.1).
Завдання 2. Дано: DABC - Правильна трикутна піраміда, DO (ABC), AB = 3 · DO. Знайдіть: α. (рис2).
Завдання 1 і 2 мають на меті повторення деяких фактів планіметрії і раніше вивчених тем зі стереометрії (наприклад, перпендикулярність прямої і площини) і використання їх у розв'язанні задач. При вирішенні завдання, як правило, труднощі не виникають, але можна рішення задачі 2 записати в зошит (що й було зроблено на уроці).
Завдання 3. В основі піраміди DABC лежить прямокутний трикутник ABC, C = 90 °, A = 30 °, BC = 10. Бічні ребра піраміди равнонаклонени до площини підстави. Висота піраміди дорівнює 5. Знайдіть ребра піраміди і площа бічної поверхні піраміди.
Обчислення довжини ребер в задачі 3 відбувається без ускладнень, площа обчислюється трохи складніше. Але головна особливість даного завдання в тому, що необхідно зрозуміти, куди падає висота і чим є її основу. (При проведенні уроку як раз цей момент і викликав утруднення.)
Завдання 4. У прямому паралелепіпеді ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ підставою служить ромб. Сторона ромба дорівнює a, BAD = 60 °. Діагональ паралелепіпеда B ₁ D становить із площиною бічній грані кут 45 °. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.
Задача 4 складна тим, що, по-перше, в ній не всі дані представлені числами, по-друге, труднощі виникають при визначенні кута між B ₁ D і площиною бічній грані (задача була повністю розібрана на дошці).
Завдання 5. (Додаткова) У правильній чотирикутної піраміді сторона основи дорівнює a. Кут між суміжними бічними гранями дорівнює 2 α. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
4) Підведення підсумків. У міру виконання завдання перевіряються, в кінці уроку даються вказівки для вирішення п'ятого завдання. [12], [13]
Висновок: урок поставленої мети досяг, учні повторили основні види многогранників, вирішили завдання різного рівня складності, крім того, повторили такі факти по планіметрії, як обчислення площ многокутників, і по стереометрії: кут між площинами, між прямою і площиною та інші. У цілому рівень складності завдань відповідав рівню підготовки учнів, і великих проблем при вирішенні завдань не виникло.

Пріложеніе2.
Різні доведення теореми Ейлера.
Сучасна теорія багатогранників бере свій початок з робіт Леонарда Ейлера (1707-1783) - одного з найвидатніших математиків світу, роботи якого зробили вирішальний вплив на розвиток багатьох розділів математики. Л. Ейлер був не тільки видатним математиком, але й великої творчою особистістю. Їм було написано близько 760 наукових статей для журналів, 40 книг, 15 робіт для різних конкурсів. Вражає працездатність вченого, що росла протягом усього життя. Так, в перші 14 років наукової діяльності їм було написано 80 робіт обсягом близько 4000 друкованих аркушів, а в останні 14 років життя, незважаючи на важку хворобу - сліпоту, опубліковано понад 359 праць загальним обсягом приблизно 8000 друкованих аркушів. Багато рукописи Ейлера збереглися до наших днів. Ейлер довгий час (з 1727 по 1741 рік і з 1766 до кінця життя) жив і працював у Росії, був дійсним членом Петербурзької академії наук, справив великий вплив на розвиток російської математичної школи, на підготовку кадрів вчених - математиків і педагогів Росії.
Роботи Ейлера дали поштовх до постановки та вирішення різних проблем, сприяли розвитку багатьох розділів математики. Математики наступних поколінь вчилися у Ейлера. Наприклад, французький вчений П. С. Лаплас говорив: «Читайте Ейлера, він учитель всіх нас».
У 1752 році Ейлером була доведена стала знаменитою теорема про кількість граней, вершин і ребер опуклого многогранника. Вона була поміщена в роботі «Доказ деяких чудових властивостей, яким підпорядковані тіла, обмежені плоскими гранями».
Розглянемо різні докази цієї теореми. У подальшому даний матеріал можна використовувати як для факультативних і гурткових занять, так і для самостійного вивчення учнями.

Перш ніж розглядати доказ, звернемося до наступної таблиці (Г-число граней багатогранника, В - вершин, Р - ребер):

Назва багатогранника	Г	У	Р
Тетраедр	4	4	6
Чотирикутна призма	6	8	12
Семикутну піраміда	8	8	14
П'ятикутна біпіраміда	10	7	15
Правильний додекаедр	12	20	30

Тепер знайдемо суму Г + В-Р для кожного з представлених в таблиці багатогранників. У всіх випадках вийшло: Г + В-Р = 2. Справедливо це тільки для вибраних багатогранників? Виявляється це співвідношення справедливо для довільного опуклого многогранника. Це властивість вперше було помічено і потім доведено Л. Ейлером.
Теорема Ейлера. Для будь-якого опуклого багатогранника справедливе співвідношення Г + В-Р = 2 (*), де Г - число граней, В - число вершин і Р - число ребер даного багатогранника.
Доказ. Існує безліч різних доказів теореми Ейлера. Пропонується розглянути три найбільш цікавих з них.
1)

Рис.3

Найбільш поширений спосіб, що бере свій початок в роботі самого Ейлера і розвинутий у роботі французького математика Огюста Коші (1789 - 1857) «Дослідження про багатогранника» (1811 р.), полягає в наступному.
Уявімо поверхня даного багатогранника зробленої з еластичного матеріалу. Видалимо (виріжемо) одну з його граней і залишилася поверхню «растянем» на площину. Тоді на площині виходить сітка (рис 3), що містить Г '= Г-1 областей (які як і раніше назвемо гранями), У вершин і Р ребер (які можуть викривлятися).
Для даної сітки потрібно довести співвідношення
Г '+ В-Р = 1, (**)
тоді для багатогранника буде справедливо співвідношення (*).
Доведемо, що співвідношення (**) не змінюється, якщо в сітці провести яку-небудь діагональ. Дійсно, після проведення деякої діагоналі в сітці буде Г '+1 граней, У вершин і Р +1 ребро, тобто
(Г '+1) + В-(Р +1) = Г' + В-Р.
Користуючись цією властивістю, проведемо в сітці діагоналі, що розбивають її на трикутники (на малюнку 3 діагоналі зображені пунктирами), і доведемо співвідношення (**) методом математичної індукції по числу n трикутників в сітці.
Нехай n = 1, тобто сітка складається з одного трикутника. Тоді Г '= 1, В = 3, Р = 3 і виконується співвідношення (**). Нехай тепер співвідношення (**) має місце для сітки, що складається з n трикутників. Приєднаємо до неї ще один трикутник. Його можна приєднати наступними способами:
1. як ΔABC (рис 3). Тоді сітка складається з Г '+1 граней, У +1 вершин і Р +2 ребер, і, отже,
(Г '+1) + (В +1) - (Р +2) = Г' + В-Р;
2. Як ΔMNL. Тоді сітка складається з Г '+1 граней, У вершин і Р +1 ребер, і, отже,
(Г '+1) + В-(Р +1) = Г' + В-Р.
Таким чином, в обох випадках, тобто при будь-якому приєднання (n +1)-го трикутника, вираз (**) не змінюється, і якщо воно дорівнювало 1 для сітки з n трикутників, то воно дорівнює 1 і для сітки з (n +1) трикутника. Отже, співвідношення (**) має місце для будь-якої сітки з трикутників, значить, для будь-якої сітки взагалі. Отже, для даного багатогранника справедливо співвідношення (*). Такий доказ запропоновано в [18].
2) Спосіб доведення теореми Ейлера, пов'язаний з перебуванням суми плоских кутів опуклого многогранника. Позначимо її Σ _а. Нагадаємо, що плоским кутом багатогранника є внутрішні плоскі кути його граней.
Наприклад, знайдемо Σ _а для таких багатогранників:
а) тетраедр має 4 грані - всі трикутники. Таким чином, Σ _а = 4π;
б) куб має 6 граней - всі квадрати. Таким чином, Σ _а = 6 ∙ π = 12π;
в) візьмемо тепер довільну п'ятикутну призму. У неї дві грані - п'ятикутники і п'ять граней - паралелограми. Сума кутів опуклого п'ятикутника дорівнює 3π. (Нагадаємо, що сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює π (n-2).) Сума кутів паралелограма дорівнює 2π. Таким чином,
S ₁ = 2 ∙ 3π +5 ∙ 2π = 16π.
Отже, для знаходження Σ _а ми вираховували спочатку суму кутків, що належать кожній грані. Скористаємося цим прийомом і в загальному випадку.
Введемо наступні позначення: S _1, S _2, S _3, ..., S _r - Число сторін 1, 2, 3-й і т.д. останньої грані багатогранника. Тоді
Σ _а = π (S ₁ -2) + π (S ₂ -2) + ... + π (S _r -2) = π (S ₁ + S ₂ + S ₃ + ... + S _r - 2Г).
Далі знайдемо загальне число сторін всіх граней багатогранника. Воно дорівнює S ₁ + S ₂ + S ₃ + ... + S _r. Так як кожне ребро багатогранника належить двом граням, маємо:
S ₁ + S ₂ + S ₃ + ... + S _r = 2 ∙ Р

а)

б)

Рис 4

(Нагадаємо, що через Р ми позначили кількість ребер даного багатогранника.) Таким чином отримуємо:
Σ _а = 2π (Р-Г). (1)
Порахуємо тепер Σ _а іншим способом. Для цього будемо міняти форму багатогранника таким чином, щоб у нього не змінювалося число Г., В і Р. При цьому може змінитися кожний плоский кут окремо, але число Σ _а залишиться тим самим. Виберемо таке перетворення багатогранника: приймемо одну з його граней за основу, розташуємо його горизонтально і «растянем» для того, щоб на нього можна було спроектувати Інші грані багатогранника. Наприклад, на малюнку 4.а показано, до чого ми прийдемо в разі тетраедра, а на малюнку 4.б - у разі куба. На малюнку 5 показано багатогранник довільного типу.

Рис. 5

Зауважимо, що спроектований багатогранник представляє злилися два накладені один на одного багатокутні пластини із загальним контуром, з яких верхня розбита на (Г-1) багатокутник, а нижня на грані не ділиться. Позначимо число сторін зовнішнього обмережує багатокутника через r. Тепер знайдемо Σ _а спроектованого багатогранника. Σ _а складається з наступних трьох сум:
1) Сума кутів нижньої межі, у якої r сторін, дорівнює π (r-2).
2) Сума кутів верхньої пластини, вершинами яких є вершини нижньої межі, теж дорівнює π (r-2).
3) Сума «внутрішніх» кутів верхньої пластини дорівнює 2π (В-r), так як верхня пластина має (В-r) внутрішніх вершин і всі кути групуються біля них. Отже,
Σ _а = π (r-2) + π (r-2) + 2π (В-r) = 2πВ - 4π. (2)
Таким чином, порівнюючи вирази (1) і (2), отримуємо:
Г + В - Р = 2,
що й потрібно було довести.
Цей спосіб доведення теореми Ейлера розглянуто в книзі американського математика і педагога Джорджа Пойа. [10]
3) Метод, запропонований математиком Л.М. Бескін. [5]
Тут, як і у випадку 1), вирізаємо одну грань багатогранника і залишилася поверхню розтягуємо на площину. При цьому на площині виходить деяка плоска фігура, наприклад, зображена на малюнку 6.
Уявімо собі, що ця плоска фігура зображує собою острів, який з усіх боків оточений морем і складається з окремих полів - граней, відокремлених один від одного і від води греблями - ребрами.
Почнемо поступово знімати греблі, щоб вода потрапила на поля. Причому греблю можна зняти тільки в тому випадку, якщо вона межує з водою лише з одного боку. Знімаючи чергову греблю, ми зрошуємо рівно одне поле. Покажемо тепер, що число всіх гребель (тобто Р - число ребер взятого багатогранника) дорівнює сумі чисел знятих і залишилися гребель.

Отже, число знятих гребель одно (Г-1). Дійсно, знімаючи греблі, які омиває вода тільки з одного боку, ми окропили всі поля (тобто межі, число яких дорівнює (Г-1), так як одна грань була спочатку вирізана). На малюнку 6 номери 1, 2, 3, ..., 15 показують порядок зняття гребель. Кількість залишкових гребель одно (В-1). Покажемо це. На малюнку 7 наша система зображена після зняття всіх можливих гребель. Більше ні одну греблю зняти не можна, так як вони омиваються з двох сторін. Далі ніякі дві вершини системи, наприклад B і D (рис. 7), не можуть з'єднуватися двома шляхами, тому що в противному випадку вийшов би замкнутий контур (рис 8), всередині якого не було б води, що суперечить тому, що всі поля окроплені водою. Звідси випливає, що в рештою системі гребель повинен бути глухий кут, тобто вершина, до якої веде одне єдине ребро. Виберемо будь-яку вершину, наприклад вершину А (рис 7), і підемо по шляху, складеному з гребель, причому не будемо проходити ніяку вершину двічі. Врешті-решт, так як число вершин звичайно, ми прийдемо в глухий кут (наприклад у вершину G на рис 7). Тоді відрізок-тупик, тобто вершину G і прилеглої до неї ребро-греблю, відріжемо. У решти системі знову виберемо яку-небудь вершину, підемо від неї і відріжемо вийшов глухий кут. Роблячи так, ми нарешті прийдемо до системи, в якій немає гребель, а є тільки одна вершина, яка залишиться після відрізання останнього глухого кута. Таким чином, число гребель одно (В-1).
Остаточно отримуємо:
Р = (Г - 1) + (В - 1),
звідки
Г + В - Р = 2.
Теорема доведена.