Міністерство освіти Російської Федерації
Вятський державний гуманітарний університет
Кафедра математичного аналізу і методики викладання математики
Курсова робота
Методика вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5-6 класів
(За уч. Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон)
Роботу виконала
студентка математичного факультету (М-41)
Бєляєва Катерина Анатоліївна.
Науковий керівник:
Крутіхін М.В.
Кіров - 2006
Зміст
Введення
1. Методика вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 6 класу
Поняття математичної моделі та моделювання
Роль вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5-6 класів
2. Методика вивчення елементів математичного моделювання в 5-6 класах
3. Аналіз підручника "Математика" для 6 класу Г.В. Дорофєєва, Л.Г. Петерсон з точки зору наявності задач для формування прикладних умінь
Висновок
Література
Введення
Однією із сучасних тенденцій розвитку школи є посилення профільної диференціації навчання. Термін "профільна диференціація навчання" позначає поділ навчальних планів і програм у спеціалізованих школах, класах або в старших класах середньої школи, здійснима на факультативах.
Існування класів і шкіл різного типу ставить перед методикою навчання, в тому числі і математики, вельми специфічні проблеми. Причому реалізація профільної диференціації, як показують педагогічні дослідження, доцільна в середньому і старшому ланці школи (8 - 11 класи).
"Дуже важливо, щоб учні бачили прикладні можливості всіх розділів математики. Математика повинна залишатися математикою, але в ній повинно бути виділено прикладне начало, яке повинне допомогти вирішенню специфічних питань обраного профілю". [5]
Навчання математики в класах технічного, економічного, природно-сільськогосподарського і, частково, гуманітарного профілів передбачає формування в учнів певного стилю мислення, близького до прикладного.
Однією з важливих особливостей цього стилю мислення є, наприклад, використання раціональних міркувань. Такі міркування менше схематизує і ідеалізують дійсність, ніж дедуктивні умовиводи математики, отже, більше підходять для аналізу реальних фактів і процесів, вирішення власне технічних, хімічних, сільськогосподарських, екологічних та інших завдань.
Прикладної стиль мислення передбачає сформованість деяких спеціальних умінь:
Уміння моделювати реальні процеси (будувати математичні моделі);
Уміння коректно проводити експериментальні дослідження;
Уміння грамотно оцінювати результати вимірювань і обчислень;
Уміння вибрати потрібний алгоритм або математичний метод для вирішення конкретного завдання.
Але очевидно, що такі вміння повинні починати формуватися не в 8 - 11 класах, а значно раніше, вже в 5 - 6 класах, для чого можуть бути використані прикладні завдання. Н.А. Терешин дає таке визначення прикладної задачі: "прикладна задача - це задача, поставлена поза математики та розв'язувана математичними засобами". У 5 - 6 класах є можливість додатково пропонувати учням такі завдання, цілеспрямовано сприяють розвитку певних сторін мислення.
Крім того, вчителі-методисти, що займаються прикладними аспектами шкільного курсу математики, відзначають тягу учнів до завдань практичного змісту. Одним із способів підвищення інтересу до математики є посилення практичної спрямованості змісту викладання. [7]
Болтянский В.Г. писав: "Завдання прикладного характеру мають в загальноосвітній школі важливе значення насамперед для виховання інтересу до математики. На прикладі добре складених задач прикладного змісту учні будуть переконуватися у значенні математики в різних сферах людської діяльності, в її користь і необхідність для практичної роботи, побачать ширину можливостей додатки математики, зрозуміють її роль у сучасній культурі ". [3]
В основі вирішення прикладних завдань лежить математичне моделювання, тому необхідно організувати навчання елементам моделювання вже на ранніх етапах навчання, а саме в 5 - 6 класах.
Мета курсової роботи - розглянути основні питання і проблеми навчання елементам математичного моделювання в 5 - 6 класах на основі підручника "Математика" для 6 класу авторів Дорофєєва Г.В., Петерсон Л.Г.
Для реалізації поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:
Дати поняття математичної моделі, розкрити суть методу математичного моделювання;
Визначити основні функції та цілі навчання математичного моделювання в школі;
Обгрунтувати роль вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5-6 класів;
Розробити методику вивчення елементів математичного моделювання в 5-6 класах;
Дати аналіз підручника "Математика" для 6 класу Г.В. Дорофєєва, Л.Г. Петерсон з точки зору наявності задач для формування прикладних умінь.
1. Методика вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 6 класу
Поняття математичної моделі та моделювання
Прикладна спрямованість навчання передбачає оволодіння школярами математичними методами пізнання дійсності, одним з яких є метод математичного моделювання.
"Метод математичного моделювання полягає в тому, що для дослідження якого-небудь об'єкта вибирають або будують інший об'єкт, в якомусь відношенні подібний досліджуваного. Побудований або вибраний об'єкт вивчають і з його допомогою вирішують досліджувані завдання, а потім результати вирішення цих завдань переносять на початкове явище або об'єкт ". [16]
Поняття "математична модель" і "моделювання" широко використовуються в науці та на виробництві. Відомо, що для математичного дослідження процесів і явищ, що реально відбуваються насправді, треба зуміти описати їх на мові математики, тобто побудувати математичну модель процесу, явища. Математичні моделі і є об'єктами безпосереднього математичного дослідження.
Математичної моделлю називають опис якого-небудь реального процесу або деякої досліджуваної ситуації на мові математичних понять, формул і відносин.
Математична модель - це спрощений варіант дійсності, використовуваний для вивчення її ключових властивостей. "Математична модель, заснована на деякому спрощенні, ідеалізації, не тотожна об'єкту, а є його наближеним відображенням. Однак завдяки заміні реального об'єкта відповідної йому моделлю з'являється можливість сформулювати завдання його вивчення як математичну і скористатися для аналізу універсальним математичним апаратом, який не залежить від конкретної природи об'єкта ". [15] Чарльз Лейв і Джеймс Марч дають таке визначення моделі: "Модель - це спрощена картина реального світу. Вона володіє деякими, але не всі властивості реального світу. Вона являє собою безліч взаємопов'язаних припущень про світ. Модель простіше тих явищ, які вона за задумом відображає або пояснює ". В даний час побудову, дослідження і додаток математичних моделей є, можна сказати, основним предметом діяльності математиків.
Тому і в шкільному курсі математики, перш за все при вирішенні навчальних математичних завдань, моделювання, особливо алгебраическому і аналітичному, слід приділити належну увагу. Дійсно, математичні моделі використовуються для вирішення (або хоча б полегшення рішення) УМЗ. Крім того, складання математичної моделі задачі, переклад завдання на мову математики поволі готує учнів до моделювання реальних процесів і явищ у їх майбутньої діяльності.
При вирішенні навчальних математичних текстових завдань особливо часто використовуються їх алгебраїчні та аналітичні моделі. Такою моделлю може бути функція, що описує явище або процес, рівняння, система рівнянь, нерівність, система нерівностей, система рівнянь і нерівностей та ін
При складанні моделі завдання, таким чином, перекладається на мову алгебри або аналізу.
Функції та цілі навчання математичного моделювання в школі
Можна умовно виділити наступні дидактичні функції математичного моделювання:
Пізнавальна функція.
Методичною метою цієї функції є формування пізнавального образу досліджуваного об'єкта. Це формування відбувається постійно при переході від простого до складного.
Тут думка учня направляється за найкоротшим і найбільш доступним шляхам до цілісного сприйняття об'єкта. Реалізація пізнавальної функції не зумовлює процесу наукового пізнання, цінність цієї функції полягає в ознайомленні учнів з найбільш найкоротшим і доступним способом осмислення досліджуваного матеріалу.
Функція управління діяльністю учнів.
Математичне моделювання предметно і тому полегшує орієнтовні, контрольні та комунікаційні дії. Орієнтованою дією може служити, наприклад, побудова креслення, відповідного розглядався умові, а також внесення до нього додаткових елементів.
Контролюючі дії спрямовані на виявлення помилок при порівнянні виконаного учнями креслення (схеми, графіка) з поміщеними в підручнику або на з'ясування тих властивостей, які повинні зберегти об'єкт при тих чи інших перетвореннях.
Комунікаційні дії відповідають тій стадії реалізації функції управління діяльністю учнів, яка відповідає дослідженню отриманих ними результатів. Виконуючи ці дії, що вчиться в світлі власного досвіду пояснює іншим або хоча б самому собі по побудованій моделі суть досліджуваного явища чи факту.
Інтерпретаційна функція.
Відомо, що один і той самий об'єкт можна виразити за допомогою різних моделей. Наприклад, окружність можна задати за допомогою пари об'єктів (центр і радіус), рівнянням відносно осей координат, а також за допомогою малюнка чи креслення. В одних випадках можна скористатися її аналітичним виразом, в інших - геометричною моделлю. Розгляд кожної з цих моделей є її інтерпретацією; ніж значущою об'єкт, тим желательней дати більше його інтерпретацій, які розкривають пізнавальний образ з різних сторін.
Можна також говорити про естетичні функції моделювання, а також про такі, як функція забезпечення цілеспрямованого уваги учнів, запам'ятовування і повторення учнями навчального матеріалу і т.д.
Використання різних функцій математичної моделі сприяє найбільш плідної мислення учня, так як його увага легко і своєчасно перемикається з моделі на отриману з її допомогою інформацію про об'єкт і назад. Таке переключення зводить до мінімуму відволікання розумових зусиль учнів від предмета їх діяльності. [12]
Роль вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5-6 класів
Так як в основі рішення прикладних завдань лежить математичне моделювання, то для реалізації прикладної спрямованості необхідно організувати навчання школярів елементам моделювання, якими з дидактичної точки зору є навчальні дії, що їх у процесі вирішення завдань. Розвиток в учнів правильних уявлень про характер відображення математикою явищ і процесів реального світу, ролі математичного моделювання у науковому пізнанні й у практиці має велике значення для формування діалектико-матеріалістичного світогляду учнів. Прикладна та практична спрямованість математики є важливою ланкою в розвитку правильного світогляду школяра, його математичного, психологічного та загального розвитку. Найбільш сприятливим для початку вивчення математичного моделювання є 5-6 клас, так як саме в цей період у школярів відбуваються певні психічні зміни. У залежності від того, як школярі ставитимуться до навчальної діяльності, як вони навчаться самостійно оволодівати знаннями, такими й будуть їхні подальші успіхи в навчанні. Питання, що вивчаються в курсі математики 5-6 класів, складають фундамент, на якому будується подальше навчання як математики, так і інших предметів. Від рівня знань і умінь, сформованих в 5-6 класах, залежить успішне оволодіння всього курсу математики. У процесі вивчення математичного моделювання в цей час учні знайомляться з теоретичними фактами, йде формування основних математичних понять, показ застосування математичних фактів на практиці. Тому на цьому етапі у школярів складається певне ставлення до вирішення завдань, а значить і до математики в цілому. Не випадково, в підручниках нових поколінь поняття математичної моделі та математичного моделювання з'являється вже на самих ранніх етапах навчання. Так, наприклад, в підручнику для 5 класу Г.В. Дорофєєва, Л.Г. Петерсон вже в 2 параграфі вивчається тема "Математичні моделі". Автори не дають поняття моделі, а на прикладі двох завдань показують, що в двох несхожих ситуаціях використовується одна і та ж математична модель, відразу вказуючи на цінність математичного моделювання, що одна і та ж модель може описувати різні явища. Для того, щоб побудувати математичну модель, треба, перш за все, навчитися переводити умови задач на математичну мову. Далі говориться, що після переведення завдання на математичну мову пошук рішення зводиться до роботи з математичними моделями - до обчислень, перетворенням, міркуванням.
У силу різних причин реально в школі ці підручники використовуються рідко, тому ідеї математичного моделювання більшості учнів незнайомі. Роль вивчення елементів математичного моделювання в 5 - 6 класах - Пропедевтична. Введення понять "модель" і "моделювання", включення у зміст уроків завдань прикладного характеру роблять вивчення математики більш осмисленим, продуктивним, створюються сприятливі передумови для формування прикладного мислення.
2. Методика вивчення елементів математичного моделювання в 5-6 класах
Відомо, що процес математичного моделювання складається з трьох етапів:
1) перекладу запропонованого завдання з природної мови на мову математичних термінів, тобто побудови математичної моделі задачі (формалізація);
2) рішення задачі в рамках математичної теорії (рішення всередині моделі);
3) перекладу отриманого результату (математичного рішення) на мову, на якому була сформульована вихідна задача (інтерпретація отриманого рішення).
Слід зазначити, що у школі в основному приділяється увага роботі над другим етапом моделювання, в той час як формалізація та інтерпретація залишаються недостатньо розкритими. Необхідно організувати навчання учнів елементам моделювання, які належать до всіх трьох етапах. Важливим засобом навчання елементам моделювання, які належать до етапів формалізації та інтерпретації, є сюжетні завдання. Сюжетною завданням називають завдання, що описує реальну або наближену до реальної ситуацію на неформально-математичній мові. З цієї точки зору будь-яке завдання, що виникає на практиці, є сюжетної, однак часто вона може не містити достатніх для вирішення числових даних. Такі завдання називають завданнями-проблемами. Для побудови їх математичної моделі потрібно знайти достатню кількість числових даних. Шкільні підручники майже не містять завдань-проблем. Учням, як правило, відразу пред'являється словесна модель задачі, тому уявлення про характер відображення математикою явищ, описаних у сюжетних завданнях, часто виявляються досить примітивними. Це відбувається внаслідок того, що етап формалізації при вирішенні шкільних сюжетних завдань виявляється представлений занадто вузько, тобто немає умов для змістовного розкриття діяльності, що проходить на цьому етапі математичного моделювання. Тому треба шукати шляхи змістовного розкриття та конкретизації етапів формалізації та інтерпретації математичного моделювання. Зокрема, ця проблема може бути реалізована на шляху вирішення так званих прикладних завдань. Для підготовки до навчання у профільних класах вже в 5-6 класах доцільно використовувати прикладні та навчально-прикладні задачі, які дозволяють навчати школярів наступним діям, характерним для етапів формалізації та інтерпретації:
заміні вихідних термінів обраними математичними еквівалентами;
оцінці повноти вихідної інформації та введенню при необхідності відсутніх числових даних;
вибору точності числових значень, відповідної змістом завдання;
оцінці можливості отримання числових даних для вирішення завдання на практиці.
Виконання дії заміни вихідних термінів обраними математичними еквівалентами грунтується насамперед на життєвому досвіді учнів, тобто знанні термінів, що зустрічаються в побуті або при вивченні інших предметів, які можуть бути замінені математичними поняттями і відносинами. З цього випливає, що в системі завдань шкільних підручників має бути більше завдань, що містять терміни з різних наукових областей, але що не вимагають тривалого і громіздкого пояснення їх сутності. Крім цього, завдання розширюють словниковий запас учнів, знайомлять з новими цікавими фактами з різних наук.
Навчання заміни вихідних термінів може відбуватися при формуванні понять. Наприклад, при вивченні поняття кола доцільно використовувати такі завдання:
Завдання 1. Яка довжина обода колеса велосипеда, якщо довжина спиці дорівнює 35 см.
Завдання 2. Обхват дерева дорівнює 1,5 м. Знайти товщину дерева.
Часто на практиці використовуються одиниці часу, що не входять у відомі системи заходів, - тиждень, декада, квартал, століття. У підручниках не вистачає завдань, де назва одиниць вимірювання включено в сюжет завдання і потрібна заміна однієї одиниці іншої відповідно до умовою. У таких завданнях математичним еквівалентом буде число більш дрібних одиниць виміру.
Наприклад: Протягом першої декади місяця магазин реалізував товару на суму 121 532 р. На яку суму в середньому реалізовувалася продукція за 1 день?
При навчанні дії оцінки повноти вихідної інформації та введення при необхідності відсутніх числових даних необхідно враховувати компоненти, які можуть бути в умови цих завдань: сюжет (об'єкти), величини, їх характеризують, значення цих величин. При цьому можна виділити наступні типи завдань, представлені в таблиці.
сюжет | величини | значення | |
а) | + | + | - |
б) | + | - | + |
в) | - | + | + |
г) | - | - | + |
д) | - | + | - |
е) | + | - | - |
Знак "+" означає наявність відповідного компоненту в умові, знак "-" - відсутність. Знак "-" в графі "сюжет" характеризує завдання, в яких потрібно підібрати об'єкти по заданих величин і (або) значень. Знак "-" в графі "величини" передбачає виділення системи необхідних вихідних величин в умовах зайвих або відсутніх даних. Комбінації "+", "+", "+" і "-", "-", "-" не розглядаються як не представляють інтересу.
Крім того, завдання всередині одного типу можуть відрізнятися і формою завдання: таблиця, діаграма, креслення, стислий запис і т.д. Наведемо приклади, відповідні виділеним типам.
Велосипедист і пішохід вийшли з селища в один і той же час і пішли в місто по одній і тій же дорозі. Велосипедист рухається зі швидкістю ... км / год, пішохід - ... км / ч. Яка відстань буде між ними через 1,5 год?
З річного звіту школи відомо наступне:
кількість учнів на початку навчального року 642
прибуло протягом року 19
переведено в паралельні класи 4
вибуло з школи 9
залишилося на повторне навчання 2
закінчило школу 78
Скільки учнів залишилося після закінчення навчального року?
в) Скласти завдання з короткої запису:
Кількість | Ціна | Вартість | |
1 | 3 |
| |
2 | 1 |
г) Скласти задачу за числовим виразом:
)
д) Скласти задачу з величинами відстань, швидкість, час.
е) У першому вагоні трамвая їхало a людина, а в другому b чоловік. На зупинці з другого вагону вийшло c осіб. Яке з виразів показує, скільки людей залишилося у другому вагоні:
а) a + b в) b - c
б) (a + b) - c г) a + (b - c)
Підстав замість a, b, c розумні значення й якби задачу.
Говорячи про навчання дії вибору точності числових значень, що відповідають змісту завдання, не мається на увазі формування понять і вмінь, пов'язаних з наближеними обчисленнями. Мова йде про залучення уваги учнів до того, що будь-яка математична модель має похибку. При вирішенні завдань у житті рідко отримують круглі відповіді. Оскільки, наприклад, вважати масу фарби для підлоги з точністю до грама нерозумно, то необхідно вміти округляти числові дані у відповідності зі змістом завдання.
Формування даної дії повинно починатися вже в процесі знайомства учнів з одиницями вимірювання, що відбувається ще в початковій школі. Доцільно при вивченні всіх одиниць розглядати, які об'єкти на практиці вимірюються даною одиницею.
Наприклад. При виготовленні етикетки для сірникової коробки слід знати розміри прямокутника, на який буде наклеюватися етикетка. У яких одиницях вимірювання слід вимірювати довжину і ширину прямокутника.
При навчанні округлення результату у відповідності зі змістом задачі можуть використовуватися завдання, що вимагають округлення, але без вказівки точності округлення. Для того, щоб показати учням необхідність округлення, можна використовувати завдання: "Скільки потрібно заплатити за половину буханця хліба, якщо ціла буханець коштує 6р.75 к.?"
Наведемо приклади завдань, які також можуть бути використані для формування аналізованого дії.
Завдання 1. Тракторна бригада повинна за планом зорати 620 га землі. Але вона зуміла виконати завдання на 144%. Скільки гектарів землі зорала бригада?
Завдання 2. Сіносховищі має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 16,6 м, 5,2 м, 4 м. Скільки тонн сіна може поміститися в сховище, якщо 1 м 3 сіна має масу 54 кг.
При вирішенні завдань на практиці доводиться округляти не тільки результат, але і вихідні числові дані. Це може відбуватися, наприклад, при використанні табличних даних, де вказана точність вища, ніж вимагається по суті завдання. Засобом навчання вибору точності вихідних даних можуть служити завдання:
а) потребують практичних вимірювань;
б) пов'язані з читанням і побудовою графіків;
в) пов'язані з надмірною точністю числових даних.
Наприклад,
Завдання 1. Знайти площа класної дошки.
Завдання 2. Тюк сіна спресований прес-підбирачем, має масу 40 кг і розміри 90 '40,3' 55 см. Знайдіть щільність спресованого сіна.
Завдання 3. Туристи спочатку їхали на автобусі зі швидкістю ... км / год, а потім на веслових човнах зі швидкістю ... км / ч. Всього за 5 год вони проїхали 150 км. Скільки часу їхали туристи на автобусі?
У цьому завданні потрібно самостійно вставити замість крапок реальні значення швидкостей автобуса і весловому човна. Бажано, щоб учні не намагалися підібрати такі значення, які дають цілочисельний відповідь, а округлили результат за змістом.
У процесі вирішення запропонованих та аналогічних завдань учні повинні засвоїти, що вибір точності залежить від мети, з якою вирішується завдання, і від якостей самого вимірюваного об'єкта. При відповідях школярі спираються на свої уявлення про реальні об'єкти і процеси, описаних в задачі.
Дії оцінки можливості отримання числових значень величин на практиці тісно пов'язане з дією оцінки повноти вихідної інформації та введення необхідних числових значень: формування першого можливо, головним чином, в процесі формування другого. Отже, для того, щоб зробити більший акцент на оцінці можливості отримання значень величин на практиці, повинні використовуватися завдання, при вирішенні яких безпосередній вибір величин, необхідний для відшукання шуканої, в учнів утруднень не викликав. Наприклад.
Завдання 1. Як приблизно виміряти відстань, яку ви проходите від дому до школи?
Завдання 2. У сараї потрібно зробити цегляна підлога в один шар, товщина якого дорівнює найменшому розміром цегли. Як визначити, скільки штук цегли потрібно?
Всі перераховані вище завдання спрямовані на формування елементів прикладного стилю мислення учнів вже у 5-6 класах.
3. Аналіз підручника "Математика" для 6 класу Г.В. Дорофєєва, Л.Г. Петерсон з точки зору наявності задач для формування прикладних умінь
На основі виділених дій, характерних для етапів формалізації та інтерпретації, проаналізуємо підручник Г.В. Дорофєєва, Л.Г. Петерсон з точки зору наявності задач, що застосовуються для формування прикладних умінь учнів 6 класу.
Перша дія - заміна вихідних термінів обраними математичними еквівалентами. Навчання цій дії може відбуватися при формуванні понять, наприклад, таких як, окружність, сфера, прямокутний паралелепіпед.
При вивченні кола, кола та їх властивостей в підручнику використовуються завдання, в яких використовуються такі терміни як "коло колеса", "обороти колеса", "арена цирку", "циферблат годинника". Наприклад.
№ 549 (2) (частина 3). Скільки оборотів зробить колесо на ділянці шляху в 1,2 км, якщо діаметр колеса дорівнює 0,8 м? Число p округло до цілих.
№ 566 (а) (частина 3). Чому дорівнює площа циферблату годинника, якщо довжина хвилинної стрілки дорівнює 4,5 см. Число p округло до цілих.
№ 737 (частина 3). Арена цирку має довжину 40,8 м. Знайди діаметр і площа арени. Число p округло до цілих.
Прямокутний паралелепіпед є математичним еквівалентом "акваріума", "печі". Наприклад.
№ 547 (частина 3). Є два акваріуми з вимірами 45 '32' 50 см і 50 '32' 45 см.
а) На виготовлення якого з двох акваріумів знадобилося більше скла?
б) Акваріуми заповнили водою так, що рівень води в першому акваріумі нижче верхнього краю на 10 см, а в другому - на 5 см. У якому акваріумі більше води?
Також до цієї групи належать завдання № № 341, 342, 549 (4), 562, 566 (б) (частина 3).
Можна зробити висновок, що в цьому підручнику в текстах завдань наводиться недостатня кількість прикладів аналогів кола, кулі, прямокутника, паралелепіпеда та інших геометричних фігур і тіл на практиці.
Також під час навчання дії заміни вихідних термінів обраними математичними еквівалентами застосовуються завдання, в яких потрібна заміна однієї одиниці вимірювання іншої більш дрібної і навпаки. Таких завдань у підручнику дуже багато, але в основному в них потрібно переводити кілометри в метри, метри в сантиметри, хвилини в години, що не викликає великих складнощів у школярів. Наприклад.
№ 225 (1) (частина 2). Щоб зв'язати шарф довжиною 1,4 м, потрібно 350 г шерсті. Скільки вовни буде потрібно, щоб зв'язати шарф такої ж ширини довжиною 180 см?
№ 227 (частина 2). Підводний човен, йдучи зі швидкістю 15,6 км / год, прийшла до місця призначення за 3 год 45 хв. З якою швидкістю вона повинна була йти, щоб пройти весь шлях на 45 хв швидше.
Сюди ж належать завдання № № 189 (2), 190 (2), 191 (2), 198, 199, 201, 209, 210, 212, 223, 233, 247, 305, 306, 334 (частина 1); № № 44, 49, 125, 203, 204, 292, 293 (1), 322, 372, 373, 551 (частина 2); № № 116, 130 (а), 132,133, 154, 195, 223, 228, 304 , 433-436, 444, 465, 466, 467, 499, 563, 633, 667, 678-680, 683, 700, 706, 717, 720, 727, 728, 738, 764, 767 (б) (частина 3 ).
Тільки в одній задачі використовується одиниця вимірювання часу - тиждень.
№ 285 (2) (частина 1). Середня температура повітря за тиждень дорівнює 18,6 °, а за шість днів без неділі - 18,4 °. Якою була температура повітря в неділю?
Таким чином, необхідно збільшити кількість завдань, в яких потрібен переклад одиниць, що не входять у відомі системи заходів.
Розглянемо наявність завдань з точки зору формування вміння оцінювати повноту вихідної інформації і вводити при необхідності числові дані. Вище були виділені типи завдань, які необхідно застосовувати при навчанні даного вмінню. Проаналізуємо, чи достатньо в підручнику завдань, які відповідають цим типам.
Перший тип відповідає комбінації "+", "+" "-" і характеризується наявністю сюжету, величин і відсутністю значень величин. В основному вони представлені в завданнях, названих у підручнику "Бліц-турнір". Сюди відносяться такі завдання як:
№ 58 (б - д) (частина 3). "Бліц-турнір".
б) Під час продажу товару на b руб. отримали 8% прибутку. Яка собівартість товару?
в) До зниження ціни футболка коштувала x руб., а після зниження - y руб. На скільки відсотків знизилася ціна?
г) Зарплату робітника, рівну n руб., підвищили спочатку на 10%, а потім ще на 40% від нової суми. Якою стала зарплата після другого підвищення?
д) Ціну на комп'ютер знизили спочатку на 20%, а потім ще на 50% від нової ціни. Після цього комп'ютер став коштувати k руб. Якою була його первісна ціна?
У підручнику також представлені наступні завдання такого типу: № № 66 (1 - 2), 107, 200, 222, 228, 443 (частина 1); 47 (1,3,4), 53 (1,3), 83, 130 (1,3), 136, 286, 287, 329, 337, 374, 453 (частина 2); 10, 16, 24, 148, 268, 319, 367 (б, в, г, д, е), 729.
Другий тип характеризується наявністю сюжету, значень величин і відсутністю величин у другому. Це комбінація "+", "-", "+". Завдань такого типу в підручнику [6] немає.
Третій тип відповідає комбінації "-", "+" "+". До цього типу відносяться завдання, в яких потрібно скласти завдання за схемою або короткої записи. У підручнику Г.В. Дорофєєва, Л.Г. Петерсон такі завдання представлені в наступному вигляді:
№ 197 (частина 1). Склади за схемами завдання і знайди невідомі величини (d t -Відстань між об'єктами через t год після виходу):
40 км / год 80 км / год
t встр. = 2,5 год
? км s =? d 1,5 =?
110 км / год 70 км / год
t = 2 год
150 км t встр. =? D 2 =?
? км / год 9 км / год
t = 1,4 ч u =?
? км d 1,4 =? d 3,2 =?
4 км / год 12 км / год
t = 0,5 ч
6 км d 0,5 =?
В основному треба скласти завдання на рух у різних напрямках згідно із зазначеними в схемах даними. До цього ж типу відносяться завдання № № 215 (частина 1); 387 (частина 2); 131, 524, 627 (частина 3).
Четвертий тип характеризується відсутністю сюжету і величин і наявністю значень, тобто це такі завдання, в яких потрібно скласти завдання по числовому вираженню, рівнянню і т.д. У підручнику [6] до цього типу належать завдання види:
№ 115 (частина 1). Придумай 3 завдання, вирішенням яких є вираз: (a - a: 4): 2.
№ 424 (частина 2). Придумай ситуацію, математичної моделлю якої може служити даний вираз, і знайди відповідь:
а) (-9) + (+4), б) (+6) + (+3);
в) (-5) + (-2); г) (-1) + (+7).
Аналогічні дії потрібно виконати в № 427.
№ 496 (частина 2). Склади з даної математичної моделі завдання й якби її:
1) 0,48: (1,6 - 2 x) + 5,2 = 6 2) 2 (x - 1,8) = 2 / 3 x.
П'ятому типу відповідає комбінація "-", "+", "-", де потрібно скласти завдання із зазначеними величинами, наприклад, відстань, швидкість, час, вартість, ціна, кількість тощо
№ 766 (частина 3). Як знайти: а) відсоток від числа; б) число за його відсотком; в) відсоткове відношення двох чисел? Придумай і виріши завдання на ці правила. Потім ці ж завдання виріши методом пропорцій. Який спосіб ти вважаєш більш зручним? Чому?
У підручнику [6] окремо виділяються завдання, в яких потрібно скласти завдання про "доходи" і "витрати" по заданому виразу.
Наприклад,
№ 220 (частина 2). Придумай за висловом завдання про "доходи" і "витрати" і знайди відповідь:
1) (+3) + (-7);
2) (-5) + (-8);
3) (-1) + (-4).
Аналогічні цього № № 221, 314 (частина 2).
До 6 типу завдань належать завдання, які характеризуються тільки наявністю сюжету. Це завдання види:
№ 58 (а) (частина 3).
а) В одному класі a людина, а в іншому - на 20% більше. Скільки людей у двох класах?
До цього ж типу відносяться № № 69, 288, 415 (частина 1); 47 (2,5,6), 53 (2), 130 (2,4) (частина 2); 367 (а), 778 (частина 3).
Можна зробити висновок, що останні 5 типів завдань недостатньо повно представлені в підручнику Г.В. Дорофєєва, Л.Г. Петерсон. Лише завдання 1 типу, часто зустрічаються в номерах підручника. Необхідно включити до навчання завдання, що відповідають комбінації "+", "-", "+", яких взагалі немає в цьому підручнику.
Проаналізуємо наявність завдань у підручнику з точки зору навчання вибору точності числових значень, що відповідають змісту завдання. Це завдання вимагають округлення, але без вказівки точності округлення, вихідних і (або) отриманих даних у відповідності зі змістом завдання. Завдання цього типу представлені наступними завданнями:
№ 56 (2) (частина 1). Довжина кімнати 4,2 м, ширина - 3,6 м, а висота - 3,5 м. Кімнату треба обклеїти шпалерами. Скільки рулонів шпалер треба купити, якщо в кожному рулоні 15 м при ширині 0,6 м, розміри вікна 2 м '1,5 м, а на відходи при поклейке треба передбачити 20% витрати шпалер.
№ 79 (частина 1). Нехай до деяких добу тривалість дня x год, а тривалість ночі y ч. Запиши формулу, яка має залежність y від x. Які значення може приймати x? Заповни таблицю і побудуй графік цієї залежності для всіх допустимих значень x.
x | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y |
№ 30 (частина 2). Відстань від Москви до Бреста дорівнює приблизно 1100 км. Зобразіть шосе від Москви до Бреста на тетрадном аркуші у вигляді відрізка, підібравши зручний масштаб.
№ 434 (частина 2). У автогосподарстві для кожної моделі автомобілів встановлена норма зносу. За "Волгам" вона становить 11,1% на рік. Який термін служби цього автомобіля?
В основному в підручнику навчання вибору точності числових значень реалізується при побудові різних графіків залежностей. До цього типу завдань належать також № № 55, 77-80, 92, 155, 162, 280, 317, 468, 473 (частина 1); 33, 37, 38, 50, 51,81, 84, 113, 140, 141-144, 154, 155, 173, 175, 176, 178, 189, 190, 265, 288, 374 (частина 2); 146, 155, 158, 198 (частина 3).
Завдання, які повинні використовуватися при навчанні дії оцінки можливості отримання результату, представлені в підручнику в дуже невеликій кількості. До них належать такі завдання, як:
№ 336 (частина 1). У класі 20 учнів. З них англійську мову вивчають 15 осіб, німецький - 10, і ще 1 людина вивчає французьку мову. Чи можливо це?
№ 49 (частина 2). На туристичній карті масштаб відірвана. Чи можна його відновити, якщо відомо, що відстань від сільської пошти до окраїни села (по прямій дорозі) дорівнює 3,2 км, а на карті це відстань зображено відрізком довжиною 4 см?
№ 368 (б) (частина 3). У міській думі 80 депутатів, серед яких 4 незалежних депутата, а інші представляють інтереси трьох партій. Число депутатів від першої партії на 20% більше, ніж від другої, а число депутатів від другої партії становить 62,5% числа депутатів третьою. Чи може будь-яка партія заблокувати прийняття рішення, для якого потрібно кваліфіковане більшість голосів (не менш 2 / 3) всіх депутатів?
Отже, було проаналізовано підручник "Математика" для 6 класу Г.В. Дорофєєва, Л.Г. Петерсон з точки зору наявності завдань, необхідних для навчання діям, характерним для етапів формалізації та інтерпретації. Були отримані наступні результати:
не вистачає завдань з прикладами аналогів математичних понять, що використовуються на практиці;
недостатньо завдань, в яких потрібен переклад одиниць, що не входять у відомі системи заходів;
загальна кількість завдань, необхідних для реалізації другої дії, пропонується в достатній кількості;
дуже мало завдань, які повинні використовуватися для навчання дії оцінки можливості отримання результату.
Висновок
У процесі проведеного дослідження були отримані наступні результати:
визначено поняття "модель" і "математичне моделювання", виділені основні ідеї та етапи методу математичного моделювання;
виділені дидактичні функції викладання математичного моделювання в школі;
обгрунтовано значення вивчення елементів математичного моделювання на ранніх етапах навчання, а саме в 5 - 6 класах;
виділені основні дії, характерні для етапів формалізації та інтерпретації, і розроблена методика навчання елементам математичного моделювання в 5 - 6 класах;
проаналізовано підручник "Математика" для 6 класу Г.В. Дорофєєва, Л.Г. Петерсон з точки зору наявності задач для формування прикладних умінь і зроблені відповідні висновки.
Результати проведеного дослідження дозволяють зробити наступні висновки:
включення моделювання у зміст навчальних предметів необхідно для ознайомлення учнів з сучасною науковою трактуванням понять моделі та моделювання, оволодінням моделюванням як методом наукового пізнання та вирішення практичних завдань;
слід включити вивчення елементів математичного моделювання у зміст уроків не в 7 - 9 класах, а на ранніх етапах навчання, тобто вже у 5 - 6 класах або ще раніше. Це обгрунтовано тим, що в учнів створюються передумови для більш усвідомленого вивчення математики, формування прикладного стилю мислення та підвищення інтересу до самої науки математики.
Література
Баврін І.І. Почала аналізу та математичні моделі в природознавстві. / / Математика в школі, 1993, № 4.
Блох А.Я., Гусєв В.А. та ін Методика викладання математики в середній школі. - М.: Просвещение, 1987.
Болтянский В.Г., Пашкова Л.М. Проблема політехнізації курсу математики. / / Математика в школі, 1985, № 5.
Возняк Г.М. Прикладні завдання в мотивації навчання. / / Математика в школі, 1990, № 2.
Гнеденко Б.В. Математика і математичне освіта в сучасному світі. - М.: Просвещение, 1985.
Дорофєєв Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 6 клас. Частина 1, 2,3. - М.: "Баласс", "С-інфо", 2002.
Дорофєєв Г.В., Тараканова О.В. Постановка текстових задач як один із способів підвищення інтересів учнів до математики. / / Математика в школі, 1988, № 5.
Канін Є.С. Аналітичне моделювання текстових завдань. / / Функції завдань у навчанні математики. - Корів - Йошкар-Ола, 1985.
Канін Є.С. Навчальні математичні завдання. - К.: Видавництво ВятГГУ, 2004.
Практикум з викладання математики в середній школі. Під ред.В.І. Мішина. - М.: Просвещение, 1993.
Серікбаева В. Міжпредметні зв'язки як один з найважливіших засобів формування світогляду учнів. / / Сучасні проблеми методики викладання математики. - М.: Просвещение, 1985.
Терешин Н.А. Прикладна спрямованість шкільного курсу математики. - М.: Просвещение, 1990
Тесленко І.Ф. Формування діалектико-матеріалістичного світогляду учнів при вивченні математики. - М.: Просвещение, 1979.
Тікіна Г.П. Методичні питання використання завдань як засобу формування пізнавального інтересу до математики. / / Функції завдань у навчанні математики. - Корів - Йошкар-Ола, 1985.
Тихонов О.М., Костомаров Д.П. Розповіді про прикладній математиці. - М.: Наука, 1979.
Фрідман Л.М., Турецький Є.М. Як навчитися вирішувати завдання. - М.: Просвещение, 1984.