Методика вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5-6 класів

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Зміст
Введення
Глава 1. Теоретичні основи математичного моделювання
1.1. Поняття моделі. Моделювання. Класифікація моделей та види моделювання
1.2. Математична модель. Математичне моделювання
1.3. Математичне моделювання в школі
1.4. Функції та цілі навчання математичного моделювання в школі
1.5. Роль вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5-6 класів
Висновки на чолі 1
Глава 2. Навчання школярів елементам математичного моделювання
2.1. Огляд шкільних підручників з математики для 5-6 класів з точки зору наявності елементів математичного моделювання
2.2. Методика навчання математичного моделювання за підручниками Дорофєєва Г. В., Петерсон Л. Г. «Математика-5», «Математика-6»
2.3. Аналіз підручників Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» з точки зору наявності задач для формування умінь, характерних для математичного моделювання
2.4. Дослідне викладання
Висновки на чолі 2
Висновок
Бібліографічний список
Програми


Введення

Проблема модернізації освіти в даний час широко обговорюється в теорії та практиці, особливо з позиції активізації творчої пізнавальної діяльності учнів. Активізація пізнавальної діяльності учнів - один з дидактичних принципів, роль якого істотно зросла в умовах розвиваючого навчання. Проблема активізації включає в себе кошти для здійснення такої діяльності.
Моделювання - важливий метод наукового пізнання і сильний засіб активізації учнів у навчанні.
Відзначається, що однією зі складових математичної освіти є нове уявлення про предмет математики. В основі змісту шкільних підручників має бути передбачено створення та розробка схем, моделей та їх варіантів, створення моделей за відомими схемами, додаток вже розроблених схем безпосередньо в навчанні. Для того щоб краще побачити загальні риси засвоюваного дії, треба абстрагуватися від непотрібних в даному випадку властивостей предметів, а це і означає, що потрібно перейти до дії з моделями, вільними від всіх інших властивостей, крім потрібних в даному випадку.
До основних цілей навчання математики належить формування умінь будувати математичні моделі найпростіших реальних явищ, дослідити явища за заданими моделям, конструювати програми моделей; залучення учнів до досвіду творчої діяльності та формування у них вміння застосовувати його.
Але очевидно, що такі вміння повинні починати формуватися не в 8 - 11 класах, а значно раніше, вже в 5 - 6 класах, для чого можуть бути використані сюжетні завдання, що описують реальну або наближену до реальної ситуацію на неформально-математичній мові. В основі рішення сюжетних завдань лежить математичне моделювання, тому необхідно організувати навчання елементам моделювання вже на ранніх етапах навчання, а саме в 5 - 6 класах, коли є можливість додатково пропонувати учням такі завдання, цілеспрямовано сприяють розвитку певних сторін мислення.
З урахуванням вищевикладеного для дослідження була обрана тема «Методика вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5 - 6 класів (на прикладі підручників Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон)».
Об'єкт дослідження - процес навчання математики в 5 - 6 класах.
Предмет дослідження - навчання учнів 5 - 6 класів елементам математичного моделювання.
Мета роботи - розглянути основні питання і проблеми навчання елементам математичного моделювання в 5 - 6 класах та розробити методику вивчення елементів математичного моделювання на основі підручників «Математика» для 5 - 6 класів авторів Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон.
Гіпотеза: вивчення математичного моделювання на ранніх етапах навчання, а саме в 5 - 6 класах середньої школи робить процес навчання математики більш ефективним і осмисленим, а також сприяє формуванню у школярів діалектико-матеріалістичного світогляду, вміння проводити раціональні міркування.
Предмет, мета і гіпотеза дослідження визначають наступні завдання:
1) дати поняття математичної моделі, розкрити суть методу математичного моделювання;
2) визначити основні функції та цілі навчання математичного моделювання в школі;
3) обгрунтувати роль вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5-6 класів;
4) описати методику навчання школярів елементам математичного моделювання за підручниками Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон «Математика» для 5-6 класів;
5) проаналізувати підручники [6], [7], [11 - 17], [21], [22] c точки зору наявності елементів математичного моделювання;
6) експериментально перевірити основні положення дослідження.
Для досягнення цілей роботи, перевірки гіпотези та вирішення поставлених вище завдань були використані наступні методи:
1) вивчення літератури з математики та методики викладання математики з досліджуваної теми;
2) вивчення психологічної, педагогічної, філософської літератури з теми дослідження;
3) спостереження за роботою учнів;
4) дослідне викладання.

Глава 1. Теоретичні основи математичного моделювання

1.1. Поняття моделі. Моделювання. Класифікація моделей та види моделювання

Моделювання в даний час отримало надзвичайно широке застосування в багатьох галузях знань: від філософських та інших гуманітарних розділів знань до ядерної фізики та інших розділів фізики, від проблем радіотехніки і електротехніки до проблем механіки та гідромеханіки, фізіології та біології і т. д. моделювання - головний спосіб пізнання навколишнього світу.
Питання моделювання розглядалися в роботах філософів (В. А. Штофа, І. Б. Новікова, Н. А. Уемова та інших), фахівців з педагогіки і психології (Л. М. Фрідмана, В. В. Давидова, Б. А. Глинського, С. І. Архангельського та інших).
Термін «модель» широко використовується в різних сферах людської діяльності і має безліч значеннєвих значень. Модельований об'єкт називається оригіналом, що моделює - моделлю.
Поняття «модель» виникло в процесі дослідного вивчення світу, а саме слово «модель» походить від латинських слів «modus», «modulus», що означають міру, образ, спосіб. Майже у всіх європейських мовах воно вживалося для позначення способу або прообразу, або речі, подібною в якомусь відношенні з іншою річчю [33].
Існують різні точки зору на визначення поняття «модель».
Так, наприклад, В. А. Штоф під моделлю розуміє таку подумки подану або матеріально реалізовану систему, яка відображає і відтворює об'єкт так, що її вивчення дає нову інформацію про цей об'єкт [13].
А. І. Уйомов визначає модель як систему, дослідження якої служить засобом для отримання інформації про іншу систему [29].
Чарльз Лейв і Джеймс Марч дають таке визначення моделі: «Модель - це спрощена картина реального світу. Вона володіє деякими, але не всі властивості реального світу. Вона являє собою безліч взаємопов'язаних припущень про світ. Модель простіше тих явищ, які вона за задумом відображає або пояснює »[20].
В. О. Поляков вважає, що «модель - це ідеальне формалізоване представлення системи і динаміки її поетапного формування. Модель повинна інтегровано імітувати реальні завдання і ситуації, бути компактною, адекватно передавати зміни станів і повинна збігатися з розглянутої завданням чи ситуацією ».
Більшість психологів під «моделлю» розуміють систему об'єктів чи знаків, відтворюючу деякі суттєві властивості системи-оригіналу. Наявність відносини часткового подібності («гомоморфізм») дозволяє використовувати модель в якості заступника або представника досліджуваної системи.
Іноді під моделлю розуміють таке матеріальний чи подумки представлений об'єкт, який у процесі пізнання (вивчення) заміщає об'єкт-оригінал, зберігаючи деякі важливі для даного дослідження типові риси.
Ось деякі приклади моделей:
1) Архітектор готується побудувати будівлю небаченого досі типу. Але перш ніж спорудити його, він споруджує це будівля з кубиків на столі, щоб подивитися, як воно буде виглядати. Це модель.
2) На стіні висить картина, що зображає розбурхане море. Це модель [9].
«Моделювання - це є процес використання моделей (оригіналу) для вивчення тих чи інших властивостей оригіналу (перетворення оригіналу) або заміщення оригіналу моделями в процесі якої-небудь діяльності» (наприклад, для перетворення арифметичного виразу можна його компоненти тимчасово позначити буквами) [33] .
«Моделювання - це опосередкований практичне або теоретичне дослідження об'єкта, при якому безпосередньо вивчається не сам цікавий для нас об'єкт, а деяка допоміжна штучна або природна система:
1) знаходиться в деякому об'єктивному відповідно до пізнаваним об'єктом;
2) здатна заміщати його в певних відносинах;
3) дає при її дослідженні, в кінцевому рахунку, інформацію про сам моделируемом об'єкті »
(Три перерахованих ознаки по суті є визначальними ознаками моделі) [25].
На підставі перерахованого можемо виділити наступні цілі моделювання [3]:
1) розуміння будови конкретної системи, її структури, властивостей, законів розвитку і взаємодії з навколишнім світом;
2) управління системою, визначення найкращих способів управління при заданих цілях і критеріях;
3) прогнозування прямих і непрямих наслідків реалізації заданих способів і форм впливу на систему.
Всі три цілі мають на увазі в тій чи іншій мірі наявності механізму зворотного зв'язку, тобто необхідна можливість не тільки перенесення елементів, властивостей і відносин модельованої системи на моделює, але й навпаки.
Моделювання тісно пов'язане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та ін Процес моделювання обов'язково включає й побудова абстракцій, і умовиводи за аналогією, і конструювання наукових гіпотез.
Науковою основою моделювання служить теорія аналогією, в якій основним поняттям є - поняття аналогії - подібність об'єктів за їх якісним і кількісним ознаками. Всі ці види об'єднуються поняттям узагальненої аналогії - абстракцією. Аналогія висловлює особливого роду відповідність зіставляються об'єктами, між моделлю та оригіналом [5].
Взагалі, аналогія це середнє, опосередковують ланка між моделлю і об'єктом. Функція такої ланки полягає:
а) у зіставленні різних об'єктів, виявленні та аналізі об'єктивного подібності певних властивостей, відносин, властивих цим об'єктам;
б) в операціях міркування і висновки за аналогією, тобто в умовиводах за аналогією.
Хоча в літературі зазначається нерозривний зв'язок моделі з аналогією, але «аналогія не є модель». Невизначеності породжуються нечітким відмінністю:
а) аналогії як поняття виражає фактичне ставлення подібності між різними речами, процесами, ситуаціями, проблемами;
б) аналогії як особливої ​​логіки умовиводи;
в) аналогією як евристичного методу пізнання;
г) аналогії як способу сприйняття й осмислення інформації;
д) аналогії як засобу перенесення апробованих методів та ідей з однієї галузі знання в іншу, як засобу побудови і розвитку наукової теорії.
Висновок за аналогією включає інтерпретацію інформації, отриманої дослідженням моделі. Особливість способу отримання висновків за аналогією в логічній літературі отримала назву традукция - перенесення відносин (властивостей, функцій і т. д.) від одних предметів на інші. Традуктівний спосіб міркувань використовується при співставленні різних предметів за кількістю, якістю, просторовому положенню, тимчасовій характеристиці, поведінці, функціональним параметрам структури і т. д.
Моделювання є багатофункціональним, тобто воно використовується самим різним чином для різних цілей на різних рівнях (етапах) дослідження або перетворення. У зв'язку з цим багатовікова практика використання моделей породила безліч форм і типів моделей.
Моделі класифікують виходячи з найбільш істотних ознак об'єктів. У літературі, присвяченій філософським аспектам моделювання, представлені різні класифікаційні ознаки, за якими виділено різні типи моделей. Розглянемо деякі з них.
В. А. Штоф пропонує наступну класифікацію моделей [33]:
1) за способом їх побудови (форма моделі);
2) по якісній специфіці (зміст моделі).
За способом побудови розрізняють матеріальні і ідеальні моделі. Матеріальні моделі, не дивлячись на те, що ці моделі створені людиною, існують об'єктивно. Їх призначення специфічне - відтворення структури, характеру, протікання, сутності досліджуваного процесу - відобразити просторові властивості - відобразити динаміку досліджуваних процесів, залежності та зв'язку.
Матеріальні моделі нерозривно пов'язані з уявними (перш ніж що-небудь побудувати, необхідно мати теоретичне уявлення, обгрунтування). Ці моделі залишаються уявними навіть в тому випадку, якщо вони втілені в якій-небудь матеріальній формі. Більшість цих моделей не претендує на матеріальне втілення.
У свою чергу матеріальні моделі за формою поділяються на:
· Образні (побудовані з чуттєво наочних елементів);
· Знакові (в цих моделях елементи відносини і властивості модельованих явищ виражені за допомогою певних знаків);
· Змішані (поєднують властивості і образних, і знакових моделей).
Переваги даної класифікації в тому, що вона дає добру основу для аналізу двох основних функцій моделі:
- Практичної (в якості знаряддя і засоби наукового експерименту);
- Теоретичної (в якості специфічного образу дійсності, в якому містяться елементи логічного і чуттєвого, абстрактного і конкретного, загального і одиничного).
Інша класифікація є у Б. А. Глинського в його книзі «Моделювання як метод наукового дослідження». Поряд зі звичайним поділом моделей за способом їх реалізації, він поділяє моделі і за характером відтворення сторін оригіналу на:
· Субстанціональні;
· Структурні;
· Функціональні;
· Змішані.
Розглянемо ще одну класифікацію, запропоновану Л. М. Фрідманом [31]. З точки зору ступеня наочності він всі моделі розбиває на два класи:
· Матеріальні (речові, реальні);
· Ідеальні.
До матеріальних моделям відносять такі, які побудовані з будь-яких речових предметів, з металу, дерева, скла та інших матеріалів. До них також відносять і живі істоти, які використовуються для вивчення деяких явищ або процесів. Всі ці моделі можуть бути безпосередньо чуттєво пізнані, бо вони існують реально, об'єктивно. Вони являють собою речовий продукт людської діяльності.
Матеріальні моделі, у свою чергу, можна розділити на статичні (нерухомі) і динамічні (Діючі).
До першого виду автор класифікації відносить моделі, геометрично подібні оригіналам. Ці моделі передають лише просторові (геометричні) особливості оригіналів у певному масштабі (наприклад, макети будинків, забудови міст чи сіл, різного роду муляжі, моделі геометричних фігур і тіл, виготовлені з дерева, дроту, скла, просторові моделі молекул і кристалів в хімії, моделі літаків, кораблів та інших машин і т. д.).
До динамічних (діючим) моделям відносять такі, які відтворюють якісь процеси, явища, Вони можуть бути фізично подібні оригіналам і відтворювати модельований явища в якомусь масштабі. Наприклад, для розрахунку проектованої гідроелектростанції будують діючу модель річки і майбутньої греблі; модель майбутнього корабля дозволяє у звичайній ванні вивчити деякі аспекти поведінки проектованого корабля в морі або на річці і т. д.
Наступним видом діючих моделей є різного роду аналогові та імітують, які відтворюють те чи інше явище за допомогою іншого, в якомусь сенсі більш зручного. Такі, наприклад, електричні моделі різного роду механічних, теплових, біологічних та інших явищ. Іншим прикладом може бути модель нирки, яку широко використовують у медичній практиці. Ця модель - штучна нирка - функціонує однаково з природною (живої) ниркою, виводячи з організму шлаки та інші продукти обміну, але, звичайно, влаштована вона абсолютно інакше, ніж жива нирка.
Ідеальні моделі ділять зазвичай на три види:
· Образні (іконічні);
· Знакові (знаково-символічні);
· Уявні (розумові).
До образним, або иконическим (картинним), моделям відносять різного роду малюнки, креслення, схеми, що передають в образній формі структуру або інші особливості модельованих предметів чи явищ. До цього ж виду ідеальних моделей слід віднести географічні карти, плани, структурні формули в хімії, модель атома у фізиці і т. д.
Знаково-символічні моделі являють собою запис структури або деяких особливостей об'єктів, що моделюються за допомогою знаків-символів якогось штучного мови. Прикладами таких моделей є математичні рівняння, хімічні формули.
Нарешті, уявні (розумові, уявні) моделі - уявлення про будь-яке явище, процес або предмет, що виражають теоретичну схему модельованого об'єкта. Уявної моделлю є будь-яке наукове уявлення про яке-небудь явище у формі його опису на природній мові.
Як бачимо, поняття моделі в науці і техніці має безліч різних значень, серед учених немає єдиної точки зору на класифікацію моделей, у зв'язку з цим неможливо однозначно класифікувати і види моделювання. Класифікацію можна проводити за різними підставами:
1) за характером моделей (тобто за коштами моделювання);
2) за характером об'єктів, що моделюються;
3) за сферами застосування моделювання (моделювання в техніці, у фізичних науках, в хімії, моделювання процесів живого, моделювання психіки і т. п.)
4) за рівнями («глибині») моделювання, починаючи, наприклад, з виділення у фізиці моделювання на мікрорівні.
Найбільш відомою є класифікація за характером моделей. Відповідно до неї розрізняють такі види моделювання [27]:
1. Предметне моделювання, при якому модель відтворює геометричні, фізичні, динамічні або функціональні характеристики об'єкта. Наприклад, модель мосту, греблі, модель крила літака і т.д.
2. Аналогове моделювання, при якому модель і оригінал описуються єдиним математичним співвідношенням. Прикладом можуть служити електричні моделі, що використовуються для вивчення механічних, гідродинамічних і акустичних явищ.
3. Знакова моделювання, при якому моделями служать знакові утворення будь-якого виду: схеми, графіки, креслення, формули, графи, слова і пропозиції в деякому алфавіті (природної або штучної мови)
4. Із знаковою тісно пов'язане уявне моделювання, при якому моделі набувають подумки наочний характер. Прикладом може в даному випадку служити модель атома, запропонована свого часу Бором.
5. Нарешті, особливим видом моделювання є включення в експеримент не самого об'єкта, а його моделі, в силу чого останній набуває характеру модельного експерименту. Цей вид моделювання свідчить про те, що немає жорсткої межі між методами емпіричного і теоретичного пізнання.

1.2. Математична модель. Математичне моделювання

Математичне моделювання - приватний випадок моделювання. Є найважливішим видом знакового моделювання і здійснюється засобами мови математики. Знакові освіти та їх елементи завжди розглядаються разом з певними перетвореннями, операціями над ними, які виконує людина або машина (перетворення математичних, логічних, хімічних формул і т. п.).
Поняття «математична модель» і «моделювання» широко використовуються в науці та на виробництві. Роль знакових моделей особливо зросла з розширенням масштабів застосування ЕОМ при побудові знакових моделей. Сучасна форма «матеріальної реалізації» знакового (перш за все, математичного) моделювання - це моделювання на цифрових електронних обчислювальних машинах, універсальних і спеціалізованих.
Математичне моделювання передбачає використання в якості специфічного засобу дослідження оригіналу його математичну модель, вивчення якої дає нову інформацію про об'єкт пізнання, його закономірності (Н. П. Бусленко, Б. А. Глинський, Б. В. Гнеденко, Л. Д. Кудрявцев, І. Б. Новік, Г. І. Рузавін, К. А. Рибников, В. А. Штофф). Предметом дослідження при математичному моделюванні є система «оригінал - математична модель», де системоутворюючої зв'язком виступає ізоморфізм структур оригіналу і моделі. Структура служить інваріантним аспектом системи, розкриває механізм її функціонування (Н. Ф. Овчинников) [30].
Відомо, що для математичного дослідження процесів і явищ, що реально відбуваються насправді, треба зуміти описати їх на мові математики, тобто побудувати математичну модель процесу, явища. Математичні моделі і є об'єктами безпосереднього математичного дослідження.
Математичної моделлю називають опис якого-небудь реального процесу або деякої досліджуваної ситуації на мові математичних понять, формул і відносин.
Математична модель - це спрощений варіант дійсності, використовуваний для вивчення її ключових властивостей. Математична модель, заснована на деякому спрощенні, ідеалізації, не тотожна об'єкту, а є його наближеним відображенням. Однак завдяки заміні реального об'єкта відповідної йому моделлю з'являється можливість сформулювати завдання його вивчення як математичну і скористатися для аналізу універсальним математичним апаратом, який не залежить від конкретної природи об'єкта.
Математичною моделлю, з формальної точки зору, можна назвати будь-яку сукупність елементів і зв'язують їх операцій. Зі змістовної точки зору цікаві моделі, які є ізоморфні відображенням реальних чи реалізованих об'єктів, процесів і явищ.
З математичними моделями тісно пов'язаний математичний метод пізнання відображаються моделлю об'єктів - метод математичного моделювання.
Співвідношення між елементами a, b і c, яке виражається формулою , - Це математична модель. Вона ізоморфно відображає операцію об'єднання двох «куп каміння» з їх числами a і b в загальну «купу каменів», яких виявиться . У цьому сенсі операція додавання ізоморфна цього злиття.
Цей приклад пояснює загальний математичний метод пізнання. Він полягає в побудові для об'єкта, процесу або явища ізоморфної математичної моделі, вивченні цієї математичної моделі та перенесення чинності ізоморфізму результатів, отриманих для моделі, на вихідний об'єкт [10]. Іншими словами, метод математичного моделювання полягає в тому, що для дослідження якого-небудь об'єкта вибирають або будують інший об'єкт, в якомусь відношенні подібний досліджуваного. Побудований або вибраний об'єкт вивчають і з його допомогою вирішують досліджувані завдання, а потім результати вирішення цих завдань переносять на первинне явище або об'єкт.
Математичне моделювання - наближений опис якого-небудь класу явищ зовнішнього світу, виражене за допомогою математичної символіки. Це потужний метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування та управління [23].
Математичне моделювання розширює творчі можливості фахівця у вирішенні цілого ряду професійних завдань, істотно змінює його професійну рухливість. Сучасний спеціаліст слід «добре знати» математику, тобто не просто вміти використовувати її для різних розрахунково-обчислювальних операцій, а розуміти математичні методи дослідження та їх можливості. Тільки розуміння сутності математичного моделювання дозволяє адекватно використовувати цей метод у професійній діяльності.

1.3. Математичне моделювання в школі

Розвиток в учнів правильних уявлень про природу математики і відображенні математичною наукою явищ і процесів реального світу є програмним вимогою до навчання математики. Домінуючим засобом реалізації цієї програмної мети є метод математичного моделювання.
Цей метод має своєю основою моделювання (математичне і предметне). Стосовно до навчання математики скористаємося визначенням моделювання, яке пропонує І. Г. Обойщікова, і будемо розуміти під моделюванням узагальнене інтелектуальне вміння учнів, що складає в заміні математичних об'єктів, їх відносин, способів діяльності моделями у вигляді зображень відрізками, числовими променями, схемами, значками [ 26].
Для моделювання залучаються різні математичні об'єкти: числові формули, числові таблиці, літерні формули, функції, рівняння алгебраїчні або диференціальні та їх системи, нерівності, системи нерівностей (а також нерівностей та рівнянь), ряди, геометричні фігури, різноманітні графосхеми, діаграми Венна, графи .
Математичне моделювання знаходить застосування при вирішенні багатьох сюжетних завдань. Вже рівняння, що складається за умовами задачі, є її алгебраїчної моделлю. Моделювання, особливо алгебраическому і аналітичному, слід приділити в школі належну увагу, тому що математичні моделі використовуються для вирішення (або хоча б полегшення рішення) сюжетних завдань. Крім того, при побудові моделі використовується такі операції мислення, як аналіз через синтез, порівняння, класифікація, узагальнення, які є операціями мислення, і сприяє його розвитку. Складання математичної моделі задачі, переклад завдання на мову математики поволі готує учнів до моделювання реальних процесів і явищ у їх майбутньої діяльності.
При вирішенні сюжетних завдань особливо часто використовуються їх алгебраїчні та аналітичні моделі. Такою моделлю може бути функція, що описує явище або процес, рівняння, система рівнянь, нерівність, система нерівностей, система рівнянь і нерівностей та ін При складанні моделі завдання, таким чином, перекладається на мову алгебри або математичного аналізу.
Розглянемо кілька прикладів математичних моделей.
Завдання 1. Турист проїхав 2200 км , Причому на теплоході проїхав вдвічі більше, ніж на автомобілі, а на поїзді в 4 рази більше, ніж на теплоході. Скільки кілометрів проїхав турист окремо на кожному виді транспорту?
Рішення. Приймемо відстань, яку проїхав турист на автомобілі за x км. Відомо, що на теплоході проїхав вдвічі більше, ніж на автомобілі, тобто 2 x км. На поїзді проїхав у 4 рази більше, ніж на теплоході, тобто .
Весь шлях - це сума відстаней, які проїхав турист на кожному з видів транспорту і він дорівнює 2200 км . Отримаємо наступне рівняння:
- Це і є математична модель даної задачі.
Завдання 2. На шкільній математичній олімпіаді було запропоновано вирішити 6 завдань. За кожну вирішену задачу зараховувалося 10 очок, а за невирішеність знімалося 3 очки. У наступний тур виходили учні, які набрали не менше 30 очок. Скільки завдань потрібно було вирішити, щоб потрапити в наступний тур олімпіади? (Див. № 151, [18]).
Рішення. Нехай учень повинен вирішити х завдань. Тоді за вирішені завдання він отримає 10 х очок, а за 6 - х невирішених завдань у нього знімуть 3 (6 - х) очок. Учень може отримати 10 х -3 (6 - х) очок (всі змінні виражені через вибране х і значення інших величин, заданих в задачі). За умовою задачі і .
Моделлю завдання служить система нерівностей
.
Далі як приклад розглянемо задачу математичного аналізу на знаходження екстремуму. Треба зауважити, що аналітичною моделлю завдання на найбільше (найменше) значення є функція одного змінного з областю її завдання. Зазвичай областю завдання є замкнутий проміжок.
Завдання 3. Шматок дроту довжиною 48 м згинають так, щоб утворився прямокутник. Яку довжину повинні мати сторони прямокутника, щоб його площа була найбільшою? (Див. № 313, [2]).
Рішення. Потрібно знайти розміри прямокутника з найбільшою площею.   Позначимо за a - довжину прямокутника, тоді ширина дорівнює .
. Отримана функція є моделлю даної задачі.
Відзначимо, що в загальному випадку процес моделювання складається з наступних етапів:
1 етап. Постановка завдання і визначення властивостей оригіналу, які підлягають дослідженню.
2 етап. Констатація затруднительности або неможливості дослідження оригіналу.
3 етап. Вибір моделі, що досить добре фіксує істотні властивості оригіналу і легко піддається дослідженню.
4 етап. Дослідження моделі відповідно з поставленим завданням.
5 етап. Перенесення результатів дослідження моделі на оригінал.
6 етап. Перевірка цих результатів.
На сьогоднішній день найбільш поширеною є трьохетапна схема процесу математичного моделювання:
1) переклад запропонованого завдання з природної мови на мову математичних термінів, тобто побудова математичної моделі задачі (формалізація);
2) рішення задачі в рамках математичної теорії (рішення всередині моделі);
3) переклад отриманого результату (математичного рішення) на мову, на якому була сформульована вихідна задача (інтерпретація отриманого рішення).
Найбільш відповідальним і складним є перший етап - сама побудова математичної моделі. Воно здійснюється логічним шляхом на основі глибокого аналізу досліджуваного явища (процесу) і вимагає вміння описати явище (процес) на мові математики.
У свою чергу, в процесі побудови моделі можна виділити кілька кроків.
Перший крок - індуктивний: це відбір спостережень, що відносяться до того процесу, який належить моделювати. Цей етап полягає у формулюванні проблеми, тобто у прийнятті рішення щодо того, що слід брати до уваги, а чим можна знехтувати.
Другий крок полягає в переході від визначення проблеми до власне побудови неформальної моделі. Неформальна модель - це такий опис процесу, яке здатне пояснити відібрані нами спостереження, але при цьому визначено недостатньо суворо, і не можна з точністю перевірити ступінь логічної взаємопов'язаності в ньому властивостей. На цій стадії розглядаються цілий ряд наборів неформальних допущень, здатних пояснити одні й ті ж дані; тим самим розглядаються декілька потенційних моделей і вирішується, яка з цих моделей найкраще відображає досліджуваний процес. Інакше кажучи, шукаються різні способи встановлення логічного відповідності між моделлю і реальним світом.
Третій крок - це переклад неформальної моделі в математичну модель. Такий переклад включає в себе розгляд словесного опису неформальної моделі та пошук підходящої математичної структури, здатної відобразити процеси, що вивчаються. Це найскладніший етап у всьому процесі моделювання. Стадія перекладу може таїти в собі дві небезпеки. По-перше, неформальні моделі мають тенденцію бути неоднозначними, і зазвичай існує кілька способів перекладу неформальної моделі в математичну (при цьому альтернативні математичні моделі можуть мати абсолютно різний смисл). Насправді це одна з головних причин, спочатку штовхають до застосування математичних моделей: мова математики позбавлений двозначностей і більш точний, ніж природна мова, вона дозволяє досліджувати прихований сенс найтонших відмінностей у формулюваннях, який погано доступний дослідженню за допомогою природної мови.
Наступний етап - етап рішення задачі в рамках математичної теорії - можна ще назвати етапом математичної обробки формальної моделі. Він є вирішальним у математичному моделюванні. Саме тут застосовується весь арсенал математичних методів - логічних, алгебраїчних, геометричних і т. д. - для формального виведення нетривіальних наслідків з вихідних припущень моделі. На стадії математичної обробки зазвичай - незалежно від суті завдання - мають справу з чистими абстракціями і використовують однакові математичні засоби. Цей етап є дедуктивне ядро ​​моделювання.
На останньому етапі моделювання отримані висновки проходять через ще один процес перекладу - цього разу з мови математики назад на природну мову.
Розглянемо на прикладі реалізацію всіх етапів процесу математичного моделювання.
Завдання 1. Два автомобілі виїхали одночасно з пункту А в пункт В, відстань між якими 540 км . Перший автомобіль їхав зі швидкістю, на 10 км / год більшою, ніж другий, і прибув в пункт В на 45 хв раніше другого. Знайдіть швидкість кожного автомобіля (див. № 218, [1]).
I етап. Формалізація. Побудуємо математичну модель задачі.
Позначимо за x км / год - Швидкість другого автомобіля, тоді швидкість першого автомобіля дорівнює (x +10) км / ч.
год - час, витрачений на весь шлях другим автомобілем.
год - час, витрачений на весь шлях першим автомобілем.
Відомо, що другий автомобіль витратив на шлях на 45 хв більше, ніж перший. .
. Отримане рівняння є математичною моделлю даної задачі.
II етап. Внутрішньомодельна рішення.
Перенесемо всі складові в одну частину .
Наведемо складові до спільного знаменника .
Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Отримаємо таку систему: .
Отримали, що і .
III етап. Інтерпретація. Переведемо результат з математичної мови на мову вихідної задачі.
Так швидкість автомобіля не може бути негативним числом, то умові задачі відповідає тільки один корінь , Тобто швидкість другого автомобіля дорівнює 80 км / год , А швидкість першого 90 км / год .
Завдання 2. Група студентів вирішила купити магнітофон ціною від 170 до 195 доларів. В останній момент двоє відмовилися брати участь у покупці, тому кожному з решти довелося внести на 1 долар більше. Скільки коштував магнітофон?
Рішення.
I етап. Формалізація. Побудуємо математичну модель задачі. Нехай х - число студентів у групі, у доларів - величина спочатку пропонованого внеску. Тоді вартість магнітофона . Після того, як двоє відмовилися брати участь у покупці, студентів стало , А внесок склав долар. Отже вартість магнітофона дорівнює . Умова задачі можна представити у вигляді системи

Математична модель побудована.
II етап. Внутрішньомодельна рішення. Розглянемо систему, що складається з рівняння і нерівності

У рівнянні розкриємо дужки і наведемо подібні. Отримаємо таку систему

З рівняння висловимо y, . Отже, . Так як х - натуральне число, то зараз систему нерівностей можна вирішувати в натуральних числах. З нерівності маємо х . З нерівності маємо х . Таким чином, потрібно знайти натуральні рішення нерівностей . Ясно, що х = 20. Тоді у = 9 і = 180.
III етап. Інтерпретація. Переведемо результат з математичної мови на мову вихідної задачі. Магнітофон коштував 180 доларів.
Завдання 3. Вікно має форму прямокутника, завершеного зверху півколом. Вкажіть такі розміри вікна, щоб при цьому периметрі l воно пропускало більше світла (див. № 156, [18]).
Рішення.
I етап. Формалізація. Побудуємо математичну модель даної задачі.
h
  r
Потрібно знайти розміри вікна з найбільшою площею.   Позначимо розміри: r - радіус півкола, h - висота прямокутника, тоді підставу прямокутника 2 r.
Щоб визначити, яке з змінних вибрати аргументом досліджуваної функції, треба подивитися, яке з них простіше виражається через інше:
l = 2 r +2 h + r, h = , R = .
Зручніше вибрати r, так як для вираження площі знадобиться r 2, а h входить у цей вислів лінійно.
S (r) = . Ця функція і є модель даної задачі.

II етап. Внутрішньомодельна рішення.
Ясно, що 0 <r < .
Знайдемо похідну функції S (r): .
Скористаємося необхідною умовою екстремуму: l - r ( +4) = 0. Звідси r = . З міркувань здорового глузду вікно не може мати найменшу площу, тому знайдене значення r - точка максимуму. При цьому r = h = .
III етап. Інтерпретація. Переведемо результат з математичної мови на мову вихідної задачі. Щоб при цьому периметрі l вікно пропускало більше світла, необхідно встановити такі розміри вікна: r = h =
Вчителю слід домогтися від учнів чіткого розуміння значення і змісту кожного з вище описаних етапів процесу математичного моделювання. Це потрібно для того, щоб школярі засвоїли, що вони вирішують не просто математичну задачу, а конкретну життєву ситуацію математичними методами. Тоді учні зможуть побачити в математиці практичне значення, і не будуть сприймати її як абстрактну науку.
Метод математичного моделювання є потужним інструментом для дослідження різних процесів і систем. Додатки цього методу до вирішення конкретних завдань викладені в ряді відомих монографій та навчальних посібників. Разом з тим, багато хто з них припускають досить високий рівень математичної підготовки учнів, що часто викликає певні труднощі при вивченні матеріалу. Поняття математичної моделі і деякі загальні положення, пов'язані з ним, повинні в тій чи іншій формі ілюструватися протягом всього курсу математики, а розділи шкільної програми, присвячені задачам на роботу, рух, відсотки, прогресії і, нарешті, завданням на застосування похідних та інтегралів , можуть розглядатися як введення в метод математичного моделювання [24].

1.4. Функції та цілі навчання математичного моделювання в школі

Терешин Н. А. [28] виділяє наступні дидактичні функції математичного моделювання:
1. Пізнавальна функція.
Методичною метою цієї функції є формування пізнавального образу досліджуваного об'єкта. Це формування відбувається постійно при переході від простого до складного.
Тут думка учня направляється за найкоротшим і найбільш доступним шляхам до цілісного сприйняття об'єкта. Реалізація пізнавальної функції не зумовлює процесу наукового пізнання, цінність цієї функції полягає в ознайомленні учнів з найбільш найкоротшим і доступним способом осмислення досліджуваного матеріалу.
2. Функція управління діяльністю учнів.
Математичне моделювання предметно і тому полегшує орієнтовні, контрольні та комунікаційні дії. Орієнтованою дією може служити, наприклад, побудова креслення, відповідного розглядався умові, а також внесення до нього додаткових елементів.
Контролюючі дії спрямовані на виявлення помилок при порівнянні виконаного учнями креслення (схеми, графіка) з поміщеними в підручнику або на з'ясування тих властивостей, які повинні зберегти об'єкт при тих чи інших перетвореннях.
Комунікаційні дії відповідають тій стадії реалізації функції управління діяльністю учнів, яка відповідає дослідженню отриманих ними результатів. Виконуючи ці дії, що вчиться в світлі власного досвіду пояснює іншим або хоча б самому собі по побудованій моделі суть досліджуваного явища чи факту.
3. Інтерпретаційна функція.
Відомо, що один і той самий об'єкт можна виразити за допомогою різних моделей. Наприклад, окружність можна задати за допомогою пари об'єктів (центр і радіус), рівнянням відносно осей координат, а також за допомогою малюнка чи креслення. В одних випадках можна скористатися її аналітичним виразом, в інших - геометричною моделлю. Розгляд кожної з цих моделей є її інтерпретацією; ніж значущою об'єкт, тим желательней дати більше його інтерпретацій, які розкривають пізнавальний образ з різних сторін.
Можна також говорити про естетичні функції моделювання, а також про такі, як функція забезпечення цілеспрямовано го уваги учнів, запам'ятовування і повторення учнями навчального матеріалу і т. д.
Крім цих функцій можна виділити ще одну - не менш важливу - евристичну. Математична модель, виступаючи як вираз кількістю якості об'єкта, дозволяє експериментувати з його кількісної стороною, дає можливість визначити межі стійкості, нормальний і оптимальний режими функціонування, ще глибше проникнути в якісний аспект об'єкта - показати його внутрішні закономірності. У цьому і розкривається евристична функція математичного моделювання і його можливості для вирішення проблем різних наук: біології, хімії, фізики, медицини та інших [30].
Застосування декількох функцій математичної моделі сприяє найбільш плідної мислення учня, так як його увага легко і своєчасно перемикається з моделі на отриману з її допомогою інформацію про об'єкт і назад. Таке переключення зводить до мінімуму відволікання розумових зусиль учнів від предмета їх діяльності.

1.5. Роль вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5-6 класів

У літературних джерелах зазначається використання моделювання у навчанні математики як засобу пізнання й осмислення нового знання, виділяються його види, зазначаються умови, необхідні для його формування (Л. М. Фрідман, В. В. Давидов, С. І. Архангельський, О. Б . Єпішева, В. І. Крупич, Л. С. Катаєва, Г. О. Балл і ін.) Разом з тим залишається недостатньою розробленість питань навчання прийому моделювання, найбільш ефективної реалізації всіх його потенційних можливостей.
Деякі автори вважають, що в умовах розвивального навчання формування в учнів прийомів інтелектуальної діяльності є однією з центральних завдань (А. К. Артемов, В. В. Давидов, І. С. Якиманська та інші), її істотним прийомом є моделювання.
Моделі спрощують сприйняття учнями будь-якої ситуації та забезпечують цілісність сприйняття, розвивають компоненти абстрактного мислення (аналіз, порівняння, узагальнення, абстрагування та ін), вдосконалюють логічне мислення і допомагають глибше засвоїти навчальний матеріал, тому що дозволяють вивчати властивості об'єкта в «чистому» вигляді [26].
Необхідність оволодіння математичним моделюванням як особливим дією диктується психолого-педагогічними міркуваннями. Вивчення процесу навчання призвело до розробки психологічної теорії навчання. Теорія поетапного формування розумових дій, розроблена радянським психологом П. Я. Гальперіним і його співробітниками, виходить з положення, що процес навчання - це процес оволодіння системою розумових дій. При цьому оволодіння розумовою дією відбувається в процесі інтеріоризації (переходу всередину) відповідного зовнішнього практичної дії.
Коли учня знайомлять з яким-небудь дією, яким йому потрібно опанувати, то відповідно до даної теорії знайомство треба починати з виконання цієї дії відповідними матеріальними предметами. Для того щоб краще побачити загальні риси засвоюваного дії, треба абстрагуватися від непотрібних в даному випадку властивостей предметів. Це означає, що потрібно перейти від дії з матеріальними предметами до дії з їх заступниками - моделями, вільними від всіх інших властивостей, крім потрібних в даному випадку, тобто перейти на етап матеріалізованого дії. Це може бути якась графічна схема, подібна або знакова модель, на якій або за допомогою якої учень виконує усваиваемое дію [31].
Математичне моделювання служить особливим видом образно-знакової ідеалізації та побудови наукової предметності. Моделювання дозволяє бачити предмет як об'єкт дослідження, визначати дії з ним задовго до того, як буде отриманий кінцевий результат. А це означає, що з самого першого моменту конструювання створюється образ, який дозволить орієнтуватися в предметі та аналізувати його, служить засобом просування у змісті.
Відповідно до теорії поетапного формування розумових дій побудова і робота з моделями складають обов'язковий і дуже важливий етап оволодіння розумовими діями [31].
Розвиток в учнів правильних уявлень про характер відображення математикою явищ і процесів реального світу, ролі математичного моделювання у науковому пізнанні й у практиці має велике значення для формування діалектико-матеріалістичного світогляду учнів, їх математичного, психологічного та загального розвитку.
Можна зробити висновок, що однією з важливих завдань курсу навчання дітей математиці є оволодіння дітьми моделюванням. Оволодіння школярами загальнонавчальних (універсальним) умінням моделювати передбачає поетапне оволодіння ними конкретними предметними вміннями: представляти завдання у вигляді таблиці, схеми, числового вираження, формули (рівняння), креслення і вміти здійснювати перехід від однієї моделі до іншої. Навчальний предмет, який розгортається як система понять, вимагає логіки руху в його пізнанні від загальних властивостей до конкретних, виділення і дослідження підстав, що визначають дану систему, що неможливо без мови моделювання. Моделювання в навчанні має бути засвоєно учнями і як спосіб пізнання, яким вони повинні оволодіти, і як найважливіше навчальний дію, що є складовим елементом навчальної діяльності. З цією метою навчання елементам математичного моделювання починається ще в середній школі. Вивчення моделювання в цей період, більшою своєю частиною, пов'язане з рішенням сюжетних завдань. Моделювання - це метод і засіб пізнання, а сюжетні завдання - це один з «полігонів», де відпрацьовується моделювання. Уміння вирішувати завдання виступає як один з критеріїв сформованості вміння моделювати, а також служить мотиваційної складової процесу навчання [8]. Сюжетні задачі є перший клас задач, на яких розкривається ідея моделювання реальних процесів.
Але слід зазначити, що подання школярів про моделювання і моделях дуже неясне і обмежене. Учні не знають, що мають справу з моделями, вивчають моделі, так як і в програмах, і в підручниках поняття моделі та моделювання майже відсутні. Потім учні з подивом дізнаються, що вони весь час вивчають моделі, що звичні для них поняття рівняння, числа, фігури, рівномірного руху, маси та інші є науковими моделями, що, вирішуючи завдання, вони моделюють [31]. Тому необхідно явно включити моделювання у зміст навчальних предметів, знайомити учнів із сучасною трактовкою понять моделювання і моделі, використовувати моделювання як метод наукового пізнання і вирішення завдань. Найбільш сприятливим для початку вивчення математичного моделювання є 5 - 6 клас, так як саме в цей період у школярів відбуваються певні психічні зміни. У залежності від того, як школярі ставитимуться до навчальної діяльності, як вони навчаться самостійно оволодівати знаннями, такими й будуть їхні подальші успіхи в навчанні. Питання, що вивчаються в курсі математики 5 - 6 класів, складають фундамент, на якому будується подальше навчання як математики, так і інших предметів. Від рівня знань і умінь, сформованих в 5 - 6 класах, залежить успішне оволодіння усім курсом математики. У процесі вивчення математичного моделювання в цей час учні знайомляться з теоретичними фактами, йде формування основних математичних понять, показ застосування математичних фактів на практиці. Тому на цьому етапі у школярів складається певне ставлення до вирішення завдань, а значить і до математики в цілому.
Навчання із застосуванням моделювання підвищує активність розумової діяльності учнів, допомагає зрозуміти завдання, самостійно знайти раціональний шлях вирішення, встановити потрібний спосіб перевірки, визначити умови, за яких задача має чи не має рішення [32].
Моделювання можна розглядати як особливу діяльність з побудови (вибору або конструювання) моделей, і як будь-яка діяльність вона має зовнішнє практичний зміст і внутрішню психічну сутність. Отже, моделювання як психічна діяльність може включатися в якості компонента в такі психічні процеси, як сприйняття, уявлення, пам'ять, уяву і, звичайно, мислення. У свою чергу, всі ці психічні процеси включаються в діяльність моделювання як складну діяльність [31].
Моделі та пов'язані з ними уявлення є продуктами складної пізнавальної діяльності, що включає перш за все розумову переробку вихідного чуттєвого матеріалу, його «очищення» від випадкових моментів. Моделі виступають як продукти і як засіб здійснення цієї діяльності.
Таким чином, включення моделювання у навчальний процес раціоналізує його і одночасно активізує пізнавальну діяльність учнів. Отже, вирішується не тільки конкретна навчальне завдання, але і здійснюється розвиток учнів. Широке використання моделювання - одне з методичних засобів розвивального навчання математики. Моделювання відображає переважно теоретичний стиль мислення, який більшою мірою сприяє розвитку учнів, залучає їх до наукового стилю мислення.
І. Г. Обойщікова пропонує здійснювати навчання учнів прийому моделювання поетапно: у початкових класах - неявно, лише згадуючи, що, замінюючи дані завдання значками (або графічної схемою), ми використовуємо моделі, на цьому етапі слід навчати учнів діям, що входять до «ядро »моделювання (вміння зіставляти об'єкти, вміння протиставляти об'єкти, вміння порівнювати об'єкти шляхом зіставлення або протиставлення, вміння абстрагуватися, вміння узагальнювати об'єкти); в 5 класі - явно і усвідомлено, розкриваючи його сутність, вивчаючи операції, що входять в« оболонку »моделювання (вміння будувати модель, вміння проводити перетворення моделі і вміння її конкретизувати), у 6 класі - самостійно використовуючи прийом в нескладних випадках.
Проблема моделювання в початковій школі розглядається А. К. Артемових, Л. П. Стійлове, М А. Бородулько, Є. В. Коннової, М. М. Сизової, Т. М. Харланова та іншими, але в 5 - 6 класах лише деякі автори використовують моделювання при вирішенні сюжетних завдань. Спеціальна методика формування прийому моделювання для названої ступені навчання поки еше слабо розроблена. Однак питання моделювання набувають все більшого значення в навчанні [26].
У підручниках нових поколінь поняття математичної моделі та математичного моделювання з'являється вже на самих ранніх етапах навчання. Так, наприклад, в підручнику для 5 класу Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон вже в 2 параграфі першого частини пропонується для вивчення тема «Математичні моделі» [11].
У силу різних причин реально в школі ці підручники використовуються рідко, тому ідеї математичного моделювання більшості учнів незнайомі. Роль вивчення елементів математичного моделювання в 5 - 6 класах - Пропедевтична.
У цей період відбувається первинне знайомство учнів з поняттями «модель» і «моделювання», а також з окремими діями, характерними для методу математичного моделювання. Питання, що вивчаються в курсі математики 5 - 6 класів, складають фундамент, на якому будується подальше навчання як математики, так і інших предметів.
У зв'язку з вище викладеним розглянемо особливості вивчення теми «Математичні моделі» за підручниками «Математика» для 5 - 6 класів авторів Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон і дамо короткий огляд підручників [6], [7], [11 - 17], [21], [22] з точки зору наявності елементів математичного моделювання.

Висновки на чолі 1

1. У ході вивчення психолого-педагогічної, філософської, методичної літератури були розглянуті різні визначення поняття «модель» і «моделювання» та їх класифікації. З усіх визначень цих понять можна виділити основні риси моделі:
· Модель заміщає об'єкт-оригінал;
· Зберігає деякі важливі властивості об'єкта-оригіналу;
· Результати дослідження моделі переносяться на оригінал.
У свою чергу під моделюванням розуміється процес побудови, вивчення і застосування моделей.
З усього розмаїття моделей більшість фахівців виділяють два класи моделей:
1) матеріальні (реально існуючі, побудовані з будь-яких речових предметів: з металу, дерева, скла та інших матеріалів);
2) ідеальні (уявні, засновані на уявному представленні).
2. Математичне моделювання, як окремий випадок моделювання, припускає використання в якості засобу дослідження оригіналу його математичну модель, за допомогою якої з'являється можливість сформулювати завдання його вивчення як математичну і скористатися для аналізу універсальним математичним апаратом.
3. Використання моделювання в навчанні має два аспекти. По-перше, моделювання служить тим змістом, який має бути засвоєно учнями в результаті навчання, тими методами пізнання, якими вони повинні оволодіти, і, по-друге, моделювання є навчальним дією і засобом, без якого неможливе повноцінне навчання. Метод моделювання використовується в будь-якій науці, володіє величезною евристичної силою: дозволяє звести вивчення складного до простого, невидимого - до видимого, тобто зробити будь-який складний об'єкт доступним для ретельного всебічного вивчення.
4. Уявлення школярів про математичне моделювання дуже обмежені, хоча математичне моделювання відіграє важливу роль у розвитку діалектико-матеріалістичного світогляду і є потужним методом наукового пізнання. Включення в шкільний курс математики вже на ранніх етапах навчання понять «модель» і «моделювання», формування найпростіших вмінь математичного моделювання відіграє важливу роль у розвитку особистості в цілому. Навчання моделювання учнів призводить до підвищення ефективності навчання та загально-ефекту.

Глава 2. Навчання школярів елементам математичного моделювання

2.1. Огляд шкільних підручників з математики для 5-6 класів з точки зору наявності елементів математичного моделювання

У підручнику з математики для 5 класу Дорофєєва Г. В., Петерсон Л. Г. [11] вже у другому параграфі пропонується для вивчення тема «Математичні моделі», тому далі весь матеріал спирається на поняття «математична модель» і «моделювання».
Автори не дають визначення моделі, а на прикладі двох завдань показують, що в двох несхожих ситуаціях використовується одна і та ж математична модель, відразу вказуючи на цінність математичного моделювання, що одна і та ж модель може описувати різні явища. Для того щоб побудувати математичну модель, треба, перш за все, навчитися переводити умови задач на математичну мову.
Найпоширеніша формулювання завдань, характерна для методу моделювання, звучить наступним чином:
· Переведи умову задачі на математичну мову;
· Побудуй математичну модель задачі й якби її.
Далі говориться, що після переведення завдання на математичну мову пошук рішення зводиться до роботи з математичними моделями - до обчислень, перетворенням, міркуванням.
У 6 класі [12] виділяються етапи процесу математичного моделювання, у відповідності з цими етапами виділяються етапи вирішення завдань за допомогою рівнянь.
Велика увага приділяється етапу формалізації, який викликає у школярів найбільші труднощі при вирішенні завдань.
Для порівняння візьмемо підручники з математики для 5 - 6 класів Н. Я. Виленкина та інших [6 - 7], Г.В. Дорофєєва та І. Ф. Шаригіна [21 - 22], І. І. Зубарєвої і А. Г. Мордкович [16 - 17] і визначимо, яку роль автори цих підручників відводять моделювання.
У підручниках [6], [7] поняття «модель» і «моделювання» не вводяться ні в 5, ні в 6 класах, відповідно немає завдань з формулюванням, характерною для методу моделювання.
У підручнику [22] невелику увагу приділяється математичному мови, але не зустрічаються сюжетні задачі, що вимагають перекладу умови завдання з російської на математичну мову.
У підручнику [16] вивчаються теми «Математичний мова», «Математична модель». Як і в підручнику [11] поняття моделі вводиться за допомогою розгляду двох завдань, в яких потрібно знайти значення одного і того ж вирази. Вираз, отриманий в процесі вирішення, - це математична модель реальної життєвої ситуації, про яку йдеться в задачі.
Автори пишуть: «Виконуючи завдання з перекладу« звичайної »промови на математичну мову, ми кожен раз складали математичну модель даної ситуації. Однак важливо не тільки вміти складати математичні моделі, але й виконувати зворотний роботу - розуміти, яку ситуацію (або обставини) описує дана модель ». Так неявно виділяються етапи моделювання: формалізація та інтерпретація.
Але слід зазначити, що завдання, в яких потрібно побудувати математичну модель, зустрічаються у підручниках [16], [17] дуже рідко.

2.2. Методика навчання математичного моделювання за підручниками Дорофєєва Г. В., Петерсон Л.   Г. «Математика-5», «Математика-6»

Підручники Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» [11 - 15] входять до частини єдиного безперервного курсу математики і є продовженням підручника математики для початкової школи авторів Н. Я. Виленкина і Л. Г. Петерсон. Цей курс розробляється в даний час з позиції розвивального навчання, гуманізації та гуманітаризації математичної освіти.
Навчання школярів ведеться на високому рівні труднощі. Але матеріал підручників передбачає можливість роботи з ним дітей різного рівня підготовки.
Підручники орієнтовані на розвиток логічного мислення, творчих здібностей дитини та інтересу до математики. Підручник для 5 класу складається з двох частин, для 6 класу - з трьох. Кожна частина включає в себе два розділи. Ці підручники дозволяють учням самостійно добувати знання, а головне вчать вчитися. З перших уроків учням пропонуються завдання для формування умінь порівнювати, узагальнювати, класифікувати, міркувати. Більша частина завдань вимагає від учнів творчого підходу.
Новий матеріал вводиться не через передачу готового знання, а через самостійне «відкриття» його учнями. Часто завдання для закріплення дані в ігровій формі (кодування і розшифровка, відгадування загадок і т.п.) Учні з величезним задоволенням виконують ці завдання.
У підручнику в системі дано завдання на розвиток логіки, мислення, розвиток усіх видів пам'яті, творчих здібностей.
«У дуже різних, на перший погляд, завдання можна виявити, що їх рішення практично однаково. Наприклад, якщо на столі лежать 2 яблука, 2 апельсини і груша, то як знайти загальне число фруктів? Звичайно, 2 + 2 + 1 = 5. Але ж точно також ми можемо визначити і кількість уроків у вівторок, знаючи, що за розкладом буде два уроки російської мови, дві математики та фізкультура.
У цих двох несхожих ситуаціях ми використовували одну і ту саму математичну модель, складаючи не яблука з апельсинами і не фізкультуру з математикою, а натуральні числа.
Для того щоб побудувати математичну модель, треба, перш за все, навчитися переводити умову задачі зі звичного рідної мови на спеціальний, математичну мову, чим ми і займемося в цьому пункті, »- так автори підручника проводять мотивацію вивчення математичного моделювання ще на самому початку курсу математики п'ятого класу (п. 1, § 2, глава 1, [11]). Розглянутий приклад, настільки простий і наочний, що зрозумілий навіть п'ятикласникам, і стає ясно, що за допомогою моделі вирішувати завдання буде простіше, але ще не зрозуміло, що саме представляє собою математичну модель.
Далі говориться, що після переведення завдання на математичну мову пошук рішення зводиться до роботи з математичними моделями - до обчислень, перетворенням, міркуванням.
У цьому ж пункті автори представляють моделі п'яти різноманітних завдань, які розташовуються серед запропонованих для вирішення, в тому числі завдань, основною суттю яких є відпрацювання навику перекладу завдання на математичну мову. Такими завданнями є задачі з наступними формулюваннями:
· Склади висловлювання для відповіді на питання завдань (№ 72).
· Придумай завдання, в яких математичної моделлю є такі вирази (№ 73).
· Серед даних завдань знайди такі завдання, математичні моделі яких збігаються (№ 74).
· Побудуй математичну модель (№ 82, № 111).
· Склади схему до задачі (№ 76).
· Переведи умову задачі з російської мови на математичний (№ 83, № 87, № 98, № 102, № 116).
· Склади таблицю за умовою задачі (№ 124).
· Запиши математичну модель задачі, використовуючи для позначення невідомих величин літери x і y (№ 137).
Весь цей пункт спрямований на оволодіння школярами першим етапом вирішення завдань за допомогою математичного моделювання. Зауважимо, що завдання з такими формулюваннями зустрічаються не тільки в цьому пункті, але і по всьому тексту підручника, наприклад:
5 клас, частина 1, [11]: № № 244, 338, 410, 436, 502, 507, 531, 680, 704, 767, 788, 789, 796, 797, 828 та інші;
5 клас, частина 2, [12]: № № 39, 49, 107, 125, 167, 271, 272, 283, 333, 352, 411, 478, 530, 546, 712, 740, 769, 833, 870, 882, 904, 941, 1012, 1101, 1162 та інші;
6 клас, частина 1, [13]: № № 115, 116, 117, 130, 133, 137, 175, 215 та інші;
6 клас, частина 2, [14]: № № 20, 25, 220, 221, 314, 423, 424, 495 - 498, 505 - 507 та інші;
6 клас, частина 3, [15]: № № 6, 10, 21, 24, 131, 626, 627, 633, 683, 700, 706, 729 та інші, що дає можливість сформувати в учнів не тільки вміння, але й навички побудови математичних моделей сюжетних завдань.
Але крім уміння будувати математичні моделі необхідно вміти їх вирішувати і переводити результат на зрозумілу людині мову. Ці два етапи процесу моделювання автори об'єднують в один, який називають «Робота з математичною моделлю» (п. 2, § 2, глава 1, [11]). З розглянутих у цьому пункті прикладів видно, що після перекладу тексту завдання на математичну мову пошук рішення зводиться до роботи з математичними моделями - до обчислень, перетворенням, міркуванням. Для отримання результату в деяких завданнях досить використовувати алгоритми дій з числами (наприклад, № 82, [11]), в інших - рішення рівнянь (наприклад, № 144, [11]). Звідси випливає, що чим більше математичних понять і властивостей знають учні, тим більше вони мають можливість для відшукання короткого і простого рішення.
При вирішенні математичних завдань часто буває так, що дослідження отриманої математичної моделі не зводиться до відомих випадків, тобто в учнів немає достатніх знань для дослідження тієї чи іншої моделі. Автори підручника пропонують два специфічних способу дослідження математичних моделей:
1) метод проб і помилок;
2) метод перебору.
Розглянемо на прикладах, в чому полягає суть цих методів.
Метод проб і помилок дозволяє знайти відповідь навіть у тому випадку, коли математична модель представляє собою новий, ще не вивчений об'єкт. Однак при використанні цього методу слід завжди пам'ятати про те, що підбір одного рішення не гарантує повноти рішення. Тому потрібне додаткове обгрунтування того, що знайдено всі можливі рішення, і жодного не пропущено.
Завдання. Ширина прямокутника на 9 см менше довжини, а площа дорівнює 90 см 2. Знайти сторони прямокутника (див. № 168 (2), [11]).
Рішення. Математична модель являє собою наступне рівняння: . Потрібно знайти і . Ніякі відомі п'ятикласникам правила перетворення не допомагають знайти відповідь. Автори пропонують підібрати рішення «експериментально», так званим методом проб і помилок.
Нам треба знайти таке число х, щоб значення виразу х (x   - 9) було одно 90. Спробуємо підставити в цей вираз, наприклад х = 13:
13 (13 - 9) = 52
Ми бачимо, що отримане значення виразу занадто мало. Візьмемо тепер х = 14:
14 (14 - 9) = 70
І знову вибране значення мало, хоча і ближче до шуканого.
Далі візьмемо х = 15. Отримаємо:
15 (15 - 9) = 90
Ця спроба виявилася вдалою, при х = 15 маємо 15 (15 - 9) = 90. Здавалося б, що завдання вже вирішена, але це не так: адже може виявитися, що є інші x, при яких цей вислів теж одно 90. Припустимо, що х>   15, тоді х - 9> 6, отже твір буде більше 90. Нехай х <   15, тоді х - 9 <6, отримаємо, що 15 (15 - 9) <90.
Нам потрібно знайти сторони прямокутника. Отримуємо, х = 15 і . Відповідь: 15 см і 6 см .
Даний метод служить потужним засобом при вирішенні ще невідомих рівнянь, нерівностей і систем рівнянь. Проте він дуже трудомісткий і потрібно домагатися від учнів пошуку більш раціонального методу рішення, якщо це є можливим в даній ситуації.
При вирішенні задач методом проб і помилок вчитель повинен пояснити школяреві, що простий підбір одного невідомого числа не дає упевненості в тому, що знайдено всі шукані значення. Тому для обгрунтування повноти рішення потрібні додаткові іноді дуже непрості міркування, а, значить, метод проб і помилок має недолік, який, у свою чергу не має інший метод - метод перебору.
Метод повного перебору. При пошуку невідомого числа повним перебором автор пояснює, що слід розглядати «всі уявні можливості: якщо ми упустимо хоч би одну, то може виявитися, що саме вона і дає рішення задачі» [11].
Повний перебір вимагає, як правило, великих зусиль і великого часу. Але слід звернути увагу учнів на аналіз умови, тим самим скоротити систему перебору. Розглянемо задачу.
Завдання. Задумано двозначне число, яке на 66 більше твори своїх цифр. Яке число задумано? (Cм. № 181 (1), [11]).
Рішення. Після складання моделі отримуємо таку задачу:
Для цифр х і y двозначного числа виконується рівність 10 x + y = xy + 66. Знайти це число.
Повний перебір можна провести, розглядаючи послідовно всі значення х від 1 до 9 і підбираючи в кожному випадку відповідне значення y від 0 до 9. Однак цей перебір можна скоротити, якщо зауважити, що права частина рівності більше 66. Значить, і ліва його частина, тобто задумане число більше 66. Тому невідоме число х не менше 6, і можна розглядати тільки чотири значення х - від 6 до 9.
При х = 6 наше рівність має вигляд 60 + y = 6 y + 66, а цього бути не може, тому що ліва частина вийшла менше правою за будь-яких значеннях y від 0 до 9.
При х = 7 маємо 70 + y = 7 y + 66. Якщо ми від кожної частини цієї рівності віднімемо одну і те ж число y, то отримаємо 70 = 6 y + 66, звідки 6 y = 4, що для натурального числа не можливо.
При х = 8 маємо рівність 80 + y = 8 y + 66. Знову, віднімаючи з кожної частини y, отримаємо, 80 = 7 y +66, 7 y = 14, y = 2. Таким чином, для чисел х = 8 і y = 2 рівність виконується, і число 82 задовольняє умові завдання:
82 = 8 · 2 + 66.
Слід звернути увагу учнів, що не можна вважати завдання повністю вирішеною, оскільки перебір ще не закінчений, і серед не розглянутих випадків можуть знайтися рішення.
Виконуючи аналогічні перетворення, маємо при х = 9:
90 + y = 9 y + 66,
90 = 8 y +66,
8 y = 24,
y = 3.
Показуючи учням, що вийшло ще одне рішення, число 93, яке задовольняє 93 = 9 · 3 + 66, ми підкреслюємо важливість повного перебору.
Автори також радять проводити перебір за допомогою таблиці:
X
Рівняння
Спрощене рівняння
Y
6
60 + y = 6 y + 66
неможливо
7
70 + y = 7 y + 66
6 y = 4
неможливо
8
80 + y = 8 y + 66
7 y = 14
y = 2
9
90 + y = 9 y + 66
8 y = 24
y = 3
Після того, як проведено повний перебір, важливо навчити школярів формулювати відповідь у відповідності питання початкового завдання. У цьому випадку відповідь буде такий: задумано або число 82, або 93.
До методу проб і помилок і до методу перебору автори ще раз повертаються вже в 6 класі (§ 3, глава 3, [15]).
У 6 класі продовжується навчання методом математичного моделювання. При вивченні теми «Рішення рівнянь» розглядаються різні за сюжетом завдання, які вирішуються за допомогою рівнянь. Але перш ніж приступити до вирішення завдань, автори підручника намагаються дати відповідь на запитання: «Для чого вирішують завдання?» І приходять до висновку, що, вирішуючи завдання, ми вчимося будувати математичні моделі реальних ситуацій. Далі виділяються три етапи математичного моделювання:
1) побудова моделі;
2) робота з моделлю;
3) практичний висновок.
Поширеним видом математичних моделей є рівняння. Відповідно до етапів моделювання рішення задач за допомогою рівнянь складається також з трьох етапів:
1) складання рівняння;
2) рішення рівняння;
3) відповідь на питання завдання.
Учні навчаються вибирати змінні, складати рівняння, вирішувати їх і аналізувати результат.
Система завдань, наведена в підручниках [11 - 15] дозволяє досить повно розкрити методи дослідження математичних моделей, велика увага приділяється вирішенню завдань за допомогою рівнянь, так як рівняння - це основний вид моделей, що вивчаються у 5 - 6 класах. На основі цих вправ учні повинні навчитися розуміти цінність рішення сюжетних завдань, бачити їх практичну значимість, а також розуміти значення математичної моделі, вміти будувати її, шукати найбільш раціональний спосіб її дослідження та правильно робити висновок про виконану роботу, в тому числі правильно формулювати відповідь на завдання.

2.3. Аналіз підручників Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» з точки зору наявності задач для формування умінь, характерних для математичного моделювання

Відомо, що процес математичного моделювання здійснюється в три етапи:
1) формалізація;
2) рішення всередині моделі;
3) інтерпретація.
Слід зазначити, що в школі більше уваги приділяється роботі над другим етапом моделювання, в той час як формалізація та інтерпретація залишаються недостатньо розкритими. Необхідно організувати навчання учнів елементам моделювання, які належать до всіх трьох етапах. Важливим засобом навчання елементам моделювання, які належать до етапів формалізації та інтерпретації, є сюжетні завдання, але етап формалізації при вирішенні шкільних сюжетних завдань виявляється представлений занадто вузько. Учням, як правило, відразу пред'являється словесна модель задачі, тому уявлення про характер відображення математикою явищ, описаних у завданнях, часто виявляються досить примітивними, тобто немає умов для змістовного розкриття діяльності, що проходить на цьому етапі математичного моделювання. Тому треба шукати шляхи змістовного розкриття та конкретизації етапів формалізації та інтерпретації математичного моделювання. Вже в 5 - 6 класах доцільно використовувати задачі, які дозволяють навчати школярів дій, характерним для етапів формалізації та інтерпретації.
Моделювання включає в себе велику кількість складових елементів, тому велику роль в успішності роботи з математичного моделювання відіграє виявлення елементів математичного моделювання. В. О. Стукалов [28] виявляє такі елементи:
1) заміна вихідних термінів обраними математичними еквівалентами;
2) оцінка повноти вихідної інформації та введенню при необхідності відсутніх числових даних;
3) вибір точності числових значень, відповідної змістом завдання;
4) оцінка можливості отримання числових даних для вирішення завдання на практиці.
На основі перерахованих елементів математичного моделювання, характерних для етапів формалізації та інтерпретації, можна виділити вміння, якими повинні оволодіти учні для успішного освоєння методом математичного моделювання:
1) вміння замінювати вихідні терміни математичними еквівалентами;
2) вміння оцінювати повноту вихідної інформації;
3) уміння вибирати точність числових значень;
4) вміння оцінювати можливість отримання числових даних для вирішення завдання.
Проаналізуємо підручники [11 - 15] Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон з точки зору наявності задач, що застосовуються для формування в учнів 5 - 6 класів виділених умінь.
Виконання дії заміни вихідних термінів обраними математичними еквівалентами грунтується насамперед на життєвому досвіді учнів, тобто знанні термінів, що зустрічаються в побуті або при вивченні інших предметів, які можуть бути замінені математичними поняттями і відносинами. З цього випливає, що в системі завдань шкільних підручників має бути більше завдань, що містять терміни з різних наукових областей, але що не вимагають тривалого і громіздкого пояснення їх сутності. Крім цього, завдання розширюють словниковий запас учнів, знайомлять з новими цікавими фактами з різних наук, озброюють учнів навичками самостійної роботи, сприяють свідомому застосуванню наявних знань до життя, знайомлять їх з новими прийомами рішення, розвивають математичне мислення та практичну кмітливість.
Навчання заміни вихідних термінів може відбуватися при формуванні понять. В аналізованих підручниках [11 - 15] такими математичними еквівалентами є поняття «прямокутник», зокрема, «квадрат», «прямокутний паралелепіпед» (в окремому випадку «куб»), «окружність», «сфера». У завданнях, запропонованих авторами підручника, завжди поряд з вихідним терміном вказується його математичний еквівалент, що на нашу думку є доцільним. У тексті підручника зустрічаються такі завдання.
Поняття «прямокутник»
· Площа баскетбольного майданчика прямокутної форми а м 2, а довжина 20 м . Яка її ширина? (Cм. № 16 (1), [11]).
· На малюнку показаний план земельної ділянки та зазначені його розміри. Знайди площа цієї ділянки, і висловили їх у арах. Яка довжина прямокутника, що має таку ж площу і ширину 45 м ? (Cм. № 57, [11]).
70 м
20 м
30 м
50 м
A
B
C
E
F

· Переведи умову задачі на математичну мову:
Під будівельний майданчик відвели прямокутна ділянка, довжина якого на 25 м більше його ширини. При затвердженні плану забудови довжину ділянки збільшили на 5 м , А ширину - на 4 м , В результаті площа ділянки збільшилася на 300 м 2 . Яка площа утворилася будівельного майданчика? (Cм. № 271 (2), [12]).
· Побудуй математичну модель задачі та знайди відповідь методом перебору:
Прямокутний газон обнесений огорожею, довжина якої 30 м . Площа газону 56 м 2 . Знайди довжини сторін газону, якщо відомо, що вони виражаються натуральними числами (див. № 333 (3), [11]).
Поняття «паралелепіпед»
Прямокутний паралелепіпед є математичним еквівалентом «акваріуму», «печі», «ящика», «басейну». Наприклад.
· З фанери потрібно зробити відкритий ящик, що має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 40 см , 20 см і 15 см . Скільки фанери буде потрібно для виготовлення ящика? Яка буде його місткість? (Cм. № 272, [11]).
· З жерсті зробили бак без кришки. Він має форму куба з довжиною ребра 8 дм. Бак треба пофарбувати зовні і зсередини. Яку площу треба пофарбувати? Яка місткість бака? (Cм. № 712, [11]).
· Щоб зробити басейн, в землі викопали котлован у формі прямокутного паралелепіпеда довжиною 25 м , Шириною 6 м і глибиною 3 м . Скільки кубічних метрів землі довелося вийняти? (Cм. № 280 (1), [11]).
· Є два акваріуми з вимірами 45'32'50 см і 50'32'45 див.
а) На виготовлення якого з двох акваріумів знадобилося більше скла?
б) Акваріуми заповнили водою так, що рівень води в першому акваріумі нижче верхнього краю на 10 см , А в другому - на 5 см . У якому акваріумі більше води? (Cм. № 547, [15]).
Поняття «окружність» і «коло»
При вивченні кола, кола та їх властивостей в підручнику використовуються завдання, в яких використовуються такі терміни як «окружність колеса», «обороти колеса», «арена цирку», «циферблат годинника», «бігова доріжка», «екватор Землі».
· Великий давньогрецький математик Архімед (III ст. До н.е.) встановив, що довжина кола приблизно в 3 рази більше її діаметра. Користуючись цим результатом, виріши завдання: Яка довжина бігової доріжки іподрому, що має форму кола радіусом км? (Cм. № 307 (1), [12]).
· Довжина екватора Землі дорівнює приблизно 40000 км , А її діаметр становить довжини екватора. Чому дорівнює діаметр Землі? (Cм. № 488, [12]).
· Скільки оборотів зробить колесо на ділянці шляху в 1,2 км , Якщо діаметр колеса дорівнює 0,8 м ? Число p округло до цілих (див. № 549 (2), [15]).
· Чому дорівнює площа циферблату годинника, якщо довжина хвилинної стрілки дорівнює 4,5 см . Число p округло до цілих (див. № 566 (а), [15]).
· Арена цирку має довжину 40,8 м . Знайди діаметр і площа арени. Число p округло до цілих (див. № 737, [15]).
Також до цієї групи належать завдання:
5 клас, частина 1, [11]: № № 102 (3), 142 (5), 280 (1), 716, 753, 791, 800;
5 клас, частина 2, [12]: № № 269 (5), 271 (1), 307, 352 (3), 379 (1), 380 (2);
6 клас, частина 1, [13]: № № 56 (а);
6 клас, частина 3, [15]: № № 341, 342, 547, 549 (2,4), 562, 566.
Також під час навчання дії заміни вихідних термінів обраними математичними еквівалентами застосовуються завдання, в яких потрібна заміна однієї одиниці вимірювання іншої більш дрібної і навпаки. Таких завдань у підручниках дуже багато, але в основному в них потрібно переводити кілометри в метри, метри в сантиметри, хвилини в години (№ № (5 клас, частина 1, [11]) 146 (1,2,4), 162 ( 2), 340 (1), 392, 406, 408, 504, 561, 581, 679, 752. 764, 786, 797, 798; № № 44, 56, 127 (3), 221, 228, 616 (2 ), 769 (2), 901, 992, 1065, 1067 (5 клас, частина 2, [12]); № № 189 (2), 190 (2), 191 (2), 198, 199, 201, 209 , 210, 212, 223, 233, 247, 305, 306, 334 (6 клас, частина 1, [13]); № № 44, 49, 125,203, 204, 292, 293 (1), 322, 372, 373 , 551 (6 клас, частина 2, [14]); № № 116, 130 (а), 132,133, 154, 195, 223, 228, 304, 433-436, 444, 465, 466, 467, 499, 563 , 633, 667, 678-680, 683, 700, 706, 717, 720, 727, 728, 738, 764, 767 (б) (6 клас, частина 3, [15])), що не викликає великих складнощів у школярів. Наприклад.
· Щоб зв'язати шарф довжиною 1,4 м , Потрібно 350 г вовни. Скільки вовни буде потрібно, щоб зв'язати шарф такої ж ширини довжиною 180 см ? (Cм. № 225 (1), [14]).
· Підводний човен, йдучи зі швидкістю 15,6 км / год , Прийшла до місця призначення за 3 год 45 хв. З якою швидкістю вона повинна була йти, щоб пройти весь шлях на 45 хв швидше (див. № 227 (1), [14]).
Часто на практиці використовуються такі одиниці часу, як тиждень, декада, квартал, століття. У підручниках недостатньо завдань, в яких назва одиниць вимірювання включено в сюжет задачі і потрібно замінити одну одиницю виміру інший відповідно до умовою. У таких завданнях математичним еквівалентом буде число більш дрібних одиниць виміру.
· Середня температура повітря за тиждень дорівнює 18,6 °, а за шість днів без неділі - 18,4 °. Якою була температура повітря в неділю? (Cм. № 285 (2), [13]).
Ми вважаємо, що необхідно розглядати більше завдань, в яких потрібен переклад одиниць виміру, не водять у відомі системи заходів, ніж їх наведено в підручниках [11 - 15].
При навчанні дії оцінки повноти вихідної інформації та введення при необхідності відсутніх числових даних необхідно враховувати компоненти, які можуть бути в умови цих завдань: сюжет (об'єкти), величини, їх характеризують, значення цих величин. При цьому можна виділити наступні типи завдань, представлені в таблиці [19].
сюжет
величини
значення
а)
+
+
-
б)
+
-
+
в)
-
+
+
г)
-
-
+
д)
-
+
-
е)
+
-
-
Знак «+» означає наявність відповідного компоненту в умові, знак «-» - відсутність. Знак «-» у графі «сюжет» характеризує завдання, в яких потрібно підібрати об'єкти по заданих величин і (або) значень. Знак «-» у графі «величини» передбачає виділення системи необхідних вихідних величин в умовах зайвих або відсутніх даних. Комбінації «+», «+», «+» і «-», «-», «-» не розглядаються як не представляють інтересу.
Крім того, завдання всередині одного типу можуть відрізнятися і формою завдання: таблиця, діаграма, креслення, стислий запис і т. д. Наведемо приклади завдань, що зустрічаються в аналізованих підручниках, відповідні виділеним типам.
Перший тип відповідає комбінації «+», «+» «-» і характеризується наявністю сюжету, величин і відсутністю значень величин. Сюди відносяться такі завдання як:
· По шосе автомобіль рухався 2:00 зі швидкістю 90 км / год , А по дорозі - 5 годин зі швидкістю v км / ч. Скільки всього кілометрів проїхав автомобіль по шосе і по дорозі? (Cм. № 14 (1), [11]).
· Зарплату робітника, рівну n руб., підвищили спочатку на 10%, а потім ще на 40% від нової суми. Якою стала зарплата після другого підвищення? (Cм. № 58 (г), [15]).
· Ціну на комп'ютер знизили спочатку на 20%, а потім ще на 50% від нової ціни. Після цього комп'ютер став коштувати k руб. Якою була його первісна ціна? (Cм. № 58 (д), [15]).
До типу I відносяться також такі завдання:
5 клас, частина 1, [11]: № № 10, 14 (1), 16 (2-8), 28 (б), 40 (1-4), 72 (1-5), 82 (1), 83 (2), 142, 158 (1), 207, 210 (3), 250 (2), 317 (1), 317 (5), 398, 431, 433, 465, 466, 505, 506, 509, 531, 680;
5 клас, частина 2, [12]: № № 478, 487, 495, 870, 884, 929, 1000, 1001, 1097, 1122, 1137, 1162;
6 клас, частина 1, [13]: № № 66 (1,2), 107, 200, 222, 228, 443;
6 клас, частина 2, [14]: № № 47 (1,3,4), 53 (1,3), 83, 130 (1,3), 136, 286, 287, 329, 337, 374, 453 ;
6 клас, частина 3, [15]: № № 10, 16, 24, 148, 268, 319, 367 (б, в, г, д, е), 729.
До другого типу відносяться з Адачі, в яких є сюжет, числові дані, але немає величин, які вони характеризують. Наприклад.
· У п'яти ящиках лежить за однаковим числа яблук. Якщо з кожного ящика вийняти 60 яблук, то у всіх ящиках залишиться стільки яблук, скільки їх раніше було у двох ящиках. Скільки яблук було у кожному ящику? (Cм. № 167, [11]).
· Склади вираз для задачі і знайди його значення:
У класі 25 учнів. З них після уроків додому пішли 7 чоловік, а решта розбилися на 3 команди для гри. Скільки чоловік у кожній команді? (Cм. № 38 (4), [11]).
· Переведи умову задачі з російської мови на математичну мову:
На питання учнів про минулу контрольної роботи вчитель відповів: «п'ятірок на 3 більше, ніж двійок, трійок на одну менше, ніж четвірок, а четвірок в 4 рази більше, ніж двійок». Скільки людей отримали п'ятірки і скільки четвірки, якщо в класі 32 людини? (Cм. № 39 (2), [12]).
До типу II належать також такі завдання:
5 клас, частина 1, [11]: № № 111 (4), 159 (1,2), 181 (1,4), 182 (2), 196, 213 (1), 275 (2), 278 ( 1,2), 281, 299, 301, 337 (1,2), 348, 349, 358, 413, 425, 438, 525 (1,2), 559, 563, 569 (1), 595 (1, 2), 607, 635, 636, 644, 671 (1,2), 687, 707, 709, 715, 719, 745, 771, 804;
5 клас, частина 2, [12]: № № 28 (1,2), 40 (1,2), 51, 78 (2), 94 (1,2), 95 (2), 133, 152 (1 , 2), 154 (1,2,3), 171 (1,2), 176, 184, 194 (1), 204, 206, 240, 249, 250, 253, 287, 304 (1,2), 329 (1), 330, 333 (4), 350, 367, 369, 385 (1), 387 (1,2,4,5), 427 (2), 490, 496, 497, 498, 504, 517 , 558 (1,2), 559, 561 (1,2), 562 (1,2), 563 (2), 567 (1,2), 585, 587 (1,4), 595 (1,2 ), 599 (1,2), 674, 680, 712 (1,2), 778, 779, 834, 1049 (1,3);
6 клас, частина 1, [13]: № № 17, 24, 57, 116, 130 (1,3,4), 133, 137, 165, 203, 212, 265, 301, 338, 410, 414, 450 , 482, 483;
6 клас, частина 2, [14]: № № 20, 25, 108, 109, 110, 111, 112, 121, 173 (2,3,4), 176 (3), 184, 190, 191, 199, 200, 207, 209 (2,3), 213, 225, 226,229, 230, 240, 241, 249, 250, 252, 256,268, 281, 295, 326, 528 (1,2), 535, 552, 582; .
6 клас, частина 3, [15]: № № 6 (1), 21, 50 (а), 64, 65, 93, 94, 95, 108, 109, 110, 118, 119, 120, 122, 123, 124, 125 (а), 126, 127 (а), 150, 151, 152, 158, 292, 307, 368, 393, 464, 466, 467, 468, 472, 473, 497, 523, 627, 633, 699, 705, 767.
Ясно, що в підручнику дуже багато сюжетних завдань, що містять числові дані, що обгрунтовано цілями освіти.
Третій тип відповідає комбінації «-», «+» «+». До цього типу відносяться завдання, в яких потрібно скласти завдання за схемою або короткої записи. У підручниках Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон такі завдання представлені в наступному вигляді:
Склади за схемами завдання і знайди невідомі величини (d t -Відстань між об'єктами через t год після виходу) (№ 197, [13]):
40 км / год 80 км / год
SHAPE \ * MERGEFORMAT t встр. = 2,5 год
? км s =? d 1,5 =?

110 км / год 70 км / год
SHAPE \ * MERGEFORMAT t = 2 год
150 км t встр. =? d 2 =?

? км / год 9 км / год
SHAPE \ * MERGEFORMAT t = 1,4 ч u =?
? км d 1,4 =? d 3,2 =?
В основному треба скласти завдання на рух у різних напрямках згідно із зазначеними в схемах даними. До цього ж типу відносяться завдання № № 215 [13]; 387 [14]; 131, 524, 627 [15].
Четвертий тип характеризується відсутністю сюжету і величин і наявністю значень, тобто це такі завдання, в яких потрібно скласти завдання по числовому вираженню, рівнянню і т.д. У підручнику до цього типу належать завдання види:
· Придумай 3 завдання, вирішенням яких є вираз (№ 115, [13]):
(A - A: 4): 2.
· Придумай ситуацію, математичної моделлю якої може служити даний вираз, і знайди відповідь (№ 424, [14]):
а) (-9) + (+4), б) (+6) + (+3);
в) (-5) + (-2); г) (-1) + (+7).
Аналогічні дії потрібно виконати в № 427 [14].
· Склади за даної математичної моделі завдання й якби її (№ 496, [14]):
1) 0,48: (1,6 - 2 x) + 5,2 = 6 2) 2 (x -1,8) = 2 / 3 x.
П'ятому типу відповідає комбінація «-», «+», «-», де потрібно скласти завдання із зазначеними величинами, наприклад, відстань, швидкість, час, вартість, ціна, кількість тощо
· Придумай завдання, що приводить до вираження 3 х + 5 у, о величинах:
1) шлях, швидкість, час (S = vt);
2) вартість, ціна, кількість товару (C = an);
3) робота, продуктивність, час (A = vt);
4) площа прямокутника, його довжина і ширина (S = ab) (див. № 15, [11]).
· Як знайти: а) відсоток від числа; б) число за його відсотком; в) відсоткове відношення двох чисел? Придумай і виріши завдання на ці правила. Потім ці ж завдання виріши методом пропорцій. Який спосіб ти вважаєш більш зручним? Чому? (Cм. № 766, [15]).
У підручнику [14] окремо виділяються завдання, в яких потрібно скласти завдання про «доходи» і «витратах» по заданому виразу.
Наприклад,
· Придумай за висловом завдання про «доходи» і «витратах» і знайди відповідь (№ 220, [14]):
1) (+3) + (-7), 2) (-5) + (-8); 3) (-1) + (-4).
Аналогічні цього № № 221, 314 [14].
Автори аналізованого підручника включили трохи завдань такого типу. Це можна пояснити тим, що школярі 5-6 класу ще не мають достатньої підготовки і життєвого досвіду вирішувати завдання без числових значень і сюжету, тобто самостійно придумувати завдання.
До шостого типу завдань належать завдання, які характеризуються тільки наявністю сюжету. Це завдання види:
· Запиши вираз для відповіді на питання завдання:
У 5 «А» класі а учнів, а в 5 «Б» класі - на 3 учні менше. Скільки всього учнів у цих двох класах? (Cм. № 11 (1), [11]).
· Склади вираз:
Баронові Мюнхаузену а років, а його кінь на 25 років молодше. У скільки разів барон старше свого коня? (Cм. № 28 (1), [11]).
· В одному класі a людина, а в іншому - на 20% більше. Скільки людей у ​​двох класах? (Cм. № 58 (а), [15]).
До цього ж типу відносяться завдання:
5 клас, частина 1, [11]: № № 11 (2), 11 (3), 11 (4), 11 (5), 11 (6), 40 (5), 40 (6), 242, 250 , 16 (7), 43, 295 (1), 295 (3), 295 (4), 217 (4), 317 (6), 596 (в), 596 (г), 596 (д), 596 ( е), 751 (2);
5 клас, частина 2, [12]: № № 42 (2), 42 (3), 102 (1), 102 (2), 102 (3), 102 (4), 194 (1), 260;
6 клас, частина 1, [13]: № № 69, 288, 415;
6 клас, частина 2, [14]: № № 47 (2,5,6), 53 (2), 130 (2,4);
6 клас, частина 3, [15]: № № 367 (а), 778.
Говорячи про навчання дії вибору точності числових значень, що відповідають змісту завдання, не мається на увазі формування понять і вмінь, пов'язаних з наближеними обчисленнями. Мова йде про залучення уваги учнів до того, що будь-яка математична модель має похибку. Наприклад, вважати масу фарби для підлоги з точністю до грама нерозумно, тому необхідно вміти округляти числові дані у відповідності зі змістом завдання.
Формування даної дії повинно починатися вже в процесі знайомства учнів з одиницями вимірювання, що відбувається ще в початковій школі. Доцільно при вивченні всіх одиниць розглядати, які об'єкти на практиці вимірюються даною одиницею.
При навчанні округлення результату у відповідності зі змістом задачі можуть використовуватися завдання, що вимагають округлення, але без вказівки точності округлення. Для того щоб показати учням необхідність округлення, можна використовувати завдання: «Скільки потрібно заплатити за половину буханця хліба, якщо ціла буханець коштує 6р. 75 к.? »
Наведемо приклади завдань, які можуть бути використані для формування аналізованого дії.
· Довжина кімнати 7 м , Ширина 4 м , А висота 3 м . Скільки квадратних метрів шпалер потрібний для обклеювання кімнати, якщо площа вікон і дверей становить 9 м 2 ? Скільки рулонів шпалер для цього треба купити, якщо в кожному рулоні 10 м 2 шпалер? (Cм. № 280 (2), [11]).
· Відстань від Москви до Бреста дорівнює приблизно 1100 км . Зобразіть шосе від Москви до Бреста на тетрадном аркуші у вигляді відрізка, підібравши зручний масштаб (див. № 30, [14]).
· У автогосподарстві для кожної моделі автомобілів встановлена ​​норма зносу. За «Волгам» вона становить 11,1% на рік. Який термін служби цього автомобіля? (Cм. № 434, [14]).
При вирішенні завдань на практиці доводиться округляти не тільки результат, але і вихідні числові дані. Це може відбуватися, наприклад, при використанні табличних даних, де вказана точність вища, ніж вимагається по суті завдання. Засобом навчання вибору точності вихідних даних можуть служити завдання:
а) потребують практичних вимірювань;
б) пов'язані з читанням і побудовою графіків;
в) пов'язані з надмірною точністю числових даних.
Завдання, що вимагають практичних вимірювань
· Виміряй довжину і ширину зошити та вислови результат у дециметрах. Обчисли площа зошитового листа та вислови її в квадратних дециметрах (див. № 741, [12]).
Завдання, пов'язані з читанням і побудовою графіків
· На тренуванні в 50-метровому басейні два плавці стартували одночасно на дистанцію 200 м . Один плив кролем, інший - брасом. На малюнку наведено графіки їх руху:

1) Скільки часу витратили плавці на кожні 50 м і на всю дистанцію?
2) Скільки раз і на якій відстані від стартової стінки басейну зустрічалися плавці?
3) З якою швидкістю плив кожен зі спортсменів?
4) На скільки секунд раніше фінішував перший плавець?
5) На скільки метрів обігнав перший плавець другого до моменту фінішу? (Cм. № 468, [12]).
В основному в підручнику навчання вибору точності числових значень реалізується при побудові різних графіків залежностей.
До цього типу завдань належать також:
5 клас, частина 1, [11]: № № 330, 345;
5 клас, частина 2, [12]: № № 111, 112, 129, 179, 548, 592, 638, 649, 890;
6 клас, частина 1, [13]: № № 55, 77-80, 92, 155, 162, 280, 317, 468, 473;
6 клас, частина 2, [14]: № № 33, 37, 38, 50, 51,81, 84, 113, 140, 141-144, 154, 155, 173, 175, 176, 178, 189, 190, 265, 288, 374;
6 клас, частина 3, [15]: № № 146, 155, 158, 198.
Завдання, які повинні використовуватися при навчанні дії оцінки можливості отримання результату, представлені в підручнику в невеликій кількості. До них належать такі завдання, як:
· У класі 20 учнів. З них англійську мову вивчають 15 осіб, німецький - 10, і ще 1 людина вивчає французьку мову. Чи можливо це? (Cм. № 336, [13]).
· На туристичній карті масштаб відірвана. Чи можна його відновити, якщо відомо, що відстань від сільської пошти до окраїни села (по прямій дорозі) дорівнює 3,2 км , А на карті це відстань зображено відрізком довжиною 4 см ? (Cм. № 49, [14]).
· У міській думі 80 депутатів, серед яких 4 незалежних депутата, а інші представляють інтереси трьох партій. Число депутатів від першої партії на 20% більше, ніж від другої, а число депутатів від другої партії становить 62,5% числа депутатів третьою. Чи може будь-яка партія заблокувати прийняття рішення, для якого потрібно кваліфіковане більшість голосів (не менш 2 / 3) всіх депутатів? (Cм. № 368 (б), [15]).
У процесі вирішення запропонованих та аналогічних завдань учні повинні засвоїти, що вибір точності залежить від мети, з якою вирішується завдання, і від якостей самого вимірюваного об'єкта. При відповідях школярі спираються на свої уявлення про реальні об'єкти і процеси, описаних в задачі.
Аналіз підручників [11], [12], [13], [14], [15] показав, що в них міститься достатня кількість завдань для формування найпростіших умінь, що входять в метод математичного моделювання. Крім того, вводиться поняття «математична модель» і описуються етапи математичного моделювання. Школярі вчаться оперувати з моделями. Все це створює передумови для більш усвідомленого подальшого навчання математики.

2.4. Дослідне викладання

Дослідне викладання здійснювалося в школі № 21 г . Кірова.
Спочатку була вивчена відповідна темі дослідження математична і методична література. Після чого були розроблені і проведені два заняття математичного гуртка за темами:
1) Математичні моделі.
2) Рішення задач із застосуванням методу математичного моделювання.
Проведена контрольна робота з теми «Рішення завдань».
Детальний опис гуртків та контрольної роботи міститься відповідно в додатках 1, 2, 3.
Нами були поставлені наступні цілі:
1) познайомити учнів з поняттям математичної моделі;
2) розглянути основні типи завдань, в яких потрібен переклад умови задачі на математичну мову;
3) виділити основні етапи моделювання;
4) відповідно до етапів моделювання виділити етапи вирішення завдань за допомогою рівнянь;
5) порівняти результати контрольної роботи в різних класах.
Заняття проводилися в 6-х класах, які навчаються за підручником [7] Н. Я. Виленкина, після вивчення теми «Рішення рівнянь».
Заняття математичного гуртка проводилися в 6 б класі, а контрольна робота - у 6 б і в 6 в класах.
Після проведення контрольної роботи були отримані наступні результати:
1) кількість осіб, які вирішили кожну задачу в 6 б більше, ніж у 6 класі (див. діаграму);
Кількість осіб, які вирішили кожне завдання
\ S
2) при вирішенні першого завдання труднощі виникли внаслідок того, що в якості змінної x багато вибрали кількість автомобілів, які відремонтував першого механік (кількість дітей в молодшій групі - у другому варіанті), хоча доцільно за x взяти кількість автомобілів, відремонтованих друге механіком (кількість дітей у середній групі). Поява дробів ускладнило модель задачі, і учні не змогли вирішити її. Причому в 6 б правильний вибір змінної зробили на 5 чоловік більше, ніж у 6 в, цьому сприяло складання таблиці до задачі.
3) при вирішенні другого завдання в першому варіанті були допущені помилки при складанні математичної моделі, так як декілька людей отримали не , А ;
4) в четвертій завданню великі складнощі викликали відсотки, тому з кожного класу цю задачу змогли вирішити лише 16 і 10 осіб відповідно. Хлопці не змогли перевести на математичну мову вираження «на 60% (40%) менше», «на 60% (40%) більше», а також у деяких виникла складність із вибором змінної, так як перемінної була обрана шукана величина, що недоцільне;
5) при складанні пропорції у п'ятій завданню складнощів не виникло, але багато хто просто не встигли вирішити її.
Складнощі при вирішенні завдань виникають в результаті того, що не завжди вибір змінних є раціональним. Вже на ранніх етапах навчання потрібно привчати до вибору таких змінних моделі, які виявляються найбільш зручними для вирішення завдання. Вдалий вибір змінних допомагає легше скласти математичну модель задачі, і отримати найбільш просту для реалізації модель.
Також складність викликає переклад умови або частини умови завдання на математичну мову, результатом чого є неправильно побудована модель задачі.
Можна зробити висновок, що навчання діям характерним для етапів моделювання, полегшує побудова математичної моделі задачі, сприяє побудові більш зручною і простий моделі, і, як наслідок, спрощується процес вирішення завдання.

Висновки на чолі 2

1. Аналіз шкільних підручників з математики для 5 - 6 класів показав, що велика увага методу моделювання приділяється в основному в підручниках Г. В. Дорофеєва, Л. В. Петерсон, в інших підручниках чи ця тема не вивчається взагалі, або розглядається оглядово.
2. Підручники [11 - 15] містять велику кількість завдань, характерних для методу моделювання, а саме: завдання, безпосередньо реалізують етапи процесу математичного моделювання; завдання, в яких потрібно виконати дії, характерні для етапів моделювання.
3. У ході дослідного викладання з'ясувалося, що методика вивчення математичного моделювання за підручниками Г. В. Дорофеєва, Л. В. Петерсон ефективна і може бути використана на уроках математики і в таких класах, де навчання ведеться за іншими підручниками.

Висновок

У ході теоретичного та експериментального дослідження отримані наступні результати:
1) розглянуті основні питання та виявлено проблеми навчання елементам математичного моделювання;
2) розглянуто поняття «математична модель» і «математичне моделювання», виділені основні ідеї та етапи методу математичного моделювання;
3) виділено дидактичні функції викладання математичного моделювання в школі;
4) обгрунтовано значення вивчення елементів математичного моделювання на ранніх етапах навчання, а саме в 5 - 6 класах;
5) виділені основні вміння, характерні для етапів формалізації та інтерпретації, і описана методика навчання елементам математичного моделювання в 5 -6 класах (за підручниками «Математика» для 5 - 6 класів Г. В. Дорофеєва, Л. Г. Петерсон);
6) проаналізовано підручники з математики для 5 - 6 класів з точки зору наявності елементів математичного моделювання та зроблено відповідні висновки;
7) у процесі досвідченого викладання, згідно розглянутим методиками, були розроблені і проведені два заняття математичного гуртка і контрольна робота.
Результати проведеного дослідження дозволяють зробити наступні висновки:

1) при вирішенні завдань за допомогою моделювання школярі вчаться абстрагування, аналізу, синтезу, порівнянню, аналогії, узагальнення, перекладу життєвих проблемних ситуацій в абстрактні моделі і навпаки. Використання моделювання як способу навчання пошукової діяльності, узагальненим підходам, прийомам у вирішенні завдань сприяє посиленню творчої спрямованості процесу навчання, розвитку розумових здібностей учнів, тобто моделювання є засобом вдосконалення процесу навчання математики, яке дозволяє активізувати пізнавальну діяльність учнів і розвивати їх мислення;

2) включення моделювання у зміст уроків математики необхідно для ознайомлення учнів з сучасною науковою трактуванням понять моделі та моделювання, оволодіння моделюванням як методом наукового пізнання і вирішення сюжетних завдань;
3) слід включити вивчення елементів математичного моделювання у зміст уроків не тільки в 7 - 9 класах, а на ранніх етапах навчання, тобто вже у 5 - 6 класах або ще раніше (у початковій школі). Це обгрунтовано тим, що в учнів створюються передумови для більш усвідомленого вивчення математики, формування діалектико-матеріалістичного стилю мислення та підвищення інтересу до самої науки математики.
Можна зробити загальний висновок, що всі завдання дослідження вирішені, мета досягнута, гіпотеза підтверджена і теоретичним аналізом, і експериментально.

Бібліографічний список

1. Алгебра: Підручник для 9 кл. середовищ. шк. [Текст] / Ю. М. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. ХОМЕНКО, С. Б. Суворова; Під ред. С. А. Теляковського. - М.: Просвещение, 1990. -272 С.
2. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 - 11 кл. середовищ. шк. [Текст] / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін: Під. Ред. А. Н. Колмогорова. - 2-е вид. - М.: Просвещение, 1991. - 320 с.
3. Алтухов, В.Л. Про перебудову мислення: філософсько-методологічні аспекти [Текст] / В. Л. Алтухов, В.Ф. Шапошников. - М.: Просвещение, 1988.
4. Артоболевський, А. Н. Арифметичні задачі з виробничо-побутовим змістом [Текст] / М. Артоболевський. - М.: Державне навчально-педагогічне вид-во Міністерства Освіти РРФСР, 1961.
5. Віників, В.А. Теорія подібності і моделювання [Текст] / В. А. Віників. - М.: Вища школа, 1986. - 480 с.
6. Віленкін Н. Я. Математика, 5 клас. Підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ [Текст] / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохів, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбург. / Вид. 6-е. - М.: Сайтком, 2000. - 358 с.
7. Віленкін Н. Я. Математика, 6 клас. Підручник для 6 кл. загальноосвітніх установ [Текст] / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохів, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбург. / 12-е вид., Стереотип. - М.: Мнемозина, 2003. - 304 с.
8. Возняк, Г. М. Прикладні завдання в мотивації навчання [Текст] / Г. М. Возняк / / Математика в школі, 1990, № 2
9. Жменька, А. Б. Зустрітися з математичним моделюванням [Текст] / А. Б. жменька. - М.: Знание, 1991. - 160 с.
10. Грес, П. В. Математика для гуманітаріїв [Текст] / П. В. Грес. - М.: Логос, 2005.
11. Дорофєєв, Г. В. Математика, 5 клас. Частина 1: підручник для 5 кл. [Текст] / Г. В. Дорофєєв, Л. Г. Петерсон. - М.: Баллас, С-інфо, 1996. - 176 с.
12. Дорофєєв, Г. В. Математика, 5 клас. Частина 2: підручник для 5 кл. [Текст] / Г. В. Дорофєєв, Л. Г. Петерсон. - М.: Баллас, С-інфо, 1997. - 240 с.
13. Дорофєєв, Г. В. Математика, 6 клас. Частина 1: підручник для 6 кл. [Текст] / Г. В. Дорофєєв, Л. Г. Петерсон. - М.: Баласс, С-інфо, 1998. - 112 с.
14. Дорофєєв, Г. В. Математика, 6 клас. Частина 2: підручник для 5 кл. [Текст] / Г. В. Дорофєєв, Л. Г. Петерсон. - М.: Баллас, С-інфо, 1999. - 128 с.
15. Дорофєєв, Г. В. Математика, 6 клас. Частина 3: підручник для 6 кл. [Текст] / Г. В. Дорофєєв, Л. Г. Петерсон. - М.: Баласс, С-інфо, 2002. - 176 с.
16. Зубарєва, І. І. Математика. 5 кл.: Підручник для загаль. Установ [Текст] / І. І. Зубарєва, О. Г. Мордкович. - 2-е вид. - М.: Мнемозина, 2003. - 293 с.
17. Зубарєва, І. І. Математика. 6 кл.: Підручник для загаль. Установ [Текст] / І. І. Зубарєва, О. Г. Мордкович. - 2-е вид. - М.: Мнемозина, 2004. - 281 с.
18. Канін, Є. С. Навчальні математичні задачі [Текст] / Є.С. Канін. - К.: Вид-во ВятГГУ, 2004. - 154 c.
19. Крутіхін, М. В. Навчання деяких елементів математичного моделювання як засіб підготовки до профільної освіти [Текст] / М. В. Крутіхін / / Математичний вісник педвузів та університетів Волго-Вятського регіону. Періодичний міжвузівський збірник науково-методичних праць: випуск 6 - К.: Вид-во ВятГГУ, 2004. - С. 246-254.
20. Мангейм, Дж. Б. Політологія. Методи дослідження [Текст]: Переклад з англ. / Дж. Б. Мангейм, Р. К. Річ. - М.: Весь Світ, 1997. - 544 с.
21. Математика: Підручник для 5 кл. загаль. установ [Текст] / Г. В. Дорофєєв, І. Ф. Шаригін, С. Б. Суворова та ін; Під ред. Г. В. Дорофеєва, І. Ф. Шаригіна. - 2-е вид. - М.: Просвещение, 1999. - 368 с.
22. Математика: 6 клас: Підручник для загаль. навч. закладів [Текст] / Г. В. Дорофєєв, І. Ф. Шаригін, С. Б. Суворова та ін; Під ред. Г. В. Дорофеєва, І. Ф. Шаригіна. - 2-е вид. - М.: Дрофа, 1995. - 416 с.
23. Математична енциклопедія. Гол. ред. М. Виноградов. Том 3. Коо - Од. М.: Радянська енциклопедія, 1982, 1184 стор, мул.
24. Мишкіс, А. Д. Про прикладної спрямованості шкільного курсу елементів математичного аналізу [Текст] / А. Д. Мишкіс / / Математика в школі, 1990, - № 6, с. 7-11.
25. Новик, І. Б. Про філософських питаннях кібернетичного моделювання [Текст] / І. Б. Новік - М., Знання, 1964.
26. Обойщікова, І. Г. Навчання моделювання учнів 5 - 6 класів при вивченні математики [Текст]: Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук / І. Г. Обойщікова. - Саранськ, 2002.
27. Січівіца, О. М. Методи і форми наукового пізнання [Текст] / О. М. Січівіца. - М., Вища школа, 1993.
28. Терьошин, Н. А. Прикладна спрямованість шкільного курсу математики [Текст] / Н. А. Терешин. - М.: Просвещение, 1990.
29. Уйомов, А. І. Логічні основи методу моделювання [Текст] / А. І. Уйомов. - М.: Просвещение, 1996.
30. Формування системного мислення у навчанні: навч. посібник для вузів [Текст] / за ред. З. А. Решетова - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 344с.
31. Фрідман, Л. М. Наочність та моделювання в навчанні [Текст] / Л. М. Фрідман. - М.: Знание, 1984. - 80 с.
32. Целіщева, І. Моделювання в текстових задачах [Текст] / І. Целіщева, С. Зайцева / / Додаток до газети «1 вересня». Математика, 2002, № 33 - 34
33. Штофф, В. А. Моделювання і філософія [Текст] / В. А. Штофф. - М.: Наука, 1966.

Додаток 1
Розробка заняття математичного гуртка за темою «Математичні моделі»
Хід заняття:
Учитель пропонує хлопцям вирішити 2 завдання за варіантами.
Завдання 1. На виставці кішок представлені кішки сибірської, ангорської, перської і сіамської порід. Сибірських кішок на 3 більше, ніж сіамських, перських на одну менше, ніж ангорських, ангорських в 4 рази більше, ніж сіамських. Скільки кішок кожної породи на виставці, якщо всього їх 32.
Завдання 2. На питання учнів про минулу контрольної роботи вчитель відповів: «п'ятірок на 3 більше, ніж двійок, трійок на одну менше, ніж четвірок, а четвірок в 4 рази більше, ніж двійок». Скільки людей отримали п'ятірки і скільки четвірки, якщо в класі 32 людини? (Див. № 39, [12])
Потім вчитель просить по одній людині від кожного варіанту записати на дошці рівняння, що вийшло в результаті рішення задачі. Виявилося, що рівняння збігаються.
Учитель каже: «Ми бачимо, що в абсолютно різних, на перший погляд, завдання можна виявити, що їх рішення практично однаково. У цих двох несхожих ситуаціях ми використовували одну і ту саму математичну модель. Отримане вами рівняння - це і є математична модель задачі. Хлопці, а чи знайомі ви взагалі з поняттям «модель»? Чи можете ви навести приклади відомих вам моделей (називають моделі) ».
Можна як приклад навести такі моделі: глобус - модель земної кулі, перед тим, як побудувати будинок, архітектор створює його зменшену копію - модель і т.п. Було сказано, що отримане рівняння - це математична модель задачі, тоді в чому полягає відмінність математичної моделі від інших моделей. Математична модель описується засобами математики, тобто за допомогою математичних знаків та символів і являє собою математичний вираз або рівність, наприклад:
; ; .
Для того щоб побудувати математичну модель, треба, перш за все, навчитися переводити умови задач зі звичного рідної мови на спеціальний, математичну мову.
Розглянемо кілька завдань із прикладами такого переведення.
Завдання 1. Сергію, Костя і Денис принесли на виставку 120 поштових марок. Сергій приніс 25 марок, а Костя - в 2 рази більше марок, ніж Сергій. Скільки марок приніс на виставку Денис.
120
С. К. Д.
25 ?
Марки Дениса складають частину всіх марок, які принесли хлопчики. Тому для відповіді на питання завдання треба з усіх марок відняти марки Сергія і Кості. З умови відомо, що всі троє хлопців принесли 120 марок. Сергій приніс 25 марок, а Костя - марок. Значить, Денис приніс марок.
Вираз є математичною моделлю даної задачі.
Завдання 2. У змаганнях з плавання взяло участь 60 осіб, причому хлопчиків було в 3 рази більше, ніж дівчаток. Скільки хлопчиків і скільки дівчаток брало участь у змаганнях.
Всіх учасників змагань можна розбити на 2 групи - хлопчики і дівчатка. Однак для цього завдання ми не можемо скласти числовий вираз, так як не відомо ні число хлопчиків, ні число дівчаток
60 60


дівчинки хлопчики дівчинки хлопчики
? ?   x 3 x
Позначимо число дівчаток через x. Тоді число хлопчиків дорівнює 3 x, а всього учасників змагань . Але за умовою завдання всього учасників 60, і значить, рівність є математичною моделлю даної задачі.
Ми перевели умови задачі на математичну мову, але не вирішили їх, тобто не відповіли на поставлене питання. Як же знайти невідомі числа?
Після перекладу вийшли нові тексти завдань.
Вирішення першого завдання звелося до знаходження значення виразу , Що не викликає ніяких труднощів.

Таким чином, відповідь до першої задачі наступний: «Денис приніс на виставку 45 марок».
У другій задачі необхідно знайти невідомі числа x і 3 x, якщо виконується рівність .
Рівність, що містить змінну, називається рівнянням. З рівняннями ви вже знайомі і вмієте їх вирішувати.
, Тоді .
,
.
Значить, у змаганнях брало участь 15 дівчаток. А кількість хлопчиків, які брали участь у змаганнях, так само або 45.
З розглянутих прикладів видно, що після перекладу тексту завдання на математичну мову пошук рішення зводиться до роботи з математичними моделями - до обчислень, перетворенням, міркуванням.
Далі учням пропонується виконати такі завдання.
Завдання 1. Переведіть умову задачі з російської мови на математичний двома різними способами:
Зошити в клітку дорожче зошитів в лінійку на 400 руб. За 8 зошитів у клітинку треба заплатити на 1600 руб. більше, ніж за 10 зошитів в лінійку. Яка ціна цих зошитів? (Див. № 116 (3), [11])
Завдання 2. Побудуй математичну модель задачі й якби її.
З двох міст, відстань між якими 294 км , Одночасно назустріч один одному виїхали два мотоциклісти. Через 1 год 40 хв відстань між ними стало рівне 24 км . Швидкість першого мотоцикліста становить 80% швидкості другого. З якою швидкістю вони їхали? (Див. № 201 (1), [13])
Завдання 3. Підприємству було виділено для співробітників 120 садових ділянок. З них 25% дільниць ще не освоєно, а на освоєних ділянках побудовані дерев'яні і цегляні будинки. Скільки побудовано цегляних будинків, якщо їх кількість становить 20% від числа дерев'яних будинків? (Див. № 414, [13])
У школі у якості моделей вивчаються не тільки числові чи літерні вирази та рівняння. У старших класах ви познайомитеся з іншими видами рівнянь, нерівностями, системами рівнянь або нерівностей, а також з функціями.


Додаток 2
Розробка заняття математичного гуртка за темою «Рішення задач із застосуванням методу математичного моделювання»
Хід заняття:
Поширеним видом математичних моделей є рівняння. На цьому занятті ми будемо вчитися вирішувати задачі за допомогою рівнянь. Але перш ніж відповісти на питання, як вирішувати завдання, спробуємо розібратися, для чого їх вирішувати.
Завдання в історії виникли як інструмент тренування розуму. Ситуації, описані у завданнях, іноді здаються надуманими. Але для упорядника це не важливо, тому що він не повторює реальну ситуацію, а конструює її, зберігаючи зв'язки між величинами в реальних процесах. Таким чином, вирішуючи завдання, ми вчимося будувати математичні моделі реальних ситуацій.
Математичне моделювання включає в себе три етапи:
1) побудова моделі (переклад умови задачі на математичну мову);
2) роботу з моделлю;
3) практичний висновок.
Відповідно до цього і рішення задач за допомогою рівнянь складається з трьох етапів:
1) складання рівняння;
2) рішення рівняння;
3) відповідь на питання завдання.
Складання рівняння починається з вибору невідомої величини, яку позначають буквою x (Або будь-який інший буквою). Для цього насамперед треба визначити, про яких величинах йде мова в задачі, яка між ними взаємозв'язок, які з величин відомі, а які ні.
Зазвичай за x приймають шукану величину, однак це зовсім не обов'язково. Краще позначати величини так, щоб вийшло більш просте і зручне для вирішення рівняння.
Є ще один важливий момент, на який треба звертати увагу при складанні рівняння - це відповідність одиниць вимірювання величин. Якщо, наприклад, швидкість руху виражена в кілометрах на годину, а час у хвилинах, то необхідно або час висловити в годинах, або швидкість - у кілометрах на хвилину.
Вирішуючи завдання за допомогою рівняння, треба пам'ятати про те, що не завжди коріння рівняння представляють собою шукані величини. Тому перед тим, як записати відповідь, треба зіставити введені позначення з питанням завдання.
Крім того, відповідь має відповідати реальності. Наприклад, якщо вийшло, що в класі 25,8 учнів, то або завдання складена не коректно, або в рішенні допущена помилка.
Отже, при вирішенні задач за допомогою рівнянь можна керуватися наступним алгоритмом:
1) Уважно прочитати завдання.
2) Визначити, які величини відомі, а які - ні.
3) Перевірити відповідність одиниць вимірювання величин.
4) Одну з невідомих величин позначити буквою x (Або будь-який інший буквою).
5) Висловити через x значення інших невідомих величин, використовуючи при необхідності таблиці та схеми.
6) Скласти рівняння.
7) Співвіднести корінь рівняння з питанням завдання.
8) Перевірити відповідність отриманої відповіді реальному процесу.
Наведемо приклад розв'язання задачі за допомогою рівнянь.
Завдання. У першій бочці було в 2 рази менше огірків, ніж у другому. Після того як з першої бочки взяли 500 г огірків, а з другої - 6 кг , У другій бочці залишилося на 60% огірків більше, ніж у першій. Скільки огірків було у другій бочці спочатку?
1 етап. Перш за все, зауважимо, що маса огірків виражена в різних одиницях.
Переведемо грами до кілограми: 500 г = 0,5 кг .
У задачі потрібно знайти вихідну масу огірків у другій бочці. Але за x зручніше прийняти вихідну масу огірків у першій бочці, так як вона менша і в нас не з'явиться дробів.
Для того щоб скласти рівняння, заповнимо таблицю.
Маса огірків в 1 бочці
Маса огірків у 2 бочці
Було
x кг
2 x кг
Стало
(X - 0,5) кг
(2 x - 6) кг
Зауважимо, що, складаючи таблицю, роблячи до задачі малюнок або креслення, ми також складаємо математичну модель даної задачі, яка називається графічної, що в багатьох випадках дозволяє нам полегшити вирішення завдання.
Рішення:
1) 100% + 60% = 160% - складає маса огірків, що залишилися в другій бочці від маси огірків, що залишилися в першій бочці.
2) Нехай в першій бочці було x кг огірків, тоді в другий бочці було 2 x кг огірків. У першій бочці залишилось (x - 0,5) кг, а в другій - (2 x - 6) кг огірків. Маса огірків, що залишилися в першій бочці, становить 160% від маси огірків, що залишилися в другій бочці, означає:

2 етап.

3) (Кг)
3 етап. Відповідь: у другій бочці було 26 кг огірків.
Далі учням пропонується вирішити такі завдання і зробити до них малюнок:
Завдання 1. З коробки взяли спочатку 4 цукерки, а потім ще чверть залишилися цукерок. Після цього в коробці залишилося всіх цукерок. Скільки цукерок залишилося в коробці? (Див. № 118, [15])
Завдання 2. Вантажівка проїхав у перший день третина всього шляху, а в другий день - 90% шляху, пройденого в перший день, а за третій день - інші 440 км . Скільки кілометрів проїхав вантажівка за другий день? (Див. № 117 (а), [15])
Завдання 3. На двох елеваторах зерна було порівну. Коли з першого елеватора вивезли 140 т зерна, а з другого в 2,5 рази більше, в другому елеваторі зерна залишилося в 2,4 рази менше, ніж у першому. Скільки тонн зерна було на елеваторах спочатку? (Див. № 150, [15])
Завдання 4. Майстер може виконати все замовлення за 8 год, а його учень - за 10 ч. У годину учень робить на 15 деталей менше майстра. Знайди продуктивність майстра і продуктивність учня (див. № 116 (а), [15])

Додаток 3
Контрольна робота по темі «Рішення завдань»
Варіант 1.
Завдання 1. На станції технічного обслуговування три механіка відремонтували за місяць 78 автомобілів. Перший механік відремонтував в 1,5 рази більше автомобілів, ніж другий, а третій - на 6 автомобілів більше, ніж перший. Скільки автомобілів відремонтував кожен механік? (Див. № 137 (1), [13])
Завдання 2. Таня задумала число, помножила його на 15 і результат відняла з 80. Отримала 10. Яке число задумала Таня? (Див. № 1212 (б), [22])
Завдання 3. Власна швидкість теплохода дорівнює 32,5 км / год , А його швидкість за течією річки - 35 км / год . Яка відстань пропливе теплохід, якщо буде рухатися 2,6 год за течією річки і 0,8 год проти течії? (Див. № 225 (1), [13])
Завдання 4. Трьом братам разом 45 років. Вік молодшого на 60% менше віку середнього брата, а вік старшого брата - на 60% більше віку середнього. Скільки років молодшому братові? (Див. № 126 (а), [15])
Завдання 5. Виріши, склавши пропорцію.
На конвеєрної лінії розфасовується 5,4 кг сухого картоплі за 2,5 хв. Скільки кілограмів сухого картоплі буде розфасовано на цій лінії за одну годину? (Див. № 293 (1), [14])
Варіант 2.
Завдання 1. У дитячому хорі «Весна» занімаются148 дітей. У молодшій групі хору в 2 рази більше дітей, ніж у середній, і на 32 людини більше, ніж у старшій. Скільки дітей займається в кожній групі хору? (Див. № 130 (1), [13])
Завдання 2. Сашко задумав число, додав до нього 25 і результат помножив на 10. Отримав 200. Яке число задумав Саша? (Див. № 1212 (в), [22])
Завдання 3. Власна швидкість катера дорівнює 14,7 км / год , А швидкість проти течії річки - 10,2 км / год . Яка відстань подолає катер, пливучи 2 год за течією річки і 4,5 год проти течії? (Див. № 225 (2), [13])
Завдання 4. У бібліотеці 270 книг. Книг англійською мовою на 40% більше, ніж на французькому, а книжок німецькою - на 40% менше, ніж на французькою. Скільки в бібліотеці книжок англійською мовою?
Завдання 5. Виріши, склавши пропорцію.
Оператор набрав на комп'ютері рукопис за 6,3 год, працюючи з продуктивністю 16 стор / ч. За скільки часу набрав би цей рукопис інший оператор, продуктивність якого 21 стор / ч? (Див. № 293 (2), [14]).
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Диплом
276.7кб. | скачати


Схожі роботи:
Методика вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5 6 класів
Методика вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5-6 класів 2
Методика викладання теми Елементи логіки в курсі математики 5-6 класів
Методика навчання рішенню сюжетних задач в курсі математики 5-6 класів
Методика викладання теми Елементи логіки в курсі математики 5 6 класів
Вивчення елементів теорії множин в початковому курсі навчання математики
Методика вивчення функцій у шкільному курсі математики
Вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу
Вивчення функцій в курсі математики
© Усі права захищені
написати до нас