Методика вивчення геометричних величин в курсі геометрії середньої школи

Чинена при цьому помилка тим менше, чим менше різниця між стороною і висотою трикутника, іншими словами, чим ближче вершина В (і С) до основи D висоти з А. Ось чому наближена формула застосовна лише для трикутників з порівняно малим кутом при вершині.

Поняття кута протягом століть не залишалося без змін, воно узагальнювалося і розширювалося під впливом запитів практики і науки. - II Градусна система вимірювання кутів, в якій за одиницю прийнятий кут, рівний частини кута, відповідного повного обороту однієї сторони кута біля його вершини, сходить до III - II тисячоліть до н. е.., до періоду виникнення шестидесятеричной системи числення в вавилонській математиці.

Шестидесятеричной градусний вимір, як і шестидесятеричной дробу, проникло далеко за межі ассиро-вавилонської царства і набуло широкого поширення в країнах Азії, Північної Африки та Західної Європи. Вони застосовувалися, зокрема, в астрономії і пов'язаної з нею тригонометрії.

Гіппарх, Птолемей та інші давньогрецькі астрономи вживали таблиці, в яких давалися величини хорд, що відповідають цім дуг. Хорди (як і дуги) вимірювалися градусами, хвилинами і секундами, при цьому один градус становив зазвичай шестидесятих частина радіуса. Індійці запозичували через греків вавилонське градусний вимір дуг, але замість хорд вони вимірювали лінії синусів і косинусів. Градусним виміром користувалися і вчені країн Близького і Середнього Сходу, зробили великий внесок у розвиток тригонометрії.

в. Видатний німецький математик і астроном XV ст. Региомонтан відступив від шестідесяткового поділу радіусу і за одиницю виміру лінії синуса прийняв одну десятимільйонну частину радіуса, що дозволило висловлювати синуси цілими числами, а не шестидесятеричной дробами. Аналогічно чинили й багато пішли за ним, європейські математики.

в. Під час буржуазної революції кінця XVIII ст. у Франції була введена поряд з метричною системою заходів і центезімальная (сотенна) система вимірювання кутів, в якій прямий кут ділився на 100 градусів, градус-на 100 хвилин, хвилина - на 100 секунд. Ця система застосовується і понині в деяких геодезичних вимірювання, але загального вживання поки не отримала.

У зв'язку з виникненням і розвитком теорії меж і математичного аналізу з метою надати багатьом формулами можливо більш простий вигляд у тригонометрії ввели радіанне вимір дуг і кутів. — радиус. Термін «радіан» походить від латинського radius - радіус.

Обсяги зернових комор та інших споруд у вигляді кубів, призм і циліндрів єгиптяни і вавилоняни, китайці та індійці обчислювали шляхом множення площі основи на висоту. Однак древньому Сходу були відомі в основному лише окремі правила, знайдені дослідним шляхом, якими користувалися для знаходження обсягів і площ фігур. У більш пізній час, коли геометрія сформувалась як наука, був знайдений загальний підхід до обчислення обсягів багатогранників.

— IV вв. Серед чудових грецьких вчених V - IV ст. до н. е.., які розробляли теорію обсягів, були Демокріт з Абдери і Евдокс Кнідський.

Евклід не застосовує терміна «обсяг». Для нього термін «куб», наприклад, означає і обсяг куба. книге «Начал» изложены среди других и теоремы, следующего содержания. У XI книзі «Початки» викладено серед інших і теореми, такого змісту.

1. Паралелепіпеди з однаковими висотами і рівновеликими основами рівновеликі.

2. Відношення обсягів двох паралелепіпедів з рівними висотами дорівнює відношенню площ їх підстав.

3. У рівновеликих паралелепіпедах площі підстав обернено пропорційні висот.

Теореми Евкліда відносяться тільки до порівняння обсягів, оскільки безпосереднє обчислення об'ємів тіл Евклід, ймовірно, вважав справою практичних посібників з геометрії. У творах прикладного характеру Герона Олександрійського є правила для обчислень об'єму куба, призми, паралелепіпеда і інших просторових фігур.

1.2 Про роль і місце величин, їх вимірювань в процесі навчання

Довжина, площа, маса, час, обсяг - це величини. Про зростання ролі величин у пізнанні природи говорить той факт, що вони проникають і є складовою частиною таких традиційно "нематематізірованних" наук, як біологія, психологія, педагогіка, соціологія та ін Але для математики і фізики поняття величини є найбільш характерним.

Без величин вивчення природи обмежувалося б лише спостереженнями і залишалося на описовому рівні. Саме кількісні моделі різних об'єктів, явищ найбільш описові. Характерним загальним поняттям для всіх моделей є поняття "величина".

Кожен об'єкт має багато різних властивостей, які відображені у відповідних величинах.

Величини не існують самі по собі, як певні субстанції, відірвані від матеріальних об'єктів і їх властивостей. З іншого боку, величини в деякій мірі ідеалізують властивості об'єктів і явищ. У процесі абстракції завжди відбувається огрубіння дійсності, відволікання від ряду обставин. Тому величини - це не сама реальність, а лише її відображення. Але практика показує, що величини точно відбивають властивості навколишньої дійсності. У самій природі немає сил, швидкостей, імпульсів і т.д.; величини використовуються в ході пізнання для опису явищ природи.

Розрізняють декілька видів величин: скалярні, векторні, тензорні. У шкільному навчанні знайшли широке застосування скалярні і векторні величини.

Величини дозволяють перейти від описового до кількісного вивчення властивостей об'єктів, тобто математизувати знання про природу.

За словами С. Богданова [4], поняття величини є основоположним не тільки в окремих науках, а й у реальному, повсякденному житті. Тому поняття повинне мати єдиний зміст як у шкільних підручниках, так і в реальній практиці. Але внаслідок того, що поняття величини є первинним, чіткого, суворо визначення воно не має, тому трактується по-різному. У школі воно вводиться, як правило, описово, на прикладах величин, відомих учням з практики, навколишньої дійсності.

Аналіз навчальної та наукової літератури про величини дозволяє виділити два аспекти величин:

1. величина дозволяє перейти від якісного описового до кількісного вивчення властивостей об'єкта, тобто математизувати знання про об'єкт;

2. в кількісному описі величина представляється не тільки числом, але і одиницею виміру.

До трактуванні поняття величини існує кілька підходів.

I. Геометричні величини можуть трактуватися як дійсні числа, які характеризують геометричну фігуру з точки зору її розмірів - довжин відрізків, величин кутів, площі та об'єму.

Величини, які цілком визначаються одним чисельним значенням, називаються скалярними величинами. Такими, наприклад, є довжина, площа, об'єм, маса та інші.

Важливо зауважити, що для характеристики значення одних величин досить числа (н-р, площа, об'єм), а значення інших величин характеризується ще й напрямком (н-р, швидкість).

Геометричні величини, що вивчаються в школі, є скалярними адитивними величинами. Кожна з них може бути визначена аксіоматично, що зроблено практично у всіх шкільних підручниках геометрії:

1. формулюється неотрицательности (іноді - позитивність) величин;

2. показується рівність відповідних величин для рівних геометричних фігур;

3. формулюється властивість адитивності.

с помощью 1)-3) определяется сама величина, а не ее значения. Таким чином, за допомогою 1) -3) визначається сама величина, а не її значення. Для знаходження числових значень геометричних величин потрібне введення ще однієї аксіоми:

4) існує одиниця виміру (відрізок довжиною 1, квадрат площею 1, куб об'єму 1, кут, величина якого 1).

II. З точки зору теорії множин, усі геометричні величини є прикладами одного з основних визначених аксіоматично общематематических понять - заходи множини. Нехай дано деяке сімейство множин А, В, С, ..., що є підмножинами деякого універсального безлічі У. Кажуть, що на цьому сімействі множин визначена міра, якщо кожному з них поставлено у відповідність деяке дійсне число m (A), що задовольнить аксіомам:

1) m (A) ≥ 0, m (A) = 0 тоді і тільки тоді, коли А - порожня множина;

2) серед даних множин існує така безліч Е, що m (E) = 1;

3) рівні безлічі мають рівні заходи: (А = В) випливає, що (m (A) = m (B));

4) міра двох непересічних множин А і В дорівнює сумі заходів даних множин m (A) + m (B);

5) якщо m (A) = m (B), а m (В) = m (С), то m (A) = m (С).

Легко перевірити конкретний зміст цього визначення для понять довжини відрізка, величини кута, площі фігури, об'єму тіла.

Величини тісно пов'язані з поняттям вимірювання. Виміри є одним із шляхів пізнання природи людиною, об'єднуючим теорію з практичною діяльністю людини. Роль і значення вимірювань у процесі розвитку природничих і технічних наук безперервно зростає, так як зростає кількість і якість різних вимірів величин.

Існує два основних способи вимірювання геометричних величин:

• безпосереднє;

• непряме.

Безпосереднє вимірювання - порівняння даної величини з обраної одиницею виміру - засноване на 1-й і 2-й аксіомах заходи, відповідає первісному наочному уявленню, наприклад, про довжину відрізка числі, що показує, скільки разів одиниця довжини або її частина укладається (утримується) в цьому відрізку, і полягає у виконанні наступних кроків:

1.Вибрать одиницю виміру (це можна зробити на основі 2-й аксіоми).

2.Сравніть дане безліч з одиницею виміру; число (на основі 1-й аксіоми), що показує, скільки разів одиниця вимірювання міститься в даному безлічі, є його міра (довжина відрізка, величина кута, площа фігури, об'єм тіла).

Таким чином, в результаті вимірювання величини знаходять деяке число х яке називають числовим значенням даної величини а при одиниці вимірювання е:

а = х · е, де х - число. Отже, величина задається за допомогою чисел і одиниць виміру. Наприклад, 7 кг = 7.1 кг, 12 см = 12.1 см, 15ч = 15.1 ч.

Крім того, визначивши множення величин можна обгрунтувати процес переходу від однієї одиниці величини до іншої.

3.Можно переконатися, що отримане таким чином кількість задовольняє аксіомам 3-5 і дає можливість виконувати порівняння, додавання, віднімання, множення і ділення на число вимірюваних множин та їх заходів.

Говорячи про геометричні величинах, слід чітко розрізняти саму геометричну фігуру, величину, і числове значення цієї величини. Наприклад:

Відмінність довжини відрізка від числового значення довжини в тому, що перше залишається незмінним, а друге залежить від обраної одиниці виміру. [11]

Для практичної реалізації безпосереднього вимірювання одиниця виміру наноситься на матеріальні носії і виходять вимірювальні прилади: масштабна лінійка, транспортир, палетка та ін

Зауважимо, що спосіб безпосереднього вимірювання не завжди зручний (наприклад, для вимірювання площі палеткой) і навіть не завжди здійснимо (наприклад, для вимірювання обсягу). Тому використовують непряме вимірювання геометричних величин, яка полягає в тому, що безпосередньо вимірюються тільки величини тих елементів геометричних фігур - відрізків, кутів, для яких це зробити легко і практично зручно, а площа і об'єм потім обчислюються на основі аксіом заходи за допомогою спеціально встановленої залежності між усіма геометричними величинами даної фігури.

Нижче розглядаються методи встановлення такої залежності, звані методами непрямого вимірювання геометричних величин.

1) Метод равновеликости равносоставленних фігур, використовуваний для визначення геометричних величин багатокутників і многогранників, заснований на 3-й і 4-й аксіомах (конкретізіруемих як властивості площ і обсягів) і наступної з них теоремі: равносоставленние фігури рівновеликі (дві фігури називаються рівновеликими, якщо їх площі або обсяги рівні; дві фігури називаються равносоставленнимі, якщо кожну з них можна розбити на відповідно рівні частини). Для багатокутників, зокрема, справедлива і зворотна теорема: рівновеликі багатокутники завжди равносоставлени.

Прикладами застосування цього методу є докази формул площі паралелограма (перетвореного в прямокутник), трапеції (добудованого до трикутника), формул обсягу призми; геометрична ілюстрація законів дій над числами і формул тотожних перетворень (останні, зокрема можуть бути використані для виведення формули площі прямокутника на основі відомої формули площі квадрата).

2) Метод граничного переходу заснований на визначенні геометричних величин деяких фігур, які не можуть бути визначені й виміряні безпосередньо (довжина кола або дуги) або складені з багатокутників (площа кола) або багатогранників (площі бічної поверхні і обсяги круглих тіл) як границі послідовності відповідних значень геометричних величин, вписаних в дану фігуру або описаних біля неї фігур при необмеженому збільшенні числа визначають їх елементів (наприклад, сторін багатокутників).

Вперше цей метод застосовується для визначення довжини кола і формули її обчислення. Міркування шикуються наступним чином: оскільки одиницею вимірювання довжини (одиничний відрізок) не поєднується з дугою кола, можна спочатку виміряти довжину окружності наближено, наприклад, як периметр вписаного (або описаного) в неї багатокутника. Щоб збільшити точність наближеного обчислення, збільшують (наприклад, подвоєнням) число сторін багатокутника і обчислюють його периметр; теоретично цей процес можна продовжити нескінченно. Таким чином, виходить нескінченна послідовність довжин периметрів, вписаних в коло багатокутників Р1, Р2, Р3, ..., Рп, яка при п → ∞ зростає і обмежена зверху (наприклад, периметром будь-якого описаного багатокутника) і, отже, за теоремою К. Вейєрштрасса має межа. Ця межа називається довжиною кола і його обчислення приводить до формули C = 2 πr. Аналогічні міркування можна провести для визначення і виведення формули площі кола, бічній поверхні і об'єму циліндра, конуса, зрізаного конуса.

3) Метод інтегрального числення для обчислення площ фігур, обмежених зверху і знизу графіками безперервних невід'ємних функцій та обсягів круглих тел заснований на теоремах математичного аналізу про обчислення площі криволінійної трапеції та обсягу тіла обертання за формулами і.

Прикладом безпосереднього застосування методу інтегрального числення є виведення формули для обчислення об'єму піраміди в 11 класі.

Одна і та ж фігура може мати кілька різних формул для обчислення її площі (обсягу) для різних приватних випадків (так, наприклад, відомо близько десятка формул площі трикутника). На формулах обчислення площ і об'ємів геометричних фігур заснований метод площ (і обсягів) для обчислення довжин відрізків або величин кутів.

Суть методу площ (обсягів):

1) запишіть дві або більше формул площі (обсягу) даної фігури, в одній з них відомі всі елементи, а в іншу входить невідомий елемент (елементи);

2) складіть рівняння (систему рівнянь) на основі того, що ці формули виражають одну й ту ж величину;

3) вирішите отримане рівняння (систему рівнянь) і знайдіть шукані елементи.

Різновиди методу площ (обсягів):

• одна фігура замінюється іншою, яка їй рівновелика і більш зручна для розв'язання задачі;

• ставлення відрізків замінюється ставленням площ трикутників із загальною вершиною (якщо вони відомі), підставами яких є розглянуті відрізки.

Даний метод і його різновиди використовуються і для доказу властивостей геометричних фігур (наприклад, таким методом доводиться властивість бісектриси кута). Як і при використанні цього методу, так і інших, використовують додаткові побудови і загальні методи доведення теорем.

У процесі навчання геометрії, можна виділити деякі конкретні напрями використання вимірювань.

Поняття величини в математиці виникло в результаті абстрагування від якісних особливостей властивостей реальних об'єктів, щоб виділити тільки кількісні відношення. Ще в глибоку давнину в процесі вимірювань було знайдено безліч емпіричних фактів про загальні властивості величин, які є відображенням властивостей в реальному світі.

Іноді вважають, що поняття величини не є спеціальним математичним поняттям, тому що в кінцевому підсумку, як правило, звертаються з числовими значеннями величин або просто числами. Однак, як вказував академік О.М. Колмогоров, "... більш радикальним і правильним рішенням видається цілком традиційний шлях, висхідний до Евкліду: загальні властивості скалярних величин предпосилаєтся систематичного курсу геометрії." [4]

Поняття величини не втратило свого значення в математиці і в даний час; воно має ясно виражену прикладну спрямованість. Так, Н.Я. Віленкін зауважує: "Поняття величини є основним, коли мова йде про додатки математики" [4]. Сучасна математика, даючи загальне уявлення про величину, відрізняє це поняття від поняття числа.

Між різними властивостями об'єктів і явищ навколишньої дійсності існують певні зв'язки, частина з яких відображається в залежностях між відповідними величинами.

Вивчення залежностей між величинами дозволяє учням бачити не тільки якісні зв'язки різних сторін об'єктивної реальності, тобто на описовому рівні, а й оцінювати їх кількісно.

Зв'язки величин, їх взаємозалежність виражаються за допомогою формул. Ілюмінація формул у фізиці відрізняється від їх тлумачення в математиці.

Математична формула виражає в основному вид залежності між символами, що входять до неї. Самі символи можуть не містити конкретного сенсу. У фізичній формулою відображені зв'язку між величинами реального світу.

У процесі вивчення різних величин учні повинні знати не тільки їх числові характеристики, але і ті властивості об'єктів, які характеризуються даними величинами.

Відомо, що не кожне властивість об'єктів, явищ можна вимірювати. Прикладами можуть служити багато понять в психології, педагогіки, біології, економіці (воля, сміливість, смак і т. д.). Іноді такі поняття також називають величинами, але на відміну від звичних - величинами латентними. Порівняння таких величин можливе лише на деякій інтуїтивній основі. Якщо говорять, що ця людина більш вольова, ніж інший, то про ступінь якості "воля" судять тільки через систему вчинків, поведінку людини. У цих випадках говорять про умовні значеннях велич або про умовні заходи. Оцінювати такі величини числами представляється штучним.

Додавання, віднімання і інші арифметичні дії з латентними величинами проводити не можна, так як не може бути встановлено взаємно-однозначна відповідність між їх множиною і безліччю дійсних чисел.

На прикладі використання величин у науках учні знайомляться з одним із шляхів математизації знань, з тією роллю, яку відіграють математичні методи в дослідженні природи. Все це має важливе значення для формування в учнів правильних уявлень про взаємодію математики з іншими природничими науками.

Поряд з вивченням конкретних величин в школі важливо, щоб учні отримали досить повне і в той же час доступне уявлення про:

• понятті величини, способи її вимірювання;

• роль і місце величин в пізнанні природи;

• властивостях величини, її видах;

• суті математичної обробки результатів вимірювань і т.д.

Розуміння цих питань сприяє формуванню в учнів наукового світогляду. Вивчаючи величини, учні знайомляться також з основними метрологічними поняттями: розмір, значення, розмірність величини, еталони одиниць вимірювання і т.д.

Глава 2 Методика вивчення геометричних величин в курсі геометрії середньої школи

2.1 Методика вивчення довжин у курсі геометрії середньої школи

У традиційній школі вивчення величин починається з довжини предметів.

Теорія вимірювання довжини відрізків може бути побудована за такою схемою:

• Визначення довжини відрізка як дійсного числа;

• Опис процедури вимірювання відрізка;

• Встановлення існування та єдиності довжини відрізка при цьому виборі одиниці вимірювання з використанням аксіоми Архімеда;

• Встановлення існування відрізка, довжина якого при цьому виборі одиниці вимірювання дорівнює будь-кому, наперед заданого додатного числа (з використанням аксіоми Кантора, геометричного еквіваленту аксіоми безперервності).

Перші уявлення про довжину, як про властивість предметів, у дітей виникає задовго до школи. З перших днів навчання у школі ставиться завдання уточнити просторові поняття дітей. Важливим кроком у формуванні даного поняття є знайомство з прямою лінією і відрізком, як «носієм» лінійної протяжності, позбавленим, по суті, інших властивостей.

Спочатку учні порівнюють предмети за довжиною, не вимірюючи їх. Роблять вони це накладенням (додатком) та візуально («на око»). Наприклад, учням пропонується розглянути малюнки і відповісти на питання: «Який відтинок довший, червоного або зеленого кольору?»

Потім пропонується порівняти два предмети різного кольору і різні по довжині практично - накладенням. Наприклад, учням пропонується розглянути малюнки і відповісти на питання: «Який ремінь коротше (довша) світлий чи темний?» Через ці дві вправи діти підводяться до розуміння довжини як властивості, що проявляється в порівнянні, тобто: якщо два предмети при накладенні збігаються, то вони мають одну й ту ж довжину, коли ж будь - якої з порівнюваних предметів накладається на частину іншого, не покриваючи його повністю, то довжина першого предмета менше довжини другого предмета. Після розгляду довжин предметів переходять до вивчення довжини відрізка. Тут довжина виступає як властивість відрізка.

Роз'яснення учням старших класів сутності аксіоми Кантора не представляє особливих труднощів.

Випадок, коли на перед задане число раціонально, аксіома Кантора застосовується, а використовується елементарне побудова. Якщо це число ірраціонально, наприклад х = 2,313113111311113 ..., то чинимо так: введемо на прямий систему координат (початок 0, напрями одиницю виміру). Ми можемо побудувати точки А1 і B1, де А1 = 2,3; B1 = 2, 4 - наближення з точністю 0,1. Якщо існує точка М, то ОА1 <OM <OB1, тобто точка М лежить між А1 і B1, тобто усередині відрізка А1 B1. Ми можемо знайти A2 = 2,31 і B2 = 2,32 і т.д.

Необмежено продовжуючи цей процес, ми отримуємо, що якщо точка М існує, то вона лежить всередині кожного з відрізків нескінченної послідовності: A1B1, A2B2, ..., A п B п, ..., володіє наступними властивостями:

1. Кожен відрізок, крім першого, лежить всередині попереднього.

2. Довжини відрізків прагнуть до 0 (чи ні відрізка, що лежить всередині всіх відрізків цієї послідовності).

Існування точки що лежить всередині всіх відрізків цієї послідовності, і постулюється аксіомою Кантора.

Прийнявши аксіому Кантора, ми знаходимо потрібну точку М, а отже і відрізок ОМ, довжина якого дорівнює наперед заданому числу х.

2.2 Методика вивчення величин кутів в курсі геометрії середньої школи

При вивченні величин кутів можна використовувати наступну схему:

Загальний огляд кутів - кути із загальною вершиною - градусний вимір кутів.

У навчальній літературі методческой кут визначається по різному:

1. Кут є фігура, утворена двома променями, що виходять із загальної точки. [10, стор 9], [6, стор 12]

1. Кут є невизначена частина площини, укладена між двома променями, що виходять із загальної точки. [9, стор.8], [2, стр85-86]

2. Кут є сукупність променів, що виходять із загальної точки і перетинають даний відрізок. [3, стор 86]

3. Кутом називається «частина пучка променів, обмежена двома променями (того ж пучка), подібно до того як відрізок є частина прямої лінії, обмежена двома точками. [2, стр86]

4. Кутом називається сукупність точки і двох променів, що виходять з цієї точки ... Під точками кута ми розуміємо його вершину і всі крапки його сторін. [16, стр18]

У шкільній практиці зазвичай вживаються перше чи друге визначення (по суті вони є не визначеннями, а описами).

При цьому треба зауважити, що якщо використовується перше визначення кута, то вводиться ще й поняття внутрішньої області кута.

У подальшому шкільному курсі елементарної математики поняття кута розширюється (у тригонометрії - кут як міра обертання, в стереометрії - кут між двома перехресними прямими, кут між прямою і площиною, двогранний кут і т. п.), причому поняття «невизначеною частини площині» у явному вигляді вже не фігурує. Тому першим визначенням слід віддати перевагу.

Можливі такі дії з величинами кутів: порівняння, додавання віднімання величин кутів, множення кута на челое Цісла і поділ кута на цілі частини.

З поняттями прямого і развернутуго кута учні знайомі з пропедевтичного курсу геометрії. Знаючи, що всі розгорнуті кути рівні між собою, і всі прямі кути рівні між собою, можна повідомити учням про те, що розгорнутий і прямої кути мають постійні величини (як і метр і кілограм, які теж мають постійну величину). Звідси, природно прийняти за одиницю вимірювання кутів кут, в часності прямий кут, як має постійну величину.

Величина кута - це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості:

1. рівні кути мають рівні градусні заходи.;

2. якщо кут розбивається на частини, градусні заходи яких відомі, то градусна міра всього кута дорівнює сумі грусних заходів цих кутів.

3. менший кут має меншу градусну міру, і більший кут має большуюградусную міру.

При проведенні уроків з теми «Величини кутів» матеріал має закріплюватися на приватних прикладах. Бажано проводити самостійні роботи, як навчає, так і контролюючого характеру по кожному з досліджуваних випадків.

2.3 Методика вивчення площ фігур в курсі геометрії середньої школи

У темі «Площі фігур» спостерігається синтез традиційно-синтетичного та аналітичного методів. Вивчаються тут факти носять аналітичний характер (наприклад площа трикутника), а докази засновані на застосуванні традиційно-синтетичного методу.

При вивченні теми «Площі фігур» використовується така схема:

проста фігура - площа фігури як величина - площа прямокутника - площа паралелограма - площа трапеції - площа подібних фігур.

Перед введенням поняття «прості фігури» учням пропонується за готовим кресленням назвати: просту ламану, замкнуту ламану, просту замкнену ламану, опуклий багатокутник, плоский трикутник, плоский п'ятикутник. Нагадаємо, що з визначення трикутника як фігури складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно сполучають ці точки випливає, що він повинен представлятися як «скелет», «каркас»! Плоский трикутник - кінцева частина площини, обмежена трикутником. Опуклий багатокутник - багатокутник, який лежить в одній площині щодо будь-якої прямої, яка містить його сторону. Плоским багатокутником називається кінцева частина площини, обмежена багатокутником. Проста замкнена ламана називається багатокутником. Після цього дається визначення:

Геометричну фігуру будемо називати простий, якщо її можна розбити на кінцеве число плоских трикутників. Прикладом простої фігури може служити плоский опуклий багатокутник, який розбивається на плоскі трикутники діагоналями, що виходять з однієї вершини.

«Площа простий фігури - це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості:

1. рівні фігури мають рівні площі;

2. якщо фігура розбивається на частини, які є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин;

3. площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці;

У такому визначенні нової величини використаний аксіоматичний підхід. За допомогою властивостей описана адитивність площі простий фігури, визначена міра (одиниця виміру) площі. Перше властивість площі визначає термін «рівновеликі». Якщо фігури рівні, то рівні і їх площі, проте зворотне твердження не завжди вірно.

З формулами площ деяких фігур учні познайомилися в курсі арифметики. Вимірюючи площі за допомогою пам'ятки, школярі познайомилися з оцінкою її через брак і по надлишку. І таким чином вони вже підготовлені до сприйняття виведення формули площі прямокутника.

Спочатку доводимо наступне властивість: площі двох прямокутників з рівними підставами ставляться як їх висоти.

а) Прямокутники ABCD і AB1C1D мають рівне підставу AD. Нехай S і S1 - їх площі. Розіб'ємо бік АВ на n рівних частин, довжина однієї частини дорівнює. Нехай m - число точок розподілу, що лежать на стороні АВ1. Тоді: ≤

Розділивши цю нерівність почленно на АВ, отримаємо:

б) Проводимо через точки поділу прямі, паралельні АD. Отримаємо n рівних трикутників зі сторонами АD і, площі яких (за св-ву 1) рівні і приймають значення. Тому, площа АВСD виражається нерівністю:

.

Розділивши почленно на S, отримуємо:

в) Відношення і задовольняють одним і тим же нерівностей, причому числа і відрізняються на величину . За навіть дуже великих n значення стає дуже малим, а це можливо тільки тоді, коли числа рівні. Отже:

, Ч. т. д.

Для виведення формули площі прямокутника скористаємося тільки що доведеним властивістю по відношенню до квадрату, зі стороною 1 і прямокутником зі сторонами 1 і а і а і в. Одержуємо:

= ; => S1 = а, S = S1 у.

Отже:

S = ав.

Площі подібних фігур.

Площі подібних фігур відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів.

При доведенні цього твердження використовують поняття простий фігури, визначення подібних фігур. Якщо фігура розбивається на прості трикутники, площі яких позначимо через , А фігура - На трикутники, площі яких і фігури і подібні з коефіцієнтом , То лінійні розміри трикутників в раз змінені, по відношенню до розмірів трикутників , То: і т. д., тому:

Площа круга.

Коло - плоска фігура, але її не можна розбити на прості трикутники. Тому, така фігура має площу S, якщо існують містять її прості фігури і що містяться в ній прості фігури з площами, як завгодно мало відрізняються від S.

При проведенні уроків з теми «Площа фігур» висновок загальних формул має закріплюватися на приватних прикладах. Виклад теоретичного матеріалу має бути максимально скорочено (в розумних межах), що дозволило б заощадити час для вирішення більш складних завдань. (Можливо проведення уроків-лекцій для викладу теорії). Бажано проводити самостійні роботи, як навчає, так і контролюючого характеру по кожному з досліджуваних випадків.

2.4 Методика вивчення обсягів фігур в курсі геометрії середньої школи

У вивченні теми «Об'єми тіл» в курсі стереометрії простежується аналогія з темою «Площі фігур» і розподіл навчального матеріалу таке: просте тіло - об'єм тіла як величина - обсяг прямокутного паралелепіпеда - обсяг трикутної призми - обсяг призми - тіла, що мають рівні об'єми - обсяг повної трикутної піраміди - обсяг довільної повної піраміди - обсяг усіченої трикутної піраміди - обсяг довільної усіченої піраміди - обсяги подібних тіл - обсяг тіл обертання.

Існують різні методичні підходи до вивчення питань вимірювання геометричних величин в курсі стереометрії.

Принципові труднощі, що виникають при вивченні обсягів, носять той же характер, що і при вивченні площ, але мають певну специфіку. Так, якщо при вимірюванні площ безпосереднє порівняння площі конкретної фігури з одиницею площі викликало труднощі, але все ж таки було можливим, то для вимірювання обсягів порівняння з одиничним кубом практично взагалі неможливо, йому на зміну завжди приходить вимір непряме. У той же час такий момент, як необхідність ввести нове визначення поняття об'єму для фігур обертання, вже не викликає в учнів здивування, тому що цей новий підхід вже застосовувався при обчисленні площ.

Для виведення формули об'єму, можуть бути використані:

1. Принцип Кавальєрі: обсяги (або площі) двох тіл (фігур) рівні, якщо рівні між собою площі (довжини) відповідних перерізів, проведених паралельно деякої даної площини (прямий).

2. Формула Сімпсона:

.

Нехай проміжок [a, b] розбито на n частейних проміжків [xi, xi +1] довжини, при цьому n вважається парним числом, і для обчислення інтеграла по проміжку [x2k, x2k +2] використовується наведена формула:

.

Принциповим моментом в теорії обсягів тіл є обгрунтування формули для учнів є досить важким і складним. Структурна складність докази підказує, що при його вивченні доцільно скористатися прийомами виділення логічної структури доказу (розбиття докази на окремі кроки, складання логіко-структурної схеми докази і т.д.). Наявність у доказі важких для розуміння міркувань говорить про доцільність використання прийомів конкретизації, моделювання і т.д.

Структура докази формули об'єму прямокутного паралелепіпеда:

1. встановлюється величина відношення висот двох паралелепіпедів із загальним підставою;

2. встановлюється величина відношення обсягів вибраних паралелепіпедів;

1. порівняння отриманих значень відносин;

2. виведення формули обсягу прямокутного паралелепіпеда, застосовуючи доведене властивість до одиничного куба і паралелепіпеда з вимірами: a, 1,1; a, b, 1; a, b, c.

При вирішенні завдань учні іноді "плутають" властивості прямого і прямокутного паралелепіпедів, неправильно вказують їх діагональне перетин і т.п. Більш поглиблене вивчення цих понять на етапі їх введення забезпечує застосовувалося раніше методична схема:

1. проаналізувати емпіричний матеріал;

2. математизувати емпіричний матеріал - побудувати визначення;

3. скласти алгоритм розпізнавання поняття;

4. включити поняття в систему понять.

При виведенні формули обсягу циліндра застосовується граничний перехід. Потім, при виведенні формул для обчислення об'єму піраміди, учні використовують метод інтегрального числення. Потрібно відзначити, що з цим методом учні знайомляться спочатку в курсі математичного аналізу при обчисленні площі криволінійної трапеції.

Старшокласникам слід повідомити, що необхідність спеціального визначення поняття обсягу для піраміди і відповідно необхідність застосування інтегральних методів викликані тим, що, виявляється, рівновеликі багатогранники далеко не завжди є одночасно і равносоставленнимі.

Висновок

рассмотрена история развития геометрических величин, охарактеризовано понятие геометрической величины, установлена роль и место величин, их измерений в процессе обучения, описана методическая литература по данной теме. У роботі були вирішені всі поставлені у введенні завдання, а саме розглянуто історію розвитку геометричних величин, охарактеризовано поняття геометричної величини, встановлено роль та місце величин, їх вимірювань в процесі навчання, описана методична література з даної теми.

Поняття геометричній величини - одна з основних ліній шкільного курсу геометрії, яка знайомить учнів з важливими ідеями, поняттями і методами метричної геометрії.

Без величин вивчення природи обмежувалося б лише спостереженнями і залишалося на описовому рівні. Саме кількісні моделі різних об'єктів, явищ найбільш описові. Характерним загальним поняттям для всіх моделей є поняття "величина".

Поняття величини в математиці виникло в результаті абстрагування від якісних особливостей властивостей реальних об'єктів, щоб виділити тільки кількісні відношення. Ще в глибоку давнину в процесі вимірювань було знайдено безліч емпіричних фактів про загальні властивості величин, які є відображенням властивостей в реальному світі

Вимірювання геометричних величин пов'язано з ідеєю аксіоматичного методу, теорією дійсного числа, методами математичного аналізу. Знайомство учнів з різними формулами розширює можливості застосування в шкільному курсі геометрії аналітичного методу. Головна особливість викладу матеріалу - поєднання різних математичних ідей та методів, наприклад, в темі «Площі фігур» використовується традиційно-синтетичний та аналітичний методи.

Список використаної літератури

1. Багішова О.А. Вимірювання довжин у ході практичних робіт. / / Математика в школі. № 4 2005. Стор.62-64.

2. Бескін Н.М. Методика геометрії .- М.: Учпедгиз. 1947.

3. Богомолов С.А. Геометрія.-М.: Учпедгіз.1949.

4. Віленкін Н.Я. Про поняття величини. / / Математика в школі. № 3 1973. Стор. 4-7.

5. Виноградова І.К. Методика викладання математики в середній школі. Р-на-Д.: Фенікс. 2005.

6. Глаголєв Н.А. Елементарна геометрія. Планіметрія. -М.: Учпедгиз. 1564.

7. Глейзер Г.І. Історія математики в школі. -М.: Освіта. 1982.

8. Гусєв В.А. . Методика навчання геометрії .- М.: ACADEMA. 2004.

9. Давидів А.Ю. Елементарна геометрія .- М.: 35 Дуленова. 1915.

10. Кисельов А.П. Геометрія ч. 1. Планіметрія.-М.: Учпедгиз. 1938.

11. Колягін Ю.М. Методика викладання математики в середній школі .- М.: Просвещение. 1999р.

12. Корєшкова Т.А., Цукерман В.В. Багатокутники і їх площі

шкільному курсі математики. / / Математика в школі. № 3 2003.Стр. 70-73.

13. Кучугурова Н.Д. Методика викладання математики. Приватна методика .- Ставрополь: СТІ. 2004.

14. Ляпін С.Є. Методика викладання математики. -М.: Освіта. 1965.

15. Мішин В.І. Методика викладання математики в середній школі. -М.: Просвітництво. 1987.

16. Перепелкин Д.І. Курс елементарної геометрії. -М.: Гостехіздат.1948

17. Саранцев Г.І. Методика навчання математики в середній школе.-М.: Просвітництво. 2002.

18. Чічігін В.Г. Методика викладання геометрії. -М.: Учпедгиз. 1959.

Додаток 1

Аксіоми теорії величин.

Ще в «Початки» Евкліда (3 ст. До н. Е..) Були чітко сформульовані властивості величини, які називаються тепер, позитивними скалярними величинами. Це початкове поняття величини є безпосереднім узагальненням більш конкретних понять: довжини, площі, об'єму, маси і т. п. Кожен конкретний рід величини пов'язаний з певним способом порівняння фізичних тіл чи інших об'єктів. Наприклад, в геометрії відрізки порівнюються за допомогою накладення, і це порівняння призводить до поняття довжини: два відрізки мають одну і ту ж довжину, якщо при накладенні вони співпадають; якщо ж один відрізок накладається на частину іншого, не покриваючи його цілком, то довжина першого менше довжини другого. Загальновідомі більш складні прийоми, необхідні для порівняння плоских фігур за площею чи просторових тіл за обсягом.

У відповідності зі сказаним, в межах системи всіх однорідних величин (тобто в межах системи всіх довжин або всіх площ, всіх обсягів) встановлюється відношення нерівності: дві величини a і b одного і того ж гатунку чи збігаються a = b, або перша менше друга

(A <b), або друга менше першої (a> b). Загальновідомо також у разі довжин, площ, обсягів і те, яким чином встановлюється для кожного роду величини сенс операції додавання. У межах кожної з розглянутих систем однорідних величин відношення нерівності a <b і операція додавання a + b = c задовольняють наступним аксіомам:

1) Які б не були a і b, має місце одне й тільки одне з трьох співвідношень: або a = b, або a <b, або a> b;

2) Якщо a <b і b <c, то a <c (транзитивність нерівності);

3) Для будь-яких двох величин a і b існує однозначно певна величина c = a + b;

4) a + b = b + a (комутативність додавання);

5) a + (b + c) = (a + b) + c (асоціативність додавання);

6) a + b> a (монотонність додавання);

7) Якщо a> b, то існує одна і тільки одна величина c, для якої b + c = a (можливість вирахування);

8) Які б не були величини a і натуральне число n, існує така величина b, що a = nb (можливість поділу);

9) Які б не були величини a і b, існує таке натуральне число n, що a <nb. Це аксіома називається аксіомою Евдокса, або аксіомою Архімеда. На ній разом з більш елементарними аксіомами 1-8 заснована теорія вимірювання величин, розвинена давньогрецькими математиками.

Якщо взяти будь-яку довжину l за одиничну, то система Sl всіх довжин, що знаходяться в раціональному ставленні до l, задовольняє аксіомам 1-9. Існування несумірних відрізків (відкриття яких приписується Піфагору, 6 ст. До н. Е..) Показує, що система Sl ще не охоплює системи S всіх довільних довжин.

Щоб отримати цілком закінчену теорію величин, до аксіом 1-9 треба приєднати ще ту чи іншу додаткову аксіому безперервності, наприклад:

10) Якщо послідовності величин володіють тим властивістю, що bn - an <c для будь-якої величини c при досить великому номері n, то існує єдина величина x, яка більше всіх an і менше всіх bn.

Аксіоми 1-10 і визначають повністю сучасну теорію позитивних скалярних величин. Якщо в системі позитивних скалярних величин вибрати будь-яку величину l за одиницю виміру, то всі інші величини системи однозначно представляються у вигляді a = α l, де α - позитивне дійсне число.

Додаток 2

Тест для учнів 8 класу на тему «Площі фігур».

1. Виберіть вірні твердження:

а) Площа прямокутника дорівнює добутку двох його сторін;

б) Площа квадрата дорівнює квадрату його сторін;

в) Площа прямокутника дорівнює подвоєному добутку двох його сусідніх сторін.

2. Закінчити фразу: Площа ромба рівна половині твору ...

а) його сторін;

б) його боку і висоти, проведеної до цієї стороні;

в) його діагоналей.

3. За формулою можна обчислити площу:

а) паралелограма;

б) трикутника;

в) прямокутника.

с основаниями AB и CD и высотой BH вычисляется по формуле: 4. Площа трапеції ABCD з підставами AB і CD і висотою BH обчислюється за формулою:

а) S = AB: 2 ∙ CD ∙ BH;

б) S = (AB + BC): 2 ∙ BH;

в) S = (AB + CD): 2 ∙ CD ∙ BH;

5. Вибрати вірне твердження.

Площа прямокутного трикутника дорівнює:

а) половині твори його боку на будь-яку висоту;

б) половині твори його катетів;

в) твором його сторін на проведену до неї висоту.

и MNK 6. У трикутниках ABC і MNK = B = . N. и MNK равно: Відношення площ трикутників ABC і MNK одно:

а)

7. и DOS высоты NE и OT равны. У трикутниках MNK і DOS висоти NE і OT рівні. : SPOS =… Тоді SMNK: SPOS = ...

: PO ; б) MK : PS ; в) NK : OS . а) MN: PO, б) MK: PS; в) NK: OS.

Додаток 3

Самостійна робота для учнів 7 класу на тему «Вимірювання відрізків».

Варіант1

1. . На відрізку АВ взяті точки М і N. =10см. Відомо, що АВ = 12см, АМ = 8см, В N = 10см. . Знайдіть довжину відрізка М N.

2. На відрізку АВ довжиною 36см взята точка К. Знайдіть довжини відрізків АК і ВК, якщо АК більше ВК на 4см.

3. Дан відрізок АВ = 16см. Точка М - середина відрізка АВ, точка К - середина відрізка МВ. Знайдіть довжину відрізка АК.

ДОДАТКОВО: На відрізку АВ довжиною 36 см взята точка К. Знайдіть довжини відрізків АК і ВК, якщо АК: ВК = 4: 5.

Варіант2

1. так, что С D =5см. На відрізку АВ довжиною 12см взята точка С так, що АС = 10см, і крапка D так, що С D = 5см. . Знайдіть довжину відрізка У D.

2. На відрізку АВ довжиною 36см взята точка К. Знайдіть довжини відрізків АК і ВК, якщо АК більше ВК в 3 рази.

3. Точка М - середина відрізка АВ, точка К - середина відрізка МВ. Знайдіть довжину відрізка АК, якщо ВК = 3см.

ДОДАТКОВО: На відрізку МТ завдовжки 36 см взята точка К. Знайдіть довжини відрізків МК і ТК, якщо МК: ТК = 7: 5