Математика і сучасний світ

Зміст

1. Загальні відомості про математику

2. Основні поняття математики

3. Що таке математичну мову?

4. Аксіоматичний метод

5. Математичні структури

5. Функції і графіки

Список використаної літератури

1. Загальні відомості про математику

До початку 17 ст. математика - переважно наука про числа, скалярних величинах і порівняно простих геометричних фігурах; досліджувані нею величини (довжини, площі, обсяги тощо) розглядаються як постійні. До цього періоду належить виникнення арифметики, геометрії, пізніше - алгебри і тригонометрії і деяких приватних прийомів математичного аналізу. Областю застосування математики були: рахунок, торгівля, землемірні роботи, астрономія, почасти архітектура.

У 17 і 18 ст. потреби бурхливо розвивалося природознавства і техніки (мореплавання, астрономії, балістики, гідравліки тощо) привели до введення в математику ідей руху і зміни, насамперед у формі змінних величин та функціональної залежності між ними. Це спричинило за собою створення аналітичної геометрії, диференціального й інтегрального числень. У 18 ст. виникають і розвиваються теорія диференціальних рівнянь, диференціальна геометрія і т.д. У 19-20 ст. математика піднімається на нові щаблі абстракції. Звичайні величини і числа виявляються лише окремими випадками об'єктів, що вивчаються в сучасній алгебрі; геометрія переходить до дослідження "просторів", дуже окремим випадком яких є евклидово простір. Розвиваються нові дисципліни: теорія функцій комплексного змінного, теорія груп, проективна геометрія, неевклідова геометрія, теорія множин, математична логіка, функціональний аналіз і ін Практичне освоєння результатів теоретичного математичного дослідження вимагає отримання відповіді на поставлене завдання в числовій формі.

У зв'язку з цим в 19-20 ст. чисельні методи математики виростають в самостійну її гілку - обчислювальну математику. Прагнення спростити і прискорити вирішення ряду трудомістких обчислювальних завдань привело до створення обчислювальних машин. Потреби розвитку самої математики, "математизація" різних областей науки, проникнення математичних методів в багато сфер практичної діяльності, швидкий прогрес обчислювальної техніки призвели до появи цілого ряду нових математичних дисциплін, як наприклад, теорія ігор, теорія інформації, теорія графів, дискретна математика, теорія оптимального управління.

Математика - область людського знання, що вивчає математичні моделі, що відображають об'єктивні властивості і зв'язку. "Чудово, - пише В. А. Успенський, - що хоча математична модель створюється людським розумом, вона, будучи створена, може стати предметом об'єктивного вивчення. Пізнаючи її властивості, ми тим самим пізнаємо і властивості відбитої моделлю реальності" Крім того, математика дає зручні способи опису найрізноманітніших явищ реального світу і тим самим виконує роль мови науки. Нарешті, математика дає людям методи вивчення і пізнання навколишнього світу, методи дослідження як теоретичних, так і практичних проблем.

Математика (грец. mathematike, від mathema - знання, наука) наука, в якій вивчаються просторові форми і кількісні відношення.

Сучасне поняття математики - наука про математичні структурах (множинах, між елементами яких визначені деякі відносини).

У представників науки початку 19 століття, які не є математиками, можна знайти такі загальнодоступні визначення математики.

"Чиста математика має своїм об'єктом просторові форми і кількісні відношення дійсного світу" (Ф. Енгельс).

"Математика - наука про величини і кількостях; все, що можна виразити цифрою, належить математиці. Математика може бути чистою і прикладною.

Математика ділиться на арифметику і геометрію, перша в своєму розпорядженні цифрами, друга - протяжність і просторами. Алгебра замінює цифри більш загальними знаками, буквами; аналітика домагається висловити все загальними формулами, рівняннями, без допомоги креслення "(В. Даль).

Сучасна математика налічує безліч математичних теорій: математична статистика та теорія ймовірності, математичне моделювання, чисельні методи, теорія груп, теорія чисел, векторна алгебра, теорія множин, аналітична і проективна геометрія, математичний аналіз і т.д.

Незважаючи на те, що математичних теорій досить багато і вони, на перший погляд, можуть і не мати нічого спільного, внутрішня еволюція математичної науки зміцнила єдність її різних частин і створила центральне ядро. Істотним у цій еволюції є систематизація відносин, що існують між різними математичними теоріями; її підсумком стало напрям, який зазвичай називають "аксіоматичний метод". У теорії, побудованій у згоді з аксіоматичним методом, починають з невеликої кількості невизначених (первинних) понять, за допомогою яких утворюються твердження, звані аксіомами.

Інші поняття, що вивчаються в теорії, визначаються через первинні, і з аксіом і визначень виводяться теореми. Теорія стає рекурсивно структурованої, її можна представити у вигляді матрьошки, в якій поняття та їх властивості як би є вкладеними один в одного. Кожна математична теорія є ланцюжком висловлювань, які виводяться один з одного згідно з правилами логіки, тобто об'єднуючим початком математики є "дедуктивне міркування". Розвиток математичної теорії в такому стилі - це перший крок у напрямку до її формалізації.

Відкриття неевклідових геометрій і створення теорії множин привели до перебудови всієї будівлі математики та створення цілком нових її галузей. Важливе значення набула в сучасній математиці математична логіка. Методи математики широко використовуються в точному природознавстві. Застосування її в біології та суспільних науках до останнього часу мало випадковий характер. Створення (під безпосереднім впливом практики) таких галузей, як лінійне програмування, теорія ігор, теорія інформації, і поява електронних математичних машин відкривають тут абсолютно нові перспективи. Філософські питання математики (характер і походження математичної абстракції, її особливості) завжди були ареною боротьби між матеріалізмом і ідеалізмом. Особливо важливе значення мають філософські питання, що виникли у зв'язку з проблемами підстав математики.

Математика відіграє важливу роль в природничих, інженерно-технічних і гуманітарних дослідженнях. Причина проникнення математики у різні галузі знань полягає в тому, що вона пропонує досить чіткі моделі для вивчення навколишньої дійсності на відміну від менш загальних і більш розпливчастих моделей, пропонованих іншими науками. Без сучасної математики з її розвиненим логічними і обчислювальним апаратом був би неможливий прогрес в різних областях людської діяльності. Математика є не лише потужним засобом вирішення прикладних завдань і універсальною мовою науки, але також і елементом загальної культури.

Сучасна математика має такі основні розділи:

1. Елементарна математика: алгебра, геометрія і тригонометрія (на площині і сфері).

2. Аналітична геометрія (на площині і в просторі).

3. Функції та межі. Диференціальне та інтегральне числення.

4. Векторний аналіз. Системи криволінійних координат.

5. Функції комплексної змінної.

6. Перетворення Лапласа та інші інтегральні перетворення.

7. Диференціальні рівняння.

8. Максимуми і мінімуми.

9. Математичні моделі. Абстрактна алгебра і абстрактні простори.

10. Матриці. Квадратичні і ермітових форми.

11. Лінійні векторні простори і лінійні оператори. Матричне подання лінійних перетворень.

12. Інтегральні рівняння, крайові задачі та завдання про власні значеннях.

13. Тензорна алгебра і тензорний аналіз.

14. Диференціальна геометрія.

15. Теорія ймовірностей.

16. Теорія випадкових процесів.

17. Математична статистика.

18. Чисельні методи і кінцеві різниці.

2. Основні поняття математики

Число, одне з основних понять математики. У зв'язку з рахунком окремих предметів виникло поняття про цілі позитивних (натуральних) числах, а потім ідея про безмежності натурального ряду чисел: 1, 2, 3,4 ... Завдання вимірювання довжин, площ тощо, а також виділення часток іменованих величин привели до поняття раціонального (дрібного) числа. Поняття про негативні числах виникло в індійців в 6-11 ст. Потреба в точній вираженні відносин величин (напр., відношення діагоналі квадрата до його боці) привела до введення ірраціональних чисел, які виражаються через раціональні числа лише приблизно; раціональні та ірраціональні числа становлять сукупність дійсних чисел. Остаточне розвиток теорія дійсних чисел отримала в зв'язку з потребами математичного аналізу. У зв'язку з рішенням квадратних і кубічних рівнянь були введені комплексні числа.

Подільність, властивість цілого числа ділитися на інше ціле число без залишку. Найпростіші ознаки подільності: число ділиться на 2, якщо його остання цифра ділиться на 2; на 3 або на 9, якщо сума цифр ділиться відповідно на 3 чи на 9; на 5, якщо воно закінчується на 0 або 5.

Одиниця, найменше з натуральних чисел n = 1. У сучасній математиці поняття одиниці (одиничного елемента) розглядають в алгебраїчних структурах більш загальної природи (напр., групах).

Складання, арифметичну дію. Позначається знаком + (плюс). В області цілих позитивних чисел (натуральних чисел) в результаті складання за даними числах (доданком) знаходиться нове число (сума), що містить стільки одиниць, скільки їх міститься у всіх доданків. Дія додавання визначається також для випадку довільних дійсних чи комплексних чисел, векторів і т.д.

Віднімання, арифметична дія, зворотне додаванню, тобто знаходження одного з доданків (різниці) за даною сумою двох доданків (зменшується) і даному іншому доданку (віднімаються). Позначається знаком - (мінус).

Множення, арифметичну дію. Позначається точкою "." або знаком "х" (в буквеному обчисленні знаки множення опускаються). Множення цілих позитивних чисел (натуральних чисел) є дія, що дозволяє по двох числах а (множимо) і b (множнику) знайти третє число ab (твір), рівне сумі b доданків, кожне з яких дорівнює а; а і b називаються також співмножники. Множення дробових чисел а / b і с / d визначається рівністю

Множення двох раціональних чисел дає число, абсолютна величина якого дорівнює добутку абсолютних величин співмножників і яка має знак плюс (+), якщо в обох співмножників однакові знаки, або мінус (-), якщо у них різні знаки. Множення ірраціональних чисел визначається за допомогою їх раціональних наближень. Множення комплексних чисел, даних у формі a = а + bi і b = с + di, визначається рівністю ab = ас - bd + (a + bc) i.

Розподіл, арифметична дія, зворотне множенню; допомогою поділу за твором a (делимому) і одному з множників b (делителю), відмінному від нуля, відшукується інший множник (приватне). Знаки поділу - дві точки (a: b), горизонтальна риса або похила риса (a / b). Розподіл дробових чисел a / b і c / d визначається рівністю (a / b): (c / d) = ad / bc.

Сума, результат складання.

Відсоток, сота частка числа; позначається знаком%.

Точка, одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії точка зазвичай приймається за одне з вихідних понять.

Ступінь, твір кількох рівних співмножників (напр., 2 ⁴ = 2.2.2.2 = 16). Число, що повторюється співмножником, називають підставою ступеня; число, що показує, скільки разів повторюється співмножник, називають показником ступеня. Дія знаходження ступеня називають зведенням (піднесенням) до степеня. Поняття ступінь узагальнюється також на випадок довільного (раціонального або ірраціонального, а також комплексного) показника.

Рівність, відношення взаємної заменяемости об'єктів, які саме в силу цієї заменяемости і вважаються рівними (а = b). Відношення рівності має властивості рефлексивності (кожен об'єкт дорівнює самому собі), симетричності (якщо а = b, то b = a) і транзитивності (якщо a = b, а b = c, то a = c). Буквене рівність, вірне для всіх числових значень вхідних у нього букв, називається тотожністю.

Величина, узагальнення конкретних понять: довжини, площі, ваги і т.п. Вибравши одну з величин даного роду за одиницю виміру, можна виразити числом ставлення будь-якої іншої величини того ж роду до одиниці виміру.

Порівняння, співвідношення між двома цілими числами a і b, що означає, що різниця ab цих чисел ділиться на задане ціле число m, зване модулем порівняння; пишеться a є b (mod m).

Поняття множини, найпростіше математичне поняття, воно не визначається, а лише пояснюється за допомогою прикладів: безліч книг на полиці, безліч точок на прямий (точкове безліч) і т.д. Те, що даний предмет (елемент, точка) х належить множині М, записують х О М.

Рівняння, математична запис завдання про розшук значень аргументів, при яких значення двох даних функцій рівні. Аргументи, від яких залежать ці функції, називаються невідомими, а значення невідомих, при яких значення функцій рівні, - рішеннями (корінням). Бувають алгебраїчні рівняння, наприклад х ² = 2, і неалгебраіческіе рівняння, звані трансцендентними, наприклад 2 ^х = х.

Нерівність, співвідношення між числами, яке вказує, яка з них більше або менше іншого.

Корінь,

1) корінь ступеня n з числа a - всяке число x. Дія знаходження кореня називається витяганням корня.2) Корінь рівняння - число, яке після підстановки його в рівняння замість невідомого звертає рівняння в тотожність.

Логарифм даного числа N при підставі а, показник ступеня у, в яку потрібно звести число а, щоб отримати N; таким чином, N = a ^y. Логарифмом позначається зазвичай log _a N. Логарифм з основою е = 2,718 ... називається натуральним і позначається ln N. Логарифм з основою 10 називається десятковим і позначається lg N. Рівність у = log _a x визначає логарифмічну функцію. Основні властивості логарифма дозволяють замінити множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня простішими діями додавання, віднімання, множення і ділення.

Функція, 1) залежна змінна величина. Відповідність y = f (x) між змінними величинами, у силу якого кожного розглянутого значенням деякої величини x (аргумент, або незалежного змінного) відповідає певне значення іншої величини y (залежної змінної, або функції). Така відповідність може бути задано різним чином, наприклад формулою, графічно або таблицею.

Графік функції, y = f (x) складається з точок, абсциси яких дорівнюють значенням x, а ординати - відповідним значенням y.

Тригонометричні функції, функції кута: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), секанс (sec), косеканс (cosec). Їх можна визначити як відносини довжини r і проекцій а і b на осі координат радіусу-вектора, що утворює з позитивним напрямом осі Ох кут (або відсікаючого дугу) a. Саме: sin a = ^b / _r, cos a = ^a / _r, tg a = ^b / _a, сtg a = ^a / _b, sec a = ^r / _а, cosec a = ^r / _b.

Група, поняття сучасної математики. Виникло з розгляду сукупності операцій, вироблених над будь-якими об'єктами і володіють тим властивістю, що результат послідовного застосування двох або більшої кількості операцій з цієї сукупності рівносильний якоїсь однієї операції з цієї сукупності. Приклад: множення на раціональні числа (множення спочатку на m, а потім на n рівносильно множенню на mn).

Кільце, поняття сучасної алгебри - сукупність елементів, для яких визначені операції додавання, віднімання і множення, що володіють звичайними властивостями операцій над числами. Напр., Кільце цілих чисел.

3. Що таке математичну мову?

Будь-яке точне пояснення того чи іншого явища - математична і, навпаки, все, що точно - математика. Будь-яке ж точний опис - це опис на відповідному математичній мові. Класичний трактат Ньютона "Математичні начала натуральної філософії", який здійснив переворот у всій математиці, по суті є підручником граматики розгаданою їм "мови Природи", диференціального числення, разом з розповіддю про те, що йому вдалося у неї в результаті почути. Природно, що він зміг розібрати тільки зміст її найпростіших фраз. Наступні покоління математиків і фізиків, постійно вдосконалюючись в цій мові, осягали все більш і більш складні вирази, потім нескладні чотиривірші, поеми ... Відповідно, друкувалися розширені і доповнені версії ньютонівської граматики.

Історія математики знає дві великі революції, кожна з яких повністю змінювала її вигляд і внутрішній зміст. Їх рушійною силою була "неможливість жити по старому", тобто неможливість адекватно інтерпретувати актуальні проблеми точного природознавства мовою існуючої математики. Перша з них пов'язана з ім'ям Декарта, друга з іменами Ньютона і Лейбніца, хоча, звичайно ж, вони аж ніяк не зводяться тільки до цих великих імен. За словами Гіббса, математика - це мова, і суттю цих революцій була глобальна перебудова всієї математики на новій мовній основі. В результаті першої революції, мовою всієї математики стала мова комутативної алгебри, друга ж змусила її говорити мовою диференціального числення.

Математики відрізняються від "нематематика" тим що, обговорюючи наукові проблеми або вирішуючи практичні завдання, говорять між собою і пишуть роботи на особливому "математичному мовою" - мовою спеціальних символів, формул і т.п.

Справа в тому, що на математичному мові багато твердження виглядають ясніше і прозоріше, ніж на звичайному. Наприклад, на звичайній мові кажуть: "Від зміни місць доданків сума не змінюється" - так звучить переместительному закон додавання чисел. Математик пише (або говорить): a + b = b + a

А вислів: "Шлях S, пройдений тілом зі швидкістю V за період часу від початку руху t _н до кінцевого моменту t _до" запишуть так: S = V · (t _к - t _н)

Або таку фразу з фізики: "Сила дорівнює добутку маси на прискорення" запишуть: F = m · a

Він переводить висловлене твердження на математичну мову, в якому використовуються різні числа, літери (змінні), знаки арифметичних дій і інші символи. Всі ці записи економні, наочні і зручні для застосування.

Візьмемо інший приклад. На звичайній мові кажуть: "Щоб скласти дві звичайні дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники і записати в чисельнику дробу, а знаменник залишити той же без зміни і записати в знаменник". Математик здійснює "синхронний переклад" на свою мову:

А ось приклад зворотного перекладу. На математичній мові записаний розподільний закон: a (b + c) = ab + ac

Здійснюючи переклад на звичайну мову, отримаємо довге речення: "Щоб помножити число a на суму чисел b та c, треба число a помножити черзі на кожний доданок: b, потім c, і отримані твори скласти".

У всякому мові є своя письмова і усна мова. Вище ми говорили про письмової мови в математиці. А усне мовлення - це вживання спеціальних термінів або словосполучень, наприклад: "доданок", "твір", "рівняння", "нерівність", "функція", "графік функції", "координата точки", "система координат" і т. п., а також різні математичні твердження, виражені словами: "Число а ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли закінчується на 0 або парну цифру".

Кажуть, що культурна людина, крім рідної мови повинен володіти ще хоча б однією іноземною мовою. Це вірно, але вимагає додатки: культурна людина повинна ще вміти говорити, писати і думати і на математичній мові, оскільки це та мова, на якому, як ми не раз вже переконувалися, "каже" навколишня дійсність. Щоб оволодіти новою мовою, необхідно вивчити, як кажуть, його алфавіт, синтаксис і семантику, тобто правила написання і сенс, закладений в написаному. І, звичайно ж, в результаті такого вивчення уявлення про математичній мові і предмет будуть постійно розширюватися.

4. Аксіоматичний метод

В основі побудови математичної теорії лежить аксіоматичний метод ¹ - один із способів дедуктивного побудови наукових теорій. В основі аксіоматично побудованої теорії лежать аксіоми, тобто пропозиції, що приймаються без доведення. Всі інші пропозиції теорії виводяться з аксіом (тобто доводяться, є теоремами) на підставі логічних правил виводу і правил визначення пропозицій, що допускаються в цій теорії. Поняття аксіоматичної теорії було уточнено шляхом введення визначення формальної системи, що складається з мови системи, аксіом системи, правил виводу системи. Мова системи складається з алфавіту (переліку елементарних символів системи) та синтаксису (правил, за якими з елементарних символів будуються формули, пропозиції системи). Правила виводу дозволяють отримувати з аксіом теореми.

Основними методами в математичних дослідженнях є математичні докази - суворі логічні міркування. Математичне мислення не зводиться лише до логічних міркувань. Для правильної постановки завдання, для оцінки вибору способу її вирішення необхідна математична інтуїція. У математиці використовують два види умовиводів: індукція - метод дослідження, у якому загальний висновок будується не основі приватних посилок і дедукція - спосіб міркування, за допомогою якого від загальних посилок слід висновок приватного характеру.

Створення дедуктивного чи аксіоматичного методу побудови науки є одним з найбільших досягнень математичної думки. Воно вимагало роботи багатьох поколінь учених. Чудовою рисою дедуктивної системи викладу є простота цього побудови, що дозволяє описати його в небагатьох словах. Дедуктивна система викладу зводиться: до перерахування основних понять, до викладу визначень, до викладу аксіом, до викладу теорем, до доведення цих теорем:

аксіома - твердження, яке приймається без доказів, теорема - твердження, що випливає з аксіом, доказ - складова частина дедуктивної системи, це є міркування, яке показує, що істинність твердження випливає логічно з істинності попередніх теорем або аксіом.

Історія природознавства свідчить, що можливість аксіоматичної побудови тієї чи іншої науки з'являється лише на досить високому рівні розвитку цієї науки, на базі великого фактичного матеріалу, дозволяє чітко виявити ті основні зв'язки і співвідношення, які існують між об'єктами, що вивчаються даною наукою.

Зразком аксіоматичного побудови математичної науки є елементарна геометрія. Система аксіом геометрії були викладені Евклідом (близько 300 р. до н. Е.) в неперевершеному за своєю значимістю працю - "Початки". Ця система в основних рисах збереглася і донині.

Елементарна геометрія має 13 аксіом, які розбиті на п'ять груп. У п'ятій групі одна аксіома - аксіома про паралельні (V постулат Евкліда). Через точку на площині можна провести тільки одну пряму, не перетинає дану пряму. Це єдина аксіома, що викликала потреба докази. Спроби довести п'ятий постулат займали математиків більш 2-х тисячоліть, аж до першої половини 19 століття, коли Н.І. Лобачевський довів у своїх працях повну безнадійність цих спроб.

В даний час недоказово п'ятого постулату є суворо доведеним математичним фактом. Аксіому про паралельні Лобачевський замінив аксіомою: "Нехай у цій площині дана пряма і що лежить поза прямою точка. Через цю точку можна провести до цієї прямий, принаймні, дві паралельні прямі". З нової системи аксіом він з бездоганною логічного строгістю вивів струнку систему теорем, складових зміст неевклідової геометрії. Обидві геометрії Евкліда і Лобачевського, як логічні системи рівноправні.

За геометрією Лобачевского виникли й інші несуперечливі геометрії: від евклідової відокремилася проективна геометрія, склалася багатомірна евклідова геометрія, виникла риманова геометрія (загальна теорія просторів з довільним законом виміру довжин) і ін З науки про фігури в одному тривимірному евклідовому просторі геометрія перетворилася на сукупність різноманітних теорій.

5. Математичні структури

Тепер спробуємо пояснити, що треба розуміти в загальному випадку під математичною структурою. Спільною рисою різних понять, об'єднаних цим родовою назвою, є те, що вони застосовні до безлічі елементів, природа яких не визначена.

Щоб визначити структуру, задають одне або декілька відносин, в яких знаходяться його елементи (у випадку груп - це відношення х τ у = z між трьома довільними елементами), потім постулюють, що дане відношення або дані відносини задовольняють деяким умовам (які перераховують і які є аксіомами розглянутої структури). Побудувати аксіоматичну теорію даної структури - це означає вивести логічні наслідки з аксіом структури, відмовившись від будь-яких інших припущень щодо розглянутих елементів (зокрема від всяких гіпотез щодо їх "природи").

Основні типи структур.

Відносини, які є вихідною точкою у визначенні структури, можуть бути за своєю природою дуже різноманітними. Те відношення, яке фігурує в групових структурах, називають "законом композиції": це таке відношення між трьома елементами, яке визначає однозначно третій елемент як функцію двох перших - така структура називається алгебраїчної структурою (наприклад, структура поля визначається двома законами композиції з належним чином обраними аксіомами: додавання і множення дійсних чисел визначають структуру поля на безлічі цих чисел).

Інший важливий тип являють собою структури, визначені відношенням порядку - це відношення між двома елементами х, у, яке частіше за все ми висловлюємо словами "х менше або дорівнює у" і яке ми будемо позначати в загальному випадку х R у. Тут більше не передбачається, що це відношення однозначно визначає один з елементів х, у як функцію іншого. Аксіоми, яким воно підпорядковується, такі: а) для всіх х хRх; b) з співвідношень хRу, уRх слід х = у, с) з співвідношень хRу, уRz слід хRz.

Очевидним прикладом безлічі, забезпеченого такою структурою, є безліч цілих чисел (або безліч дійсних чисел), причому тут знак R замінюється на ≤. Але треба зауважити, що ми не включили в число аксіом аксіому, що відображає наступне властивість, яка здається невіддільним від того поняття порядку, яким ми користуємося в повсякденному житті: "які б не були х, у, має місце або хRу або уRх". Іншими словами, не виключається випадок, коли два елементи можуть опинитися непорівнянними.

На перший погляд це може здатися дивним, але легко навести дуже важливі приклади структур порядку, для яких має місце саме цю обставину. Саме з таким станом речей ми стикаємося, коли X, Y означають підмножини деякої множини, а Х RY означає "X міститься в Y", або коли х, у є натуральними числами, а хRу означає "х ділить y", або, нарешті, коли f (х) і g (x) є дійсними функціями, визначеними на інтервалі a ≤ x ≤ b, а f (х) Rg (х) означає: "яке було х, f (х) ≤ g (х) ". Ці приклади в той же час показують, яким великим різноманітність областей, де з'являються структури порядку.

Третій тип структур - топологічних структурах (топології) ^2, в них знаходять абстрактну математичну формулювання інтуїтивні поняття околиці, межі і безперервності, до яких нас приводить наше уявлення про простір.

У кожній з представлених (породжують) структур панує вже достатня різноманітність, так як там треба розрізняти найбільш загальну структуру розглянутого типу з найменшим числом аксіом і структури, які виходять з неї в результаті її збагачення додатковими аксіомами, кожна з яких тягне за собою і нові наслідки .

Саме таким чином теорія груп, крім загальних положень, які справедливі для всіх груп і залежать тільки від аксіом, перерахованих вище, містить, зокрема, теорію кінцевих груп (в якої додають аксіому, яка говорить, що число елементів групи звичайно), теорію абелевих груп (в яких маємо х τ у = у τ х, які б не були х, у), а також теорію кінцевих абелевих груп (у якій передбачаються виконаними обидві вищезгадані аксіоми). Точно так само серед упорядкованих множин розрізняють ті, в яких будь-які два елементи порівнянні і які називаються лінійно впорядкованими. Серед цих останніх особливо вивчають множини, звані цілком впорядкованими (у яких, так само як у множині натуральних чисел, кожна підмножина має "найменший елемент" ). Подібна ж градація існує і для топологічних структур.

За межами цього первісного ядра з'являються структури, які можна було б назвати складними структурами і в які входять одночасно одна або кілька породжують структур, але не просто комбінований один з одним, а органічно скомбіновані за допомогою однієї або декількох зв'язують їх аксіом. Саме такий характер носить топологічна алгебра, що вивчає структури, що визначаються одним або декількома законами композицій і однієї топологією, які пов'язані тією умовою, що алгебраїчні операції є неперервними функціями (для розглянутої топології) елементів, над якими вони виробляються.

Нарешті, далі починаються власне приватні теорії, в яких елементи розглянутих множин, які до цього моменту в загальних структурах були абсолютно невизначеними, отримують певну індивідуальність. Саме таким чином отримують теорії класичної математики: аналіз функцій дійсної та комплексної змінної, диференціальну геометрію, алгебраїчну геометрію, теорію чисел. Але вони втрачають свою колишню автономність і є тепер перехрестями, на яких стикаються і взаємодіють численні математичні структури, що мають більш загальний характер.

Структури є знаряддями математика: кожен раз, коли він помічає, що між досліджуваними їм елементами мають місце відносини, що задовольняють аксіомам структури певного типу, він відразу може скористатися всім арсеналом загальних теорем, що відносяться до структур цього типу, тоді як раніше він мав би болісно трудитися, виковуючи сам кошти, необхідні для того, щоб штурмувати розглянуту проблему, причому їх потужність залежала б від його особистого таланту і вони були б зморені часто надмірно сором'язливі припущеннями, зумовленими особливостями досліджуваної проблеми.

5. Функції і графіки

Функція є одним з основних математичних понять 20 століття, коли функціонального аналізу стала належати в математиці видатна роль. Але так було не завжди: після введення в математику поняття функції знадобилося більше двох століть, щоб було усвідомлено його дійсне значення для розвитку математичного пізнання.

Термін "функція" вперше був застосований в кінці 17 століття Лейбніцем і його учнями. Спочатку цей термін вживали ще в дуже вузькому сенсі слова, пов'язуючи лише з геометричними образами. Йшлося про відрізки дотичних до кривих, їх проекція на осі координат і про "іншого роду лініях, які виконують для даної фігури деяку функцію" (від латинського "функтус" - виконувати). Таким чином, поняття функції ще не було звільнено від геометричної форми.

Лише І. Бернуллі дав визначення функції, вільний від геометричного мови: "Функцією змінної величини називається кількість, утворене яким завгодно способом з цієї змінної величини і постійних".

Щоб визначення функції, дане І. Бернуллі, стало повноцінним, треба було домовитися, які способи завдання функцій слід вважати допустимими. Зазвичай вважали, що допускаються функції, задані виразами, в які входять числа, букви, знаки арифметичних дій, зведення в ступінь і вилучення коренів, а також позначення тригонометричних, зворотних тригонометричних, показових і логарифмічних функцій. Такі функції називали елементарними. Незабаром з'ясувалося, що інтеграли від них не завжди виражаються через елементарні функції. У зв'язку з цим довелося додати нові функції, що виходять при обчисленні інтегралів від елементарних функцій, при вирішенні диференціальних рівнянь і т.д. Багато з цих функцій не можна було явно виразити за допомогою раніше відомих операцій. Тому один з найбільш чудових математиків 18 століття Леонард Ейлер пише: "Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, то перші називають функціями других".

У 1834 році Н.І. Лобачевський писав: "Загальне поняття функції вимагає, щоб функцією від х називати число, яке дається для кожного х і разом з х поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб випробовувати всі числа і вибрати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою ".

Більш загальний підхід до поняття функції, при якому ототожнюються поняття "функція", "відображення", "оператор", виникла після того, як у другій половині 19 століття було введено загальне поняття безлічі. І саме творці теорії множин Г. Кантор і Р. Дедекинда дали загальне визначення відображення:

"Нехай X і Y - дві множини; говорять, що задано відображення f множини X в (на) безліч Y, якщо для кожного елемента x з X вказаний відповідний йому єдиний елемент y з Y. Цей елемент y називають чином елемента х при відображенні f і позначають f (x) ".

Введення в математику загального поняття про відображення множин дозволило прояснити і ряд питань, що відносяться до функцій, наприклад, уточнити, що таке зворотна функція, складна функція і т.д.

В результаті систематичної побудови математичного аналізу на основі суворої арифметичної теорії ірраціональних чисел і теорії безлічі виникла нова галузь математики - теорія функцій дійсної змінної. Вона справила великий вплив на розвиток багатьох інших відділів математики. На початку 20 століття на базі цієї теорії функцій виникла нова галузь математики - функціональний аналіз. У ньому вивчають множини, що складаються з функцій, послідовностей, ліній, в яких визначені операції додавання і множення на числа. Ці операції мають властивості, схожими на властивості операцій над векторами. Однак на відміну від нашого простору, що має лише три виміри, що вивчаються у функціональному аналізі, простору можуть бути нескінченновимірним.

У XX столітті поняття функції піддалося подальшим узагальненням. Виникло поняття функції, відбивало властивості фізичних величин, зосереджених в окремих точках, на лініях або поверхнях. Потреби фізики привели до вивчення функцій, які брали випадкові значення. Але методи математичного аналізу дозволили впоратися і з проблемами теорії випадкових функцій, що знайшла численні програми у фізиці і техніці.

Сучасне трактування поняття функції виглядає наступним чином: "Функцією називається відношення двох (групи) об'єктів, в якому зміни одного з них супроводжує зміна іншого".

Але як би далеко не відходило те чи інше узагальнення поняття функції від визначень І. Бернуллі і Л. Ейлера, до яких би складних об'єктах воно не додавалося, в основі всіх побудов лежала одна й та ж думка про існування взаємозалежних величин, знання значення однієї з яких дозволяє знайти значення іншої величини.

Таким чином, функція, як і будь-яке інше математичне поняття, безпосередньо або опосередковано відображає оточує нас.

Графік функції - один із спосіб її подання.

Графік функції - це лінія, що дає цілісне уявлення про характер зміни функції в міру зміни, її аргументу.

Графік функції - безліч точок площині з прямокутними координатами (х, у), де y = f (x) - функція від х з області визначення Е цієї функції.

Рис.1. Крива - графік функції

Тут y = f (x) - функція одного змінного х.

Для побудови графіка функції потрібно намалювати "криву" - безліч точок, координати яких (х у) зв'язані співвідношенням y = f (x), х з безлічі Е. Строго кажучи, точне побудова графіка функції неможливо, тому що будь-геометричне зображення точок, відрізків, кривих та інших об'єктів можна зробити тільки приблизно.

Тому малюнок насправді є тільки ескізом графіка f (х), від французького слова "esquisse", що означає "попередній начерк", проте якщо крива намальована з достатньою точністю, то її також називають графіком функції.

Найпростішим способом є побудова графіка функції по точках. Він полягає в тому, що для кількох значень аргументу знаходяться значення функції, за якими будуються відповідні точки графіка функції, і потім через ці точки проводиться плавна крива. Так будуються, наприклад, всілякі експериментальні криві після проведення декількох експериментів.

Для побудови графіка функції y = f (x), заданої аналітично (формулою), зазвичай використовують наступні її властивості:

1) Знаходять область визначення функції.

2) В області визначення знаходять інтервали, на яких функція неперервна, має першу і другу похідні.

3) Досліджуючи знаки похідних, знаходять проміжки зростання та спадання функції, проміжки опуклості і угнутості, точки максимуму і мінімуму і перегину точки.

4) Вивчають поведінку функції при прагненні аргументу до граничних точках області визначення, зокрема знаходять межі функції і асимптоти, якщо вони існують.

5) Знаходять значення функції в точках максимуму і мінімуму, в точках перегину і ще в кількох точках в залежності від потрібної точності побудови графіка функції.

Враховуючи вивчені властивості, будують графік функції.

Список використаної літератури

1. Бурбаки Н. Нариси з історії математики / Н. Бурбаки. - М.: Изд-во Ін. лит., 1972.

2. Гнеденко Б.В. Математика в сучасному світі / Б.В. Гнеденко. - Видавництво Просвітництво. - М.: Просвещение, 1980.

3. Кудрявцев Л.Д. Думки про сучасну математики та її вивченні / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Просвещение, 1977.

4. Локоть Н.В. Математика для нематематика. Навчальний посібник для студентів-гуманітаріїв / Н.В. Локоть. - Мурманськ: МГПИ, 1999.

5. Математика: Великий енциклопедичний словник / Під. ред. Ю.В. Прохорова. - 3-е изд. - М.: БРС, 1998.

6. Малаховський В.С. Введення в математику / В.С. Малаховський. - Калінінград: Бурштиновий сказ, 2001.

7. Сухотін А.К. Філософія математики. Навчальний посібник / А.К. Сухотін. - М., 2000.