Інтегральні перетворення

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Операційне числення та деякі його застосування

Нехай задана функція дійсного змінного t, яка задовольняє умовам:

Інтегральні перетворення

Функція f (t) кусково-безперервна (має кінцеве число точок розриву першого роду).

Для будь-якого значення параметра t> 0 існує M> 0 і S0 ³ 0 такі, що виконується умова: | f (t) | <Me S0t

Розглянемо функцію f (t) × e-pt, де р - комплексне число р = (а + ib).

Інтегральні перетворення (1)

Застосуємо до цього співвідношенню формулу Ейлера:

Інтегральні перетворення

Проінтегрувавши це рівність отримаємо:

Інтегральні перетворення (2)

Оцінимо ліву частину рівності (2):

Інтегральні перетворення

А відповідно до властивості (3) | f (t) | <Me S0t

Інтегральні перетворення

У разі якщо a> S0 маємо:

Інтегральні перетворення

Аналогічно можна довести, що існує і сходиться другий інтеграл в рівності (2).

Таким чином при a> S0 інтеграл, що стоїть в лівій частині рівності (2) також існує і сходиться. Цей інтеграл визначає собою функцію від комплексного параметра р:

Інтегральні перетворення (3)

Функція F (p) називається зображенням функції f (t) по Лапласа, а функція f (t) по відношенню до F (p) називається оригіналом.

f (t) Ü F (p), де F (p) - зображення функції f (t) по Лапласа.

Інтегральні перетворення - Це оператор Лапласа.

Сенс запровадження інтегральних перетворень.

Цей зміст полягає в наступному: за допомогою переходу в область зображення вдається спростити вирішення багатьох завдань, зокрема звести завдання вирішення багатьох завдань диференціального, інтегрального і інтегро-диференціального рівняння до розв'язання алгебраїчних рівнянь.

Теорема єдиності: якщо дві функції j (t) і Y (t) мають одне і те ж зображення F (p), то ці функції тотожно рівні.

Сенс теореми: якщо при вирішенні завдання ми визначимо зображення шуканої функції, а потім по зображенню знайшли оригінал, то на підставі теореми єдиності можна стверджувати, що знайдена функція є рішенням в області оригіналу і причому єдиним.

Зображення функцій s 0 (t), sin (t), cos (t).

Визначення: Інтегральні перетворення називається одиничною функцією.

Одинична функція задовольняє вимогам, які повинні бути накладені на функцію для існування зображення по Лапласа. Знайдемо це зображення:

Інтегральні перетворення

Зображення одиничної функції Інтегральні перетворення

Міркуючи аналогічним чином одержимо зображення для функції sin (t):

Інтегральні перетворення

інтегруючи по частинах отримаємо:

Інтегральні перетворення тобто Інтегральні перетворення

Аналогічно можна довести, що cos (t) перетворюється на функцію Інтегральні перетворення в області перетворень. Звідки: Інтегральні перетворення

Зображення функції зі зміненим масштабом незалежного змінного.

Інтегральні перетворення де а - константа.

Таким чином: Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення і Інтегральні перетворення

Властивості лінійності зображення.

Теорема: зображення суми кількох функцій помножене на постійні дорівнюють сумі зображень цих функцій помножених на ті ж постійні.

Інтегральні перетворення

Якщо Інтегральні перетворення , То Інтегральні перетворення , Де Інтегральні перетворення

Теорема зміщення: якщо функція F (p) це зображення f (t), то F (a + p) є зображенням функції e-at f (t) (4)

Доказ:

Застосуємо оператор Лапласа до лівої частини рівності (4)

Інтегральні перетворення

Що і потрібно було довести.

Таблиця основних зображень:

F (p) f (t) F (p) f (p)

Інтегральні перетворення

1

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Зображення похідних.

Теорема. Якщо Інтегральні перетворення , То справедливо вираз:

Інтегральні перетворення (1)

Доказ:

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення (2)

Інтегральні перетворення (3)

Підставляючи (3) в (2) та враховуючи третя умова існування функції Лапласа маємо:

Інтегральні перетворення

Що і потрібно було довести.

Приклад: Розв'язати диференціальне рівняння:

Інтегральні перетворення Якщо x (0) = 0 і x '(0) = 0

Припустимо, що x (t) - рішення в області оригіналів та Інтегральні перетворення , Де Інтегральні перетворення - Рішення в області зображень.

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Зображає рівняння:

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Теорема про інтегрування оригіналу. Нехай Інтегральні перетворення знаходиться в області оригіналів, Інтегральні перетворення , Тоді Інтегральні перетворення також оригінал, а його зображення Інтегральні перетворення .

Таким чином операції інтегрування в області оригіналів відповідає операція поділу в області зображень.

Теорема про інтегрування зображень: Нехай Інтегральні перетворення - Функція оригінал, яка має зображення Інтегральні перетворення і Інтегральні перетворення також оригінал, а Інтегральні перетворення - Є збіжним інтегралом, тоді Інтегральні перетворення .

Тлумачення теореми: операція ділення на аргумент в області оригіналів відповідає операції інтегрування в межах від р до ¥ в області зображень.

Поняття про згортку функцій. Теорема про згортку.

Нехай задані дві функції a (t) і b (t), що задовольняють умовам існування зображення по Лапласа, тоді згорткою таких функцій називається наступна функція:

Інтегральні перетворення (1)

Згортка позначається наступним чином:

Інтегральні перетворення (1 ')

Рівності (1) і (1 ') ідентичні.

Згортка функції підпорядковується переместительное законом.

Доказ:

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Теорема про множенні зображень. Нехай Інтегральні перетворення і Інтегральні перетворення , Тоді твір зображень Інтегральні перетворення представляється згорткою оригіналів Інтегральні перетворення .

Доказ:

Хай зображення згортки Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення (1)

Інтеграл (1) являє собою повторний інтеграл відносно змінних t і t. Змінимо порядок інтегрування. Змінні t і t входять у вираз симетрично. Заміна змінної проводиться еквівалентно.

Інтегральні перетворення

Якщо в останньому інтегралі зробити заміну змінної, то після перетворень останній інтеграл перетвориться у функцію F2 (p).

Операція множення двох функцій в просторі зображень відповідає операції згортки їх оригіналів у області оригіналів. Узагальненням теореми про згортку є теорема Ефроса.

Теорема Ефроса. Нехай функція Інтегральні перетворення знаходиться в області оригіналів, Інтегральні перетворення , А Ф (р) і q (р) - аналітичні функції в області зображень, такі, що Інтегральні перетворення , Тоді Інтегральні перетворення .

У практичних обчисленнях важливу роль відіграє наслідок з теореми про згортку, зв. інтеграл Дюамеля. Нехай всі умови теореми виконуються, тоді

Інтегральні перетворення (2)

Співвідношення (2) застосовується при вирішенні диференціальних рівнянь.

Зворотне перетворення Лапласа.

Інтегральні перетворення - Це пряме перетворення Лапласа.

Зворотне перетворення є можливість отримати функцію-оригінал через відому функцію-зображення:

Інтегральні перетворення , Де s - деяка константа.

Користуватися формулою для оберненого перетворення можна при певному виді функції F (p), або для чисельного знаходження функції-оригіналу за відомим зображенню.

Теореми розкладання.

Відома методика розкладання дробово-раціональних функцій на суму елементарних дробів (1) - (4) може бути представлена ​​у вигляді двох теорем розкладання.

Перша теорема розкладу. Нехай F (p) - зображення деякої функції, тоді ця функція представляється у вигляді Інтегральні перетворення , K - постійна, може бути як завгодно великим числом, Інтегральні перетворення , То можливий почленно перехід у простір оригіналів за допомогою формули: Інтегральні перетворення .

Друга теорема розкладу. Якщо зображення представляється д робно-раціональної функцією Інтегральні перетворення . Ступінь числа s менше ступеня знаменника n, знаменник має коріння a1, a2, ..., an відповідний кратності k1, k2, ..., kn, при цьому k1 + k2 + ... + kn = n. У цьому випадку оригінал функції визначається за формулою:

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення (3)

Наприклад:

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Зв'язок між перетвореннями Фур'є і Лапласа.

Перетворення Лапласа має вигляд:

Інтегральні перетворення (1)

На f (t) накладені умови:

f (t) визначена і неперервна на всьому інтервалі: (- ¥; ¥)

f (t) º 0, t Î (- ¥; 0)

При M, S0> 0, для всіх t> 0 виконується умова | f (t) | <Me S0t

Якщо відмовитися від умов 2 і 3, і вважати, що f (t) приймає довільне значення при t <0, то замість (1) можна розглянути наступний інтеграл:

Інтегральні перетворення (2)

Формула (2) - двостороннє перетворення Лапласа.

Нехай в (1) і (2) p = a + in, де a і n - дійсні числа.

Припустимо, що Re (p) = a = 0, тобто

Інтегральні перетворення (4)

Інтегральні перетворення (5)

і (5) відповідно односторонні і двосторонні перетворення Фур'є.

Для існування перетворення Фур'є, функція має відповідати умовам:

Повинна бути визначена на проміжку (- ¥; ¥), неперервна скрізь, за винятком кінцевого числа точок розриву першого роду.

Будь-який кінцевий проміжок осі t можна розділити на кінцеве число проміжків, в кожному з яких функція або кусково-гладка, або кусково-монотонна.

Функція абсолютно інтегровна: Інтегральні перетворення , Ця умова виконується, якщо | f (t) | <Me S0t

З існування перетворення Лапласа не слід перетворення Фур'є. Перетворення Фур'є існують для більш вузького класу функцій. Перетворення Фур'є не існують для постійної і обмеженої функції: f (t) = C

Інтегральні перетворення

Аналогічно перетворення Фур'є не існують і для гармонійних функцій:

Інтегральні перетворення тому що Інтегральні перетворення

Якщо f (t) = 0 при t> 0 і перетворення для цієї функції існує, то воно може бути отримано з таблиці оригіналів і зображень для перетворення Лапласа шляхом заміни параметра t на iu, але при цьому необхідно переконатися, що F (p) не звертається до числа праворуч від уявної осі.

Якщо f (t) ¹ 0, t <0

Інтегральні перетворення (6)

Інтегральні перетворення

Позначимо Інтегральні перетворення

Очевидно, що Інтегральні перетворення (6 ')

Функція (6) називається спектральною щільністю

Інтегральні перетворення

У зв'язку з викладеним можна вказати два шляхи відшукання спектральної щільності:

Обчислення інтеграла (5)

Використання перетворення Лапласа або Фур'є.

Безпосереднє обчислення спектральної щільності для абсолютно інтегрованою функції.

Функція F (iu) може бути представлена, як комплексна функція дійсної змінної

Інтегральні перетворення (7)

| F (iu) | - амплітудне значення спектральної щільності, y (u) - фазовий кут.

У алгебраїчній формі: F (iu) = a (u) + ib (u)

Інтегральні перетворення (8)

Інтегральні перетворення (9)

Для безпосереднього обчислення спектральної щільності обчислюється інтеграл (6), а потім за формулами (8) і (9) визначається амплітудне значення | F (iu) | і фазовий кут y (u).

Приклад.

Знайти спектральну щільність імпульсу: Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

звідки Інтегральні перетворення , Далі

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Відшукування спектральної щільності для неабсолютно інтегровних функцій.

Пряме перетворення Фур'є для таких функцій не існує, існує перетворення Лагранжа.

Пряме перетворення Фур'є необхідно:

Для полегшення процесу рішення диференціальних та інтегральних рівнянь.

Для дослідження амплітудної та частотної характеристик спектральної щільності, визначеної всюди на числовій осі.

Введемо таке визначення спектральної щільності для неабсолютно інтегровних функцій:

Якщо для заданої функції y = f (t) існує безперервне зображення по Лапласа F (p), то спектральною щільністю функції називається зображення функції по Лапласа при p = iu.

Спектральною щільністю F1 (iu) неабсолютно інтегровною функції називається границя від спектральної щільності F2 (iua) абсолютно інтегрованою функції.

Інтегральні перетворення

Інтегральні перетворення

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Медицина | Реферат
34.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Інтегральні перетворення Лапласа
Надвеликі інтегральні схеми
Великі інтегральні схеми
Інтегральні мікросхеми серії 500
Інтегральні технології розробки синтезаторів частот
Інтегральні онтологічні моделі Російська софіологія
Інтегральні методи оцінки якості перехідних процесів
Інституційні перетворення
Вейвлет-перетворення
© Усі права захищені
написати до нас