Операційне числення та деякі його застосування
Нехай задана функція дійсного змінного t, яка задовольняє умовам:
Функція f (t) кусково-безперервна (має кінцеве число точок розриву першого роду).
Для будь-якого значення параметра t> 0 існує M> 0 і S0 ³ 0 такі, що виконується умова: | f (t) | <Me S0t
Розглянемо функцію f (t) × e-pt, де р - комплексне число р = (а + ib).
(1)
Застосуємо до цього співвідношенню формулу Ейлера:
Проінтегрувавши це рівність отримаємо:
(2)
Оцінимо ліву частину рівності (2):
А відповідно до властивості (3) | f (t) | <Me S0t
У разі якщо a> S0 маємо:
Аналогічно можна довести, що існує і сходиться другий інтеграл в рівності (2).
Таким чином при a> S0 інтеграл, що стоїть в лівій частині рівності (2) також існує і сходиться. Цей інтеграл визначає собою функцію від комплексного параметра р:
(3)
Функція F (p) називається зображенням функції f (t) по Лапласа, а функція f (t) по відношенню до F (p) називається оригіналом.
f (t) Ü F (p), де F (p) - зображення функції f (t) по Лапласа.
- Це оператор Лапласа.
Сенс запровадження інтегральних перетворень.
Цей зміст полягає в наступному: за допомогою переходу в область зображення вдається спростити вирішення багатьох завдань, зокрема звести завдання вирішення багатьох завдань диференціального, інтегрального і інтегро-диференціального рівняння до розв'язання алгебраїчних рівнянь.
Теорема єдиності: якщо дві функції j (t) і Y (t) мають одне і те ж зображення F (p), то ці функції тотожно рівні.
Сенс теореми: якщо при вирішенні завдання ми визначимо зображення шуканої функції, а потім по зображенню знайшли оригінал, то на підставі теореми єдиності можна стверджувати, що знайдена функція є рішенням в області оригіналу і причому єдиним.
Зображення функцій s 0 (t), sin (t), cos (t).
Визначення: називається одиничною функцією.
Одинична функція задовольняє вимогам, які повинні бути накладені на функцію для існування зображення по Лапласа. Знайдемо це зображення:
Зображення одиничної функції
Міркуючи аналогічним чином одержимо зображення для функції sin (t):
інтегруючи по частинах отримаємо:
тобто
Аналогічно можна довести, що cos (t) перетворюється на функцію в області перетворень. Звідки:
Зображення функції зі зміненим масштабом незалежного змінного.
де а - константа.
Таким чином:
і
Властивості лінійності зображення.
Теорема: зображення суми кількох функцій помножене на постійні дорівнюють сумі зображень цих функцій помножених на ті ж постійні.
Якщо , То , Де
Теорема зміщення: якщо функція F (p) це зображення f (t), то F (a + p) є зображенням функції e-at f (t) (4)
Застосуємо оператор Лапласа до лівої частини рівності (4)
Що і потрібно було довести.
Таблиця основних зображень:
F (p) | f (t) | F (p) | f (p) |
1 | |||
Зображення похідних.
Теорема. Якщо , То справедливо вираз:
(1)
(2)
(3)
Підставляючи (3) в (2) та враховуючи третя умова існування функції Лапласа маємо:
Що і потрібно було довести.
Приклад: Розв'язати диференціальне рівняння:
Якщо x (0) = 0 і x '(0) = 0
Припустимо, що x (t) - рішення в області оригіналів та , Де - Рішення в області зображень.
Зображає рівняння:
Теорема про інтегрування оригіналу. Нехай знаходиться в області оригіналів, , Тоді також оригінал, а його зображення .
Таким чином операції інтегрування в області оригіналів відповідає операція поділу в області зображень.
Теорема про інтегрування зображень: Нехай - Функція оригінал, яка має зображення і також оригінал, а - Є збіжним інтегралом, тоді .
Тлумачення теореми: операція ділення на аргумент в області оригіналів відповідає операції інтегрування в межах від р до ¥ в області зображень.
Поняття про згортку функцій. Теорема про згортку.
Нехай задані дві функції a (t) і b (t), що задовольняють умовам існування зображення по Лапласа, тоді згорткою таких функцій називається наступна функція:
(1)
Згортка позначається наступним чином:
(1 ')
Рівності (1) і (1 ') ідентичні.
Згортка функції підпорядковується переместительное законом.
Доказ:
Теорема про множенні зображень. Нехай і , Тоді твір зображень представляється згорткою оригіналів .
Доказ:
Хай зображення згортки
(1)
Інтеграл (1) являє собою повторний інтеграл відносно змінних t і t. Змінимо порядок інтегрування. Змінні t і t входять у вираз симетрично. Заміна змінної проводиться еквівалентно.
Якщо в останньому інтегралі зробити заміну змінної, то після перетворень останній інтеграл перетвориться у функцію F2 (p).
Операція множення двох функцій в просторі зображень відповідає операції згортки їх оригіналів у області оригіналів. Узагальненням теореми про згортку є теорема Ефроса.
Теорема Ефроса. Нехай функція знаходиться в області оригіналів, , А Ф (р) і q (р) - аналітичні функції в області зображень, такі, що , Тоді .
У практичних обчисленнях важливу роль відіграє наслідок з теореми про згортку, зв. інтеграл Дюамеля. Нехай всі умови теореми виконуються, тоді
(2)
Співвідношення (2) застосовується при вирішенні диференціальних рівнянь.
Зворотне перетворення Лапласа.
- Це пряме перетворення Лапласа.
Зворотне перетворення є можливість отримати функцію-оригінал через відому функцію-зображення:
, Де s - деяка константа.
Користуватися формулою для оберненого перетворення можна при певному виді функції F (p), або для чисельного знаходження функції-оригіналу за відомим зображенню.
Теореми розкладання.
Відома методика розкладання дробово-раціональних функцій на суму елементарних дробів (1) - (4) може бути представлена у вигляді двох теорем розкладання.
Перша теорема розкладу. Нехай F (p) - зображення деякої функції, тоді ця функція представляється у вигляді , K - постійна, може бути як завгодно великим числом, , То можливий почленно перехід у простір оригіналів за допомогою формули: .
Друга теорема розкладу. Якщо зображення представляється д робно-раціональної функцією . Ступінь числа s менше ступеня знаменника n, знаменник має коріння a1, a2, ..., an відповідний кратності k1, k2, ..., kn, при цьому k1 + k2 + ... + kn = n. У цьому випадку оригінал функції визначається за формулою:
(3)
Наприклад:
Зв'язок між перетвореннями Фур'є і Лапласа.
Перетворення Лапласа має вигляд:
(1)
На f (t) накладені умови:
f (t) визначена і неперервна на всьому інтервалі: (- ¥; ¥)
f (t) º 0, t Î (- ¥; 0)
При M, S0> 0, для всіх t> 0 виконується умова | f (t) | <Me S0t
Якщо відмовитися від умов 2 і 3, і вважати, що f (t) приймає довільне значення при t <0, то замість (1) можна розглянути наступний інтеграл:
(2)
Формула (2) - двостороннє перетворення Лапласа.
Нехай в (1) і (2) p = a + in, де a і n - дійсні числа.
Припустимо, що Re (p) = a = 0, тобто
(4)
(5)
і (5) відповідно односторонні і двосторонні перетворення Фур'є.
Для існування перетворення Фур'є, функція має відповідати умовам:
Повинна бути визначена на проміжку (- ¥; ¥), неперервна скрізь, за винятком кінцевого числа точок розриву першого роду.
Будь-який кінцевий проміжок осі t можна розділити на кінцеве число проміжків, в кожному з яких функція або кусково-гладка, або кусково-монотонна.
Функція абсолютно інтегровна: , Ця умова виконується, якщо | f (t) | <Me S0t
З існування перетворення Лапласа не слід перетворення Фур'є. Перетворення Фур'є існують для більш вузького класу функцій. Перетворення Фур'є не існують для постійної і обмеженої функції: f (t) = C
Аналогічно перетворення Фур'є не існують і для гармонійних функцій:
тому що
Якщо f (t) = 0 при t> 0 і перетворення для цієї функції існує, то воно може бути отримано з таблиці оригіналів і зображень для перетворення Лапласа шляхом заміни параметра t на iu, але при цьому необхідно переконатися, що F (p) не звертається до числа праворуч від уявної осі.
Якщо f (t) ¹ 0, t <0
(6)
Позначимо
Очевидно, що (6 ')
Функція (6) називається спектральною щільністю
У зв'язку з викладеним можна вказати два шляхи відшукання спектральної щільності:
Обчислення інтеграла (5)
Використання перетворення Лапласа або Фур'є.
Безпосереднє обчислення спектральної щільності для абсолютно інтегрованою функції.
Функція F (iu) може бути представлена, як комплексна функція дійсної змінної
(7)
| F (iu) | - амплітудне значення спектральної щільності, y (u) - фазовий кут.
У алгебраїчній формі: F (iu) = a (u) + ib (u)
(8)
(9)
Для безпосереднього обчислення спектральної щільності обчислюється інтеграл (6), а потім за формулами (8) і (9) визначається амплітудне значення | F (iu) | і фазовий кут y (u).
Приклад.
Знайти спектральну щільність імпульсу:
звідки , Далі
Відшукування спектральної щільності для неабсолютно інтегровних функцій.
Пряме перетворення Фур'є для таких функцій не існує, існує перетворення Лагранжа.
Пряме перетворення Фур'є необхідно:
Для полегшення процесу рішення диференціальних та інтегральних рівнянь.
Для дослідження амплітудної та частотної характеристик спектральної щільності, визначеної всюди на числовій осі.
Введемо таке визначення спектральної щільності для неабсолютно інтегровних функцій:
Якщо для заданої функції y = f (t) існує безперервне зображення по Лапласа F (p), то спектральною щільністю функції називається зображення функції по Лапласа при p = iu.
Спектральною щільністю F1 (iu) неабсолютно інтегровною функції називається границя від спектральної щільності F2 (iua) абсолютно інтегрованою функції.