Кореляція і непараметричні критерії відмінності в педагогічних дослідженнях

Міністерство освіти і науки України
Відкритий міжнародний університет розвитку людини "Україна"
Горлівська філія
Кафедра фізичної реабілітації
РЕФЕРАТ
з дисципліни:
Методи досліджень у фізичній культурі і спорті,
фізичної реабілітації
ТЕМА:
"Кореляція і непараметричні критерії відмінності в педагогічних дослідженнях"
Виконав:
студент 2-го курсу групи ФР-06
денного відділення
факультету "Фізична реабілітація"
Орел Олег Альбертович
2008

План
  Кореляція
Непараметричні критерії відмінності
Список літератури

Кореляція

У будь-якому педагогічному процесі складові його фактори знаходяться в тісному взаємозв'язку. Уміння змінити один фактор так, щоб отримати відповідну зміну іншого, зробить педагогічний процес більш цілеспрямованим. У науці розрізняють дві форми взаємозв'язку.
Функціональний зв'язок відображає чітку однозначну залежність, при якій зміна якого-небудь одного фактора неминуче призводить до однозначного зміни іншого. Подібні зв'язки характерні для "точних" наук. У педагогіці вони, якщо і спостерігаються, то в найзагальніших варіантах і в межах якихось умовних кордонів. Встановлення функціональних зв'язків між педагогічними факторами - справа цікава, але надзвичайно проблематичне.
Більш реальним є встановлення так званих статистичних зв'язків, або кореляцій.
Кореляція дозволяє знаходити статистично достовірні кількісні міри зв'язку в тих випадках, коли якому-небудь одному чиннику відповідає не одне, а кілька значень якого-небудь іншого чинника, причому варіюють у якихось межах. Зв'язок в цьому випадку буде виражатися в середніх значеннях, отриманих на цілому ряді змін.
Практична значущість визначення величини і характеру кореляції полягає в тому, що з її допомогою можна встановити функціональну подібність або відмінність між фізичними вправами, наприклад Общеподготовительное та змагальними. Проте, застосовуючи кореляцію, слід пам'ятати, що, по-перше, наявність статистичного зв'язку аж ніяк не означає автоматичного виявлення і причинних зв'язків, тому використовувати кореляційний аналіз для розуміння причинних факторів треба обережно, по-друге, не можна механічно застосовувати кореляцію там, де за природою своєї педагогічні чинники не мають залежністю.
Корелюють фактори поділяються на причинні, тобто ті, які видозмінюються першими, викликають зміни інших факторів, і слідчі, тобто ті, які видозмінюються під впливом причинних факторів. Причому слідчі чинники можуть приймати ряд значень у певних межах. Розрізняють кореляції декількох напрямів:
пряма позитивна кореляція, при якій збільшення причинного фактора викликає збільшення слідчого фактора; наприклад, збільшення сили м'язів-розгиначів ніг позитивно позначається на зростанні результатів у стрибках у висоту з розбігу (В. М. Дьячков, Г. І. Черняєв, 1965).
пряма негативна кореляція, при якій зменшення причинного фактора викликає зменшення слідчого фактора; наприклад, зменшення навантаження призводить до зниження частоти серцевих скорочень;
зворотна позитивна кореляція при якій зменшення причинного фактора викликає збільшення слідчого фактора; наприклад, зменшення довжини дистанції призводить до збільшення швидкості бігу;
зворотна негативна кореляція, при якій збільшення причинного фактора викликає зменшення слідчого фактора; наприклад, збільшення сили м'язів під впливом занять важкою атлетикою може призвести до погіршення результатів у бігу на довгі дистанції (М. І. Майсурадзе, 1962).
Математичне значення кореляції виражається її коефіцієнтом від - 1 (максимальної негативного зв'язку) до +1 (максимальної позитивного зв'язку) десятковими дробами з точністю до другого знака після коми.
Кількісну міру зв'язку прийнято розрізняти по декількох рівнях:
слабкий зв'язок - при коефіцієнті кореляції до 0,30, середня зв'язок - при коефіцієнті кореляції від 0,31 до 0,69, сильний зв'язок - при коефіцієнті кореляції від 0,70 до 0,99.
Коефіцієнт кореляції рівний 1 свідчить про наявність функціонального зв'язку. Якщо зміна одного чинника не впливає на величину іншого, то зв'язок відсутній, тобто дані фактори між собою нейтральні.
Ранговая кореляція Спірмена (кореляція рангів) є одним з найбільш простих способів встановлення міри зв'язку між факторами. Сама назва методу вказує на те, що зв'язок визначається між рангами, тобто рядами отриманих кількісних значень, ранжируваних в спадному або зростаючому порядку. Слід мати на увазі, що, по-перше, рангову кореляцію не рекомендується проводити, якщо пов'язаних пар менше чотирьох і більше двадцяти, по-друге, рангова кореляція дозволяє встановлювати зв'язок і в тому випадку, якщо значення носять, так би мовити, напівкількісний характер, тобто, не маючи числових виразів, відображають чіткий порядок проходження цих величин, по-третє, рангову кореляцію доцільно застосовувати в тих випадках, коли достатньо отримати лише приблизну інформацію.
Щоб розрахувати коефіцієнт рангової кореляції, необхідно:
розташувати кількісні значення причинного фактора в спадному (зростаючому) порядку; наприклад, для встановлення впливу рівня фізичної працездатності лижників (причинний фактор), виявленого за допомогою дозованої навантаження на велоергометрі, на результат у гонці на 15 км (слідчий фактор) рівень фізичної працездатності ранжирувався ( Г. І. миза, 1974) в порядку спадання (колонка "А");
паралельно першому ряду записати відповідні значення слідчого чинника, в даному випадку - результат у гонці на 15 км (колонка "Б"); порядок значень цього фактора буде підпорядкований порядку значень причинного фактора, а тому може не підкорятися принципом зростання або зменшення;
позначити цифрами порядкові місця значень причинного фактора (колонка "а"); природно, що раз значення цього чинника розташовані в порядку спадання, то цифри порядкових місць будуть розташовані в порядку зростання; якщо кількісні показники того чи іншого чинника виявляються однаковими, то їх порядкові місця позначаються тим числом, яке становить середню арифметичну величину їх порядкових місць;
позначити цифрами порядкові місця значень слідчого фактора (колонка "б");
підрахувати число корелюється парних значень (n); в даному прикладі їх 10;
обчислити різницю рангів (d = а - б) зі збереженням відповідного знаку, у даному прикладі: 1 - 2 = - 1 і т.д.;
обчислити квадрат різниці рангів (d ^2), у даному прикладі: - 1 ² = 1 і т.д.;
обчислити суму квадратів різниці рангів (S d ^2); в даному прикладі вона дорівнює 32;
обчислити коефіцієнт кореляції рангів ρ за формулою:

зробити оцінку обчисленого коефіцієнта, тобто встановити, по-перше, чи існує статистично достовірне розходження між отриманим значенням коефіцієнта і нулем, по-друге, проявляться виявлені зв'язку (або їх відсутність), якщо коефіцієнт кореляції буде розраховуватися за тим же самим ознаками, але на інших групах досліджуваних або на тих же самих групах, але в інших умовах; значимість коефіцієнта кореляції рангів визначається двома шляхами:
а) шляхом порівняння з прийнятими рівнями заходи кількісного зв'язку; в даному прикладі величина коефіцієнта кореляції, що дорівнює 0,807, говорить про сильну мірою кількісної зв'язку;
Критичні значення коефіцієнтів кореляції рангів Спірмена (ρ)
б) за таблицею достовірності коефіцієнта кореляції; певний коефіцієнт, що дорівнює 0,807, може бути визнаний значущим в тому випадку, якщо його величина буде перевищувати табличне значення для 10 парних спостережень; за таблицею для 10 пар рівень значимості (Р) дорівнює 0,564 або 0,746, отже : 0,564 <0,807> 0,746 тобто коефіцієнт перевищує Р - = 0,01 і може вважатися значимим з імовірністю помилки менше 0,01.
зробити методичний висновок, тобто з'ясувати внутрішній вирахуваній коефіцієнта кореляції; у наведеному прикладі можна переконано говорити, що серед інших умов на результат в лижній гонці впливає рівень фізичної працездатності спортсмена.
Коефіцієнт кореляції r володіє більш високим ступенем точності кількісної характеристики зв'язку між факторами.
Розрахунок коефіцієнта r проводиться за формулою:

де А і Б - корелюється ряди варіант d _А і d _Б - відхилення варіант від середніх значень цих рядів (різниця між кожним значенням варіанти ряду і середньої арифметичної величиною даного ряду). Точність обчислення за формулою повинна бути досить високою, не менше двох знаків після коми.
Послідовність обчислення коефіцієнта r показана на прикладі результатів дослідження, використаних для демонстрації розрахунку коефіцієнта рангової кореляції.
Скласти таблицю для первинних числових операцій, для чого в перших двох колонках розташувати показники рівня фізичної працездатності (ФР ₁₇₀₎ і показники спортивного результату в гонці на 15 км; ранжування показників не обов'язково.
Обчислити середні арифметичні величини для рівня фізичної працездатності і результату перегонів:

Знайти відхилення показників рядів "А" і "Б" від своїх середніх арифметичних величин (d _А і d _Б). Наприклад: для рівня ФР ₁₇₀ в 24,8 кгм / хв / кг відхилення від середнього значення будуть рівні: 24,8 - 20,0 = + 4,8; для спортивного результату в 63 хв.: 63 - 73 = - 10 і т.д.
Обчислити квадрати знайдених відхилень (d _А ² і d _Б ^2). Отримаємо: + 4,8 ² = 23,04; - 10 ² = 100.
Знайти суми квадратів відхилень:
Визначити твори відхилень (d _А і d _Б). Отримаємо: (+ 4,8) * (- 10) = - 48.
Знайти суму творів відхилень: S d _А d _Б = 174,9 »175.
Підставити знайдене значення в формулу:

Визначити достовірність вирахуваній коефіцієнта кореляції.
Встановлено, що якщо парних факторів менше 100, то оцінку достовірності доцільно проводити за таблицею критичних значень коефіцієнта кореляції.
Критичні значення коефіцієнта кореляції r

Коефіцієнт кореляції визнається статистично значимим з імовірністю помилки <0,05, якщо r> r _05, і з імовірністю помилки <0,01, якщо r> r _01.
Табличні значення наведено для двох рівнів значимості: Р = 0,05 і Р = 0,01. Отриманий коефіцієнт кореляції може вважатися достовірним лише в тому випадку, якщо його числове значення перевищує табличне значення хоча б при рівні значущості Р = 0,05 для даного числа парних факторів. У наведеному прикладі для 10 парних факторів табличні значення становлять: Р ₀₅ + = 0,623, Р ₀₁ = 0,765. Вирахуваний коефіцієнт дорівнює 0,837, тобто він більше табличного значення при Р = 0,01.
Якщо парних факторів більше 100, оцінку достовірності коефіцієнта доцільно розраховувати за формулою середньої помилки коефіцієнта кореляції (m _r):

Прийнято вважати, що достовірним коефіцієнт кореляції може бути визнаний тільки тоді, коли він перевищує свою помилку в 3 і більше разів. У деяких випадках формула може бути використана для оцінки достовірності і при невеликому числі парних факторів, У даному прикладі:

Отриманий коефіцієнт кореляції перевищує свою помилку більш ніж у 8 разів.
Зробити методичний висновок. Виявлено негативна кореляція: найбільш високих показників фізичної працездатності відповідають найменші показники часу проходження дистанції. Значить, чим більш високим рівнем фізичної працездатності має спортсмен, тим краще час (за інших рівних умов) він може показати на дистанції.
Якщо на одному і тому ж матеріалі вирахувані коефіцієнти кореляції ρ і r, то необхідно провести зіставлення їх значень за методом моментів Пірсона. Робиться це в такий спосіб: визначається різниця між абсолютними значеннями двох коефіцієнтів без урахування їх знака.
0,837 - 0,807 = 0,030.

За В.Ю. Урбаха (1964) вважається, що отримана різниця не повинна перевищувати 3%. У наведеному прикладі вона складає 0,025%, а тому перебуває в межах норми.
Коефіцієнт регресії дозволяє встановити кількісну міру зміни слідчого чинника при зміні причинного фактора на одну одиницю. На відміну від показників кореляції - величин відносних, що вимірюють тісноту зв'язку між ознаками в частках одиниці, показники регресії - величини абсолютні: вони характеризують залежність між змінними факторами за їхнім абсолютним значенням (Г. Ф. Лакин "1973).
Стосовно до наведеним прикладом питання в задачі на обчислення може бути сформульовано таким чином: наскільки в середньому покращиться спортивний результат в лижній гонці при збільшенні рівня фізичної працездатності спортсменів на 1 кгм / хв / кг?
Щоб отримати відповідь на поставлене питання, необхідно:
вирахувати коефіцієнт кореляції r; виявилося, що він дорівнює 0,837;
визначити середні квадратичні відхилення для кожного порівнюваного ряду; наприклад, для ФР ₁₇₀ s _A виявилася рівною 2,75, а для результатів в лижній гонці s _Б - 6,14;
отримані значення підставити у формулу коефіцієнта регресії R _АБ:
кгм / хв / кг / хв;
зробити методичний висновок: зі збільшенням рівня фізичної працездатності на 1 кгм / хв / кг спортивний результат поліпшувався в середньому на 0,286 хв.
Коефіцієнти регресії особливо широко використовуються при вивченні параметрів фізичного розвитку дітей, наприклад для визначення середньої заходи збільшення ваги дитини при збільшенні його зростання на 1 см.
У зв'язку з тим, що розбіжності між генеральними сукупностями визначаються за допомогою деяких статистичних параметрів (середньої арифметичної величини, середнього квадратичного відхилення і т.п.), отриманих на вибіркових сукупностях, t критерій Стьюдента відноситься до так званих параметричним критеріям (крім цього критерію існують та інші параметричні критерії).
Застосовувати їх доцільно в тих випадках, коли зібрані дослідником дані, по-перше, мають кількісну міру (тобто виражені в будь-яких одиницях вимірювання, наприклад в метрах, секундах, балах), по-друге, утворюють варіаційний ряд, що володіє властивістю нормального розподілу, при якому коливання всіх варіант в обидві сторони від їх середньої арифметичної величини приблизно однакове, симетричне.

Непараметричні критерії відмінності

У педагогічних дослідженнях нерідко виникає потреба розрахувати достовірність відмінностей між невеликими сукупностями показників, які або мають порядковий, а не кількісний характер вираження (наприклад, місця, зайняті спортсменами на змаганні), або не підкоряються закону нормального розподілу (тобто у варіаційному ряду середня арифметична величина різко зміщена у бік великих або менших варіант).
У таких випадках вдаються до використання непараметричних критеріїв відмінності.
При виборі параметричних або непараметричних критеріїв слід мати на увазі, що найбільшою статистичної потужністю (більшою чутливістю, кращою роздільною здатністю) відрізняються параметричні критерії (Г. Ф. Лакин, 1973). Тому в тих випадках, коли є варіаційний ряд кількісних показників без явних ознак асиметричності, слід починати обробку за допомогою параметричних критеріїв. Якщо вона дасть результати, далекі від граничних значень критерію, можна ними задовольнитися; якщо ж результати виявляться на межі значень достовірності, слід перевірити, чи є вірогідність різниці, за допомогою непараметричних критеріїв (не випадково їх називають ще "допоміжними критеріями"). Подібне дублювання обробки ніколи не виявиться зайвим, бо витрати часу, до речі не такі вже й значні, окупляться більшою достовірністю висновків.
Свою назву непараметричні критерії отримали тому, що не потребують обчисленні параметрів, що характеризують ті чи інші вибірки (середнього арифметичного, середнього квадратичного і т.п.). У зв'язку з тим, що непараметричні критерії застосовні не тільки до варіантів з числовим виразом, але й до варіантів порядкового характеру, їх називають ще порядковими критеріями.
Непараметричні критерії на відміну від параметричних мають просту конструкцію, не вимагають великої обчислювальної роботи, можуть оцінювати варіаційні; ряди порядкового характеру будь-якої форми розподілу. Крім того, вони дозволяють оцінювати порівняно невеликі вибірки (до речі, навіть таблиці значення критерію складені на число варіант менше 30), що знову-таки надзвичайно важливо для педагогічних досліджень.
Існує кілька непараметричних критеріїв, залежно від конструкції і статистичної потужності. Кожен з них специфічний у вирішенні тих чи інших завдань дослідження. Найбільш поширеними в педагогічних і біологічних дослідженнях є критерій Уайта і критерій Вілкоксона.
Критерій Уайта. Умовне позначення цього критерію - Т. Він здатний виявити відмінності між двома сукупностями за їх провідним тенденціям, однак не оцінюючи ступеня коливання варіант. Тому дві вибірки з одно вираженими тенденціями, але з різними межами коливань будуть кваліфіковані критерієм Уайта як однакові.
Критерій Уайта застосуємо при порівнянні однакових і різних за обсягом вибірок.
Черговість числових операцій показана на прикладі дослідження, завдання якого визначення ефективності методів розучування рухової дії по частинах і в цілому.
Отримані значення (у даному прикладі бали, при розучуванні по частинах - V _r - 8,0; 8,6; 8,5; 9,0; 9,6; 9,5; при розучуванні в цілому - V _Ц - 8, 1; 8,0; 8,2; 8,3; 8,7; 8,6; 9,4) в обох вибірках розташувати в загальний ряд відповідно до їх рангами у зростаючому порядку.
Щоб полегшити наступні цифрові операції,, доцільно побудувати ступінчасті ряди показників та їх рангів (R): у верхньому ступінчастому ряду розташувати отримані в дослідженні показники у зростаючому порядку, а в нижньому - їхні ранги:
Як видно, ступінчастий ряд показників починається з найменшого показника для обох вибірок, а потім перераховуються всі інші, причому на верхній "сходинці" для однієї вибірки, а на нижній - для іншої. Якщо у двох вибірках зустрічаються рівні показники, то байдуже, який з них буде стояти першим, а який - другим (з верхньої половини ряду або з нижньої), так як в цьому випадку ранг обчислюється шляхом ділення суми рангів, що мають однакові значення показників, на число таких однакових показників. У даному прикладі показники 8,0 і 8,0 займають перше і друге місця в загальному, ступінчастому ряду і мають однаковий середній ранг 1.5
Створюється враження, що оцінки V _r краще, та й середня арифметична величина М _r вище, ніж М _ц. Чи дійсно оцінки V _r вище, а отже, і метод розучування по частинах в даних умовах ефективніший, ніж метод розучування в цілому, покажуть наступні розрахунки.
Обчислити суми рангів Т _r і T _ц для рядів _{R r} і R _ц. У даному прикладі: Т _r = 50, T _ц = 41.
Перевірити правильність обчислення суми рангів рядів, для чого обчислити її двома способами:
а) Т _ч + T _ц = 50 + 41 = 91;
б)

Подібна проста перевірка надзвичайно важлива, тому що від точності ранжирування залежить висновок про достовірність відмінності вибірок.
Суми рангів кожного ряду відрізняються один від одного на 9 одиниць. Потрібно визначити, чи може ця різниця вважатися настільки значущою, щоб говорити про більшу ефективність одного з методів розучування.
Для цього меншу (обов'язково меншу!) Суму рангів (в даному випадку 41) слід порівняти з табличним коефіцієнтом Т за таблицею "Значення критерію Уайта". Якщо Т виявиться більше меншої суми рангів, але не рівною їй (Т> 41), то наявна різниця між двома вибірками вважається достовірною.
Значення критерію Уайта при Р = 0,95 (за Д. Сепетліеву, 1968)
Визначити коефіцієнт Т. Він визначається за кількістю варіант в кожному ряду. У даному прикладі n _ч = 6, п _ц = 7; для даних обсягів виборів табличний коефіцієнт Т = 27 при порозі довірчої ймовірності Р = 0,95.
Порівняти табличний коефіцієнт Т = 27 з меншою сумою рангів: Т = 27 <41.
Зробити висновок. У даному прикладі: порівнювані методи розучування за даних умов (вигляді розучуваного рухової дії, рівень підготовленості займаються кваліфікації викладача і т.п.) в принципі мають однаковою ефективністю. Більш високі оцінки при методі розучування по частинах можуть бути наслідком будь-яких спонтанних факторів.
Про деякі приватних варіантах використання критерію Уайта можна прочитати в книзі В.Ю. Урбаха "Математична статистика для біологів і медиків" (М., изд. АН СРСР, 1963, стр.275 - 276).
Якщо отримане значення відмінності виявиться дуже близьким до граничного значення табличного коефіцієнта, а отже, викликає сумнів, то необхідно використовувати більш потужний, хоча й більш громіздкий, критерій ван дер Варден (він описується в багатьох посібниках, в тому числі і в названій книзі В. Ю. Урбаха, стр.276 - 279).
Критерій Влікоксона. Умовне позначення цього критерію - Z. Він застосовується в тих випадках, коли необхідно порівняти відмінності між парними варіантами, складовими дві вибірки. Парних варіант має бути не менше 6. Із критеріїв, за допомогою яких можна вирішити подібні завдання, критерій Вілкоксона є найбільш статистично потужним, а за конструкцією порівняно простим. Саме тому він має найбільше поширення.
Методика обчислення показана на прикладі лабораторного дослідження, проведеного з метою встановлення порівняльної ефективності комплексів фізичних вправ з вольовим напруженням м'язів. Одним з показників, за яким оцінювалася ефективність комплексу, було зміна сили м'язів руки при стисканні динамометра. Було підібрано 9 ідентичних; пар займаються, кожна з яких мала однаковий вихідний рівень динамометрії.
У кожній парі один займається застосовував комплекс вправ з вольовим напруженням м'язів ("силовий комплекс"), а другий - той же самий комплекс вправ, але без вольового напруження м'язів ("звичайний комплекс").
Врівноваження пар на основі початкових показників динамометрії дозволяло (серед інших способів обробки результатів) порівняти абсолютні значення кінцевих показників динамометрії.
Черговість числових операцій:
Накреслити сітку таблиці.
Внести до графи "Силовий" і "Звичайний" кінцеві значення динамометрії у кожній з 9 пар (наприклад: 55 і 54 кг і т.д.).
Вирахувати різницю між кінцевими значеннями динамометрії, зберігаючи при цьому відповідний знак (наприклад: 60 - 61 = - 1).
Провести ранжування всіх показників різниці, починаючи з найменшого та закінчуючи найбільшою. При цьому враховуються лише абсолютні значення різниці, тобто чим більше різниця, незалежно від її знака, тим більше повинен бути ранг. У даному прикладі 1 та - 1 мають однаковий ранг 2 і менший, ніж у - 6.
Якщо в порівнюваних парі значення показників рівні (наприклад: 56 і 56 кг), тобто різниця дорівнює нулю, то вони випадають з подальших розрахунків, і всі обчислення повинні проводитися не з 9 сполучених пар, а з 8.
Ранжируваною показниками різниці присвоїти відповідні ранги. Якщо кілька показників різниці мають однакові значення (наприклад: - 1, - 1 і 1), то кожному з них присвоюється середній ранг, вираховується за правилом середньої арифметичної величини (наприклад: ; Ранги в наведеному прикладі: 2; 2; 2 і т.д.). Вирахувати суми рангів окремо з негативними та позитивними знаками. У даному прикладі вони рівні 11, 5 і 24,5. Вирахувати суму всіх рангів. У даному прикладі вона дорівнює 36. Перевірити вирахувала суму всіх рангів за формулою:
Значення критерію Вілкоксона для сполучених рядів (за В. Ю. Урбах, 1964)
Визначити табличний критерій z для рівня значимості 0,05 і числа порівнюваних пар за таблицею "Значення критерію Вілкоксона".
У наведеному прикладі для 8 парних спостережень він буде дорівнює 5.
Порівняти найменшу суму рангів (в даному прикладі 11,5) з табличним значенням критерію z (у даному прикладі 5): 2 = 5 <11,5, тобто менше суми рангів.
Різниця в сполучених парах вважається достовірною, якщо табличне значення критерію більше отриманої в дослідженні меншої суми рангів. У наведеному прикладі воно виявилося меншим, отже, між досліджуваними вибірками немає достовірності відмінності.
Зробити педагогічний висновок: при зовнішніх ознаках переваги "силового" комплексу фізичних вправ перед "звичайним" комплексом воно не є достовірним за даними динамометрії за умови застосування цих комплексів людьми, що мають схожі характеристики з піддослідними в даному дослідженні.
Якщо число пов'язаних пар в дослідженні більше 25 (тобто перевищує число значень критерію, які дані в таблиці), то розрахунки проводяться іншими способами (В. Ю. Урбах, 1963, стор.289).

Список літератури

1. Масальгін Н.А. Математико-статистичні методи в спорті. М., ФиС, 1974.
2. Методика і техніка статистичної обробки первинної соціологічної інформації. Відп. ред. Г.В. Осипов. М., "Наука", 1968.
3. Начінская С.В. Основи спортивної статистики. - К.: Вища шк., 1987. - 189 с.
4. Толоконцев Н.А. Обчислення середнього квадратичного відхилення за розмахом. Порівняння із загальноприйнятим методом. Тези доповідей третього наради щодо застосування математичних методів у біології. ЛДУ, 1961, стор.83 - 85.
5. Фаламеев А.І., Видрін В.М. Науково-дослідна робота у важкій атлетиці. ГДОІФК ім. П.Ф. Лесгафта, 1974.