Деякі поняття вищої матаматікі

Вища математика

Слухач - Никифоров Михайло Миколайович

Курс 1. АПМ-03. Семестр осінній. 2003 рік.

Матриця - сукупність чисел, записаних у вигляді прямокутної таблиці.

Мінор ом для елемента а _ig називається визначник матриці, отриманий з вихідної, викреслюванням i-го рядка і g-ого стовпця.

Матриці з нульовим визначником називаються виродженими або особливими. Особлива матриця зворотного не має. . .

B _pq погоджено з A _mn, якщо число рядків дорівнює числу стовпців У А, тобто p = n. Одне погодження.

1. Якщо один стовпець або один рядок всі нулі, то | | = 0.

2. Якщо в матриці є 2 рівних стовпця або 2 рівних рядка, то | | = 0.

3. Трикутна матриця. Всі елементи вище або нижче головної діагоналі = 0. Тоді визначник матриці дорівнює добутку діагональних елементів.

4. При зміні місцями 2 рядків або 2 стовпців визначник змінює знак.

5. Визначник матриці, що містить 2 пропорційні рядки або стовпці дорівнює нулю.

6. Визначник матриці дорівнює сумі творів деякою рядки на відповідні алгебраїчні доповнення.

Системи рівнянь з матрицями

Система 1 спільна, якщо має хоча б одне рішення.

Система 1 певна, якщо є тільки 1 рішення і невизначена, якщо більше 1 рішення.

Ранг матриці.

Ранг нульової матриці дорівнює 0.

Ранг одиничної матриці _nm дорівнює n.

Ранг тріпсідальной матриці дорівнює числу ненульових рядків.

При елементарних перетвореннях матриці ранг її залишається незмінним.

При додаванні до матриці рядка або стовпця ранг її може тільки збільшитися або залишитися незмінним.

Лекція 5.

.

Зауваження: 1) Немає рішення

2) . N-число невідомих

а) r = n - одне рішення

б) r <n - безліч рішень, залежать від S = n - r параметрів.

Векторна алгебра

Проекція вектора на вісь:

Проекцією точки на пряму називається підстава перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму. Проекція АВ на х це число | A ^'B' | взяте зі знаком +, якщо кут гострий і зі знаком - якщо кут тупий.

,

.

Скалярний добуток векторів

.

Ознака перпендикулярності .

Векторний добуток векторів

; ;

Об'єм піраміди ;

Змішане твір векторів

Якщо - Кути, які становить вектор а з координатними осями, то , Звідки слід

Умова колінеарності

ab = 0 - перпендикулярність

- Колінеарність

abc = 0 - компланарність

Аналітична геометрія

Площина в просторі

Нормаль і точка прив'язки однозначно визначають положення площини в просторі.

-

канонічне рівняння (1)

Загальне рівняння площини

, Де ,

де А, В, С - координати нормалі, D - вільний член, x, y, z - поточний координати.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору N = (A; B; C), має вигляд

Рівняння площини, що проходить через три задані точки записують у вигляді

Рівняння площини у відрізках

Нормальне рівняння площини , Де p - відстань від початку координат.

Нормуючий множник

Відстань від точки до площини

Кут між площинами

Умови паралельності і перпендикулярності ;

Рівняння пучка площин:

Прямі лінії в просторі.

-Рівняння прямої

- Параметричне рівняння прямої.

- Канонічне рівняння прямої.

Рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки

Кут між 2 прямими

Взаємне розташування 2 прямих.

1. (Можуть лежати і на одній прямій)

2. (Можуть схрещуватися)

3. . Якщо (3) , То схрещуються.

Взаємне розташування прямої і площини

1.

2.

3. Кут між прямою і площиною

4.

Аналітична геометрія на площині.

Прямокутна декартова система координат на площині

Відстань між 2 точками .

Якщо задані точки А і В і крапка З ділить відрізок АВ у відношенні , Тобто , То .

Рівняння прямої на площині

Ax + By + C = 0;

Рівняння прямої у відрізках .

Рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки .

Рівняння прямої, що проходить через точку, під заданим кутом до осі Ох ( ):

Відстань від точки до прямої

1.

2.

3.

Окружність

Рівняння кола з центром в M (a; b) радіусом R

Рівняння кола з центром в початку координат

Еліпс

Еліпс - геометричне місце точок, для яких сума відстаней до двох заданих точок площини (фокусів еліпса) є незмінною, , Ніж відстань між фокусами.

Позначимо M (x; y) - довільна точка еліпса, 2с - відстань між фокусами F ₁ і F _2; 2а - сума відстаней від точки М до F ₁ і F ₂ (a - велика піввісь еліпса). - Мала піввісь еліпса. .

Тоді канонічне рівняння еліпса має вигляд .

Число називається ексцентриситетом еліпса і характеризує сплюснутістю еліпса щодо осей . Якщо , То виходить коло. A = b.

Гіпербола

Гіпербола - геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох заданих точок (фокусів) є постійна величина, менша, ніж відстань між фокусами.

Якщо M (x; y) - точка гіперболи; F _1, F ₂ - фокуси, 2с - відстань між фокусами, 2а - різниця відстаней від точки М (х; y) до фокусів , Де а - дійсна піввісь гіперболи. - Уявна піввісь гіперболи.

Канонічне рівняння гіперболи .

Гіпербола перетинає вісь Ох в точках і , З віссю Оу перетинань немає.

Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких .

Ексцентриситет гіперболи .

Парабола

Парабола - геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки F - фокусу і заданої прямої - директорки параболи. Якщо вісь абсцис співпадає з перпендикуляром, опущеним з фокусу на директрису, а початок координат ділить цей перпендикуляр навпіл, то канонічне рівняння має вигляд .

Ексцентриситет параболи - Відношення відстані від точки параболи до директорки до відстані від цієї точки до фокусу.

Загальне рівняння другого порядку

- Загальне рівняння кривої другого порядку

Паралельний перенос: .

Поворот осей:

- Інваріанти. - Дискримінант

Якщо > 0, то рівняння еліптичного виду

Якщо <0, то рівняння гіперболічного типу

Якщо = 0, то рівняння параболічного типу

Вибираємо кут так, щоб B '= 0, тоді

(1) (B = 0)

1. . Здійснюємо паралельний перенос для знищення членів .(**) ** Підставляємо в

(1) +

(2) (3)

а) > 0 - еліптичний вигляд

A `C`> 0 (одного знака)

Якщо F ``> 0, то пусте безліч

Якщо F `` = 0, то одна точка (x `` = 0, y `` = 0)

Якщо F `` <0, то отримаємо еліпс у вигляді , Де

б) <0 (гіперболічний вид) A 'C' <0 (різні знаки). Нехай A '> 0

A `= , , , Тоді .

Якщо F ₀ = 0, то , Отримуємо пару пересічних прямих.

Якщо F _0> 0, то (Гіпербола)

Якщо F ₀ <0, то (Гіпербола, де осі помінялися місцями)

в) (Параболічний тип) A `C` = 0

(5)

а) D `= E` = 0, нехай

б)

** В (5)

, Де 2р = , Якщо p> 0, то парабола .

Теорія меж

Число а називається межею послідовності x _n для будь-якого ( ) Як завгодно малого додатного числа знайдеться номер, що залежить від , Починаючи з якого всі члени послідовності відрізняються від а менше, ніж на .

Межа послідовності

Під числовий послідовністю розуміють функцію , Задану на множині натуральних чисел тобто функцію натурального аргументу.

Число a називається межею послідовності x _n (X = 1,2, ...): = А, якщо для будь-якого як завгодно малого > 0, існує таке число N = N ( ), Що для всіх натуральних n> N виконується нерівність .

1) , - Натуральне число. Якщо x _n = a, то (a, a, a, a) - стаціонарна послідовність.

2) , Де a, d - const, тоді (a, a + d, a +2 d, ... a + (n-1) d)

x _{n +1} = x _{n + d} - рекуррентная формула.

3) Числа Фібоначчі. (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...), де x _1, x ₂ = 1 і .

(*);

- Епсилон - околиця числа а.

1. .

2.

Основні теореми межах

1. Про єдиний межі. Послідовність має не більше 1 межі.

2. Граничний перехід у нерівності.

3. Про три послідовностях. Про стислій послідовності.