Визначник матриці

Дисципліна: Вища математика
Тема: Визначник матриці

1. Поняття визначника

Матриця - це прямокутна таблиця, складена з чисел. Особливе місце серед матриць займають квадратні матриці. Розглянемо довільну квадратну матрицю порядку або просто :
.
Виявляється, що з такою матрицею завжди можна зв'язати цілком певну числову характеристику.
Визначення 1. Чисельна характеристика квадратної матриці називається її визначником.
Розглянемо матрицю першого порядку .
Визначення 2. Чисельної характеристики матриці першого порядку, тобто визначником першого порядку, називається величина її елемента .
Позначається визначник одним із символів .
Визначення 3. Визначником другого порядку, відповідним матриці другого порядку, називається число, рівне .
Позначається визначник одним із символів
.
Очевидно, що для складання визначника другого порядку, необхідно знайти різницю твори елементів, що стоять на головній діагоналі матриці, і твори елементів, що стоять на побічної діагоналі цієї матриці.
Оскільки одна з форм позначення визначника і позначення матриці мають багато спільного (записується таблиця з чисел), то так само, як і в матриці, говорять про стовпцях, рядках і елементах визначника.
Після того як розглянуті визначники 1-го і 2-го порядків, можна перейти до поняття визначника будь-якого порядку. Але перед цим введемо поняття мінору.
Визначення 4. Мінором будь-якого елементу квадратної матриці порядку називається визначник порядку , Відповідний тієї матриці, яка виходить з первісної матриці в результаті викреслювання -Го рядка і -Го стовпця, на перетині яких стоїть елемент .
Зазвичай мінор елемента позначається .
Визначення 5. Визначником порядку , Відповідним матриці порядку , Називається число, рівне
.
Позначається визначник одним із символів
.
Наведене вираз являє собою правило обчислення визначника -Го порядку за елементами першого рядка відповідної йому матриці і по мінору елементів цього рядка, які є визначниками порядку . Для це правило дає:
.
У наведеному правилі обчислення визначника фігурує лише перший рядок. Виникає питання, а чи не можна обчислити визначник, використовуючи елементи інших рядків?
Теорема 1. Який би не був номер рядка ( ), Для визначника -Го порядку справедлива формула
,
звана розкладанням цього визначника по -Ої рядку.
Неважко помітити, що в цьому формулюванні ступінь за (-1) дорівнює сумі номерів рядка та стовпця, на перетині яких стоїть елемент .
Доведемо спочатку цю теорему для . У цьому випадку може бути одно тільки 2, так як входить в основне визначення величини визначника. Отже:
.
Отримане вираження збігається з тим, яке було надане у визначенні, отже, для визначника 2-го порядку теорема доведена.
Для довільного дана теорема доводиться методом математичної індукції.
Отже, показано, що визначник може бути розкладений по будь-якому рядку. Виникає питання, а чи не можна зробити те ж саме, використавши довільний стовпець.
Теорема 2. Який би не був номер стовпця ( ), Для визначника -Го порядку справедлива формула
,
звана розкладанням цього визначника по -Му стовпцю.
Доведемо теорему для :
.
Цей вираз дорівнює величині визначника, введеної за визначенням.
Отже, на підставі теорем можна сказати, що для обчислення визначника -Го порядку необхідно його розкласти по довільному рядку або стовпцю.

2. Властивості визначників

Розглянемо ряд властивостей, якими володіють визначники.
1. Рівноправність рядків і стовпців.
Визначення 1. Транспонування визначника називається операція, в результаті якої міняються місцями рядки і стовпчики з збереженням порядку їх слідування.
Визначник, отриманий в результаті транспонування, називається транспонований по відношенню до вихідного і позначається .
Властивість 1. При транспонуванні величина визначника зберігається, тобто .
Доказ цієї властивості випливає з того, що розкладання визначника по першій рядку тотожно збігається з розкладанням по одну колонку. Дана властивість вказує на рівноправність рядків і стовпців, тому всі подальші властивості можна розглядати лише для рядків.
2. Антісімметрія при перестановці двох рядків.
Властивість При перестановці місцями двох рядків визначник зберігає свою абсолютну величину, але змінює знак на протилежний.
Доведемо для визначника другого порядку. Дійсно,
; .
Для визначника -Го порядку доведемо цю властивість по індукції. Нехай властивість справедливо для визначника -Го порядку. Розкладемо визначник -Го порядку по будь-якому рядку, відмінною від переставлених. Тоді переставлені рядки входять у всі мінори, на які множаться елементи , Але ці мінори є визначниками -Го порядку і змінюють свій знак при перестановці рядків. Отже, і визначник -Го порядку також змінює свій знак.

3. Лінійне властивість визначника.

Визначення Деяка рядок ( ) Є лінійною комбінацією рядків ( ) І ( ) З коефіцієнтами і , Якщо .
Користуючись цим визначенням, перейдемо до самого властивості.
Властивість 3. Якщо у визначнику -Го порядку деяка рядок ( ) Є лінійною комбінацією двох рядків ( ) І ( ) З коефіцієнтами і , То , Де - Визначник, у якого -Ий рядок дорівнює ( ), А всі інші - ті ж, що і у , А - Визначник, у якого -Ий рядок дорівнює ( ), А всі інші - ті ж, що і у .
Для доказу розкладемо кожен з визначників по -Ої рядку. Очевидно, що у всіх розкладів мінори відповідних елементів будуть однакові. Обчислимо :

Отже, властивість доведено. Очевидно, воно справедливо і для стовпців.
Наведені три властивості називаються основними. Решта є їх наслідками.
Властивість 4. Множення всіх елементів деякої рядка або стовпця визначника на число рівносильно множенню визначника на число .
Для доказу покладемо у властивості 3 , Тоді отримаємо . Значить, загальний множник всіх елементів деякого ряду можна виносити за визначник.
Властивість 5. Якщо всі елементи деякої рядка або стовпця визначника рівні 0, то й сам визначник дорівнює 0.
Для доказу розкладемо визначник за нульовим ряду.
Властивість 6. Визначник з двома рівними рядками або стовпцями дорівнює 0.
Дійсно, переставивши місцями рівні рядки або стовпці, отримаємо той же визначник, але по властивості 2 його знак зміниться на протилежний. Отже, з одного боку , А з іншого . Отже, .
Властивість 7. Якщо відповідні елементи двох рядків або стовпців визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
Дійсно, відповідно до властивості 4 загальний множник можна виносити за визначник, і ми отримаємо визначник з двома рівними рядками, який за властивістю 6 дорівнює нулю.
Властивість 8. Якщо до елементів деякої рядка або стовпця визначника додати відповідні елементи іншого рядка або стовпця, помножені на довільний множник , То величина визначника не зміниться.
Доказ. Розглянемо визначник . Додамо до елементів другого рядка елементи першої з коефіцієнтом :
.
Тоді, за властивості 3 отримаємо:
.
Після перерахування всіх властивостей визначників введемо ще одне визначення.
Визначення 3. Алгебраїчні доповнення даного елемента визначника -Го порядку називається число, рівне , Яке позначається .
Значить, алгебраїчне доповнення відрізняється від відповідного мінору тільки лише знаком. Тепер величину визначника можна обчислити за допомогою формул:
.
Користуючись властивостями, будь визначник можна обчислити не на підставі основного правила, а попередньо спростивши його (приводячи, наприклад, до трикутного вигляду).

Література

1. Артамонов В'ячеслав Введення у вищу алгебру та аналітичну геометрію. Вид-во: Факторіал, Факторіал Прес, 2007. - 128с.
2. Бугров Я.С., Нікольський С.М. ВИЩА МАТЕМАТИКА У 3-х томах Том 1 Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії 8-е видання. Видавництво: ДРОФА, 2006. - 284с.
3. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державець В.В., Юруть І.Є. Індивідуальні завдання з вищої математики. У 4 частинах. Частина 1. Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Мінськ: Вища школа, 2007.
4. Черненко В.Д. Вища математика в прикладах і задачах. У трьох томах. ПОЛІТЕХНІКА, 2003.
5. Шипачьов В.С. Вища математика ізд.7 Вид-во: ВИЩА ШКОЛА, 2005. - 479с.