МІНІСТЕРСТВО АГЕНСТВО ДО ОСВІТИ
Державна освітня установа вищої НАУКИ
Курсова робота
За курсом «Підземна гідромеханіка»
Тема: «Висновок рівняння Лапласа. Плоскі задачі теорії фільтрації "
2009
Зміст
Введення
1. Диференціальні рівняння руху стисливої і нестисливої рідини в пористому середовищі. Висновок рівняння Лапласа.
2. Плоскі задачі теорії фільтрації
2.1 Приплив до досконалої свердловині
2.1.1 фільтрації потік від нагнітальної свердловини до експлуатаційної
2.1.2 Приплив до групи свердловин з віддаленим контуром живлення
2.1.3 Приплив до свердловини в пласті з прямолінійним контуром харчування
2.1.4 Приплив до свердловини, розташованої поблизу непроникною прямолінійною кордону
2.1.5 Приплив до свердловини в пласті з довільним контуром харчування
2.1.6 Приплив до нескінченних ланцюгам і кільцевих батареям свердловин
2.1.6.1 Приплив до свердловин кільцевої батареї
2.1.6.2 Приплив до прямолінійної батареї свердловин
2.1.7 Метод еквівалентних фільтраційних опорів
Висновок
Література
Введення
Підземна гідромеханіки - наука про рух рідин, газів та їх сумішей у пористих і тріщинуватих гірських породах - теоретична основа розробки нафтових і газових родовищ, одна з профілюючих дисциплін у навчальному плані промислового та геологічного факультетів нафтових вузів.
В основі підземної гідравліки лежить уявлення про те, що нафта, газ і вода, укладені в пористому середовищі, становлять єдину гідравлічну систему.
Теоретичною основою ПГД є теорія фільтрації - наука, що описує даний рух флюїду з позицій механіки суцільного середовища, тобто гіпотези суцільності (нерозривності) течії.
Особливістю теорії фільтрації нафти і газу в природних пластах є одночасний розгляд процесів в областях, характерні розміри яких різняться на порядки: розмір пор (до десятків мікрометрів), діаметр свердловин (до десятків сантиметрів), товщини пластів (до десятків метрів), відстані між свердловинами (сотні метрів), протяжність родовищ (до сотень кілометрів).
У цій роботі виводиться основне рівняння Лапласа і розглядаються плоскі задачі теорії фільтрації, а так само їх рішення.
1. Диференціальні рівняння руху стисливої і нестисливої рідини в пористому середовищі. Висновок рівняння Лапласа
При виведенні диференціального рівняння руху стисливої рідини вихідними рівняннями є наступні:
закон фільтрації рідини; у якості закону фільтрації приймаємо лінійний закон фільтрації, що виражається формулами (3.1)
, (3.1)
рівняння нерозривності (3.2)
, (3.2)
рівняння стану. Для краплинної стисливої рідини рівняння стану може бути представлено у вигляді (3.3)
, (3.3)
де - Щільність рідини при атмосферному тиску
.
Підставляючи в рівняння нерозривності (3.2) замість проекцій швидкості фільтрації vx, vy і vz їх значення з лінійного закону, що виражається формулою (3.1), отримаємо:
, (3.4)
рівняння стану (3.3) маємо:
, (3.5)
Звідки
,
,
. (3.6)
Підставляючи ці значення приватних похідних ,
і
в рівняння (3.4), отримаємо:
Вводячи оператор Лапласа
рівняння (3.7) більш коротко можна написати у вигляді
, (3.8)
Враховуючи, що
, (3.9)
рівняння (3.7) можна приблизно уявити у вигляді:
, (3.10)
Рівняння (3.7) або наближене його заміняє рівняння (3.10) є шукане диференціальне рівняння несталого руху стисливої рідини в пористому середовищі. Згадані рівняння мають вигляд «рівняння теплопровідності», інтегрування якого при різних початкових і граничних умовах розглядається в кожному курсі математичної фізики.
Рішення різних задач про несталому русі однорідної стисливої рідини в пористому середовищі, засноване на інтегруванні рівняння (3.7) при різних початкових і граничних умовах, дається в книгах В. Н. Щелкачева, І. А. Чарного і М. Маскет. При усталеному русі стисливої рідини і замість рівняння (3.7) маємо:
, (3.11)
Рівняння (3.11) називається рівнянням Лапласа.
При усталеною і несталою фільтрації нестисливої рідини щільність рідини постійна отже, величина, що стоїть в правій частині рівняння (3.4), дорівнює нулю. Скорочуючи ліву частину цього рівняння на постійну і виконавши диференціювання, отримаємо:
, (3.12)
Таким чином, усталена і несталі фільтрація нестисливої рідини описується рівнянням Лапласа (3.12).
2. Плоскі задачі теорії фільтрації
При розробці нафтових і газових родовищ (НГМ) виникає два види завдань:
1. Задається дебіт свердловин і потрібно визначити необхідну для цього дебіту забойное тиск і, крім того, тиск у будь-якій точці пласта. У даному випадку величина дебіту визначається значенням граничної для наявних колекторів депресією, при якій ще не наступає їх руйнування, або міцності свердловинного обладнання, або фізичним змістом. Останнє означає, наприклад, неможливість встановлення нульового або негативного вибійного тиску.
2. Задається забойное тиск і потрібно визначити дебіт. Останній вид умови зустрічається найчастіше в практиці розробки НГМ. Величина вибійного тиску визначається умовами експлуатації. Наприклад, тиск повинен бути більше тиску насичення для запобігання дегазації нафти в пласті або випадання конденсату при розробці газоконденсатних родовищ, що знижує продуктивні властивості свердловин. Нарешті, якщо можливий винос піску з пласта на вибій свердловини, то швидкість фільтрації на стінці свердловини повинна бути менше деякої граничної величини.
Помічено, що при експлуатації групи свердловин в однакових умовах, тобто з однаковим забійними тиском, дебіт всього родовища зростає повільніше збільшення числа нових свердловин з тими ж забійними умовами (рис.4.1). Збільшення дебіту при цьому вимагає пониження вибійного тиску.
Для вирішення поставлених завдань вирішимо завдання плоскою інтерференції (накладення) свердловин. Припустимо, що пласт - необмежений, горизонтальний, має постійну потужність і непроникні підошву і покрівлю. Пласт розкритий безліччю скоєних свердловин і заповнений однорідною рідиною або газом. Рух рідини - усталене, підкоряється закону Дарсі і є плоским. Плоске рух означає, що протягом відбувається в площинах, паралельних між собою і картина руху у всіх площинах ідентична. У зв'язку з цим розбирається протягом в одній з цих площин - в основній площині течії.
Рішення задач будемо будувати на принципі суперпозиції (накладення) потоків. Заснований на цьому принципі метод суперпозиції полягає в наступному.
При спільній дії в пласті декількох стоків (експлуатаційних свердловин) або джерел (нагнітальних свердловин) потенційна функція, визначена кожним стоком (джерелом), обчислюється за формулою для єдиного стоку (джерела). Потенційна функція, обумовлена всіма стоками (джерелами), обчислюється шляхом алгебраїчного додавання цих незалежних один від одного значень потенціальної функції. Сумарна швидкість фільтрації визначається як векторна сума швидкостей фільтрації, викликана роботою кожної свердловини (ріс.4.2b).
Нехай у необмеженій пласті діє n стоків з позитивним масовим дебітом G і джерел з негативним дебітом (рис. 4.2a) .. Потік в околі кожної свердловини в цьому випадку плоскорадіален і потенціал
, (4.1)
де i - номер свердловини; ri - відстань між деякою точкою пласта М і центром свердловини під номером i.
Користуючись методом суперпозиції, визначимо потенціал складного потоку
, (4.2)
де
.
Залежність (4.2) фізично означає, що фільтраційні потоки від роботи кожного джерела-стоку накладаються один на одного. Оскільки пласт передбачається необмеженим, то потенціал на нескінченності дорівнює нескінченності. У центрах стоків-джерел (ri = 0) потенціал також дорівнює нескінченності.
Якщо рідина нестислива, то замість масових дебітів можна використовувати об'ємні дебіти Q в залежності (4.2).
Для визначення рівнянь еквіпотенціальних поверхонь (ізобар) слід мати на увазі, що у всіх точках цих кривих значення потенціалу (тиску) повинно залишатися незмінним. Т.ч. прирівнюючи (4.2) до деякої постійної отримаємо
, (4.3)
де П - знак твору; С1 - постійна.
Якщо дебіти всіх свердловин рівні за величиною, то
, (4.4)
Лінії струму утворюють сімейство кривих, ортогональних ізобарах.
Метод суперпозиції можна використовувати не тільки в нескінченних пластах, але і в пластах, що мають контур живлення або непроникну кордон довільної форми. У цьому випадку для виконання тих чи інших умов на кордонах вводяться фіктивні стоки або джерела за межами пласта. Фіктивні свердловини в сукупності з реальними забезпечують необхідні умови на кордонах і завдання зводиться до розгляду одночасної роботи реальних і вигаданих свердловин в необмеженій пласті. Даний метод називається методом відображення джерел та стоків.
2.1 Приплив до досконалої свердловині
Формула (4.2) основна у вирішенні завдань інтерференції свердловин. Розглянемо застосування цієї формули у випадках: фільтраційного потоку від нагнітальної свердловини до експлуатаційної; пласта з довільним контуром харчування, але віддаленим від свердловин і пласта з прямолінійним контуром харчування.
2.1.1 фільтрації потік від нагнітальної свердловини до експлуатаційної
Нехай сток О1 і джерело О2 равнодебітни, тобто мають однакові по модулю масові дебіти G. Відстань між джерелом і стоком одно 2а. Досліджуємо потік від джерела до стоку.
Проведемо вісь 0 х через точки О1 і О2 таким чином, щоб точка О1 знаходилася від початку координат 0 на відстані а1, а точка О2 на відстані а2 (рис. 4.3).
За формулою (4.2) визначимо потенційну функцію потоку. При цьому врахуємо знаки дебітів: джерело G 1 = - G, а стік G 2 = + G. Після підстановки одержимо:
, (4.5)
де r1 і r2 - відстані будь-якої точки пласта до стоку і джерела, відповідно.
Рівняння ізобар (4.4) при цьому буде мати вигляд
(4.6)
і відповідає колу, центри яких розташовані на осі 0х. Якщо помістимо початок координат у центрі будь-якої окружності сімейства, то радіус даної окружності визначиться виразом
, (4.7)
а коефіцієнт
. (4.8)
Підставляючи С1 в (4.7) знайдемо
. (4.9)
З (4.9) видно, що a1 <R <a2 або a1> R> a2; отже, всі кола перетинають вісь між стоком і джерелом, а значить, одна з особливих точок знаходиться всередині кола даного радіуса R, інша - поза цього кола. Точки О1 і О2, положення яких на прямий 0х визначаються рівністю (4.7), називаються взаімосімметрічнимі відносно кола радіуса R.
Припустимо, що радіус R = ¥, тобто беремо ту еквіпотенціальних лінію, яка є прямою. З (4.7) випливає, що в цьому випадку С1 = 1 і, як випливає з (4.6), r1 = r2. Остання рівність означає, що в числі еквіпотенціальних ліній є пряма 0у, яка ділить відстань між стоком і джерелом навпіл і паралельна осі 0у (рис.4.3).
Отже, еквіпотенціальні лінії (ізобари) при спільній дії однієї експлуатаційної і однієї нагнітальної свердловин в необмеженій пласті представляють собою кола, центри яких розташовані на прямій, що проходить через центри свердловин (рис.4.4) .. Серед кіл є одна, що має нескінченно великий радіус - пряма, що ділить відстань між свердловинами і всю площину течії навпіл. Половина всіх кіл кінцевого радіусу R розташована по одну сторону від цієї прямої, інші кола - по другий.
Сімейство ліній струму ортогонально ізобарах і, отже, в даному випадку теж окружності. Всі лінії струму проходять через стік і джерело. Центри всіх кіл ліній струму розташовані на прямій, що ділить відстань між стоком і джерелом навпіл (рис.4.4).
Масовий дебіт експлуатаційної і нагнітальної свердловин при їх спільній діяльності визначається на основі співвідношення (4.5), розписаного для кожної свердловини при обліку відносин радіусів (рис.4.3): на контурі експлуатаційної свердловини - ; На контурі нагнітальної свердловини -
. Вирішуючи, отриману систему рівнянь, маємо
. (4.10)
Масова швидкість фільтрації в будь-якій точці пласта М (рис.4.2) знаходиться за правилом суперпозиції додавання векторів швидкості від дії джерела і стоку
. (4.11)
Величина кореня є відстань між джерелом і стоком 2а і, отже, формула (4.11) перепишеться у вигляді
, (4.12)
Для підтримки пластового тиску часто використовується нагнітання води в пласт. Визначимо для однорідної нестисливої рідини час руху частинки по найкоротшому шляху між нагнітальної та експлуатаційної свердловинами, тобто по осі 0х. При жестководонапорном режимі вирішується при цьому питання про час, що минув від початку закачування води в пласт до початку її прориву в експлуатаційну свердловину.
Щоб вирішити зазначене завдання висловимо швидкість в (4.12) через похідну відстані за часом і, помістивши початок координат у стік О1, проінтегруємо отримане рівняння по х від х0 до х. Тоді час руху частки від деякої точки х0 до точки х визначиться залежністю
. (4.13)
Час обводнення Т, тобто проходження частинки відстані О1О2 = 2а визначиться з (4.13), якщо взяти х = 0; х0 = 2а
, (4.14)
де m - пористість; Q - об'ємна дебіт.
Знаючи Т можна знайти площу обводнення w, прирівнюючи обсяги TQ і mh w. Звідки
, (4.15)
Аналіз формул (4.13) і (4.14) показує, що відстань, пройдена часткою за час Т від нагнітальної свердловини до експлуатаційної, вдвічі більше відстані пройденого інший часткою за цей же час в позитивному напрямку осі х.
4.1.2 Приплив до групи свердловин з віддаленим контуром живлення
У більшості практичних випадків контур живлення знаходиться досить далеко. Тому вирішення даної задачі дозволяють провести попередню оцінку однорідних ділянок родовищ.
Нехай у пласті розташована група з n свердловин (рис. 4.5) з різними для спільності дебітами Gi, забійними потенціалами pi і радіусами свердловин ri. Розташування свердловин задано і на досить великій відстані знаходиться контур харчування, форма якого невідома, але відомий порядок відстані rк від контуру харчування до групи свердловин При цьому rк на багато більше відстані між свердловинами. Вважаємо, що даний потенціал контуру j до та забійні потенціали свердловин j i.
Для визначення дебітів використовуємо формулу (4.2) при приміщенні точки М на забої кожної свердловини, що дозволяє записати n - рівнянь виду
, (4.16)
де rci - радіус свердловини на яку поміщена точка М; rji - відстань між i - ий і j - ой свердловинами; j ci - забійний потенціал i - ої свердловини.
Невідомих ж - n +1, так як константа теж невідома. Для знаходження константи скористаємося умовою j = j до на віддаленому контурі харчування:
, (4.17)
Наближення полягає в тому, що для видалення точок контуру живлення від свердловин приймаємо одне і теж відстань rк, що справедливо для достатнього видалення контуру, враховуючи що воно знаходиться під знаком логарифма. Рівняння (4.17) і буде (n +1) рівнянням.
Таким чином плоска задача інтерференції при віддаленому контурі харчування зводиться до вирішення алгебраїчної системи рівнянь першого ступеня (4.16), (4.17).
За допомогою даної системи можна знаходити або депресію при заданому дебіте, або отримати значення дебітів при заданих депресіях. При знайдених дебіту можна визначити пластовий тиск у будь-якій точці по (4.2), причому результат буде тим точніше, чим далі ця точка відстоїть від контуру харчування.
2.1.3 Приплив до свердловини в пласті з прямолінійним контуром харчування
Нехай у полосообразном пласті пробурена одна свердловина з центром в точці О1 на відстані а від прямолінійного контуру (вісь у) нескінченного протягу, на якому підтримується постійний потенціал j к. На свердловині радіусу rc підтримується постійний потенціал j с. Знайдемо дебіт свердловини G і розподіл функції j.
Так як контур харчування пласта 0у є еквіпотенційної лінією, то всі лінії струму, що сходяться в центрі свердловини О1, повинні бути перпендикулярні до прямої 0у (рис.4.6). Для визначення поля течії доб'ємося виконання граничних умов на контурі введенням фіктивного джерела О2 з дебітом, рівним дебиту стоку О1, шляхом дзеркального відображення даного стоку відносно прямої 0у.Т.о. використовуємо раніше згаданий метод відображення та завдання про потік в пласті з прямолінійним контуром харчування і з одиночною експлуатаційної свердловиною зведемо до раніше розглянутої в розділі 4.1.1. завданню про спільне дії джерела і стоку рівній продуктивності. Відмінність даних завдань лише у постановці граничних умов: у задачі розділу 4.1.1. джерело живлення - нагнітальна свердловина, а в даному випадку - прямолінійний контур, а джерело О2 фіктивний.
Т.ч. використовуємо для визначення дебіту вираз (4.10), але з наступною заміною граничних умов: j = j до при r1 = r2, тобто при r1/r2 = 1; j = j с при r1 = rс, r2 »2а, тобто при r1/r2 »rс / 2а;
Підставляючи послідовно відповідні граничні значення j, r1 і r2 в рівність (4.10) отримаємо два рівняння, що визначають потенціали на контурі і забої. З цих рівнянь легко знаходиться масовий дебіт одиночної свердловини в пласті з прямолінійним контуром
. (4.18)
Якщо б у пласті була нагнітальна свердловина, то у формулі (4.18) досить лише змінити знак правій частині.
2.1.4 Приплив до свердловини, розташованої поблизу непроникною прямолінійною кордону
Дане завдання може виникнути при розташуванні видобувної свердловини поблизу скидання або біля кордону виклинювання продуктивного пласта. У цьому випадку реальну свердловину-сток дзеркально відображають щодо непроникною кордону, і дебіт свердловини - відображення приписують той же знак, що і дебіт реальної свердловини. При притоці до двох равнодебітним свердловинах швидкість фільтрації на непроникною кордоні буде спрямована вздовж кордону, тобто кордон є лінією струму і фільтрація через неї відсутній. Дебіт свердловини визначається з рівнянь (4.16) і (4.17) для n = 2 в пласті з віддаленим контуром живлення:
. (4.19)
2.1.5 Приплив до свердловини в пласті з довільним контуром харчування
У природних умовах контур живлення має довільну форму і її не завжди вдається визначити. Крім того, часто не вдається визначити досить точно і відстань а від свердловини О1 до контуру. Чи можна в цьому випадку користуватися формулою попереднього розділу? Будь-який довільний контур В знаходиться між прямолінійним Впр і круговим ВКР. (Рис.4.7).
Розрахунки дебітів проведені для цих двох крайніх різновидах контурів показали:
При обчисленні дебіту свердловини форма зовнішнього контуру пласта не має скільки-небудь істотного значення.
Чим далі від зовнішнього контуру пласта знаходиться свердловина, тим менший дебіт вона має. Однак, так як величина відстані входить під знаком логарифма, то навіть значна зміна цієї відстані мало впливає на величину дебіту
У разі розташування свердловини ексцентрично щодо контуру потік можна вважати плоско-радіальним і дебіт розраховувати за формулою Дюпюї якщо rк.> 103 rc і ексцентриситет а1 <rк / 2.
Таким чином, для практичних розрахунків точне знання форми і відстані до контуру харчування необов'язково, але порядок відстані до контуру живлення повинен бути відомий.
2.1.6 Приплив до нескінченних ланцюгам і кільцевих батареям свердловин
Розглянемо багаторядні батареї свердловин. Рішення задачі про інтерференції свердловин у пласті з віддаленим контуром живлення показує, що в загальному випадку доводиться вирішувати стільки рівнянь, скільки є свердловин. Отже, для отримання точного рішення необхідно використання ЕОМ, тому що на родовищах є десятки і сотні свердловин, але можна скористатися з достатньою для практики точністю наближеним рішенням даної задачі.
При раціональній системі розробки свердловини розташовують зазвичай у вигляді рядів, розставлених вздовж контуру нафто-газоносності та контуру харчування. Ці лінії називаються батареями або рядами свердловин. Без великої похибки можна вважати дебіт свердловин в кожному ряду однаковим, якщо в кожному ряду свердловини знаходяться в однакових умовах. Дебіти же свердловин в різних рядах будуть відрізнятися один від одного. Найбільший дебіт має перший ряд, найближчий до контуру харчування, а в міру віддалення дебіт зменшується. Тому число одночасно працюючих рядів рідко перевищує двох-трьох і подальші ряди включаються в міру наближення контуру нафто-газоносності. Коли вода підійшла до першого ряду, то він вимикається і включається один з наступних рядів і т.д.
У цьому випадку число невідомих зменшується від числа свердловин n до числа рядів N (звичайно число рядів не перевищує 2-4), а це вже набагато простіше завдання.
2.1.6.1 Приплив до свердловин кільцевої батареї
Нехай центри свердловин розташовуються у вершинах правильного n-кутника, тому що що свердловини утворюють кільцеву батарею радіуса а (рис. 4.8). Контур харчування віддалений від свердловин на відстань, що значно перевищує радіус батареї і тоді можна вважати, що всі свердловини рівновіддалені від контуру харчування на відстань rк. Будемо вважати, що на контурі харчування підтримується постійне значення потенціалу j к і на контурі свердловин потенціал постійний і дорівнює j с. У даній постановці отже треба вирішити задачу про плоскому перебігу до n точковим стоків, розміщеним рівномірно на колі радіуса а. Для отримання формули дебіту свердловин скористаємося формулою (4.2)
, (4.20)
де G - масовий дебіт свердловини будь батареї, rj - відстані від деякої точки пласта до всіх n свердловин; h - товщина шару.
Граничні умови:
на контурі харчування j = j к = const при rj = rк;
на контурі свердловини j = j з = const при r1 = rс;
rj (j ¹ 1) = 2a sin [(n-1) p / n].
Використовуючи дані граничні умови перетворимо формулу (4.20)
, (4.21)
. (4.22)
В останньому виразі
. (4.23)
Тоді (4.22) перепишеться у вигляді
, (4.24)
і з (4.21), (4.24) отримаємо вираз для визначення дебіту свердловини
, (4.25)
Формула (4.25) справедлива при будь-якому цілому n. Зокрема, при n = 1 маємо вираз типу формули Дюпюї для визначення дебіту при плоскорадіальном потоці:
. (4.26)
Формула (4.25) - наближена. Її можна застосовувати у випадку, якщо розміри пласта у багато разів більше площі всередині кола батареї свердловин, наприклад, при водонапорном режимі, коли рідину можна вважати нестисливою. Якщо ж у пласті встановився режим розчиненого газу, то важко очікувати, що площа, зайнята газованої рідиною, тягнеться до кордонів пласта. Якщо відстань до контуру незначно перевищує радіус батареї, то, строго кажучи, слід скористатися більш точною формулою
, (4.27)
Ця формула при n = 1 переходить в формулу визначення дебіту ексцентрично закладеної одиночної свердловини (а - ексцентриситет свердловини). У більшості практичних випадків можна користуватися формулою (4.25), тому що вже при rк = 10а, дебіти підраховані за формулами (4.24) і (4.27), відрізняються не більш ніж на одну тисячну відсотка.
Визначимо дебіт батареї помноживши формулу (4.25) на число свердловин в батареї n
. (4.28)
Розглянемо поле течії у сфері дії кругової батареї, тобто побудуємо сімейства ліній струму і ізобар. Рівняння ізобар отримуємо з (4.3) шляхом подання радіусів rj в полярній системі координат (рис. 4.8)
. (4.29)
Дане рівняння дозволяє побудувати поле ізобар, а лінії струму перетинають ізобари під прямим кутом.
Площина течії (рис. 4.9) кільцевої батареї з n равнодебітнимі свердловинами, розміщеними у вершинах правильного багатокутника, ділиться на n рівних частин (секторів) прямими лініями струму Н, що сходяться в центрі батареї і що ділять відстань між двома сусідніми свердловинами навпіл. Ці лінії струму називаються нейтральними. Інше сімейство прямих ліній струму Г проходить через центри свердловин і ділить сектор, обмежений двома нейтральними лініями, навпіл. Це - головні лінії.
Сімейство ізобар підрозділяється на дві підродини, які розмежовуються ізобар перетинає себе в центрі батареї стільки раз скільки свердловин складає дану батарею. Перше підродина ізобар визначає приплив до окремих свердловин та представляє собою замкнуті, краплеподібні криві, описані навколо кожної свердловини. Друге сімейство - визначає приплив до батареї в цілому і являє собою замкнуті криві, описані навколо батареї.
Швидкість фільтрації по головних лініях максимальна, а по нейтральним лініях - мінімальна. У центрі кільцевої батареї швидкість фільтрації дорівнює нулю, тобто частка рідини, що знаходиться в точці, в якій ізобар перетинає сама себе, нерухома. Такі точки фільтраційного поля називаються точками рівноваги і при розробці в околицях таких точок утворюються "застійні області". В умовах водонапірного режиму в цих областях можуть виникати "цілики нафти". Знаючи положення точок рівноваги в пласті, можна знаходити раціональні прийоми для своєчасної ліквідації ціликів нафти. Одним з таких прийомів є зміна режиму роботи свердловин, що змушує нафту цілика прийти в рух в потрібному напрямку.
Для кільцевої батареї, на основі аналізу формул (4.25) - (4.28), можна зробити ряд оцінок ефекту взаємодії:
дебіт змінюється непропорційно числа свердловин і радіусу батареї (відстані між свердловинами);
зі збільшенням числа свердловин дебіт кожної свердловини зменшується при постійному забійній тиску, тобто зростає ефект взаємодії;
взаємодія свердловин може практично не виявлятися тільки при дуже великих відстанях між свердловинами (у разі нестисливої рідини, строго кажучи, вплив свердловин поширюється на весь пласт);
зі збільшенням числа свердловин темп зростання сумарного дебіту батареї сповільнюється (рис. 4.1), а саме, понад певної межі збільшення числа свердловин виявляється неефективним на увазі припинення приросту дебіту увазі припинення приросту дебіту.
2.1.6.2 Приплив до прямолінійної батареї свердловин
Розглянемо, як і в попередньому випадку, приплив до батареї при віддаленому контурі харчування в режимі підтримання постійного вибійного тиску. На відміну від кругової батареї необхідно розрізняти два випадки:
число свердловин батареї непарне;
число свердловин парне.
В обох випадках дебіти свердловин, рівновіддалені від середини або від кінців батареї, будуть однакові, а при різній відстані будуть відрізнятися. Остання викликається не однаковою інтенсивністю впливу з боку свердловин батареї на ті чи інші свердловини. При цьому при непарному числі свердловин дебіт середньої свердловини відрізняється від дебітів інших свердловин.
Дебіти рівномірно розташованих свердловин можна визначити загальним методом з використанням формули (4.2). Можна вивести аналогічні рівняння для будь-якої свердловини прямолінійною батареї кінцевої довжини в пласті з прямолінійним контуром харчування, але з використанням додатково методу відображення. У цьому випадку запис рівнянь виявляється громіздкою через необхідність врахування не тільки взаємних відстаней між свердловинами, але також відстаней між свердловинами і уявними джерелами і відстаней між цими останніми.
Для практичних розрахунків можна використовувати наближену формулу П.П. Голосова для загального дебіту свердловин прямолінійною батареї: для непарного числа свердловин 2n +1, де n - будь-яке ціле число
; (4.30)
для парного числа свердловин 2n
. (4.31)
Тут h - товщина шару; s - відстань між свердловинами, L - відстань до контуру.
Помилка у визначенні дебітів за даними формулам не перевищує 3-4% при L = 10км, rс = 10см при відстанях між свердловинами 100м £ s £ 500м.
Наведені формули можна використовувати при будь-якому контурі харчування, тому що проведені раніше дослідження взаємодії двох свердловин показали, що форма контуру живлення пласта мало впливає на взаємодію свердловин. Що стосується відстані свердловин до контуру харчування, то в міру наближення свердловин до контуру харчування ефект взаємодії зменшується, але в реальних умовах значного видалення свердловин від контуру харчування похибка визначення відстані до контуру навіть у 100% не відбивається значно на ефекті взаємодії. Для однорідних пластів і рідин відносні зміни дебітів свердловин, викликані ефектом взаємодії, не залежать від фізико-геологічних характеристик пласта і від фізичних параметрів рідини.
Розглянемо тепер фільтраційне поле (рис. 4.10), підтримуване, для простоти, нескінченної ланцюжком равностоящих свердловин (вимога нескінченності призводить до ліквідації граничних ефектів на кінцях батареї і равнодебітності свердловин, тому що всі свердловини опиняються в рівних умовах припливу до них флюїдів).
Для отримання формул дебіту свердловини нескінченної прямолінійною батареї використовує формулу (4.25) дебіту свердловини кільцевої батареї. Покладемо, що
rк = l + a;
a = n s / (2 p), (4.32)
де L = const - різниця між радіусом контура харчування і радіусом кільцевої батареї а; s = const - довжина дуги кола радіусом а між двома сусідніми свердловинами кільцевої батареї.
Підставивши значення rк, a в формулу (4.25), отримаємо
, (4.33)
де
z = s / (2 p l).
Переходячи в цій формулі до межі при n ® ¥ і враховуючи, що
= E,
отримаємо формулу масового дебіту свердловини прямолінійною батареї
. (4.34)
Тут L - відстань від контуру харчування до батареї; s - відстань між свердловинами батареї; h - товщина шару.
Сумарний дебіт з n - свердловин визначиться наступним виразом
. (4.35)
Для нестисливої рідини співвідношення (4.35) можна переписати через тиск і об'ємний дебіт
. (4.36)
Ортогональна сітка, що зображає фільтраційне поле нескінченної прямолінійною батареї, зображено на рис. 4.11.
Тут, як і в кільцевій батареї, є головні і нейтральні лінії струму, перпендикулярні ланцюжку. Нейтральними лініями течії вся площина течії ділиться на нескінченне число смуг, кожна з яких є смугою впливу однієї із свердловин, що знаходиться в середині відстані між двома сусідніми нейтральними лініями. Головні лінії струму проходять через центри свердловин, паралельно нейтральним лініях.
Ізобари, незліченна безліч разів перетинає сама себе, відокремлює ізобари зовнішнього течії до всієї батареї, що охоплюють весь ланцюжок свердловин, від ізобар припливу до свердловини, що охоплюють тільки дану свердловину. Точки перетину граничної ізобари є точками рівноваги і вони ділять інтервал між двома сусідніми свердловинами навпіл.
2.1.7 Метод еквівалентних фільтраційних опорів
Даний метод називається методом Борисова і дозволяє складний фільтраційний потік у пласті при спільній роботі кількох батарей експлуатаційних і нагнітальних свердловин розкласти на найпростіші потоки - до поодиноко працює свердловині і до поодиноко працюючої батареї. Реалізація даного методу досягається введенням понять внутрішнього і зовнішнього фільтраційних опорів, які надають найпростіший фізичний зміст членам рівнянь, що використовуються для підрахунків дебітів і значень потенційних функцій. Для з'ясування цих понять порівняємо формули (4.35) або (4.36) до закону Ома I = U / R, де I - струм, U - різниця потенціалів і R - опір. З порівняння видно, що фільтраційне опір визначається величиною знаменника правій частині (4.35), який складається з двох доданків. Якщо в (4.35) залишити тільки перший доданок, то воно буде виражати дебіт в прямолінійно-паралельному потоці через площу завбільшки nh s на довжині L. Т.ч. перший доданок виражає фільтраційне опір потоку від контуру харчування до ділянки прямолінійною нескінченного ланцюжка, зайнятому n свердловинами, у припущенні заміни батареї галереєю. Борисов назвав цю частину фільтраційного опору - зовнішнім фільтраційним опором
. (4.37)
Залишимо тепер в (4.35) тільки другий доданок. У цьому випадку отримаємо аналог формули Дюпюї для сумарного дебіту n свердловин при плоскорадіальном течії і в припущенні, що кожна свердловина оточена контуром живлення довжиною s. Т.ч. другий доданок виражає місцеве фільтраційне опір, що виникає при підході рідини до свердловин. Поява цього опору пояснюється викривленням ліній струму у свердловин, і по Борисову воно отримало назву внутрішнього
. (4.38)
На зовнішнє і внутрішнє фільтраційні опору поділяється також повне фільтраційне опір кільцевої батареї
. (4.39)
Тут r висловлює фільтраційне опір потоку від контуру живлення до кільцевої батареї радіуса а в припущенні, що потік плоскорадіален і батарея замінена галереєю. Внутрішній опір r / - це опір плоскорадіального потоку від уявного контуру кола довжиною 2 p а / n до свердловини. Величина 2 p а / n - довжина дуги сектора радіуса а, який містить одну з свердловин батареї.
Електрична схема у випадку однієї батареї (ріс.4.12) має вигляд (ріс.4.13). На ріс.4.12 затемнені області внутрішнього опору.
Розглянемо випадок припливу до n експлуатаційним і нагнітальним батареям свердловин і складемо схему опорів. Припустимо, що свердловини i-ої батареї мають забійні потенціали j сi (i = 1 ,..., n), пласт має контурні потенціали j к1 і j к2 (рис. 4.14). Нехай j к1> j к2. Очевидно, потік від контуру харчування до першого ряду свердловин буде частково перехоплюватися перший батареєю і частково рухатися до другої. Потік до другої батареї буде частково перехоплюватися другий батареєю, частково рухатися до третьої і т.д. Цьому руху відповідає розгалужена схема фільтраційних опорів (рис. 4.15).
Розрахунок ведеться від контуру з великим потенціалом до контуру з меншим потенціалом, а опори розраховуються по залежностях:
прямолінійна батарея
(4.40)
кругова батарея
(4.41)
де Li - відстань між батареями (для i = 1 - L1 = Lк1); ri - радіуси батарей (для i = 1 - r0 = rк); ki - число свердловин у батареї.
Подальший розрахунок ведеться, як для електричних розгалужених ланцюгів, згідно із законами Ома і Кірхгофа:
- Алгебраїчна, сума збіжних, у вузлі дебітів дорівнює нулю, якщо вважати що підходять до вузла дебіти позитивними і відходять - негативними.
алгебраїчна сума добутку дебітів на опору (включаючи і внутрішнє) дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, що діють в замкнутому контурі. При цьому і дебіти і потенціали, що збігаються з довільно обраним напрямом обходу контуру, вважаються позитивними, а спрямований назустріч обходу негативним.
Слід пам'ятати, що для послідовних опорів r = Sr i, а для паралельних
Якщо один з кордонів непроникна, то витрата через неї дорівнює нулю. У цьому разі у відповідному вузлі схеми фільтраційних опорів задається не потенціал, а витрата. На рис. 4.16 показана схема в разі непроникності другого контуру. Замість потенціалу j к2, показаного на ріс.4.15, тут у вузлі задана умова S Gi = 0.
Наведені формули тим точніше, чим більше відстань між батареями в порівнянні з половиною відстані між свердловинами. Якщо відстань між свердловинами багато більше відстані між батареями, то розрахунок треба вести за загальними формулами інтерференції свердловин або використовувати інші види схематизації течії, наприклад, замінити два близько розташовані сусідні батареї свердловин з рідкісними відстанями між свердловинами (рис. 4.17а) еквівалентної одній батареєю - з сумарним числом свердловин і проведеної посередині (ріс.4.17b).
Висновок
У цій роботі ми виведи диференціальне рівняння руху стисливої і нестисливої рідини в пористому середовищі, тобто рівняння Лапласа. А так само розглянули плоскі задачі теорії фільтрації про сталому припливі до свердловини, такі як приплив до досконалої свердловині, фільтраційний потік від нагнітальної свердловини до експлуатаційної, приплив до групи свердловин з віддаленим контуром живлення, приплив до свердловини в пласті з прямолінійним контуром харчування, приплив до свердловині, розташованої поблизу непроникною прямолінійною кордону, приплив до свердловини в пласті з довільним контуром харчування, приплив до нескінченних ланцюгам і кільцевих батареям свердловин, приплив до свердловин кільцевої батареї, приплив до прямолінійної батареї свердловин, метод еквівалентних фільтраційних опорі.
Література
1. Байки В.С. та ін Підземна гідравліка. / / М.: Надра, 1986.-300с.
2. Євдокимова В.О., Кочина І.М. Збірник завдань по пдземной гідравліки. / / М.: Недра.-166с.
3.Пихачев Г.Б., Ісаєв Р.Г. Підземна гідравліка. / / М: Надра, 1973 .- 359с.
4. Чарний І.А. Підземна Гідрогазодинаміка. / / М. Вид .- во. Нафтовий і гірничо-паливній літератури .- 396с.
5. Язки Г.І., ентов В.М., Рижик В.М. Рух рідин і газів в природних пластах. / / М. Недра, 1984 .- 211с.