Предмет: Теорія Автоматичного Управління
Тема: Протилежне дискретне перетворення Лапласа
1. Зворотне дискретне перетворення Лапласа
Гратчаста функція - це результат тимчасового квантування безперервного сигналу - яка представляє значення безперервного сигналу в дискретні моменти часу. Гратчаста функція виходить перемножуванням безперервної функції на сигма-функцію. Її можна визначити за її зображенню, використовуючи різні способи:
1. За допомогою формул зворотного дискретного перетворення Лапласа.
2. За допомогою розкладання на прості дроби.
3. За допомогою розкладання в степеневий ряд.
У даному рефераті ми розглянемо зворотне дискретного перетворення Лапласа.
2. Визначення оригіналу за допомогою формул зворотного дискретного перетворення Лапласа
Для безперервних оригіналів зворотне перетворення Лапласа має вигляд:
Для знаходження формул зворотного дискретного перетворення Лапласа встановимо зв'язок між площинами p і z. Відображення площині P в площину Z здійснюється за допомогою підстановки z = e pT.
Так як p = c + jw, то z = e pT = e cT e j w T, де e cT - модуль z, а wT-фаза z.
Якщо з = 0, то
Рис. 1
Точки на уявної осі дискретної площині будуть повторюватися, тому на площині можна виділити нескінченна безліч смуг з шириною w п (0 .. w п, w п .. 2w п і т. д.), які дають одне і теж зображення в площині Z . Коріння в площині P є періодичними, повторюваними і укладені в будь-яку із смуг. Якщо С> 0, що відповідає правій півплощині, то амплітуда z> 1.
Інтегрувати можна по частотах розташованим в будь-якій із смуг, вважаючи її як основну, а значення інтеграла в інших смугах підсумувати. Для зручності інтегрування в якості основної смуги приймаємо смугу частот від-w п / 2 до w п /
При переході в площину Z інтегрування здійснюється по замкнутому контуру.
Приклад 7. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення визначається співвідношенням
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = 1, їх кількість n = 1 і
кратність m = 1. Використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення, визначаємо оригінал
Т. е. заданому зображенню відповідає одинична функція.
Приклад 8. Визначити безперервну функцію, якщо дискретне зображення має вигляд
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = 1, їх кількість n = 1 і
кратність m =
Визначаємо оригінал, використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення
Приклад 9. Визначити безперервну функцію, якщо дискретне зображення має вигляд
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = 1, їх кількість n = 1 і кратність m = Використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення, визначаємо оригінал
Приклад 10. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення одно
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = d, їх кількість n = 1 і
кратність m = 1. Використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення, визначаємо оригінал
Приклад 11. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення одно
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = 1, z 2 = d, їх кількість
n = 2 і кратність m = 1. Використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення, визначаємо оригінал
Приклад 1 Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення одно
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = d їх кількість n = 1 і кратність m = 1. Використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення, визначаємо оригінал
3. Визначення оригіналу за допомогою розкладання на прості дроби
Дискретне зображення можна розкласти на прості дроби і, використовуючи табличні значення зображень для кожної складової, що входить до розкладання, знайти оригінали.
Приклад 13. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення визначається співвідношенням
Рішення: Уявімо x (z) у вигляді простих дробів
Значення параметрів A і B знаходимо методом невизначених коефіцієнтів
Визначення оригіналу за допомогою розкладання дискретного зображення в степеневий ряд
Для виходу імпульсного елемента можна записати співвідношення
Таким чином, формула прямого дискретного перетворення може бути використана для отримання оригіналу по зображенню, так як x [nT] у формулі прямого дискретного перетворення являє значення безперервного сигналу в дискретні моменти часу.
Будь-яка x (z) представляє ставлення статечних поліномів.
Якщо це відношення розкласти в ряд за ступенями z, то коефіцієнти при z являють собою значення оригіналу. Дробово - раціональну функцію можна розкласти в ряд шляхом ділення чисельника на знаменник або представити у вигляді суми простих дробів.
Приклад 14. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення визначається співвідношенням
Рішення: Виконуємо почленное поділ поліномів
z zd
-Z + d 1 + dz -1 + d 2 z -2 + ... + d n z-n
d
-D + d 2 z -1
d 2 z -1
-D 2 z -1 + d 3 z -2
d 3 z -2
За отриманими значеннями x [nT] будуємо графік функції наведений на рис. 2.
Приклад 15. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення одно
Рішення:
Виконуємо почленное поділ поліномів
z +1 z 2 + z +1
-Z-1-z -1 z -1-z -3 + z -4-z -6 + z -7
-Z -1
-Z -1-z -2-z -3
z -2 + z -3
-Z -2-z -3-z -4
-Z -4
-Z -4-z -5-z -6
z -5 + z -6
Рис. 3
За отриманими значеннями x [nT] будуємо графік функції наведений на рис. 3.
Для визначення гратчастої функції з її дискретного зображення можна використовувати будь-який з розглянутих методів. Вибір методу залежить від форми подання зображення.
4. Основні теореми дискретного перетворення Лапласа
1. Теорема лінійності. Зображення лінійної комбінації гратчастих функцій відповідає лінійної комбінації їх зображень
тобто зображення суми дорівнює сумі зображень
Теорема запізнювання і попередження (зміщення аргументів). Зсув оригіналу на ± k відповідає множенню зображення на z ± k
3. Теорема згортання у речовій області (множення зображень)
Для безперервних систем
Для дискретних систем
4. Дуальна теорема. Теорема згортання в комплексній області (множення оригіналів)
5. Теорема про початковий значенні функції
6. Теорема про кінцевий значенні функції
7. Перетворення змішаного зображення в дискретне
8. Теорема розкладання
Якщо десь
Список літератури
1. Кожевников Н.І., Краснощекова Т.І., Шишкін Н.Є. Ряди та інтеграли Фур'є. Теорія поля. Аналітичні та спеціальні функції. Перетворення Лапласа.-М., Наука, 1964
2. Краснов М.Л., Макаренко Г.І. Операційне числення. Стійкість руху .- М., Наука, 1964.-103 с.
3. Мікусінскій Я. Операторні ісчісленіе.-М., ІЛ, 1956
4. Сергієнко А.Б. Цифрова обробка сигналів. - 2-е. - Спб: Пітер, 2006. - С. 751.
5. Гольденберг Л.М. та ін Цифрова обробка сигналів: Навчальний посібник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 1990 .- 256 с.
Тема: Протилежне дискретне перетворення Лапласа
1. Зворотне дискретне перетворення Лапласа
Гратчаста функція - це результат тимчасового квантування безперервного сигналу - яка представляє значення безперервного сигналу в дискретні моменти часу. Гратчаста функція виходить перемножуванням безперервної функції на сигма-функцію. Її можна визначити за її зображенню, використовуючи різні способи:
1. За допомогою формул зворотного дискретного перетворення Лапласа.
2. За допомогою розкладання на прості дроби.
3. За допомогою розкладання в степеневий ряд.
У даному рефераті ми розглянемо зворотне дискретного перетворення Лапласа.
2. Визначення оригіналу за допомогою формул зворотного дискретного перетворення Лапласа
Для безперервних оригіналів зворотне перетворення Лапласа має вигляд:
Для знаходження формул зворотного дискретного перетворення Лапласа встановимо зв'язок між площинами p і z. Відображення площині P в площину Z здійснюється за допомогою підстановки z = e pT.
Так як p = c + jw, то z = e pT = e cT e j w T, де e cT - модуль z, а wT-фаза z.
Якщо з = 0, то
Відповідність між площинами p і z відображене на рис. 3.
Рис. 1
Точки на уявної осі дискретної площині будуть повторюватися, тому на площині можна виділити нескінченна безліч смуг з шириною w п (0 .. w п, w п .. 2w п і т. д.), які дають одне і теж зображення в площині Z . Коріння в площині P є періодичними, повторюваними і укладені в будь-яку із смуг. Якщо С> 0, що відповідає правій півплощині, то амплітуда z> 1.
Інтегрувати можна по частотах розташованим в будь-якій із смуг, вважаючи її як основну, а значення інтеграла в інших смугах підсумувати. Для зручності інтегрування в якості основної смуги приймаємо смугу частот від-w п / 2 до w п /
При переході в площину Z інтегрування здійснюється по замкнутому контуру.
Приклад 7. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення визначається співвідношенням
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = 1, їх кількість n = 1 і
кратність m = 1. Використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення, визначаємо оригінал
Т. е. заданому зображенню відповідає одинична функція.
Приклад 8. Визначити безперервну функцію, якщо дискретне зображення має вигляд
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = 1, їх кількість n = 1 і
кратність m =
Визначаємо оригінал, використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення
Приклад 9. Визначити безперервну функцію, якщо дискретне зображення має вигляд
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = 1, їх кількість n = 1 і кратність m = Використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення, визначаємо оригінал
Приклад 10. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення одно
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = d, їх кількість n = 1 і
кратність m = 1. Використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення, визначаємо оригінал
Приклад 11. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення одно
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = 1, z 2 = d, їх кількість
n = 2 і кратність m = 1. Використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення, визначаємо оригінал
Приклад 1 Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення одно
Рішення: Визначаємо значення полюсів z 1 = d їх кількість n = 1 і кратність m = 1. Використовуючи формулу зворотного дискретного перетворення, визначаємо оригінал
3. Визначення оригіналу за допомогою розкладання на прості дроби
Дискретне зображення можна розкласти на прості дроби і, використовуючи табличні значення зображень для кожної складової, що входить до розкладання, знайти оригінали.
Приклад 13. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення визначається співвідношенням
Рішення: Уявімо x (z) у вигляді простих дробів
Значення параметрів A і B знаходимо методом невизначених коефіцієнтів
Визначення оригіналу за допомогою розкладання дискретного зображення в степеневий ряд
Для виходу імпульсного елемента можна записати співвідношення
Таким чином, формула прямого дискретного перетворення може бути використана для отримання оригіналу по зображенню, так як x [nT] у формулі прямого дискретного перетворення являє значення безперервного сигналу в дискретні моменти часу.
Будь-яка x (z) представляє ставлення статечних поліномів.
Якщо це відношення розкласти в ряд за ступенями z, то коефіцієнти при z являють собою значення оригіналу. Дробово - раціональну функцію можна розкласти в ряд шляхом ділення чисельника на знаменник або представити у вигляді суми простих дробів.
Приклад 14. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення визначається співвідношенням
Рішення: Виконуємо почленное поділ поліномів
d = e-a T |
d = e a T |
1 |
0 T 2T 3T nT |
x [nT] |
Рис. 2 |
x [0] = 1; x [T] = d; x [2T] = d |
-Z + d 1 + dz -1 + d 2 z -2 + ... + d n z-n
d
-D + d 2 z -1
d 2 z -1
-D 2 z -1 + d 3 z -2
d 3 z -2
За отриманими значеннями x [nT] будуємо графік функції наведений на рис. 2.
Приклад 15. Визначити безперервну функцію, якщо її дискретне зображення одно
Рішення:
Виконуємо почленное поділ поліномів
-1 |
1 |
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T nT |
x [nT] |
-Z-1-z -1 z -1-z -3 + z -4-z -6 + z -7
-Z -1
-Z -1-z -2-z -3
z -2 + z -3
-Z -2-z -3-z -4
-Z -4
-Z -4-z -5-z -6
z -5 + z -6
Рис. 3
За отриманими значеннями x [nT] будуємо графік функції наведений на рис. 3.
Для визначення гратчастої функції з її дискретного зображення можна використовувати будь-який з розглянутих методів. Вибір методу залежить від форми подання зображення.
4. Основні теореми дискретного перетворення Лапласа
1. Теорема лінійності. Зображення лінійної комбінації гратчастих функцій відповідає лінійної комбінації їх зображень
тобто зображення суми дорівнює сумі зображень
Теорема запізнювання і попередження (зміщення аргументів). Зсув оригіналу на ± k відповідає множенню зображення на z ± k
3. Теорема згортання у речовій області (множення зображень)
Для безперервних систем
Для дискретних систем
4. Дуальна теорема. Теорема згортання в комплексній області (множення оригіналів)
5. Теорема про початковий значенні функції
6. Теорема про кінцевий значенні функції
7. Перетворення змішаного зображення в дискретне
8. Теорема розкладання
Якщо десь
Список літератури
1. Кожевников Н.І., Краснощекова Т.І., Шишкін Н.Є. Ряди та інтеграли Фур'є. Теорія поля. Аналітичні та спеціальні функції. Перетворення Лапласа.-М., Наука, 1964
2. Краснов М.Л., Макаренко Г.І. Операційне числення. Стійкість руху .- М., Наука, 1964.-103 с.
3. Мікусінскій Я. Операторні ісчісленіе.-М., ІЛ, 1956
4. Сергієнко А.Б. Цифрова обробка сигналів. - 2-е. - Спб: Пітер, 2006. - С. 751.
5. Гольденберг Л.М. та ін Цифрова обробка сигналів: Навчальний посібник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 1990 .- 256 с.