Предмет: Теорія Автоматичного Управління
Тема: ПРЯМЕ Дискретне перетворення Лапласа
Однією з найважливіших особливостей перетворення Лапласа, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення над їх зображеннями.
Отримаємо формули дискретного перетворення Лапласа. Для виходу імпульсного елемента можна записати співвідношення
Підставивши цей вираз у формулу перетворення Лапласа, отримаємо
При цьому отримали одну з формул дискретного перетворення Лапласа, яка має вигляд:
У порівнянні зі звичайним перетворенням Лапласа для безперервних оригіналів, інтеграл замінений на суму, а безперервна змінна - t на дискретну - nT.
Приклад 1. Визначити дискретне перетворення Лапласа для одиничної функції x (t) = 1 (t).
Рішення: Застосувавши формулу дискретного перетворення Лапласа, отримаємо
Якщо зображення безперервних сигналів є статечними рівняннями - f (p n), то зображення дискретних функцій є показовими рівняннями - f (e pnT), отже, до них не можна застосовувати апарат теорії безперервних систем. Виконавши підстановку z = e pT у формулі (4), отримаємо
Отримали другу формулу дискретного перетворення Лапласа, яке називається z-перетворенням. При використанні z - перетворення отримуємо статечні рівняння, що дозволяє застосовувати методи дослідження безперервних систем для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей.
Приклад 2. Визначити дискретне зображення F (z), якщо оригінал f (t) має вигляд (мал.1):
Рис. 1
Рішення: Функцію F (z) можна представити у вигляді ряду
Отримали дискретне перетворення вихідної неперервної функції.
Для знаходження зображення x * (p) скористаємося теоремою множення в комплексній області.
Зображення твори одно згортку зображень
Якщо
На підставі теореми Коші про відрахування цей інтеграл можна визначити як суму відрахувань по полюсах підінтегральної функції.
Це третя формула прямого дискретного перетворення Лапласа.
Приклад 3. Визначити дискретне перетворення Лапласа для оди-нічной функції.
Рішення: Функції x (t) = 1 (t) відповідає зображення
Записуємо характеристичне рівняння і визначаємо значення полюсів, їх кількість і кратність. S = 0, s 1 = 0, n = 1, m = 1.
Знаходимо дискретне зображення, використовуючи теорему Коші про відрахування по полюсах підінтегральної функції
Приклад 4. Визначити дискретне перетворення Лапласа для лінейнорастушей функції x (t) = t.
Рішення: Функції x (t) = t відповідає зображення
Записуємо характеристичне рівняння і визначаємо значення полюсів, їх кількість і кратність. s 2 = 0, s 1 = 0, n = 1, m =
Знаходимо дискретне зображення, використовуючи теорему Коші про відрахування по полюсах підінтегральної функції
Приклад 5. Визначити дискретне перетворення Лапласа для експоненціальної функції x (t) = e - at.
Рішення: Функції x (t) = e - at відповідає зображення
Записуємо характеристичне рівняння і визначаємо значення полюсів, їх кількість і кратність. S + a = 0, s 1 = - a, n = 1, m = 1.
Знаходимо дискретне зображення, використовуючи теорему Коші про відрахування по полюсах підінтегральної функції
Для знаходження дискретних зображень можна використовувати кожну з розглянутих вище форм дискретного перетворення Лапласа. Коротка таблиця z-перетворень наведена в Додатку 3.
Заданому безперервному сигналу відповідає одна решітчаста функція, а значить і одна дискретна функція. Зворотній завдання неоднозначна, тобто дискретної функції відповідає нескінченна безліч безперервних функцій (рис.2).
Щоб отримати проміжні значення гратчастої функції, а значить і безперервного сигналу, необхідно примусити спрацьовувати ІЕ з запізненням (випередженням). Величина зрушення повинна змінюватися в межах такту. Якщо час зсуву позначити EТ, то 0 £ e £ 1.
Якщо e = 0 зрушення відсутня, якщо e = 1 зрушення на 1 такт.
Напрямок зсуву байдуже домовимося зрушувати в бік опе-ності та енергозбереження. Зрушувати можна як гратчасту функцію, так і момент сра-бативанія ІЕ. Відповідно до теореми зсуву, зрушення в області оригіналів відповідає множення на e ± pT в області зображень.
При цьому: x * (t) Þx * (t, e); x [nT] Þx [nT, e];
x (p) Þ x (p, e) = x (p) e pT e; x (z) Þ x (z, e).
На схемі це можна визначити таким чином (рис.2б)
а) б)
Рис. 2
Формули звичайного дискретного перетворення Лапласа і відповідні ним формули модифікованого дискретного перетворення мають вигляд
Формули, що використовують відрахування
Застосування методу модифікованого z-перетворення для аналізу дискретних систем управління подібне до використання звичайного перетворення Лапласа для безперервних систем.
Приклад 6. Визначити модифіковане дискретне перетворення Лапласа - x * (p, e), якщо x (t) = e - at.
Рішення: Функції x (t) = e - at відповідає зображення
Розглянемо рішення з використанням формули (4).
Якщо
При цьому модифіковане перетворення має вигляд
Розглянемо рішення з використанням третьої формули (8).
Записуємо характеристичне рівняння і визначаємо значення полюсів, їх кількість і кратність
s + a = 0, s 1 = - a, n = 1, m = 1.
Знаходимо дискретне зображення, використовуючи теорему Коші про відрахуваннях
2. Довідник з теорії автоматичного управління. / Під ред.А. А. Красовського - М.: Наука, 1987. - 712с.
3. Романовський П.І. Ряди Фур'є. Теорія поля. Аналітичні та спеціальні функції. Перетворення Лапласа. - М., Наука, 1980. - 336 с.
4. Діткін В.А., Прудніков А.П. Інтегральні перетворення та операційне числення. - М, Фізматвид, 1974. - 542 с.
5. Мікусінскій Я. Операторні числення. - М., ІЛ, 1956
6. Сергієнко А.Б. Цифрова обробка сигналів. - 2-е. - Спб: Пітер, 2006. - С.751.
7. М.А. Павлейно, В.М. Ромаданов Спектральні перетворення в MatLab. - СПб: 2007. - С.160.
Тема: ПРЯМЕ Дискретне перетворення Лапласа
Введення
Динамічні процеси в дискретних системах управління описуються рівняннями в кінцевих різницях. Зручним методом для вирішення різницевих рівнянь є операційний метод, заснований на дискретному перетворенні Лапласа. Дискретне перетворення Лапласа є узагальненням звичайного перетворення Лапласа на дискретні функції.Однією з найважливіших особливостей перетворення Лапласа, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення над їх зображеннями.
1. Пряме дискретне перетворення Лапласа
Перетворення Лапласа для безперервних оригіналів має вигляд:Отримаємо формули дискретного перетворення Лапласа. Для виходу імпульсного елемента можна записати співвідношення
Підставивши цей вираз у формулу перетворення Лапласа, отримаємо
При цьому отримали одну з формул дискретного перетворення Лапласа, яка має вигляд:
У порівнянні зі звичайним перетворенням Лапласа для безперервних оригіналів, інтеграл замінений на суму, а безперервна змінна - t на дискретну - nT.
Приклад 1. Визначити дискретне перетворення Лапласа для одиничної функції x (t) = 1 (t).
Рішення: Застосувавши формулу дискретного перетворення Лапласа, отримаємо
Якщо зображення безперервних сигналів є статечними рівняннями - f (p n), то зображення дискретних функцій є показовими рівняннями - f (e pnT), отже, до них не можна застосовувати апарат теорії безперервних систем. Виконавши підстановку z = e pT у формулі (4), отримаємо
Отримали другу формулу дискретного перетворення Лапласа, яке називається z-перетворенням. При використанні z - перетворення отримуємо статечні рівняння, що дозволяє застосовувати методи дослідження безперервних систем для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей.
Приклад 2. Визначити дискретне зображення F (z), якщо оригінал f (t) має вигляд (мал.1):
-1 |
1 |
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T nT |
f (t) |
t |
Рис. 1
Рішення: Функцію F (z) можна представити у вигляді ряду
Отримали дискретне перетворення вихідної неперервної функції.
2. Дискретне перетворення Лапласа в загальному вигляді
Для виходу імпульсного елемента можна записати співвідношенняДля знаходження зображення x * (p) скористаємося теоремою множення в комплексній області.
Зображення твори одно згортку зображень
Якщо
На підставі теореми Коші про відрахування цей інтеграл можна визначити як суму відрахувань по полюсах підінтегральної функції.
Це третя формула прямого дискретного перетворення Лапласа.
Приклад 3. Визначити дискретне перетворення Лапласа для оди-нічной функції.
Рішення: Функції x (t) = 1 (t) відповідає зображення
Записуємо характеристичне рівняння і визначаємо значення полюсів, їх кількість і кратність. S = 0, s 1 = 0, n = 1, m = 1.
Знаходимо дискретне зображення, використовуючи теорему Коші про відрахування по полюсах підінтегральної функції
Приклад 4. Визначити дискретне перетворення Лапласа для лінейнорастушей функції x (t) = t.
Рішення: Функції x (t) = t відповідає зображення
Записуємо характеристичне рівняння і визначаємо значення полюсів, їх кількість і кратність. s 2 = 0, s 1 = 0, n = 1, m =
Знаходимо дискретне зображення, використовуючи теорему Коші про відрахування по полюсах підінтегральної функції
Приклад 5. Визначити дискретне перетворення Лапласа для експоненціальної функції x (t) = e - at.
Рішення: Функції x (t) = e - at відповідає зображення
Записуємо характеристичне рівняння і визначаємо значення полюсів, їх кількість і кратність. S + a = 0, s 1 = - a, n = 1, m = 1.
Знаходимо дискретне зображення, використовуючи теорему Коші про відрахування по полюсах підінтегральної функції
Для знаходження дискретних зображень можна використовувати кожну з розглянутих вище форм дискретного перетворення Лапласа. Коротка таблиця z-перетворень наведена в Додатку 3.
3. Модифіковане дискретне перетворення Лапласа
Після тимчасового квантування безперервного сигналу на виході імпульсного елемента отримаємо дискретну функцію, відповідну гратчастої функції, яка представляє значення безперервного сигналу в дискретні моменти часу спрацьовування імпульсного елемента.Заданому безперервному сигналу відповідає одна решітчаста функція, а значить і одна дискретна функція. Зворотній завдання неоднозначна, тобто дискретної функції відповідає нескінченна безліч безперервних функцій (рис.2).
Щоб отримати проміжні значення гратчастої функції, а значить і безперервного сигналу, необхідно примусити спрацьовувати ІЕ з запізненням (випередженням). Величина зрушення повинна змінюватися в межах такту. Якщо час зсуву позначити EТ, то 0 £ e £ 1.
Якщо e = 0 зрушення відсутня, якщо e = 1 зрушення на 1 такт.
Напрямок зсуву байдуже домовимося зрушувати в бік опе-ності та енергозбереження. Зрушувати можна як гратчасту функцію, так і момент сра-бативанія ІЕ. Відповідно до теореми зсуву, зрушення в області оригіналів відповідає множення на e ± pT в області зображень.
При цьому: x * (t) Þx * (t, e); x [nT] Þx [nT, e];
x (p) Þ x (p, e) = x (p) e pT e; x (z) Þ x (z, e).
На схемі це можна визначити таким чином (рис.2б)
x * (t, e) |
x * (p) |
x * (t) |
T |
T |
e pT e |
x * (p, e) |
|
а) б)
Рис. 2
Формули звичайного дискретного перетворення Лапласа і відповідні ним формули модифікованого дискретного перетворення мають вигляд
Формули, що використовують відрахування
Застосування методу модифікованого z-перетворення для аналізу дискретних систем управління подібне до використання звичайного перетворення Лапласа для безперервних систем.
Приклад 6. Визначити модифіковане дискретне перетворення Лапласа - x * (p, e), якщо x (t) = e - at.
Рішення: Функції x (t) = e - at відповідає зображення
Розглянемо рішення з використанням формули (4).
Якщо
При цьому модифіковане перетворення має вигляд
Розглянемо рішення з використанням третьої формули (8).
Записуємо характеристичне рівняння і визначаємо значення полюсів, їх кількість і кратність
s + a = 0, s 1 = - a, n = 1, m = 1.
Знаходимо дискретне зображення, використовуючи теорему Коші про відрахуваннях
Література
1. Вандер Поль Б., Бремер Х. Операційне числення на основі двосторонньої перетворення Лапласа. - М., ІЛ, 19522. Довідник з теорії автоматичного управління. / Під ред.А. А. Красовського - М.: Наука, 1987. - 712с.
3. Романовський П.І. Ряди Фур'є. Теорія поля. Аналітичні та спеціальні функції. Перетворення Лапласа. - М., Наука, 1980. - 336 с.
4. Діткін В.А., Прудніков А.П. Інтегральні перетворення та операційне числення. - М, Фізматвид, 1974. - 542 с.
5. Мікусінскій Я. Операторні числення. - М., ІЛ, 1956
6. Сергієнко А.Б. Цифрова обробка сигналів. - 2-е. - Спб: Пітер, 2006. - С.751.
7. М.А. Павлейно, В.М. Ромаданов Спектральні перетворення в MatLab. - СПб: 2007. - С.160.