Апроксимація характеристик нелінійних елементів і аналіз ланцюгів при гармонійних впливах

Академія Росії
Кафедра Фізики
Реферат на тему:
«Апроксимації характеристик НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕМЕНТІВ І АНАЛІЗ КІЛ ПРИ гармонійного впливу»
Орел 2006

Навчальні питання
1. Апроксимація характеристик нелінійних елементів
2. Графо-аналітичний та аналітичний методи аналізу
3. Аналіз ланцюгів методом кута відсічки
4. Вплив двох гармонійних коливань на безінерційний
нелінійний елемент
Література

Вступ
Для всіх розглянутих раніше лінійних ланцюгів справедливий принцип суперпозиції, з якого випливає просте і важливе слідство: гармонійний сигнал, проходячи через лінійну стаціонарну систему, залишається незмінним за формою, набуваючи лише інші амплітуду і початкову фазу. Саме тому лінійна стаціонарна ланцюг не здатна збагатити спектральний склад вхідного коливання.
Особливістю НЕ, у порівнянні з лінійними, є залежність параметрів НЕ від величини прикладеної напруги чи сили протікаючого струму. Тому на практиці при аналізі складних нелінійних ланцюгів користуються різними наближеними методами (наприклад, замінюють нелінійну ланцюг лінійною в області малих змін вхідного сигналу і використовують лінійні методи аналізу) або обмежуються якісними висновками.
Важливою властивістю нелінійних електричних ланцюгів є можливість збагачення спектру вихідного сигналу. Ця важлива особливість використовується при побудові модуляторів, перетворювачів частоти, детекторів і т. д.
Вирішення багатьох завдань, пов'язаних з аналізом і синтезом радіотехнічних пристроїв і ланцюгів, вимагає знання процесів, що відбуваються при одночасному впливі на нелінійний елемент двох гармонійних сигналів. Це пов'язано з необхідністю перемножування двох сигналів при реалізації таких пристроїв, як перетворювачі частоти, модулятори, демодулятори і т. д. Природно, що спектральний склад вихідного струму НЕ при бігармонічних впливі буде значно багатшими, ніж при моногармонічного.
Нерідко виникає ситуація, коли один з двох впливають на НЕ сигналів малий по амплітуді. Аналіз в цьому випадку значно спрощується. Можна вважати, що по відношенню до малого сигналу НЕ є лінійним, але зі змінним параметром (в даному випадку крутизною ВАХ). Такий режим роботи НЕ називається параметричним.

1. Апроксимація характеристик нелінійних елементів
При аналізі нелінійних ланцюгів (НЦ) зазвичай не розглядають процеси, що відбуваються всередині елементів, що складають цю ланцюг, а обмежуються лише зовнішніми їх характеристиками. Зазвичай це залежність вихідного струму від прикладеної вхідної напруги
, (1)
яку прийнято називати вольт-амперної характеристикою (ВАХ).
Найпростіше - використовувати наявну табличну форму ВАХ для чисельних розрахунків. Якщо ж аналіз ланцюга повинен проводитися аналітичними методами, то виникає завдання добору такого математичного виразу, яке відображало б всі найважливіші особливості експериментально знятої характеристики.
Це не що інше, як завдання апроксимації. При цьому вибір апроксимуючих виразів визначається як характером нелінійності, так і використовуваними розрахунковими методами.
Реальні характеристики мають досить складний вид. Це ускладнює їх точний математичний опис. Крім того, таблична форма подання ВАХ робить характеристики дискретними. У проміжках між цими точками значення ВАХ невідомі. Перш ніж переходити до апроксимації, необхідно якось визначитися з невідомими значеннями ВАХ, зробити її безперервної. Тут виникає задача інтерполяції (від лат. Inter - між, polio - пригладжує) - це відшукання проміжних значень функції щодо деяких відомих її значень. Наприклад, відшукання значень в точках що лежать між точками за відомими значеннями . Якщо , То аналогічна процедура носить задачі екстраполяції.
Зазвичай апроксимують лише ту частину характеристики, яка є робочою областю, тобто в межах зміни амплітуди вхідного сигналу.
При апроксимації вольт-амперних характеристик необхідно вирішити два завдання: вибрати певну апроксимуючу функцію і визначити відповідні коефіцієнти. Функція повинна бути простою і в той же час досить точно передавати аппроксіміруемую характеристику. Визначення коефіцієнтів апроксимуючих функцій здійснюється методами інтерполяції, середньоквадратичного або рівномірного наближення, які розглядаються в математиці.
Математично постановка задачі інтерполяції може бути сформульована наступним чином.
Знайти многочлен мірою не більше n такий, що i = 0, 1, ..., n, якщо відомі значення вихідної функції у фіксованих точках , I = 0, 1, ..., n. Доводиться, що завжди існує тільки один інтерполяційний многочлен, який може бути представлений в різних формах, наприклад у формі Лагранжа або Ньютона. (Розглянути самостійно на самопідготовці по рекомендованій літературі).
Апроксимація статечними поліномами і кусково-лінійна
Вона заснована на використанні добре відомих з курсу вищої математики рядів Тейлора і Маклорена і полягає в розкладанні нелінійної ВАХ в нескінченновимірних ряд, що сходиться в деякій околиці робочої точки . Оскільки такий ряд фізично не реалізуємо, доводиться обмежувати число членів ряду, виходячи з необхідної точності. Степенева апроксимація застосовується при відносно малій зміні амплітуди впливу щодо .
Розглянемо типову форму ВАХ будь-якого НЕ (рис. 1).
Напруга   визначає положення робочої точки і, отже, статичний режим роботи НЕ.

Рис. 1. Приклад типової ВАХ НЕ
Зазвичай апроксимується не вся характеристика НЕ, а лише робоча область, розмір якої визначається амплітудою вхідного сигналу, а становище на характеристиці - величиною постійного зміщення _. Апроксимуючої поліном записується у вигляді
, (2)
де коефіцієнти визначаються виразами
.
Апроксимація статечним поліномом полягає в знаходженні коефіцієнтів ряду . При заданій формі ВАХ ці коефіцієнти істотно залежать від вибору робочої точки , А також від ширини використовуваного ділянки характеристики. У зв'язку з цим доцільно розглянути деякі найбільш типові і важливі для практики випадки.
1. Робоча точка розташована на середині лінійної дільниці (рис. 2).

Рис. 2. Робоча точка ВАХ - на середині лінійної дільниці
Ділянка на характеристиці, де закон зміни струму близький до лінійного, щодо неширокий, тому амплітуда вхідної напруги не повинна виходити за межі цієї ділянки. У цьому випадку можна записати:
, (3)
де - Струм спокою;
;
- Диференційна крутість характеристики.
Цей випадок застосуємо тільки при слабкому сигналі , Оскільки в цьому випадку можна без великої похибки знехтувати нелінійністю ВАХ.
2. Робоча точка розташована на початковому ділянці характеристики.

Рис. 3. Робоча точка ВАХ - на початковому ділянці характеристики

При невеликій зміні амплітуди вхідного сигналу щодо можна з малою похибкою апроксимувати ВАХ квадратичної параболою (статечним поліномом другого порядку). Апроксимує вираз матиме вигляд
(4)
Як і у виразі (6.6), - Струм спокою (постійна складова вихідного струму); - Крутизна характеристики в точці . Для визначення значень і необхідно скласти систему рівнянь:
(5)
Звідси можна записати:

3. Робоча точка є точкою перегину характеристики (рис. 4).

Рис. 4. Робоча точка ВАХ - точка перегину

У точці перегину всі парні похідні функції звертаються в нуль, тому у виразі (3) будуть присутні тільки доданки з непарними ступенями , K = 1, 2, 3, ....
Нагадаємо, що точка перегину - точка кривої, у якій:
1) увігнутість (опуклість) кривої змінюється на опуклість (увігнутість);
2) крива "лежить" по різні боки від дотичної в цій точці.
У загальному випадку апроксимуючої поліном може бути будь-якого, скільки завгодно високого порядку. Однак у більшості практичних випадків достатню для інженерної практики точність дає поліном третього ступеня:
(6)
На малюнку 4 графік, відповідний (6), показаний пунктирною лінією. Робоча ділянка ВАХ (динамічний діапазон) визначається інтервалом . На кордонах цього інтервалу похідні апроксимуючої функції звертаються в нуль. Для знаходження коефіцієнтів і необхідно, як і в попередньому випадку, скласти систему рівнянь і вирішити її відносно і :
(7)
Звідки

При дуже великих амплітудах вхідного сигналу часто буває зручніше замінювати реальну характеристику ідеалізованої, складеної з відрізків прямих ліній. Таке уявлення ВАХ називається кусково-лінійною апроксимацією. На малюнку 5 показані деякі характерні приклади.

а б в

Рис. 5. Кусково-лінійна апроксимація ВАХ

2. Графоаналитический та аналітичний методи аналізу

Графоаналітичний метод аналізу

Цей метод використовується в тих випадках, коли відсутня відсічення струму. Цей метод відомий під назвою трьох (п'яти, семи) ординат. Суть його полягає в наступному (рис. 6): нехай на НЕ впливає напруга
. (8)

Рис. 6. Ілюстрація графоаналитического методу аналізу
Струм через НЕ буде представляти собою періодичне коливання складної форми. Аналітично його можна записати у вигляді ряду Фур'є
(9)
У реальних дослідженнях доводиться обмежувати число членів ряду, а для визначення амплітуд використовуються вищезгадані методи. Практично найбільш часто застосовуються методи трьох і п'яти ординат.
Суть методу полягає в наступному: ВАХ нелінійного елементу ділиться на три (п'ять) ділянки, точки 1, 3, 5 або 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 6.6), при цьому фіксуються значення вхідного і вихідного сигналів ( і ). Потім складається система з трьох (п'яти) рівнянь для струмів і вирішується відносно невідомих і т. д. З графіка на малюнку 6 видно, що в точках 1-5 будуть наступні значення амплітуд і фаз вхідного і вихідного сигналів (табл. 1).
Таблиця 1

№ точок	Миттєва фаза вхідного сигналу,	Амплітуда вхідного сигналу, u (t)	Амплітуда вихідного струму
1	0
2
3
4
5

Для методу трьох ординат ряд (9) скорочується до трьох доданків:
, (10)
Складається система з трьох рівнянь і вирішується відносно :
(11)
Звідки
(12)
Якщо потрібно визначити більше число спектральних складових, аналогічним методом складається і розв'язується система з необхідного числа рівнянь. Даний метод можна застосовувати при слабо вираженої нелінійності ВАХ та відсутності відсічення струму.

Аналітичний метод аналізу

Якщо робота НЕ (нелінійної ланцюга) відбувається в режимі малого сигналу і, як правило, без відсічення вихідного струму, для апроксимації використовується ступеневій поліном вигляду:
. (13)
Нехай на вході діє напруга При підстановці його в (13) отримаємо:
(14)
Скориставшись відомими формулами
(15)
представимо рівність (14) так:

(16)

Звідси випливають наступні співвідношення для розрахунку постійної складової струму і амплітуд гармонік:
(17)
3. Аналіз ланцюгів методом кута відсічки
При роботі нелінійної ланцюга з великими амплітудами вхідного сигналу, коли статечна апроксимація не дає хороших результатів застосовується кусково-лінійна апроксимація. Робота НЕ відбувається при цьому з відсічкою вихідного струму, і велике застосування знаходить аналітичний метод аналізу, який отримав назву методу кута відсічки.
Форма струму в ланцюзі, що містить НЕ з характеристикою
(18)
видно з графіка, представленого на малюнку 7 (за умови, що на вхід подано напругу ).

Рис. 7. Графік струму через НЕ при роботі з відсічкою струму
Графік струму має характерний вигляд періодичної послідовності косінусоідальное імпульсів, які характеризуються амплітудою і тривалістю 2 , Де - Кут відсічення, числено дорівнює половині тієї частини періоду, протягом якого через НЕ протікає струм. Період повторення імпульсів дорівнює . Спектральний склад такого періодичного коливання легко визначити, розклавши функцію струму в ряд Фур'є:
(19)
Кут відсічки легко знайти з рівності :
(20)
Функція струму визначається наступним виразом:
. (21)
При :
. (22)
Амплітуди спектральних складових струму через НЕ визначаються через коефіцієнти Берга:
(23)
де коефіцієнти є функціями одного аргументу - кута відсічки , Отримали назву коефіцієнтів (функцій) Берга.

Рис. 8. Графіки функцій Берга
Аналіз графіків функцій дозволяє зробити висновок про те, при яких кутах відсічки амплітуди (N = 0, 1, 2, ...) мають максимальні або мінімальні (нульові) значення. Це дає можливість за допомогою вибору режиму роботи НЕ (змінюючи напругу зсуву , можна змінювати ) Керувати співвідношенням амплітуд гармонік у спектрі струму через НЕ.
Таким чином, алгоритм обчислення амплітуд гармонік струму через НЕ може бути наступним:
1. За відомим значенням , , визначається кут відсічення за допомогою формули (18).
2. За формулою (20) або графічно визначається величина .
3. За допомогою таблиці або за графіками (рис. 8) знаходять .
4. Обчислюються амплітуди гармонік: k = 1, 2, ....
4. Вплив двох гармонійних сигналів на безінерційний НЕ
Для виявлення основних закономірностей розглянемо реакцію НЕ на вплив двох гармонійних сигналів. Такий вплив прийнято називати бігармонічних:
(24)
Для спрощення аналізу на першому етапі скористаємося апроксимацією ВАХ нелінійного елемента поліномом другого ступеня:
(25)

Після підстановки (22) у (23) отримаємо

Виконавши тригонометричні перетворення за формулами

та згрупувавши члени, отримаємо наступне спектральне подання струму
(26)
Аналіз виразу (24) дозволяє зробити висновок про значне збагаченні спектру струму в порівнянні зі спектром вхідного сигналу. У спектрі вихідного коливання, крім доданків, що були у вхідному сигналі - постійної складової і гармонік на частотах ω ₁ і ω _2, виникли гармонійні складові сумарної та різницевої частоти (ω ₁ + ω ₂₎ і (ω ₁ - ω _2), а також компоненти з подвоєними частотами 2 ω _1, 2 ω _2.
При збільшенні порядку апроксимує полінома проблема обчислення амплітуд спектральних складових зводиться до громіздким викладенням, наводити які в даній лекції недоцільно. У самому загальному випадку, коли ВАХ представлена ​​поліномом n-го ступеня, спектр струму через НЕ (у разі бігармонічних впливу) буде включати складові з частотами
(27)
де p і q - цілі числа, причому (p + q) ≤ n.
Сума (p + q) називається порядком комбінаційного коливання. Комбінаційне коливання в загальному випадку можна записати
(28)

де k - коефіцієнт пропорційності.
При побудові різних радіотехнічних пристроїв, які є елементами прийомних і передавальних трактів (модулятори, детектори, перетворювачі частоти, диференціальні підсилювачі), доводиться використовувати нелінійні ланцюги з бігармонічних впливом. При цьому за допомогою фільтрації виділяються потрібні комбінаційні складові (тобто створюють корисний ефект в навантаженні в залежності від реалізованої операції) і відповідно придушуються побічні продукти взаємодії двох сигналів і . Тепер розглянемо, як впливають амплітуди впливають сигналів і на співвідношення амплітуд гармонік у спектрі вихідного струму.
Параметричний режим роботи нелінійного елемента
При реалізації деяких пристроїв апаратури зв'язку, робота яких заснована на використанні нелінійних електричних ланцюгів (елементів) і бігармонічних впливі, часто виникає практична ситуація, коли амплітуда одного з напруг значно більше іншого. Наприклад, в перетворювачі частоти супергетеродинного радіоприймальних пристроїв амплітуда преутвореного сигналу значно менше амплітуди напруги місцевого джерела гармонійної напруги (гетеродином). У цих умовах НЕ для сигналу з малою амплітудою виступає в якості параметричного елемента. Графічна ілюстрація такого режиму представлена ​​на рисунку 9.

Рис. 9. Графічна ілюстрація параметричного режиму роботи
До нелінійного елементу з вольт-амперної характеристикою включені дві напруги: гармонійний сигнал з великою амплітудою і мала напруга , В загальному випадку не обов'язково гармонійне.
З огляду на малу величину напруги в порівнянні c , Можна вважати ділянку характеристики, на якій в даний момент часу діє напруга , Практично лінійним (фрагмент ВАХ на малюнку 9). При цьому напруга діє як змінюється в часі напругу зсуву, тобто джерело переміщує робочу крапку на характеристиці за законом . Таким чином, можна вважати, що для малого коливання нелінійний елемент є лінійним, але зі змінною за законом крутизною . Такий елемент і називається параметричним, причому в ролі змінного параметра виступає крутизна вольт-амперної характеристики.
Вище вже йшлося про те, що дуже важливо забезпечити мінімізацію побічних продуктів взаємодії напруг і , А також підкреслити, по можливості, корисну комбінаційну складову. Розглянемо умови, при яких може бути вирішена ця задача, для чого отримаємо аналітичний вираз для струму через НЕ в загальному вигляді.
Якщо на вхід НЕ з характеристикою впливають два коливання: , Причому виконується нерівність
(29)
а амплітуда напруги така, що воно не виходить за межі робочої області ВАХ - <1 В, то вираз для струму через НЕ можна представити у вигляді ряду Тейлора за ступенями малого напруги поблизу змінюється в часі (за законом ) Робочої точки.
. (30)
У цьому виразі перший доданок - Струм, величина якого визначається тільки джерелом , А всі інші складові - добавка до струму зa рахунок дії джерела малого сигналу . Очевидно, що перша похідна струму - Крутизна характеристики - Функція напруги (Закон її зміни в часі показаний на правій частині графіка на малюнку 9). З урахуванням введення вираз (28) можна переписати у вигляді
. (31)
У загальному випадку, коли - Парна періодична функція, струм і всі коефіцієнти ряду (29) , , , ... будуть парними періодичними функціями, отже, їх можна представити рядами Фур'є, що містять тільки косинусні складові:
(32)
Якщо підставити всі вирази (30) в (29) та виконувати елементарні (але дуже громіздкі) перетворення, можна переконатися, що у спектрі струму через НЕ буде присутній безліч комбінаційних складових, число яких не менше, ніж в (25). При цьому амплітуди струму нелінійно будуть залежати від і . Таким чином, неминуче виникають нелінійні спотворення у вихідному сигналі. У той же час ці спотворення істотно менше, ніж при сумірних амплітудах впливають сигналів. Щоб у цьому переконатися, достатньо взяти до уваги, що <<L B, отже, всі складові в (29), починаючи з третього, є малостях більш високих порядків і ними можна знехтувати без великий (з точки зору інженерної практики) похибки. Таким чином, враховуючи справедливість нерівності
(33)
можна записати:
(34)
З останнього виразу видно, що для коливання з малою амплітудою нелінійний елемент є лінійним (оскільки вираз (32) - лінійна функція ), Але зі змінним параметром - крутизною, яка змінюється в часі під впливом великої напруги :

Очевидно, що чим менше амплітуда напруги , Тим менша похибка від заміни (29) на (32), менша кількість і нижче рівень побічних (небажаних) комбінаційних складових у спектрі вихідного струму.
Якщо робота нелінійної ланцюга в цьому випадку відбувається без відсічення струму НЕ, то струм через НЕ взагалі не містить комбінаційних складових, що призводять до спотворення вихідного коливання (вихідним коливанням вважається струм на частоті ω ₁ + ω ₂ або | ω ₁ - ω ₂ |). У цьому випадку пристрій на основі даної нелінійної ланцюга буде лінійної параметричної системою.
Таким чином, для одержання лінійної параметричної ланцюга на основі НЕ необхідно виконати ряд умов:
1. Забезпечити роботу з малим рівнем вхідного сигналу.
2. Використовувати фільтр на виході ланцюга, який виділяє корисне коливання і ефективно пригнічує небажані продукти взаємодії u ₁ і u _2.
3. Забезпечити відповідний режим роботи НЕ, при якому зменшується рівень непотрібних комбінаційних складових.
4. Підбирати НЕ з ВАХ, найбільш близькою за формою до квадратичної параболи.

Бібліографічний список
1. Гоноровський І.С. Радіотехнічні ланцюги і сигнали .- М.: Вищ. шк., 1986 .- С. 222-229.
2. Бронштейн І.М., Семендяев К.А. Довідник з математики для інженерів і учнів втузів .- М.: Наука, 1986 .- С. 502-504.