Предмет:
«Теорія автоматичного управління статичних систем»
Тема:
«Аналіз якості САУ при випадкових впливах та їх оптимізація»
Аналіз якості САУ при випадкових впливах
Так як стійкість лінійних систем є властивістю системи і не залежить від характеру впливу, то стійкість при випадкових впливах визначається також, як і для детермінованих.
Якість систем при детермінованих впливах оцінюється за допомогою показників якості, таких як tp, s, T і т.д. При випадкових впливах вони втрачають сенс, тому що вхідні і вихідні величини є випадковими функціями часу і при дослідженні розглядають не самі процеси, а їх статистичні властивості, тобто визначають не миттєві значення процесів, а їх середні значення.
При випадкових впливах помилка системи e (t) = x (t)-y (t) також є випадковою величиною, при цьому використовують її усереднене значення - середню квадратичну помилку
Ця помилка використовується для оцінки точності та якості систем при випадкових впливах.
Недоліки середньої квадратичної помилки:
1.Він забезпечує мінімум не миттєвого, а середнього значення, при цьому миттєве значення може бути неприпустимо великим.
2. Вона недооцінює малі помилки і додає надмірне значення більших помилок, так як її значення зводиться в квадрат.
Розрахунок помилок з САУ при випадкових впливах
Розглянемо порядок розрахунку помилок у системах управління при випадкових впливах. Нехай задана система, наведена на мал.1.
Рис.1
Необхідно визначити величину середньої квадратичної помилки-e якщо задані Sxx (w) і Szz (w).
Розглянемо кілька випадків.
Нехай діє тільки корисний сигнал x (t) а завада z (t) відсутня.
Спектральна щільність помилки визначається співвідношенням:
Величина середньої квадратичної помилки-e визначається за формулою:
Значення інтеграла від спектральної щільності табульований і можуть бути обчислені через коефіцієнти поліномів вирази для спектральної щільності.
Нехай діє тільки перешкода z (t) а корисний сигнал x (t) відсутня.
Дія перешкоди розглядається на виході системи.
Спектральна щільність помилки при цьому визначається співвідношенням:
3. Нехай діє і корисний сигнал x (t) і перешкода z (t) і вони не корельованості.
Сумарна спектральна щільність помилки при цьому визначається співвідношенням:
Приклад 1. Для наведеної нижче системи (рис.2), визначити величину середньої квадратичної помилки-e, якщо задані Sxx (w) = c2 і Szz (w) = 0.
Рис. 2
Якщо сигнал і перешкода некоррелірованні, то сумарна спектральна щільність помилки при цьому визначається співвідношенням:
Значення інтеграла від спектральної щільності обчислимо через коефіцієнти поліномів вирази для спектральної щільності.
Величина середньої квадратичної помилки-e визначається за формулою:
Приклад 2. Для системи наведеної на рис.3 визначити спектральну щільність помилки, викликану дією перешкоди-z (t) зі спектральною щільністю
Рис. 3
Рішення: Спектральна щільність помилки визначається зі співвідношень:
Статистична оптимізація систем управління
При статистичних дослідженнях систем вирішуються завдання оптимізації, тобто визначення систем найкращих в певному сенсі (за точністю, швидкодії, надійності і т.д.).
Оптимальною системою називають систему, що забезпечує екстремум деякого функціоналу, званого критерієм оптимальності.
При статистичної оптимізації систем вирішуються такі завдання:
Завдання аналізу.
Завдання синтезу.
Завдання аналізу
Формулювання завдання
Дано: система із заданою структурою; статистичні характеристики корисного сигналу x (t) і перешкоди z (t).
Визначити: параметри системи, що забезпечують мінімальну величину середньої квадратичної помилки.
Рис.4
Схему досліджуваної системи можна представити у вигляді, показаному на рис.1. При цьому Кі (р) - передатна функція ідеальної системи, яка визначає закон перетворення корисного сигналу.
У системах, що знаходяться під дією випадкового (або регулярного) вхідного сигналу і перешкоди виникає завдання відділення сигналу від перешкоди і придушення (фільтрації) перешкоди. Крім фільтрації в залежності від оператора Кі (р) завдання фільтрації поєднується з завданнями:
1. Кі (р) = const - це завдання відтворення, тобто відділення корисного сигналу від перешкоди. Це завдання найчастіше використовується для слідкуючих систем.
2. Кі (р) = L (p)-завдання перетворення та фільтрації. При цьому L (p) - оператор перетворення.
Алгоритм розв'язання задачі
Величина середньої квадратичної помилки визначається за формулою:
Схему досліджуваної системи можна представити у вигляді, показаному на рис.2.
Рис. 5
Зображення помилки одно:
Спектральна щільність помилки дорівнює:
Якщо сигнали не корельованості то
Для визначення дисперсії вихідного сигналу необхідно обчислити інтеграл виду
де
Табульований значення цих інтегралів, обчислені через коефіцієнти поліномів A (jw) і B (w), наведені в літературі з систем управління.
У таблиці 1 наведені табульований значення інтегралів для n £ 3.
Таблиця 1
Використовуючи таблицю, отримаємо залежність
Оптимальні значення параметрів отримаємо за допомогою приватних похідних.
Вирішивши систему рівнянь, отримаємо оптимальні значення параметрів k0, T10, ..., Tn0.
Якщо шляхом зміни варійованих параметрів системи не вдається домогтися необхідної якості, то необхідно вирішувати задачу синтезу, тобто змінювати структуру системи.
Література
1. Єгупов Н.Д., Пупков К.А., Баркін А.І. Методи класичної та сучасної теорії автоматичного керування: У 5 тт: Т. 4: Теорія оптимізації систем автоматичного управління Вид-во: МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2004.
2. Зотов М.Г. Багатокритеріальне конструювання систем автоматичного управління Видавництво: БІНОМ. Лабораторія знань, 2004. - 375с.
3. Меркін Д.Р. Введення в теорію стійкості руху, 198
4. Светлицький В.А., Стасенко І.В. Збірник завдань з теорії коливань, 1973
5. Теорія автоматичного керування. Учеб. для вузів за спец. "Автоматика та телемеханіка". У 2-х ч. / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов та ін: Під ред. А.А. Воронова. - 2-е вид., Перераб. і доп. - М.: Вищ. шк., 198 - 367с., іл.
«Теорія автоматичного управління статичних систем»
Тема:
«Аналіз якості САУ при випадкових впливах та їх оптимізація»
Аналіз якості САУ при випадкових впливах
Так як стійкість лінійних систем є властивістю системи і не залежить від характеру впливу, то стійкість при випадкових впливах визначається також, як і для детермінованих.
Якість систем при детермінованих впливах оцінюється за допомогою показників якості, таких як tp, s, T і т.д. При випадкових впливах вони втрачають сенс, тому що вхідні і вихідні величини є випадковими функціями часу і при дослідженні розглядають не самі процеси, а їх статистичні властивості, тобто визначають не миттєві значення процесів, а їх середні значення.
При випадкових впливах помилка системи e (t) = x (t)-y (t) також є випадковою величиною, при цьому використовують її усереднене значення - середню квадратичну помилку
Ця помилка використовується для оцінки точності та якості систем при випадкових впливах.
Недоліки середньої квадратичної помилки:
1.Він забезпечує мінімум не миттєвого, а середнього значення, при цьому миттєве значення може бути неприпустимо великим.
2. Вона недооцінює малі помилки і додає надмірне значення більших помилок, так як її значення зводиться в квадрат.
Розрахунок помилок з САУ при випадкових впливах
Розглянемо порядок розрахунку помилок у системах управління при випадкових впливах. Нехай задана система, наведена на мал.1.
z (t) |
K (p) |
x (t) |
y (t) |
e (t) |
- |
Рис.1
Необхідно визначити величину середньої квадратичної помилки-e якщо задані Sxx (w) і Szz (w).
Розглянемо кілька випадків.
Нехай діє тільки корисний сигнал x (t) а завада z (t) відсутня.
Спектральна щільність помилки визначається співвідношенням:
Величина середньої квадратичної помилки-e визначається за формулою:
Значення інтеграла від спектральної щільності табульований і можуть бути обчислені через коефіцієнти поліномів вирази для спектральної щільності.
Нехай діє тільки перешкода z (t) а корисний сигнал x (t) відсутня.
Дія перешкоди розглядається на виході системи.
Спектральна щільність помилки при цьому визначається співвідношенням:
3. Нехай діє і корисний сигнал x (t) і перешкода z (t) і вони не корельованості.
Сумарна спектральна щільність помилки при цьому визначається співвідношенням:
x (t) |
До Тр +1 |
y (t) |
e (t) |
z (t) |
- |
Приклад 1. Для наведеної нижче системи (рис.2), визначити величину середньої квадратичної помилки-e, якщо задані Sxx (w) = c2 і Szz (w) = 0.
Рис. 2
Якщо сигнал і перешкода некоррелірованні, то сумарна спектральна щільність помилки при цьому визначається співвідношенням:
Значення інтеграла від спектральної щільності обчислимо через коефіцієнти поліномів вирази для спектральної щільності.
Величина середньої квадратичної помилки-e визначається за формулою:
1 p + a |
1 p |
x |
z |
Приклад 2. Для системи наведеної на рис.3 визначити спектральну щільність помилки, викликану дією перешкоди-z (t) зі спектральною щільністю
|
Рис. 3
Рішення: Спектральна щільність помилки визначається зі співвідношень:
Статистична оптимізація систем управління
При статистичних дослідженнях систем вирішуються завдання оптимізації, тобто визначення систем найкращих в певному сенсі (за точністю, швидкодії, надійності і т.д.).
Оптимальною системою називають систему, що забезпечує екстремум деякого функціоналу, званого критерієм оптимальності.
При статистичної оптимізації систем вирішуються такі завдання:
Завдання аналізу.
Завдання синтезу.
Завдання аналізу
Формулювання завдання
Дано: система із заданою структурою; статистичні характеристики корисного сигналу x (t) і перешкоди z (t).
K і (p) |
K (p) |
x |
z |
y |
x 1 |
Визначити: параметри системи, що забезпечують мінімальну величину середньої квадратичної помилки.
Рис.4
Схему досліджуваної системи можна представити у вигляді, показаному на рис.1. При цьому Кі (р) - передатна функція ідеальної системи, яка визначає закон перетворення корисного сигналу.
У системах, що знаходяться під дією випадкового (або регулярного) вхідного сигналу і перешкоди виникає завдання відділення сигналу від перешкоди і придушення (фільтрації) перешкоди. Крім фільтрації в залежності від оператора Кі (р) завдання фільтрації поєднується з завданнями:
1. Кі (р) = const - це завдання відтворення, тобто відділення корисного сигналу від перешкоди. Це завдання найчастіше використовується для слідкуючих систем.
2. Кі (р) = L (p)-завдання перетворення та фільтрації. При цьому L (p) - оператор перетворення.
Алгоритм розв'язання задачі
Величина середньої квадратичної помилки визначається за формулою:
K і (p)-K (p) |
K (p) |
x (p) |
z (p) |
e |
Схему досліджуваної системи можна представити у вигляді, показаному на рис.2.
Рис. 5
Зображення помилки одно:
Спектральна щільність помилки дорівнює:
Якщо сигнали не корельованості то
Для визначення дисперсії вихідного сигналу необхідно обчислити інтеграл виду
де
Табульований значення цих інтегралів, обчислені через коефіцієнти поліномів A (jw) і B (w), наведені в літературі з систем управління.
У таблиці 1 наведені табульований значення інтегралів для n £ 3.
Таблиця 1
| |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
|
Оптимальні значення параметрів отримаємо за допомогою приватних похідних.
Вирішивши систему рівнянь, отримаємо оптимальні значення параметрів k0, T10, ..., Tn0.
Якщо шляхом зміни варійованих параметрів системи не вдається домогтися необхідної якості, то необхідно вирішувати задачу синтезу, тобто змінювати структуру системи.
Література
1. Єгупов Н.Д., Пупков К.А., Баркін А.І. Методи класичної та сучасної теорії автоматичного керування: У 5 тт: Т. 4: Теорія оптимізації систем автоматичного управління Вид-во: МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2004.
2. Зотов М.Г. Багатокритеріальне конструювання систем автоматичного управління Видавництво: БІНОМ. Лабораторія знань, 2004. - 375с.
3. Меркін Д.Р. Введення в теорію стійкості руху, 198
4. Светлицький В.А., Стасенко І.В. Збірник завдань з теорії коливань, 1973
5. Теорія автоматичного керування. Учеб. для вузів за спец. "Автоматика та телемеханіка". У 2-х ч. / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов та ін: Під ред. А.А. Воронова. - 2-е вид., Перераб. і доп. - М.: Вищ. шк., 198 - 367с., іл.