ДЕРЖАВНИЙ КОМІТЕТ РФ з рибальства
МУРМАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра електрообладнання суден
Пояснювальна записка
до курсової роботи з курсу "Основи теорії кіл"
Тема: "Методи розрахунку лінійних електричних ланцюгів при імпульсній дії. Спектральний аналіз сигналів"
Мурманськ
2009
Зміст
Формулювання завдання
Якісний аналіз перехідного процесу
Розрахунок перехідного процесу класичним методом
Розрахунок перехідного процесу операторних методом
Побудова графіка зміни шуканої величини
Складання передавальної функції між заданими змінними
Складання перехідної функції
Розрахунок закону зміни шуканої величини при подачі на вхід ланцюга імпульсу заданої форми
Розрахунок і побудова графіка спектральної щільності прямокутного імпульсу
Розрахунок і побудова графіка спектральної щільності шуканої змінної
Список використаної літератури
Формулювання завдання
Виконати якісний аналіз перехідних процесів напруг і струмів на реактивних елементах. Побудувати необхідні графіки.
Визначити закон зміни в часі струму або напруги після комутації, використовуючи класичний метод розрахунку.
Визначити закон зміни в часі струму або напруги після комутації, використовуючи операторний метод розрахунку.
На підставі отриманого аналітичного виразу побудувати графік зміни шуканої величини в часі в інтервалі від 0 до
, Де
,
- Найменший за модулем корінь характеристичного рівняння.
Записати вираз передавальної функції між шуканої величиною і вхідною напругою.
Використовуючи вираз передавальної функції, записати вираз відповідної їй перехідної функції.
Розрахувати закон зміни шуканої величини при подачі на вхід ланцюга імпульсу заданої форми.
Розрахувати і побудувати графік спектральної щільності амплітуд одиночного прямокутного імпульсу з амплітудою E, тривалістю t і = 0.2 мс в діапазоні частот, в якому зосереджено 90 ℅ енергії цього сигналу.
Розрахувати і побудувати графік спектральної щільності амплітуд шуканої величини при подачі на вхід ланцюга одиночного прямокутного імпульсу, використовуючи результати пп. 5 и8. Побудова зробити в тому ж діапазоні і на тих же частотах.
Визначити .
Якісний аналіз перехідного процесу
Якісний аналіз перехідного процесу являє собою метод грубої інженерної оцінки. Він полягає в знаходженні шуканих змінних в певні моменти часу, зокрема, перед комутацією, в момент комутації і в сталому режимі.
Розрахунок струмів і напруг до комутації (
).
Розрахунок струмів і напруг у момент комутації (
).
Перший закон комутації: струм в індуктивності в момент комутації не може зміняться миттєво, він залишається таким же, яким був безпосередньо перед комутацією, а потім плавно змінюється. Тому можна записати, що .
Другий закон комутації: напруга на ємності в момент комутації не може зміняться стрибком. Воно залишається таким же, яким було перед комутацією, а потім плавно змінюється. Таким чином .
Для того, щоб скласти систему рівнянь Кірхгофа, побудуємо дерево графа кола. Граф - це зображення електричний ланцюга без елементів.
Джерело струму і джерело ЕРС, що позначають в момент комутації індуктивність і ємність відповідно, можуть не бути ідеальними, і мати кінцеві значення опорів, тобто видно в графі ребрами.
Таким чином за першим законом Кірхгофа необхідно скласти 2 рівняння, а по другому - 3 рівняння.
Таким чином отримуємо
Розрахунок струмів і напруг в усталеному режимі (
).
Побудова графіків перехідного процесу.
Точки А відповідають значенням змінних в момент до комутації ( ). Ці значення були розраховані в пункті 1. Точки У відповідають значенням в момент комутації (
). Це було знайдено в пункті 2. Точки С і проходять через них прямі відповідають значенням струмів і напруг в усталеному режимі (
), Що було обчислено в пункті 3.
Лінії ЗС проведені приблизно у припущенні, що під час перехідного процесу струми і напруги приймають великі значення, ніж в усталеному режимі.
Розрахунок перехідного процесу класичним методом
При розрахунку перехідного процесу класичним методом він представляється у вигляді двох накладаються один на одного процесів: вимушеного (який відповідає новому сталому режиму) і вільного, затухаючого (який існує під час перехідного процесу). Завдяки загасанню перехідною струм весь час наближається до примусу току.
Так як перехідний процес триває від моменту комутації , До моменту встановлення
, То фізично реальною є тільки вільна складова.
Вид функції залежить від форми ЕРС або струму джерела і характеризується структурою ланцюга і її елементної бази. Вид функції
залежить тільки від характеру ланцюга (структури та елементної бази).
Функція розраховується у схемі після комутації (ключ в робочому положенні). Вид
визначається корінням характеристичного рівняння, яке може бути складено, наприклад, по вхідному опору ланцюга. Тобто в ланцюзі вибирається гілка без джерела струму, в цій галузі робиться розрив, з ланцюга виключаються всі джерела і з боку розриву записується рівняння для вхідного опору
. Далі в цьому опорі
замінюють на p і прирівнюють до нуля.
Складання характеристичного рівняння.
Характеристичне рівняння:
Так як при будь-якому p, то
Напруга
.
Так як отримані коріння характеристичного рівняння є комплексними сполученими, то являє собою затухаючий коливальний процес і шукається як функція виду
, Де A і ψ - постійні інтегрування, а δ - декремент загасання. Всі ці константи знаходяться з наступних умов:
Тоді
(Розраховано при проведенні якісного аналізу)
Так як , То
. Вирішуючи це рівняння, отримаємо значення константи А:
У результаті отримуємо формулу для перехідного напруги на конденсаторі:
Розрахунок перехідного процесу операторних методом
Суть операторного методу полягає в тому, що кожному числу з області функцій дійсної змінної t ставиться під взаимнооднозначное відповідність з допомогою операторного відображення по Лапласа деякий кількість в області функцій комплексної змінної частоти ω. У диференціальне рівняння або інтегро-диференціальне рівняння функції часу замінюється алгебраїчним рівнянням у функції частоти.
Операції в області відображень здійснюються за допомогою простих алгебраїчних перетворень, а отримані результати і допомогою відображення Лапласа переводяться в область функцій часу.
Відображенням по Лапласа називається функція, яка виходить в результаті наступного інтегрування:
, Де
Операторна схема заміщення індуктивності містить операторний опір pL і джерело ЕРС . Напрямок джерела збігається з напрямком струму в ланцюзі.
Операторна схема заміщення ємності містить операторний опір і джерело ЕРС
, Напруга якого протилежно вихідного напрузі на ємності.
Всі джерела замінюються своїми операторними відображеннями.
Зробивши всі необхідні перетворення, отримуємо
Дерево графа кола:
Складемо систему з трьох рівнянь за методом контурних струмів:
Вирішимо цю систему:
Так як , А
, То
Тепер необхідно знайти оригінал даного відображення. З таблиць перетворення по Лапласа відомо, що ([2] стор 255), тому головна складність полягає в знаходженні оригіналу другого доданка.
Щоб знайти оригінал другого доданка, скористаємося теоремою розкладання Хевісайда: їли зображення має вигляд раціонального дробу, то оригінал визначається в залежності від коренів знаменника. Так як в даному випадку два кореня комплексні зв'язані, а третій дорівнює 0, то
У результаті отримуємо формулу для перехідного напруги на конденсаторі:
Побудова графіка зміни шуканої величини
За правилом п'яти τ перехідний процес можна вважати завершеним через час, рівне після комутації. Тут τ - постійна часу ланцюга, вона визначає швидкість затухання процесу, і чим вище τ, тим повільніше йде процес.
У цьому завданню
Складання передавальної функції між заданими змінними
Передавальною функцією по напрузі називається відношення зображення по Лапласа вихідний функції до зображення по Лапласа вхідний функції
при нульових початкових умовах:
.
Для визначення передавальної функції досить замінити вихідну схему операторної схемою заміщення, вважаючи, що "внутрішні" ЕРС індуктивності і ємності і
дорівнюють нулю. Після цього припускаємо, що на вході схеми заміщення діє операторна ЕРС
. Провівши розрахунок операторного зображення шуканої змінної, ділимо його на
.
Таким чином, операторна схема заміщення буде мати наступний вигляд:
Для розрахунку формули використовуємо систему рівнянь, що застосовувалася при розрахунку ланцюга операторних методом, замінивши в ній ненульові початкові умови на нульові:
Так як , А
, То
Таким чином передатна функція між напруга v на ємності і вхідною напругою на ЕРС дорівнює
Складання перехідної функції між заданими змінними
Перехідною характеристикою ланцюга називається реакція ділянки ланцюга або всього ланцюга на вплив зігнала постійної одиничної величини.
Перехідні характеристики зручно обчислювати в операторної формі, використовуючи вираз передавальної функції відповідного виду.
Таким чином перехідна функція по напрузі k (t) - закон зміни напруги на затискачах деякої ділянки ланцюга при підключенні до джерела постійної ЕРС в 1В при нульових початкових умовах і відсутності інших джерел.
Відображення по Лапласа перехідної функції по напрузі можна знайти, використовуючи формулу
Щоб знайти оригінал даного відображення скористаємося теоремою розкладання Хевісайда. Для цього визначимо коріння знаменника:
Так як в даному випадку два кореня комплексні зв'язані, а третій дорівнює 0, то
, Де
Таким чином перехідна функція по напрузі дорівнює
Розрахунок закону зміни шуканої величини при подачі на вхід ланцюга імпульсу заданої форми
Якщо на ланцюг впливає сигнал довільної форми, то необхідно розбити вплив на окремі ділянки, для яких може бути визначений тимчасової скачок, і розглядати реакцію ланцюга у вигляді суми ділянок на підставі принципу накладення.
Для розрахунку реакції ланцюга на кожній ділянці використовується інтеграл Дюамеля:
Якщо вплив має складну форму, має скачи струму або напруги, то інтервал інтегрування розбивається на окремі ділянки, і реакція ланцюга визначається для окремих ділянок. При цьому результати не підсумовуються, а описуються для окремих ділянок.
Для того, щоб застосувати інтеграл Дюамеля, необхідно визначити закон зміни вхідного сигналу на кожній дільниці:
Таким чином
{Інтегруємо по частинах, як у пункті I} =
У результаті отримуємо закон зміни шуканої величини при подачі на вхід ланцюга імпульсу заданої форми:
Розрахунок і побудова графіка спектральної щільності прямокутного імпульсу
Основою спектрального аналізу є те, що будь-який безперервний сигнал можна представити як періодичний з періодом . Енергія сигналу при цьому не змінюється. Тобто кожна амплітуда гармонічного ряду Фур'є починає падати з зростанням числа гармонік. Відстань між готельними гармоніками при збільшенні їх кількості зменшується. Але енергія спектру і його форма зберігаються.
Аналітичний опис у вигляді ряду Фур'є перетворюється на аналітичне вираження у вигляді інтеграла Фур'є:
За умовою дано одиночний імпульс амплітудою E і тривалістю t і = 0,2 мс:
Щоб знайти спектральну характеристику даного впливу, уявімо з урахуванням принципу накладення його у вигляді двох сигналів, використовуючи одиничну функцію:
(По теоремі про запізнювання оригіналу)
Отримана величина є спектральною щільністю сигналу f (t). Фізичну цінність має модуль спектральної щільності сигналу , Який згідно теоремі Релея (правило Парсіваля) характеризує розподіл енергії в спектрі сигналу.
90 ℅ енергії сигналу зосереджено в діапазоні частот першого пелюстки графіка, тобто в межах від до
. У даному випадку це відповідає зміні частоти від
до
.
Розрахунок і побудова графіка спектральної щільності шуканої змінної
Використовуючи визначення передавальної функції, можна записати, що . Замінивши в цій рівності оператор р на
, Отримаємо формулу для знаходження спектральної щільності шуканої величини:
Раніше було визначено, що . Н (p) також була знайдена.
Щоб перейти до функції частоти, замінимо оператор р на . У результаті отримаємо:
Таким чином отримуємо
Список використаної літератури
Борисова Л.Ф. Конспект лекцій з курсу "Основи теорії кіл". - Мурманськ: Із МГТУ, 2007 р. - 157 с.
Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник з теорії лінійних електричних ланцюгів. Учеб. посіб. для едектротехніч., радіотехніч. спец. вузів. - 4е вид., Перераб. і доп. - М.: Вищ. шк., 2000. - 379 с.
Методичні вказівки до курсової роботи з курсу "Теоретичні основи електротехніки" для курсантів та студентів-заочників за спеціальністю 1613 / Укл. Каценельсон Н.В., Докунін Є.А. - Мурманськ, 2007. - 112