Санкт-Петербурзький
ДЕРЖАВНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ
УНІВЕРСИТЕТ
ІНЖЕНЕРНО-БУДІВЕЛЬНИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра будівельної механіки і теорії пружності
Контрольна робота
з дисципліни "Динаміка споруд"
Визначення прогинів залізобетонної балки і зусиль в її перетинах при сталих гармонійних коливаннях
(Шифр завдання 3305)
Виконав:
студент гр. 5015/10
Смирнов Д. В.
Викладач:
Константинов І. А.
С.-Петербург
2008
Постановка завдання
Дана залізобетонна балка (рис. 1) з наступними параметрами: довжина балки ; Розміри прямокутного поперечного перерізу
; Залізобетон класу В25 (об'ємна вага
; Модуль пружності
).
У відповідності з заданими параметрами обсяг матеріалу балки, площа
її поперечного перерізу, повна маса
та її повний вага
становлять відповідно величини:
;
;
;
.
По середині прольоту балки розташований електродвигун (він впливає на балку силою ; Сила ваги ротора
; Частота обертання ротора
).
На розрахунковій схемі балки для статичного розрахунку її вага представлений у вигляді рівномірно розподіленого навантаження, а вага електромотора у вигляді зосередженої сили (див. рис. 1, а).
Розрахункова схема для динамічного розрахунку балки представляється у вигляді системи з одним ступенем свободи. Така розрахункова схема вийде (рис.1, б), якщо уявити балку як систему двох елементів (тип 2 в програмі SCAD) з вузлами на опорах і по середині балки і замінити рівномірно розподілену масу елементів двома рівними масами по кінцях елементів.
За обурює динамічне навантаження, що викликає поперечні коливання балки, у прикладі прийнята вертикальна складова відцентрової сили (див. рис. 1, б), викликаної обертовим ротором, що має ексцентриситет між центром маси ротора і його геометричною віссю.
Обурює гармонійне вплив представляється у вигляді , Де
- Амплітуда відцентрової сили (рис. 2);
- Маса ротора;
- Прискорення вільного падіння.
Потрібно визначити максимальний прогин балки і максимальний згинальний момент в її середній перерізі:
від статичного навантаження у вигляді власної ваги балки і електромотора;
від динамічного навантаження у вигляді
при сталих гармонійних коливаннях;
від сумарної дії обох навантажень
Статичний і динамічний розрахунок виконати вручну і за допомогою програми SCAD.
1 Виконання завдання при використанні для динамічного розрахунку балки системи з одним ступенем свободи
1.1 Розрахунок на ПК з використанням програми SCAD
1. Складаємо розрахункову схему балки для статичного розрахунку і динамічного розрахунку як системи з одним ступенем свободи
З цією метою зобразимо балку як систему двох елементів типу 2 (за класифікацією у програмі SCAD) з вузлами на опорах і в місці розташування двигуна (рис. 4).
Рис. 4
На приведеній схемі показані статичні навантаження від власної ваги балки і власної ваги двигуна і вертикальна складова динамічного навантаження, викликаної обертанням ротора двигуна.
Так як ми розглядаємо цю систему як лінійно деформується, то скористаємося принципом незалежності дії сил і визначимо прогини балки і зусилля в її перетинах окремо від кожної навантаження.
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| Р О З П Р Е Д Е Л Е Н Н Я У Є З Про У М А З С |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 1 2 3 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 3 - (гарм-1) |
| Z 3.67 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
-------------------------------------------------- ----------------------
| Загpу: N: COБCTB. : Ч ACTOT И: ПEPІOДИ |
|: П / П: :-----------------------------:------------- - |
| Ження:: ЗHAЧEHІЯ: 1 / C: ГЦ: C |
-------------------------------------------------- ----------------------
| 3 1 .0093448 107.0104 17.03988 .0586858 |
-------------------------------------------------- ----------------------
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| Ф О Р М И К О Л Е Б А Н И Й |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 1 2 3 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 3 - 1 (гарм-1) |
| Z 1. |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| І Н Е Р Ц І О Н Н И Е Н А Г Р У З К И |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 1 2 3 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 3 - 1 (гарм-1) |
| Z .988 |
| 3 - 2 |
| Z -. 1356 |
Аналіз результатів розрахунку
Перш за все, відзначимо, що структура таблиць та їх назви призначені для систем з декількома ступенями свободи, що пояснює використання множини в їхніх назвах. У розглянутому прикладі маємо систему з одним ступенем свободи.
Введені результати в першій і другій таблицях зрозумілі: у першій - показано, що у вузлі 2 складеної розрахункової схеми МСЕ знаходиться зосереджена маса вагою 3.67 тс; у другій - наведено результати визначення власної кругової частоти ω, частоти f і періоду T.
У третій таблиці для кожної власної форми коливань (СФК) відображаються відносні переміщення мас розрахункової схеми у напрямку їх ступенів свободи. При цьому найбільше переміщення в СФК прийнято рівним одиниці. У розглянутому прикладі для системи з одним ступенем свободи є тільки одна форма коливань з одного ординатою, рівній одиниці.
У четвертій таблиці наведені амплітуди складових S1 і S2 сумарної сили S. Повна амплітуда So сумарної сили виходить за формулою:
Аналогічно, з таблиць для переміщень і для зусиль у вузлі 2 завантажена 3 відповідно отримуємо складові переміщення вузла 3 розрахункової схеми (див. рис. 1) і моменти в цьому перерізі і максимальні значення цих величин:
| П Е Р Е М Е Н Е Н Н Я У З Л О В |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 1 2 3 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 1 - (СВ) |
| Z -. 62551 |
| 2 - (Вага двиг.) |
| Z -. 357142 |
| 3 - 1 (гарм-1) |
| Z -. 230647 |
| 3 - 2 |
| Z .031663 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| У С І Л І Я / НАПРУГИ / В ЕЛЕМЕНТАХ |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 2_ 1-1 1-2 1-3 2-1 2-2 2-3 |
| 1 1 1 2 2 2 |
| 2 2 2 3 3 3 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 1 - (СВ) |
| M 2.81367 3.75156 3.75156 2.81367 |
| 2 - (Вага двиг.) |
| M 1.33875 2.6775 2.6775 1.33875 |
| 3 - 1 (гарм-1) |
| M .864582 1.72916 1.72916 .864582 |
| 3 - 2 |
| M -. 118689 -. 237378 -. 237378 -. 118689 |
| 3 - S1 |
| M .872691 1.74538 1.74538 .872691 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
Контроль результатів розрахунків на ПК з використанням відомих формул для систем з одним ступенем свободи
Визначаємо власну частоту системи з одним ступенем свободи
1 / с.
Тут - Вага маси, зосередженої у вузлі 2.
Обчислюємо динамічний коефіцієнт
для двох варіантів рішення задачі про усталені коливання балки.
Варіант 1 :
Варіант 2 :
Обчислюємо амплітуди шуканих величин.
Амплітуда усталених коливань :
Величина тут отримана перерахуванням за прогину
, Підрахованому вище від дії сили ваги двигуна
.
Амплітуда сумарної сили для варіанту 1: тс.
Амплітуда згинального моменту в середньому перерізі балки для цього ж варіанти розрахунку:
Визначаємо сумарні значення шуканих величин в середньому перерізі балки з урахуванням знакозмінними динамічних амплітуд, пов'язані з нижньої і верхньої сторонам балки:
Отримані дані показують, що в результаті сталих коливань у балці максимальний в часі прогин і згинальний момент не змінюють знак, тобто розтягнутій завжди буде нижня сторона балки.
Як бачимо результати розрахунків вручну і за допомогою ПК практично збігаються.
Епюри згинальних моментів при розглянутих завантаженні 1,2,3 відповідно зображені на рис. 3, а-3, м. У третьому (динамічному) завантаженні виходять дві епюри (рис. 3, в, г). Вони відповідають розкладанню сумарного навантаження на коливання по синусів і косинусів. На рис. 3, д зображена епюра розрахункових згинальних моментів при динамічному навантаженні, отримана за формулою для .
Якщо припустити, що збурювальна частота збіглася з власною частотою системи ( ), То коефіцієнт динамічності, амплітуда переміщень і амплітуда максимального згинального моменту при резонансі вийшли б відповідно рівними:
Тоді відповідні сумарні величини для прогину і згинального моменту в середньому перерізі балки вийшли б рівними:
Отримані результати показують, що в результаті сталих коливань у балці поперемінно (з періодом ) В середньому перерізі максимальний в часі прогин і максимальний згинальний момент змінюють значення і знак, тобто розтягнутими будуть то нижня (знак +), то верхня (знак -), сторони балки.
Зразковий вид епюр згинаючих моментів у балці при сталих коливаннях з коефіцієнтів динамічності показаний точковими лініями на малюнку 3, тобто
Рис. 3
2 Виконання завдання при використанні для динамічного розрахунку балки системи з декількома ступенями свободи
2.1 Розрахунок на ПК з використанням програми SCAD
У варіанті 1.1. завдання 1 було розглянуто рішення задачі про визначення максимального прогину залізобетонної балки з електродвигуном, розташованим по її довжині. Розрахунок виконувався від двох статичних і одного динамічного завантажений по розрахунковій схемі балки у вигляді системи з одним ступенем свободи.
Розглянемо рішення цієї ж задачі з використанням розрахункової схеми МСЕ, коли балка по довжині прольоту розділена на 4 рівних кінцевих елемента типу 2. У цьому випадку при завантаженні сайту 3 динамічною навантаженням отримаємо розрахункову схему у вигляді системи з трьома ступенями свободи, яка може бути представлена у вигляді, наведеному на рис. 4.
Рис. 4
Результати розрахунку:
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| Р О З П Р Е Д Е Л Е Н Н Я У Є З Про У М А З С |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 1 2 3 4 5 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 3 - (гарм-3) |
| Z 1.067 2.597 1.067 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
-------------------------------------------------- ---------------------------------|
| Загpу: N: COБCTB. : Ч ACTOT И: ПEPІOДИ |
|: П / П: :-----------------------------:------------- - - |
| Ження:: ЗHAЧEHІЯ: 1 / C: ГЦ: C |
-------------------------------------------------- ----------------------
| 3 1 .009285 107.7001 17.1497 .05831 |
| 2 .0017818 561.2033 89.36359 .0111902 |
| 3 .0012916 774.1783 123.2768 .0081118 |
-------------------------------------------------- ----------------------
Перший СФК
Другий СФК
Третій СФК
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| І Н Е Р Ц І О Н Н И Е Н А Г Р У З К И |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 1 2 3 4 5 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 3 - 1 (гарм-3) |
| Z .0665 .8888 .0665 |
| 3 - 2 |
| Z -. 0152 -. 1125 -. 0152 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| П Е Р Е М Е Н Е Н Н Я У З Л О В |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 1 2 3 4 5 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 1 - (СВ) |
| Z -. 445676 -. 62551 -. 445676 |
| 2 - (Вага двиг.) |
| Z -. 245535 -. 357142 -. 245535 |
| 3 - 1 (гарм-3) |
| Z -. 158161 -. 228817 -. 158161 |
| 3 - 2 |
| Z .021624 .03117 .021624 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| У С І Л І Я / НАПРУГИ / В ЕЛЕМЕНТАХ |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 2_ 1-1 1-2 2-1 2-2 3-1 3-2 4-1 4-2 |
| 1 1 2 2 3 3 4 4 |
| 2 2 3 3 4 4 5 5 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
| 1 - (СВ) |
| M 2.81367 2.81367 3.75156 3.75156 2.81367 2.81367 |
| 2 - (Вага двиг.) |
| M 1.33875 1.33875 2.6775 2.6775 1.33875 1.33875 |
| 3 - 1 (гарм-3) |
| M .894092 .894092 1.6718 1.6718 .894092 .894092 |
| 3 - 2 |
| M -. 125189 -. 125189 -. 223664 -. 223664 -. 125189 -. 125189 |
| 3 - S1 |
| M .902814 .902814 1.6867 1.6867 .902814 .902814 |
-------------------------------------------------- ----------------------------------------
Рис. 5
Розрахунок вручну. Вихідними даними для розрахунку вручну вважаємо визначені в результаті модального аналізу СЧ і СФК для розглянутої балки як системи з трьома ступенями свободи.
1. Обчислення векторів інерційних сил в СФК
Обчислення для першої СФК (i = 1)
Обчислення для першої СФК (i = 3)
Результати розрахунку зведемо в таблицю 1.
Таблиця 1
| | | | | |
1 | 0.1 79 | | | 1.517 | |
2 | 0 | | | | |
3 | - 0. 136 | | | | |
2. Виконання контролю розкладання вектора по СФК
У даному випадку перевірка виконується.
3. Обчислення переміщень і зусиль у СФК в будь-якому перетині балки
Вектору інерціональних навантажень відповідає вектор прогинів балки
і зусилля
в будь-якому перетині
. Для скорочення ручних обчислень обмежимося обчислень прогину і згинального моменту тільки в середньому перерізі балки. Результати розрахунку зведемо в таблицю 2.
Таблиця 2
| | |
1 | | |
2 | 0 | 0 |
3 | | |
4. Зіставлення сумарного вектора інерційних навантажень по всіх СФК
Цей вектор у всіх СФК (при ) Визначається при синусі рівному 1.
тс.
У наведеній таблиці результатів розрахунку інерційних сил у програмі SCAD наводяться не вектори СФК, а вектори
і
. Тоді розрахунковий вектор обчислимо за формулою:
тс.
Як бачимо, результати практично збіглися.
5. Обчислення розрахункового згинального моменту в середньому перерізі балки
Підсумовування амплітудних значень згинального моменту, обчислених у середньому перерізі балки для всіх трьох СФК виконується за формулою:
тс * м
У програмі SCAD:
тс * м
Розрахунки, виконані у програмі SCAD і вручну практично збігаються.
Зіставлення результатів розрахунку за двома розрахунковими схемами
Зіставлення результатів розрахунку розглянутої балки з визначення її максимального прогину і максимального згинального моменту по розглянутим 2 розрахунковим схемам показує, що навіть використання для динамічного розрахунку розрахункової схеми з одним ступенем свободи дає задовільні результати.
СПИСОК
Константинов І.А., Лаліна І.І. Будівельна механіка. Розрахунок стержневих систем. Учеб. посібник. СПб.: Вид-во політехн. ун-ту. 2005. 155 с.
Константинов І.А. Будівельна механіка. Використання програми SCAD для розрахунку стрижневих систем. Ч.I: Учеб. посібник. СПб.: Вид-во СПбГПУ, 2004. 81С.
Константинов І.А., Лаліна І.І. Будівельна механіка. Використання програми SCAD для розрахунку стрижневих систем. Ч.2: Учеб. посібник. СПб.: Вид-во політехн. ун-ту, 2005. 82с.
Лалін В.В., Константинов І.А., Лаліна І. І. Динаміка споруд. Використання програми SCAD для вирішення задач динаміки споруд. Ч.1: Сайт каф. ЕіПГС, ФОДО,
2005. 92с.