Аналіз лінійних електричних ланцюгів при гармонійному впливі

ФГТУ ВПО Воронезький інститут ФСВП Росії

Кафедра основ радіотехніки та електроніки

Курсова робота

з дисципліни «Основи теорії кіл»

Тема: «Аналіз лінійних електричних ланцюгів при гармонійному впливі»

Варіант 13

Виконав:

Іванов І.І.

Воронеж 2010

ЗМІСТ

Введення

1. Завдання до курсової роботи і вказівки по виконанню

2. Приклад виконання завдання курсової роботи

2.1 Складання схеми досліджуваної ланцюга

2.2 Розрахунок струмів і напруг в елементах ланцюга

2.3 Перевірка результатів за допомогою законів Кірхгофа

2. 4 Побудова повної векторної діаграми ланцюга

2.5 Розрахунок частотних характеристик ланцюга

Бібліографічний список

1. Завдання до курсової роботи і вказівки по виконанню

1. Скласти схему досліджуваної ланцюга

Для цього на вхід заданої ланцюга (варіант схеми ланцюга визначається викладачем), як показано на рис. 1.1, підключити реальне джерело гармонійної напруги з е.р.с. e (t) = E _m cos (ω t), амплітуда, частота ω і внутрішній опір R _e якого також визначаються відповідно до варіанта.

Рис. 1.1. Підключення джерела напруги до досліджуваної ланцюга

Зобразити отриману схему ланцюга, проставити нумерацію елементів відповідно до вимог ГОСТ по оформленню креслень і позначити струми та напруги на всіх елементах, поставивши їх позитивні напрямки.

2. Розрахувати струми і напруги в елементах ланцюга

Шляхом проведення аналітичних розрахунків необхідно визначити амплітуди і початкові фази струмів і напруг на всіх елементах ланцюга при відсутності навантаження, у звіті привести опис розрахунків, результати представити у вигляді таблиці, аналогічної табл. 1.1.

Таблиця 1.1 Результати розрахунків

Так як в досліджуваній ланцюга присутні реактивні елементи, то протікають в ланцюзі процеси можуть бути описані в комплексному вигляді. Тому при проведенні аналітичних розрахунків необхідно використовувати метод комплексних амплітуд.

У цьому і подальших пунктах чисельні розрахунки можуть проводитися із застосуванням обчислювальної техніки. У разі використання спеціальних програм (крім «Калькулятора» ОС Windows) у звіті необхідно вказати найменування використаної програми і описати докладний порядок дій з нею.

3. Перевірити результати розрахунків

За результатами розрахунків струмів і напруг провести перевірку виконання першого і другого законів Кірхгофа для вузлів і контурів ланцюга.

4. Намалювати повну векторну діаграму ланцюга

Побудувати повну векторну діаграму струмів, напруг і кола джерела. Всі вектори, зображені на малюнку повинні бути підписані. Допускається вектори, пов'язані з струмів і напруг, зображати різними кольорами або зобразити на двох різних діаграмах.

5. Розрахувати частотні характеристики ланцюга

Для виконання розрахунку необхідно:

- Визначити комплексний коефіцієнт передачі по напрузі досліджуваної ланцюга

, (1.1)

де і - Комплексні амплітуди вихідного і вхідного напруг;

- Розрахувати амплітудно-частотну (АЧХ) і фазочастотную (ФЧХ) характеристики;

- Побудувати графіки АЧХ і ФЧХ.

2. курсова робота

Розглянемо приклад виконання завдання курсової роботи для схеми, наведеної на рис. 3.1 з наступними вихідними даними: E _m = 10 В, R _e = 10 ⁴ Ом, R ₁ = R ₂ = R ₃ = R = 2.10 ³ Ом, C ₁ = C ₂ = 1 нФ, ω = ¹⁰ травня радий / с.

Рис. 2.1 Схема досліджуваної ланцюга

2.1 Складання схеми досліджуваної ланцюга

Відповідно до п. 1 завдання до курсової роботи до входу схеми необхідно підключити джерело е.р.с. з внутрішнім опором (тобто домалювати зліва до наявної схемі умовно-графічне позначення джерела е.р.с. та опору), зробити нумерацію елементів (зліва направо, зверху вниз) і розставити струми. Вибір напрямків протікання струмів у всіх гілках визначається в залежності від напрямку е.р.с. Після вказаних дій вихідна схема перетвориться до виду, наведеному на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Змінена схема досліджуваної ланцюга

2.2 Розрахунок струмів і напруг в елементах ланцюга

Розрахунок в даній схемі доцільно почати з простого з'єднання двох елементів R ₃ та C _2. Комплексне опір цієї ділянки ланцюга як будь-якого паралельного з'єднання (див. формулу (2.19)) дорівнює

, (3.1)

де комплексний опір активного опору R ₃ одно самому цього опору ( Ом), а комплексний опір ємності С ₂ дорівнює

Ом. (3.2)

Тому, підставляючи ці значення в (3.1), отримуємо, що комплексний опір паралельного ділянки кола R ₃ C ₂ дорівнює

Ом. (3.3)

Надалі, при знаходженні струмів і напруг елементів кола, необхідно буде застосовувати закон Ома в комплексній формі, а отже, доведеться ділити та множити комплексні величини. Це зручніше робити якщо числа будуть представлені в показовій формі. Для переведення числа в показову форму необхідно знайти його модуль і аргумент. Модуль отриманого в (3.3) комплексного числа дорівнює

Ом, (3.4)

а аргумент

. (3.5)

Тому комплексний опір ділянки R ₃ C ₂ можна записати, як Ом.

Ділянка ланцюга R ₂ R ₃ C ₂ являє собою послідовне з'єднання опору R ₂ паралельного з'єднання елементів R ₃ C _2. Тому комплексний опір всієї ділянки R ₂ R ₃ C ₂ дорівнює

. (3.6)

Комплексне опір активного опору R ₂ дорівнює самому цьому опору ( Ом). Отже, комплексний опір розглянутого ділянки відповідно до (3.3) і (3.6) можна визначити за формулою

Ом. (3.7)

Точно також, як і в попередньому випадку, отриманий результат доцільно відразу перетворити на експоненційну форму. Для цього необхідно знайти модуль і аргумент. Модуль отриманого в (3.7) комплексного числа дорівнює

Ом, (3.8)

а аргумент

. (3.9)

Тому комплексний опір ділянки кола можна записати, як Ом. Опір R ₁ підключено до ділянки ланцюга R ₂ R ₃ C ₂ паралельно. Отже, комплексний опір цієї ділянки ланцюга як будь-якого паралельного з'єднання одно

, (3.10)

Комплексне опір активного опору R ₁ одно самому цьому опору ( Ом).

Отже, комплексний опір розглянутого ділянки R ₁ R ₂ R ₃ C ₂ можна розрахувати за формулою

Ом. (3.11)

Аналогічно попередньому випадку для перекладу числа в показову форму необхідно знайти модуль і аргумент. Модуль отриманого комплексного числа дорівнює

Ом, (3.12)

а аргумент

. (3.13)

Тому шукане комплексний опір ділянки кола R ₁ R ₂ R ₃ C ₂ можна записати, як Ом.

Всю розглянуту ланцюг можна представити як послідовне з'єднання (див. рис. 3.2) опору R _е, ємності С ₁ і ділянки кола R ₁ R ₂ R ₃ C _2. Тому повне комплексне опір усього ланцюга одно

. (3.14)

Комплексне опір активного опору R _е одно самому цього опору ( Ом), а отже, враховуючи (3.11), комплексний опір усього ланцюга можна розрахувати за формулою

Ом. (3.15)

Модуль отриманого комплексного числа дорівнює

Ом, (3.16)

а аргумент дорівнює

. (3.17)

Тому повне комплексне опір усього ланцюга можна записати як Ом.

При вивченні досліджуваної ланцюга, як вже було зазначено вище, видно, що елементи R _e, З ₁ і ділянку ланцюга R ₁ R ₂ R ₃ C ₂ з'єднані послідовно, і як випливає з визначення послідовного з'єднання, через них протікає один і той же струм , тобто загальний струм ланцюга, що протікає через джерело е.р.с., дорівнює

. (3.18)

Відповідно до закону Ома в комплексній формі для ділянки кола (2.9) цей струм може бути розрахований як відношення комплексної амплітуди е.р.с. до комплексного опору всього ланцюга, тобто як

. (3.19)

Комплексна амплітуда е.р.с. в загальному вигляді в показовій формі може бути записана як . Як випливає з вихідних даних, аргумент в даному випадку дорівнює нулю (φ = 0), а модуль дорівнює E _m = 10 В, тобто .

Таким чином, комплексна амплітуда загального струму ланцюга може бути розрахована за формулою

А. (3.20)

Напруга на опорі R _e дорівнює добутку комплексної амплітуди протікає через нього струму на комплексне опір цього елемента, тобто

. (3.21)

Підставляючи в (3.21) отриманий в (3.20) вираз, а також з урахуванням того, що комплексний опір активного опору R _е одно самому цього опору ( Ом), отримуємо, що

В. (3.22)

Напруга на ємності С ₁ може бути розраховано як твір комплексної амплітуди протікає через неї струму на комплексне опір цього елемента, яке за аналогією з (3.2) дорівнює

Ом. (3.23)

Отже, напруга на ємності С ₁ одно

. (3.24)

Підставляючи отримані в (3.20) і (3.23) числові дані, отримуємо, що

В. (3.25)

Точно таким же чином можна визначити напруга на ділянці кола R ₁ R ₂ R ₃ C _2. Його комплексна амплітуда дорівнює добутку комплексної амплітуди протікає через неї струму на комплексний опір цієї ділянки, тобто з урахуванням (3.11) і (3.20)

В. (3.26)

При визначенні напруги на опорі R ₁ необхідно враховувати, що , Тобто оскільки з'єднання R ₁ і R ₂ R ₃ C ₂ паралельне, то

В. (3.27)

Комплексна амплітуда струму, що протікає через опір R _1, дорівнює відношенню комплексної амплітуди напруги до комплексного опору елемента. Так як, як було зазначено вище, для активного опору , Струм можна розрахувати за формулою

А. (3.28)

Аналогічно попередньому випадку, комплексна амплітуда струму, що протікає через ділянку ланцюга R ₂ R ₃ З _1, дорівнює відношенню комплексної амплітуди напруги на цій ділянці до повного комплексного опору ділянки. Ці величини вже були знайдені раніше в (3.7) і (3.26). Тому

А. (3.29)

Як і було показано вище, напруга на активному опорі R ₂ може бути визначене як твір комплексної амплітуди протікає через нього струму на комплексне опір цього елемента, тобто як

В. (3.30)

Аналогічно (3.30), напруга на ділянці кола R ₃ C ₂ дорівнює добутку комплексної амплітуди протікає через неї струму на комплексний опір цієї ділянки, тобто

В. (3.31)

Комплексна амплітуда струму, що протікає через ємність C _2, дорівнює відношенню комплексної амплітуди напруги до комплексного опору елемента:

А. (3.32)

Комплексна амплітуда струму, що протікає через ємність R _3, дорівнює

А. (3.33)

Отримані результати заносяться в таблицю, аналогічну наведеній в завданні.

Таблиця 3.1 - Результати розрахунку струмів та напруг в елементах ланцюга

2.3 Перевірка результатів за допомогою законів Кірхгофа

Для перевірки результатів обчислень за допомогою першого закону Кірхгофа необхідно перевірити наскільки точно виконується співвідношення, яке визначається цим законом, а саме: сума входять у вузол струмів дорівнює сумі виходять струмів. Так як в ланцюзі присутні реактивні елементи, то всі розрахунки і величини при цьому використовуються в комплексній формі.

Стосовно до розглянутої схемою для верхнього лівого вузла повинно виконувати співвідношення

(3.34)

або в числовому вигляді

7,1 · 10 ^-4 · e ^{j 45} = 4,5 · 10 ^-4 · e ^{j 43} + 2,3 · 10 ^-4 · e ^{j 49.} (3.35)

Розрахуємо значення виразу в правій частині. Для переходу від показовою форми до нормальної використовується наступне математичне правило: дійсна частина дорівнює добутку модуля на косинус аргументу, а уявна - твору модуля на синус аргументу, тобто в загальному вигляді для довільного комплексного числа в показовій формі можна записати:

. (3.36)

Для розглянутого прикладу в числовій формі:

4,5 · 10 ^-4 · e ^j43 + 2,3 · 10 ^-4 · e ^j49 = 4,5 · 10 ^-4 · cos (43 ⁰⁾ + j4, 5.10 ^-4 · sin (43 ⁰⁾ +

+ 2,3 · 10 ^-4 · cos (49 ⁰⁾ + j2, 3.10 ^-4 · sin (49 ⁰⁾ = 3,3 · 10 ^-4 + j3, 1.10 ^-4 +1,5 · 10 ^-4 +

+ J1, 7.10 ^-4 = 4, 8.10 ^-4 - j4, 8.10 ^-4 ≈ 6, 7.10 ^-4 · e ^j45. (3.37)

Таким чином, виходить, що повинно виконуватися співвідношення

7,1 · 10 ^-4 · e ^{j 45} = 6,7 · 10 ^-4 · e ^{j 45.} (3.38)

Як видно з (3.38), аргументи обох чисел точно рівні один одному, а модулі відрізняються на 6%, що можна розглядати як невелику похибку.

Аналогічним чином може бути перевірено виконання першого закону Кірхгофа і для інших вузлів.

Для перевірки результатів за допомогою другого закону Кірхгофа необхідно перевірити наскільки точно виконується співвідношення, яке визначається цим законом, а саме: для лівого контуру ланцюга має виконувати співвідношення

(3.39)

або в числовому вигляді

7,1 · e ^{j 45} + 7.1 · e ^{- j 45} + 0.9 · e ^{j 43} = 10 · e ^{j 0.} (3.40)

Для додавання в лівій частині цього виразу необхідно зробити перетворення чисел з показовою в нормальну форму:

7,1 · e ^j45 + 7,1 · ^e-j45 + 0,9 · e ^j43 = 7,1 · cos (45 ⁰⁾ + j7, 1 · sin (45 ⁰⁾ + 7,1 · cos (45 ⁰ ) -

- J7, 1 · sin (45 ⁰⁾ + 0,9 · cos (43 ⁰⁾ + j0, 9 · sin (43 ⁰⁾ = 10,7 + j0, 6 ≈ 7,1 · e ^j3. (3.41)

Таким чином, повинно виконуватися співвідношення

7,1 · e ^{j 3} = 10 · e ^{j 0.} (3.42)

Як видно з (3.40), ліві і праві частини цього виразу приблизно рівні один одному.

Аналогічним чином може бути перевірено виконання другого закону Кірхгофа і для інших незалежних контурів.

Розглянувши виконання обох законів Кірхгофа, можна зробити висновок про правильність зроблених розрахунків струмів і напруг на елементах ланцюга.

2.4 Побудова повної векторної діаграми ланцюга

Побудова векторної діаграми ланцюга проводиться на основі числових даних, представлених в таблиці. Для кожного струму (напруги) у таблиці є значення модуля й аргументу. Наприклад, модуль напруги на опорі R _e дорівнює 7,1 В, а аргумент дорівнює 45 ^0. Отже, вектор, що відповідає , Буде мати довжину 7,1 (або іншу у відповідності з обраним масштабом) і кут щодо горизонтальної осі 45 ⁰ (мал. 3.3).

Аналогічним чином будуються вектори, що відповідають іншим струмів і напруг, наведеним у таблиці. При цьому всі побудови починаються з однієї точки і кут відкладається в одному напрямку. Після побудови всіх векторів, що відповідають струмам і напруженням на елементах ланцюга, необхідно провести вектор, що відповідає комплексної амплітуді джерела е.р.с., що впливає на ланцюг.

Для того, щоб малюнок не був сильно захаращеним побудови проведені роздільно на різних площинах для напруг і струмів, як це зроблено на рис. 3.4 і рис. 3.5 стосовно аналізованої схемою рис. 3.2.

Рис. 3.3. Побудова вектора комплексної амплітуди

Рис. 3.4. Векторна діаграма напруг

Рис. 3.5. Векторна діаграма струмів

2.5 Розрахунок частотних характеристик ланцюга

Для знаходження частотних характеристик ланцюжка можливе застосування як аналітичного розрахунку, так і використання спеціалізованих програм моделювання електричних ланцюгів, наприклад, Ele ctronic Work Bench. Розглянемо перший варіант.

При проведенні аналітичного розрахунку частотних характеристик можливо два варіанти:

1. виведення формули для розрахунку частотних характеристик у загальному вигляді, а потім підстановка в них значень частот При цьому необхідно отримати в загальному вигляді вираз, відповідне вихідній напрузі ланцюга, тобто залежність . Для цього повторюються всі розрахунки (3.1) - (3.33) не підставляючи у формули числове вираз частоти ω. У результаті цього повчиться вираз, що містить залежність від частоти;

2. розрахунок частотних характеристик по декількох точках. У якості однієї з них можна використовувати крапку з частотою, рівною заданою за варіантом, а значення другої частоти можна вибрати довільно і для неї повторити всі обчислення з самого початку.

Зупинимося на останньому варіанті як на більш простому. Розглянемо на початку дві крайні точки: при частоті, яка дорівнює нулю, і при частоті, яка прагне до нескінченності.

У першому випадку як випливає з формули реактивного опору ємності, реактивний опір З ₁ буде прагнути до нескінченності, а отже, загальний струм ланцюга, а відповідно і напруга на виході схеми (на опорі R _3), буде дорівнює нулю. Це означає, що коефіцієнт передачі ланцюга при в цьому випадку дорівнює нулю.

У другому випадку (при частоті, яка прагне до нескінченності) опір ємності С ₁ буде прагнути до нуля. При цьому вихідна схема (рис. 3.2) перетвориться до виду, представленому на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Початкова схема при частоті е.р.с., яка прагне до нуля

Як видно з даного рисунка, вихід схеми по суті «закорочений», а отже, напруга на виході буде дорівнює нулю.

Таким чином, коефіцієнт передачі ланки в обох розглянутих випадках дорівнює нулю.

При частоті, рівній наведеної у завданні, коефіцієнт передачі ланцюга дорівнює

. (3.43)

Розглянемо ще одну точку частотної характеристики, наприклад, відповідну частоті ω = 10 ³ рад / с. Для цього повторимо розрахунки (3.1) - (3.33) при новому значенні частоти.

Комплексне опір ємності С ₂ так само, як і С _1, одно

Ом. (3.44)

Ом. (3.45)

Модуль отриманого комплексного числа дорівнює

Ом, (3.46)

а аргумент

. (3.47)

Тому шукане комплексний опір ділянки кола можна записати, як Ом.

Комплексне опір всієї ділянки R ₂ R ₃ C ₂ ділянки кола одно

. (3.48)

Комплексне опір активного опору R ₂ дорівнює самому цьому опору ( Ом). Отже, комплексний опір ділянки R ₂ R ₃ C ₂ відповідно до (3.45) і (3.48) можна розрахувати за формулою

Ом. (3.49)

Модуль отриманого комплексного числа дорівнює

Ом, (3.50)

а аргумент дорівнює

. (3.51)

Тому шукане комплексний опір ділянки кола можна записати, як Ом.

Комплексне опір ділянки R ₁ R ₂ R ₃ C ₂ можна розрахувати за формулою

Ом. (3.52)

Модуль отриманого комплексного числа дорівнює

Ом, (3.53)

а аргумент

. (3.54)

Тому шукане комплексний опір ділянки кола R ₁ R ₂ R ₃ C ₂ можна записати, як Ом.

Комплексне опір усього ланцюга можна розрахувати за формулою

Ом. (3.55)

Модуль отриманого комплексного числа дорівнює

Ом, (3.56)

а аргумент дорівнює

. (3.57)

Тому повне комплексне опір усього ланцюга можна записати як Ом.

Загальний струм ланцюга може бути розрахований за формулою

А. (3.58)

Для ділянки ланцюга напруга на опорі R _e може бути розраховано як твір комплексної амплітуди протікає через нього струму на комплексне опір цього елемента, тобто

В. (3.59)

Напруга на ємності З ₁

В. (3.60)

Напруга на ділянці кола R ₁ R ₂ R ₃ C ₂

В. (3.61)

Напруга на опорі R ₁

В. (3.62)

Комплексна амплітуда струму, що протікає через опір R _1, дорівнює відношенню комплексної амплітуди напруги до комплексного опору елемента. Так як, як було зазначено вище, для активного опору , Струм можна розрахувати за формулою

А. (3.63)

Комплексна амплітуда струму, що протікає через ділянку ланцюга R ₂ R ₃ З _1, дорівнює

А. (3.64)

Напруга на R _е може бути визначене як

В. (3.65)

Напруга на ділянці кола R ₃ C ₂ твору комплексної амплітуди протікає через неї струму на комплексний опір цієї ділянки, тобто

В. (3.66)

Таким чином, коефіцієнт передачі за аналогією з (3.41) для частоти ω = 10 ³ рад / с дорівнює

. (3.67)

На рис. 3.7 і рис. 3.8 представлені графіки амплітудно-і фазочастотних характеристик аналізованої схеми, отримані аналітичним шляхом.

Рис. 3.7. Амплітудно-частотна характеристика

Рис. 3.8. Фазочастотная характеристика

При цьому на обох графіках частота (а на першому - і модуль коефіцієнта передачі) відкладена в логарифмічному масштабі. Очевидно, що за такої побудови по декількох точках точність отриманих характеристик є досить низькою і, крім того, можуть бути втрачені деякі характерні точки.

Бібліографічний список

1. Попов В.П. Основи теорії кіл: Підручник для вузів / В.П. Попов. - 5-е вид., Стер .- М.: Вищ. шк., 2005.

2. Бичков Ю.А. Основи теорії електричних ланцюгів: Підручник для вузів. 3-тє вид., Стер. / Ю.О. Бичков, В.М. Золотницький, Е.П. Чернишов. СПб.: Видавництво «Лань», 2004.

3. Іванов М.Г. Теоретичні основи радіотехніки: Навч. посібник / М.Т. Іванов, А.Б. Сергієнко, В.М. Ушаков; Під ред. В.Н. Ушакова. - М.: Вищ. шк., 2002.

4. Баскаков С.І. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Учеб. для вузів за спец. «Радіотехніка» / С.І. Баскаков. - 5-е вид., Стер. - М.: Вищ. шк., 2005.

5. Баскаков С.І. Радіотехнічні кола і сигнали. Керівництво вирішення завдань: Навч. посібник для радіотехн. спец. вузів. - 2-е вид., Перераб. і доп. - М.: Вищ. шк., 2002