Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
"Аналіз випадкових процесів у лінійних системах радіоелектронних систем, що стежать"
МІНСЬК, 2008
Визначення статистичних характеристик випадкових процесів у лінійних системах
Задає вплив і внутрішні обурення (флуктуації частоти, фази, затримки) є випадковими процесами з нормальним законом розподілу, який не змінюється при проходженні процесів через лінійні ланцюги. Флюктуационная складова напруги на виході дискримінатора
(T) також процес випадковий, і хоча не завжди має нормальний закон розподілу, але при проходженні через наступні вузькосмугові лінійні ланцюги нормалізується.
Випадковий процес з нормальним законом розподілу визначається математичним очікуванням і кореляційною функцією. Методи визначення математичного очікування розглянуті в попередньому розділі. Розглянемо методи визначення кореляційної функції і пов'язаної з нею дисперсією випадкових процесів.
Спектральна щільність процесу на виході і вході лінійної системи пов'язані залежністю
,
де - Частотна передаточна функція системи;
- Спектральна щільність процесу на вході.
Перетворивши по Фур'є праву і ліву частину можна визначити кореляційну функцію:
.
Дисперсія випадкового процесу на виході лінійної системи:
(1)
або:
, (2)
де Sv (w)-двостороння спектральна щільність процесу на виході системи.
При використанні односторонньої спектральної щільності N (f) вираз (2) може бути записано у вигляді:
,
де ;
.
Розрахунок дисперсії випадкового процесу за допомогою стандартних інтегралів
Для спрощення обчислення інтеграла (6.1) його приводять до стандартного вигляду:
,
де ─ поліном парному ступеня частоти
;
- Поліном, корені якого належать верхньої півплощини комплексної змінної
; N - ступінь полінома
.
Обчислення проводять за формулами:
;
;
.
При n> 3 формули для розрахунків можна знайти у довіднику.
Умова застосування стандартних інтегралів: поліном під інтегралом повинен бути дрібно-раціональною функцією змінної і система повинна бути стійкою.
Розглянемо приклад розрахунку дисперсії помилки стеження в системі, представленої структурною схемою (рис.1).
Рис.1. До прикладу розрахунку дисперсії помилки стеження.
Вихідні дані:
─ флюктуационная складова, що визначається спектральною щільністю
.
Розрахуємо дисперсію помилки стеження за формулою дисперсію за формулою:
.
Передавальна функція від впливу до помилки
;
;
.
Виконаємо розрахунок:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
. (3)
Наведемо до входу дискримінатора і спростимо вираз (3)
, (4)
де ;
- Спектр наведеного до входу дискримінатора випадкового процесу.
Таким чином, дисперсія помилки стеження пропорційна коефіцієнту посилення розімкнутого контуру стежить системи і спектральної щільності флюктуаціоної складової.
Якщо замість пропорційно-інтегруючого фільтра використовувати інтегратор, то: , І
;
Якщо на вхід інерційної ланки з передавальною функцією
подати шум із спектральною щільністю , То дисперсія на виході буде дорівнює
;
Таким чином шум викликає однаковий ефект на виході інерційної ланцюги і в системах, що стежать, що містять одне інтегруюча ланка з добротністю, зворотної постійної часу .
Якщо стежить система містить як фільтр послідовне з'єднання інерційної ланки і інтегратора, то в цьому випадку
;
;
;
.
Отже, постійна часу інерційної ланки не впливає на величину флюктуаціоної помилки (дисперсію). Це пояснюється тим, що при збільшенні інерційної ланки звужується смуга системи, але одночасно збільшується максимум АЧХ, а площі під кривими не змінюються (рис.2).
Рис.2. Залежність АЧХ від постійної часу інерційної ланки.
Використовуючи (4) можна оптимізувати параметри системи, зокрема за критерієм мінімуму флюктуаціоної помилки. З цією метою продиференціюємо (6.4) по
і прирівняємо похідну нулю.
;
;
;
;
;
при ;
;
Підставивши в (4), отримаємо
,
де - Власна частота стежить системи.
Якщо задає вплив представлено спектральною щільністю неточність його відтворення також оцінюється дисперсією. Розглянемо приклад (рис.3).
Рис.3
Нехай ;
,
де ─ дисперсія задає впливу;
- Параметр, що визначає ширину спектра.
Визначимо величину дисперсії помилки стеження , Обумовлену неточністю відтворення задає впливу.
;
,
де ;
- Коефіцієнт передачі інтегратора;
- Крутизна дискримінаційної характеристики.
;
;
наведемо вислів до стандартного вигляду:
;
(Jw) = (
+ Jw) (Kv + jw) = (jw) 2 + (
+ Kv) jw +
Kv;
;
;
;
;
;
;
;
;
При збільшенні зменшується, в той час як у першому прикладі
збільшується.
Еквівалентна шумова смуга стежать систем
Під еквівалентної шумової смугою стежить системи розуміють смугу пропускання еквівалентної системи, що має прямокутну АЧХ, однакове з вихідною системою її значення на нульовій частоті й однакову дисперсію на виході при впливі на входи систем білого шуму (рис.4).
Рис.4. АЧХ вихідної та еквівалентної систем.
Щоб визначити смугу пропускання використовуємо умова рівності дисперсій:
Звідси
.
Використання значення еквівалентної шумової смуги дозволяє спростити обчислення дисперсії:
;
.
Якщо , То
, Або
,
де ─ одностороння спектральна щільність.
Формули для розрахунку еквівалентної шумової смуги систем наведені в табл.1
Таблиця 1. Формули для розрахунку еквівалентної шумової смуги.
Оптимізація параметрів систем, що стежать
Для вирішення завдання оптимізації необхідно визначити структуру системи, що пред'являються вимоги і обмеження, що накладаються на систему, описати впливу і обурення, вибрати критерій оптимізації і метод.
Оптимізуємо параметри k і2 і T 1 в системі (мал. 5), в якій задає вплив λ (t) - детермінована функція, а обурення ─ випадковий процес ξ (t).
В якості критерію оптимізації використовуємо критерій мінімуму середнього квадрата помилки:
; (5)
де - Квадрат математичного очікування помилки стеження.
Рис.5. Структурна схема оптимизируемой системи.
Вихідні дані:
;
.
Необхідно визначити і
за критерієм (5).
Величина математичного очікування (динамічної помилки) визначається виразом
.
Величина дисперсії помилки:
. (6)
Для визначення оптимальних значень параметрів скористаємося методом диференціювання:
.
З цього рівняння визначаємо
. (7)
Підставивши у вихідне рівняння (6) замість T 1 його оптимальне значення (7) і продифференцировав по змінній k і2, знайдемо її оптимальне значення
.
Нехай задає вплив є випадковим процесом з нульовим математичним очікуванням і спектральною щільністю
Флюктуационная складова характеризується спектральною щільністю .
В якості фільтру використовується ідеальний інтегратор:
.
Знайдемо оптимальне значення коефіцієнта передачі інтегратора за критерієм мінімуму сумарної помилки спостереження:
,
де ─ величина дисперсії помилки, обумовлена неточним відтворенням вхідного впливу;
─ величина дисперсії помилки обумовлена впливом флюктуаціоної складової.
. (8)
Продиференціюємо (8) за і прирівняємо похідну нулю. У результаті отримаємо
.
Пам'ять стежать систем
Радіотехнічні системи працюють в умовах багатопроменевого розповсюдження радіохвиль, тому при прийомі сигналу спостерігається ефект завмирання сигналу. Попадання на вхід приймача потужної широкосмугового перешкоди приводить до зміщення робочої точки характеристики активного елемента на нелінійний ділянка характеристики і в результаті - до придушення корисного сигналу потужної перешкодою. Сигнал на вході стежить системи пропадає, що еквівалентно розмикання контуру. На структурній схемі (Рис.6) це явище можна відобразити введенням двох ключів Кл1 і Кл2. Зникнення сигналу призводить до розмикання ключа Кл1 і перекладу ключа Кл2 в положення 2, оскільки змінюється характер флуктуацій.
Рис.6. Структурна схема стежить системи з урахуванням зникнення корисного сигналу на вході.
Якщо в режимі стеження закон розподілу помилки нормальний з нульовим математичним очікуванням і в момент часу стежить система розімкнулася, то через певний час
, Характер розподілу помилки стеження зміниться: збільшиться математичне сподівання і дисперсія. Якщо в момент
значення помилки не виходить за межі апертури дискримінаційної характеристики, то поява сигналу призведе до відновлення режиму стеження. Якщо ж
, То відбувається зрив стеження.
Імовірність того, що через після зникнення сигналу помилка стеження не перевищує
визначає пам'ять стежить системи:
.
Рис.7. Розподіл щільності ймовірності помилки стеження.
Рис.8. Дискримінаційна характеристика.
Розглянемо приклад.
Нехай стежить система має два інтегратора (рис.9).
Рис.9. Структурна схема системи.
Задає вплив визначається лінійною залежністю
;
Оскільки система є астатичними з астатизмом другого порядку стале значення помилки дорівнює нулю, тобто
.
Отже,
;
, А
,
тобто напруга на вході другого інтегратора пропорційно швидкості зміни задає впливу .
Таким чином, система відстежує швидкість зміни вхідного процесу не за неузгодженості а по пам'яті. При пропажі сигналу на вхід система буде відслідковувати його зміна, якщо швидкість не зміняться. При відновленні сигналу помилка буде мінімальною, або рівною нулю (в реальній ситуації зрив може статися в результаті флуктуацій керованої величини під впливом перешкод).
Пам'ять стежать систем визначається числом інтегруючих ланок. Одне ланка забезпечує пам'ять по положенню, два - по швидкості, три - щодо прискорення.
Таким чином, система з астатизмом n-го порядку має пам'ять по n -1 похідної задає впливу.
ЛІТЕРАТУРА
1. Коновалов. Г.Ф. Радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Вищ. шк., 2000.
2. Радіоавтоматики: Учеб. посібник для вузів. / Під ред.В.А. Бесекерскій. - М.: Вищ. шк., 2005.
3. . Первак С. В. радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 2002.
4. Цифрові системи фазової синхронізації / Под ред. М.І. Жодзішского - М.: Радіо, 2000