Аксіоми планіметрії

Критика розриву між геометрією й арифметикою привела до розширення поняття числа до дійсного числа. Суперечки про п'ятий постулат привели до того, що на початку XIX століття Н.І. Лобачевський, Я. Бойя і К.Ф. Гаусс побудували нову геометрію, у якій виконувалися всі аксіоми геометрії Евкліда, за винятком п'ятого постулату. Він був замінений протилежним твердженням: "У площині через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, не перетинає дану". Ця геометрія була настільки ж несуперечливою, як і геометрія Евкліда. Модель планіметрії Лобачевского на евклідовій площині була побудована французьким математиком Анрі Пуанкаре в 1882 р. На евклідовій площині проведемо горизонтальну пряму. Ця пряма називається абсолютом (x). Точки евклідової площини, що лежать вище абсолюту, є точками площини Лобачевського. Площиною Лобачевського називається відкрита полуплоскость, що лежить вище абсолюту. Неевклідові відрізки в моделі Пуанкаре - це дуги окружностей з центром на абсолюті або відрізки прямих, перпендикулярних абсолюту (AB, CD). Фігура на площині Лобачевского - фігура відкритої напівплощини, що лежить вище абсолюту (F). Неевклідової рух є композицією кінцевого числа інверсій з центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні абсолюту. Два неевклідових відрізки рівні, якщо один з них неевклідових рухом можна перевести в інший. Такі основні поняття аксіоматики планіметрії Лобачевского. Всі аксіоми планіметрії Лобачевского несуперечливі. Визначення прямої наступне: "Неевклидова пряма - це півколо з кінцями на абсолюті або промінь з початком на абсолюті і перпендикулярний абсолюту". Таким чином, твердження аксіоми паралельності Лобачевского виконується не тільки для деякої прямої і точки A, не лежить на цій прямій, але і для будь-якої прямої і будь-який не лежить на ній точки A. За геометрією Лобачевского виникли й інші несуперечливі геометрії: від евклідової відокремилася проективна геометрія, склалася багатомірна евклідова геометрія, виникла риманова геометрія (загальна теорія просторів з довільним законом виміру довжин) і ін З науки про фігури в одному тривимірному евклідовому просторі геометрія за 40 - 50 років перетворилася в сукупність різноманітних теорій, лише в чомусь подібних зі своєю прародителькою - геометрією Евкліда.

Аксіоми планіметрії

Аксіоми приналежності

• Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

• Через будь-які дві точки можна провести пряму, і лише одну.

Аксіоми розташування

• З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

• Пряма розбиває площину на дві півплощини.

Аксіоми вимірювання

• Кожен відрізок має певну довжину, велику нуля. Довжина відрізка дорівнює суму довжин частин, на які він розбивається кожен її точкою.

• Кожен кут має певну градусну міру, велику нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180 градусів. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Аксіоми відкладання

• На будь полупрямой від її початкової точки можна відкласти відрізок, заданої довжини, і тільки один.

• Від будь полупрямой в задану полуплоскость можна відкласти кут заданої градусної мірою, меншою 180 градусів, і лише один.

• Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник в заданому розташуванні відносно даної полупрямой.

Аксіома паралельності

• Через точку, не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даній.

Евклід

Біографія

Евклід (інакше Евклід) - давньогрецький математик, автор першого з дійшли до нас теоретичних трактатів з математики. Біографічні відомості про Евкліда украй мізерні. Відомо лише, що вчителями Евкліда в Афінах були учні Платона, а в правління Птолемея I (306-283 до н.е.) він викладав в Олександрійській академії.

Евклід - перший математик олександрійської школи. Евклід - автор ряду робіт з астрономії, оптики, музики та інших Арабські автори приписують Евкліду і різні трактати з механіки, у тому числі твори про ваги і про визначення питомої ваги. Помер Евклід між 275 і 270 до н. е..

Початки Евкліда

Основний твір Евкліда називається Почала. Книги з такою ж назвою, в яких послідовно викладалися всі основні факти геометрії і теоретичної арифметики, складалися раніше Гіппократа Хиосськом, Леонтій і Февда. Однак Початки Евкліда витіснили всі ці твори з ужитку і протягом більш ніж двох тисячоліть залишалися базовим підручником геометрії. Створюючи свій підручник, Евклід включив до нього багато чого з того, що було створено його попередниками, обробивши цей матеріал і звівши його воєдино. Почала складаються з тринадцяти книг. Перша і деякі інші книги предваряются списком визначень. Першій книзі предпослан також список постулатів і аксіом. Як правило, постулати задають базові побудови (напр., «потрібно, щоб через будь-які дві точки можна було провести пряму»), а аксіоми - загальні правила виводу при оперуванні з величинами (напр., «якщо дві величини рівні третьої, вони рівні між собою »). У I книзі вивчаються властивості трикутників і паралелограмів; цю книгу вінчає знаменита теорема Піфагора для прямокутних трикутників. Книга II, що сягала піфагорійцям, присвячена так званої «геометричній алгебрі». У III і IV книгах викладається геометрія кіл, а також вписаних і описаних многокутників; при роботі над цими книгами Евклід міг скористатися творами Гіппократа Хиосськом. У V книзі вводиться загальна теорія пропорцій, побудована Евдоксом Кнідський, а в VI книзі вона додається до теорії подібних фігур. VII-IX книги присвячені теорії чисел і сходять до піфагорійцям; автором VIII книги, можливо, був Архит Тарентський. У цих книгах розглядаються теореми про пропорції і геометричних прогресіях, вводиться метод для знаходження найбільшого загального дільника двох чисел (відомий нині як алгоритм Евкліда), будується парні досконалі числа, доводиться нескінченність безлічі простих чисел. У X книзі, що представляє собою саму об'ємну і складну частину Почав, будується класифікація иррациональностей; можливо, що її автором є Теетет Афінський. XI книга містить основи стереометрії. У XII книзі за допомогою методу вичерпання доводяться теореми про відносини площ кіл, а також обсягів пірамід і конусів; автором цієї книги за загальним визнанням є Евдокс Кнідський. Нарешті, XIII книга присвячена побудові п'яти правильних багатогранників, вважається, що частина побудов була розроблена Теетет Афінським. У дійшли до нас рукописах до цих тринадцяти книг додані ще дві. XIV книга належить олександрійці Гіпсіклу (бл. 200 р. до н.е.), а XV книга створена під час життя Ісидора Мілетського, будівельника храму св. Софії в Константинополі (початок VI ст. Н. Е..). Почала надають загальну основу для подальших геометричних трактатів Архімеда, Аполлонія та інших античних авторів; доведені в них пропозиції вважаються загальновідомими. Коментарі до Початкам в античності складали Герон, Порфирій, Папп, Прокл, Сімплікій. Зберігся коментар Прокла до I книзі, а також коментар Паппа до X книзі (в арабському перекладі). Від античних авторів коментаторських традиція переходить до арабів, а потім і в Середньовічну Європу. У створенні та розвитку науки Нового часу Почала також зіграли важливу ідейну роль. Вони залишалися зразком математичного трактату, суворо і систематично викладає основні положення тієї чи іншої математичної науки.

Інші твори Евкліда

Другим після «Начал» Евкліда твором зазвичай називають «Дані» - введення в геометричний аналіз. Евкліду належать також «Явища», присвячені елементарної сферичної астрономії, «Оптика» і «Катоптрика», невеликий трактат «Перетини канону» (містить десять задач про музичні інтервалах), збірник задач з розподілу площ фігур «Про діленнях» (дійшов до нас в арабському перекладі). Виклад у всіх цих творах, як і в «Засадах», підпорядковане суворій логіці, причому теореми виводяться з точно сформульованих фізичних гіпотез і математичних постулатів. Багато творів Евкліда втрачено, про їх існування в минулому нам відомо тільки по посиланнях в творах інших авторів.

Ще про Евкліда

Евклід, син Наукрата, відомий під ім'ям «Геометрія», вчений старого часу, за своїм походженням грек, за місцем проживання сирієць, родом із Тиру ». Одна з легенд розповідає, що цар Птолемей вирішив вивчити геометрію. Але виявилося, що зробити це не так-то просто. Тоді він закликав Евкліда і попросив показати йому легкий шлях до математики. «До геометрії немає царської дороги», - відповів йому вчений. Так у вигляді легенди дійшло до нас це стало крилатим вислів. Цар Птолемей I, щоб возвеличити свою державу, залучав до країни вчених і поетів, створивши для них храм муз - Мусейон. Тут були зали для занять, ботанічний і зоологічний сади, астрономічний кабінет, астрономічна вежа, кімнати для відокремленої роботи і головне - чудова бібліотека. У числі запрошених вчених виявився і Евклід, який заснував в Олександрії - столиці Єгипту - математичну школу і написав для її учнів свою фундаментальну працю. Саме в Олександрії Евклід засновує математичну школу і пише велику працю з геометрії, об'єднаний під загальною назвою «Начала» - головну працю свого життя. Вважають, що він був написаний близько 325 року до нашої ери. Попередники Евкліда - Фалес, Піфагор, Арістотель і інші багато зробили для розвитку геометрії. Але все це були окремі фрагменти, а не єдина логічна схема. Зазвичай про «Засадах» Евкліда кажуть, що після Біблії це найпопулярніший написаний пам'ятник давнини. Книга має свою, дуже примітну історію. Протягом двох тисяч років вона була настільною книгою школярів, використовувалася як початковий курс геометрії. «Начала» користувалися винятковою популярністю, і з них було знято безліч копій працьовитими писарів в різних містах і країнах. Пізніше «Начала» з папірусу перейшли на пергамент, а потім на папір. Протягом чотирьох століть «Начала» публікувалися 2500 разів: у середньому виходило щорічно 6-7 видань. До XX століття книга «Початки» вважалася основним підручником з геометрії не тільки для шкіл, а й для університетів. «Начала» Евкліда були грунтовно вивчені арабами, а пізніше європейськими вченими. Вони були переведені на основні світові мови. Перші оригінали були надруковані в 1533 році в Базелі Цікаво, що перший переклад на англійську мову, що відноситься до 1570 року, був зроблений Генрі Біллінгвеем, лондонським купцем Знання основ евклідової геометрії є нині необхідним елементом загальної освіти в усьому світі. В арифметиці Евклид зробив три значних відкриття. По-перше, він сформулював (без докази) теорему про розподіл із залишком. По-друге, він придумав "алгоритм Евкліда" - швидкий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника чисел чи загальної заходи відрізків (якщо вони сумірні). Нарешті, Евклід перший почав вивчати властивості простих чисел - і довів, що їх безліч нескінченно.

Н.І. Лобачевський

Біографія

Микола Іванович Лобачевський (1792-1856), великий російський математик, творець геометрії Лобачевського, діяч університетської освіти і народної освіти. Відомий англійський математик Вільям Кліффорд назвав Лобачевського «Коперником геометрії». Н.І. Лобачевський народився в Нижньому Новгороді. Його батьками були Іван Максимович Лобачевський (чиновник в геодезичному департаменті) і Парасковія Олександрівна Лобачівська. У 1800 році після смерті батька мати разом з родиною переїхала в Казань. Там Лобачевський закінчив гімназію (1802-1807), а потім (1807-1811) і щойно заснований Казанський Імператорський університет, якому віддав 40 років життя. Великий вплив під час навчання в університеті на Лобачевського надав Мартін Федорович Бартельс - друг і вчитель великого німецького математика Карла Фрідріха Гауса. Він взяв шефство над бідним, але обдарованим студентом. На старшому курсі в характеристику Лобачевського включили «мрійливе про себе зарозумілість, завзятість, непокору», а також «обурливі вчинки» і навіть «ознаки безбожництва». Над ним нависла загроза відрахування, але заступництво Бартельс та інших викладачів допомогло відвести небезпеку. Після закінчення університету Лобачевський отримав ступінь магістра з фізики та математики з відзнакою (1811) і був залишений при університеті. У 1814 році став ад'юнктом, через 2 роки - екстраординарним, і в 1822 році - ординарним професором. Студенти високо цінували лекції Лобачевського. Коло його обов'язків був великий - читання лекцій з математики, астрономії та фізики, комплектація і приведення в порядок бібліотеки та музею і т. д. У списку службових обов'язків є навіть «спостереження за благонадійністю» всіх учнів Казані. У 1819 році в Казань приїхав ревізор (М. Л. Магніцький), який дав вкрай негативний висновок про стан справ в університеті. Магницького призначили опікуном, він звільнив 9 професорів, ввів сувору цензуру лекцій та казармений режим. Бартельс поїхав в Дерпт, а Лобачевського призначили деканом фізико-математичного факультету. У ці роки він пише підручники з геометрії та алгебри; перший з них був засуджений за використання метричної системи заходів, а другий взагалі не був надрукований. У 1826 р. Магніцький був зміщений з посади попечителя за зловживання. Призначається новий попечитель М. Н. Мусін-Пушкін. Лобачевський обирається ректором університету. Він з головою занурюється у господарські справи - ​​реорганізація штату, будівництво механічних майстерень, лабораторій і обсерваторії, підтримку бібліотеки і мінералогічної колекції, бере участь у виданні «Казанського Вісника» і т. п. Багато що він робить власними руками. Читає науково-популярні лекції з фізики для населення. І одночасно він невпинно розвиває і шліфує справу свого життя - неевклидову геометрію. У 1832 році Лобачевський одружився на Варварі Олексіївні Мойсеєвої. У них народилося семеро дітей. 1834: замість «Казанського вісника» починається видання «Вчених записок Казанського університету». Лобачевський був ректором Казанського університету в період з 1827 по 1846 роки, переживши епідемію холери (1830) і сильна пожежа (1842), який знищив половину Казані. Завдяки енергії і вмілим діям ректора жертви і втрати в обох випадках були мінімальні. Зусиллями Лобачевського Казанський університет стає першокласним, авторитетним і добре оснащеним навчальним закладом, одним з кращих в Росії. 20 листопада 1845 Лобачевський був вшосте затверджений на посаді ректора на нове чотириріччя. Незважаючи на це, в 1846 році Міністерство грубо усуває Лобачевського з посади ректора і професорської кафедри (офіційно - через погіршення здоров'я). Формально він отримав навіть підвищення - був призначений помічником попечителя, однак платні йому за цю роботу не призначили. Незабаром Лобачевський розорений, маєток його дружини було продано за борги. У 1852 році помирає старший син Лобачевського. Здоров'я його самого підірвано, слабшає зір. Головна праця вченого, «Пангеометрія» записують під диктовку учні сліпого вченого в 1855 році. Вмираючи, Микола Лобачевський промовив з ​​гіркотою: «І людина народилася, щоб померти». Його не стало 12 лютого 1856. Похований на кладовищі Арськ в Казані.

Геометрія Лобачевського

Збереглися студентські записи лекцій Лобачевського (від 1817 року), де їм робилася спроба довести п'ятий постулат Евкліда, але в рукописі підручника «Геометрія» (1823) він вже відмовився від цієї спроби. В «Огляді викладання чистої математики» за 1822/23 і 1824/25 Лобачевський вказав на «досі непереможну» трудність проблеми паралелізму і на необхідність приймати в геометрії як вихідних поняття, безпосередньо придбані з природи. 7 лютого 1826 Лобачевський представив для надрукування в Записках фізико-математичного відділення твір: «Стислий виклад початків геометрії із строгим доведенням теореми про паралельні» (французькою мовою). Але видання не здійснилося. Рукопис і відгуки не збереглися, проте саме твір було включено Лобачевським в його працю «Про основи геометрії» (1829-1830), надрукований у журналі «Казанський вісник». Цей твір стало першою в світовій літературі серйозною публікацією по неевклідової геометрії, чи геометрії Лобачевського. Лобачевський вважає аксіому паралельності Евкліда довільним обмеженням. З його точки зору, ця вимога дуже жорстке, обмежує можливості теорії, що описує властивості простору. В якості альтернативи пропонує іншу аксіому: на площині через точку, не лежить на даній прямій, проходить більш ніж одна пряма, не перетинає дану. Розроблена Лобачевським нова геометрія не включає в себе евклидову геометрію, однак евклідова геометрія може бути з неї отримано граничним переходом (при прагненні кривизни простору до нуля). У самій геометрії Лобачевського кривизна негативна. Проте наукові ідеї Лобачевського не були зрозумілі сучасниками. Його праця «Про основи геометрії», представлений в 1832 році радою університету в Академію наук, отримав у М.В. Остроградського негативну оцінку. Серед колег його майже ніхто не підтримує, ростуть нерозуміння і неосвічені глузування. Вінцем цькування став знущальний анонімний пасквіль, що з'явився в журналі Ф. Булгаріна «Син батьківщини» в 1834 році:

Як можна подумати, щоб р. Лобачевський, ординарний професор математики, написав з якою-небудь серйозною метою книгу, яка трохи б принесла честі і останньому шкільному вчителеві? Якщо не вченість, то принаймні здоровий глузд повинен мати кожен вчитель, а в новій геометрії нерідко бракує і цього останнього. Але Лобачевський не здається. У 1835-1838 він публікує в «Вчених записках» статті про «уявної геометрії», а потім виходить найбільш повна з його робіт «Нові початку геометрії з повною теорією паралельних». Не знайшовши розуміння на батьківщині, він намагається знайти однодумців за кордоном. У 1840 році Лобачевський друкує на німецькій мові «Геометричні дослідження з теорії паралельних», де міститься чітке виклад його основних ідей. Один примірник отримує Гаусс, «король математиків» тієї пори. Як багато пізніше з'ясувалося, Гаусс і сам потайки розвивав неевклидову геометрію, проте так і не зважився опублікувати що-небудь на цю тему. Ознайомившись з результатами Лобачевського, він висловив свою симпатію до ідей російського вченого побічно: рекомендував обрати Лобачевського іноземним членом-кореспондентом Геттінгенського королівського товариства. Захоплені відгуки про Лобачевском Гаусс довірив тільки своїм щоденникам і найближчим друзям. Це обрання відбулося в 1842 році. Однак положення Лобачевського воно не зміцнило. Йому залишилося працювати в рідному університеті ще чотири роки. Лобачевський не був єдиним дослідником в цій новій галузі математики. Угорський математик Янош Бойя незалежно від Лобачевського в 1832 році опублікував свій опис неевклідової геометрії. Але і його роботи залишилися неоціненими сучасниками.

Інші математичні досягнення

Лобачевський отримав ряд цінних результатів і в інших розділах математики: так, в алгебрі він розробив новий метод наближеного рішення рівнянь, в математичному аналізі отримав ряд тонких теорем про тригонометричні рядах, уточнив поняття безперервної функції і ін

У різні роки він опублікував кілька блискучих статей з математичного аналізу, алгебри та теорії ймовірностей, а також з механіки, фізики та астрономії

Література

1. Саміна Д. К. 100 великих учених

2. Діоген Лаертський. Про життя, навчаннях і висловах знаменитих філософів. - М.: Наука, 1995.

3. Дягілєв Ф.М. З історії фізики і життя її творців. - М.: Наука, 1986.

4. Пидоу Д. Геометрія і мистецтво. - М.: Наука, 1979.

5. Смишляєв В.К. Про математики та математиків. - Йошкар-Ола: Наука, 1977.

6. http://nikolaevagvk.narod.ru

8. www.it-n.ru

9. Http://soft.mail.ru

10. http://taina.aib.ru

11. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru

12. http://navagrudak.narod.ru