Розподіл Пуассона Аксіоми найпростішого потоку подій

Міністерство освіти і науки України

Харківський національний університет радіоелектроніки

Факультет ПММ

Кафедра ПМ

Курсова робота

Тема: Розподіл Пуассона. Аксіоми найпростішого потоку подій.

Дисципліна: Теорія ймовірностей і математична статистика

Виконав: Перевірив:

ст. групи ******** проф. **********

*****************

Харків 2007

РЕФЕРАТ

В даному курсовому проекті представлено опис понять кореляційного моменту і його властивостей, коефіцієнта кореляції, випадкових подій і їх основних числових характеристик, застосування на практиці кореляції, а також наведено вирішення практичних завдань.

Пояснювальна записка складається з вступу, основної частини, висновків, списку літератури.

Записка 28с.

Ключові слова і вирази:

Випадкових величин, математичне очікування, дисперсія, ПОЧАТКОВИЙ МОМЕНТ, ЦЕНТРАЛЬНИЙ МОМЕНТ, КОЕФІЦІЄНТ КОРРЕЛЯЦИИ, кореляційний момент, ЗАКОН РОЗПОДІЛУ, середнє квадратичне відхилення, ЩІЛЬНІСТЬ РОЗПОДІЛУ, ЗАЛЕЖНІСТЬ.

ЗМІСТ

Вступ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .4

1 Теоретична частина ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5

1.1 Довірчі оцінки ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .... ... .5

1.2 Метод найбільшої правдоподібності ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... 10

1.3 Точкові оцінки ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 13

1.4 Критерій згоди ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... 18

1.5 Теорема Чебишева ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... 19

1.6 Поняття довірчого інтервалу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... ... 23

1.7 Порівняння середніх ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... 25

1.8 Метод мінімуму X ^{2 ... ... ... ... ... ...} ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... 26

1.9 Розподіл Пуассона. Аксіоми найпростішого потоку подій ... .. ... 28

2 Практична частина ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 30

Висновки ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 37

Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 38

ВСТУП

Теорія ймовірності - математична наука, що вивчає закономірності у випадкових явищах. При науковому дослідженні фізичних і технічних завдань, часто доводиться зустрічатися з явищами особливого типу, які прийнято називати випадковими. Випадкове явище - це таке явище, яке при неодноразовому відтворенні одного і того ж досвіду протікає дещо по-іншому.

Очевидно, що в природі немає жодного фізичного явища, в якому не були б присутні в тій чи іншій мірі елементи випадковості. Як би точно і детально не були фіксовані умови досвіду, неможливо досягти того, щоб при повторенні досвіду результати повністю і в точності збігалися.

Випадковості неминуче супроводжують будь закономірного явища. Тим не менш, у ряді практичних завдань цими випадковими елементами можна знехтувати, розглядаючи замість реального явища його спрощену схему, тобто модель, і припускаючи, що в даних умовах досвіду явище протікає цілком певним чином. При цьому з незліченної безлічі факторів, що впливають на дане явище, виділяють найголовніші, вирішальні. Впливом інших, другорядних чинників просто нехтують. Вивчаючи закономірності в рамках певної теорії, основні чинники, що впливають на те чи інше явище, входять в поняття або визначення, якими оперує розглянута теорія.

Як і наука, розвиває загальну теорію будь-якого кола явищ, теорія ймовірностей також містить ряд основних понять, на яких вона базується. Природно, що не всі основні поняття можуть бути строго визначені, оскільки визначити поняття - це означає звести його до інших, більш відомим. Цей процес повинен бути кінцевим і закінчуватися на первинних поняттях, які тільки пояснюються.

1 Теоретична частина

1.1 Довірчі оцінки

Вибіркова оцінка, будучи точкової, дає оціночні значення відповідного параметра з даної вибірки, але нічого не дає для точності та достовірності оцінки. Такі дані поставляють довірчі оцінки. Нехай випадкова вибірка з генеральної сукупності з випадковою величиною , Розподіл якої залежить від параметра . Нехай - Такі функції вибірок, що при довільному виконується рівність

. (1.1.1)

Тоді випадковий інтервал називається довірчою оцінкою параметра з мірою надійності (З рівнем значущості ).
Якщо є реалізація вибірки , То реалізація довірчої оцінки дає довірчий інтервал і у великому ряду вибірок істинне значення лежить приблизно в випадків всередині обчислених довірчих меж і . Рівність (1.1.1) можна інтерпретувати і так: випадковий інтервал "Покриває" істинний параметр з довірчою ймовірністю .

У математичній статистиці часто використовують поняття квантилів, процентних точок (односторонніх критичних меж і двосторонніх критичних меж). Квантиль рівня p або p-квантиль випадкової величини з функцією розподілу називається рішення рівняння .
Одностороннім критичної кордоном, що відповідає рівню значущості (Процентної точкою рівня ), Неперервної випадкової величини з функцією розподілу називається значення випадкової величини , Для якої , Або . Нижньої і верхньої критичними границями, що відповідають рівню значущості неперервної випадкової величини з функцією розподілу називаються значення випадкової величини і , Для яких ; ;

Для симетричних випадкових величин, у яких щільності
розподілу симетричні відносно деякої точки , Нижні і верхні критичні межі задовольняють умові , Що дає можливість приводити таблиці лише для процентних точок або квантилів, великих . Так, для стандартної нормальної випадкової величини з рівнем значущості .

Квантиль, односторонні і двосторонні критичні межі зображені на рис.1.

Рис.1. р-квантиль і критичні точки для закону розподілу .

1.1.1 Довірча оцінка за невідомої ймовірності по великих вибірках

Частота є точкової оцінкою , Вона асимптотично нормально розподілена з і .

Якщо , То . Задамо . Величина така, що може бути знайдена з рівняння за допомогою таблиць для функцій Лапласа. Ці ж міркування можна застосувати до . По заданому можна знайти так, щоб . З нерівності випливає, що , Звідки можна обчислити обидва значення і , Які представляють довірчі оцінки для . Якщо вибрано досить малим, то випадковий інтервал "Покриває" майже напевно.

1.1.2 Довірчі оцінки для параметрів нормального закону

1.1.2.1 Довірча оцінка при відомому

, , Тоді .

Відповідно,

Для стандартної нормальної випадкової величини з рівнем значущості нижня і верхня критичні кордону відповідно рівні і .

Маємо

або

Таким чином, - Довірча оцінка для параметра a з мірою надійності .

1.1.2.2 Довірча оцінка при невідомому

Оцінка заснована на тому факті, що при висловлених припущеннях величина задовольняє t-розподілу з n-1 ступенями свободи.

Визначаючи односторонню критичну точку з умови , Отримаємо довірчу оцінку для а у вигляді

Для конкретної вибірки обсягу n довірча оцінки для а стає її довірчим інтервалом.

1.1.2.3 Довірча оцінка при невідомому

Відправною точкою є той факт, що при заданих передумови величина задовольняє - Розподілу з n-1 ступенями свободи. По заданому рівню значущості і ступенями свободи знаходимо критичні точки і розподілу такі, що

, Або .

Таким чином, є довірча оцінка з мірою надійності .

1.2 Метод найбільшої правдоподібності

Нехай дана вибірка обсягу n із генеральної сукупності з безперервно розподіленої випадкової величиною X. Нехай щільність ймовірності X містить невідомий параметр , Який слід оцінити за вибіркою, і має вигляд .

Функцією правдоподібності називають функцію параметра , Яка визначається співвідношенням

. (1.2.1)

Розглянемо випадок дискретної випадкової величини X з можливими значеннями і ймовірностями . Позначимо через найбільшу з можливих значень, яке зустрічається у вибірці, а через - Абсолютні частоти, з якими з'являються значення у вибірці . У цьому випадку функцією правдоподібності називають функцію параметра , Яка визначається співвідношенням

. (1.2.2)

Метод найбільшої правдоподібності полягає в тому, що в якості оцінки параметра береться значення, при якому функція правдоподібності досягає свого максимуму.

Параметр знаходять, вирішуючи щодо рівняння

. (1.2.3)

Часто замість (1. 2.3) використовують рівняння

, (1.2.4)

Якщо щільність або ймовірності залежать від параметрів, то найбільш правдоподібну оцінку системи параметрів отримують рішенням системи рівнянь

(1.2.5)

або

. (1.2.6)

Найбільш правдоподібні оцінки мають деякі чудові властивості. При досить загальних умовах вони є заможними і асимптотично нормально розподіленими (проте не завжди незміщеними), мають серед всіх асимптотически нормально розподілених оцінок найбільшу ефективність. Справедливо таке положення: якщо взагалі є ефективна оцінка, то вона виходить методом найбільшої правдоподібності.

Приклад 1.2.1 Оцінити ймовірність деякої події . Нехай

Рішення. ; . Нехай у незалежних спостереженнях подія відбулося разів, тобто . Таким чином, маємо , . Звідси випливає, що . Отже, є найбільш правдоподібна оцінка параметра . Випадкова величина k біноміальної розподілена, ; Отже, - Незміщеної оцінка ймовірності, асимптотично заможна і асимптотично нормальна.

Приклад 1.2.2. Нехай випадкова величина розподілена за законом Пуассона з невідомим параметром . Проведемо вибірку і отримаємо значення ( - Цілі числа). Нехай - Набольшее з спостережуваних у вибірці чисел, - Абсолютні частоти, з якими числа з'являються у вибірці; . Тоді згідно з формулою (3.2) . Зі співвідношення отримуємо , Звідки .

Величина Тобто, таким чином, правдоподібна оцінка для і разом з тим заможна, асимптотично нормально розподілена.

Приклад 1.2.3. Нехай випадкова величина розподілена нормально з параметрами і . Їх слід оцінити виходячи їх вибірки обсягу .

Рішення. Функція правдоподібності

отже

Згідно (2.5), отримуємо наступні рівняння для визначення і : ; , Звідки і . Отже, є найбільш правдоподібна оцінка параметрів . Ми вже знаємо, що не є незміщеної оцінкою, а тільки асимптотично не усунутий.

Точкові оцінки

Одним із завдань математичної статистики є оцінка невідомих параметрів вибраної параметричної моделі.

Дуже часто в додатках розглядають параметричну модель. У цьому випадку припускають, що закон розподілу генеральної сукупності належить безлічі

, Де вид функції розподілу заданий, а вектор параметрів невідомий. Потрібно знайти оцінку для або деякої функції від нього (наприклад, математичного сподівання, дисперсії) за випадковою вибіркою з генеральної сукупності X.

Наприклад, припустимо, що маса X деталі має нормальний закон розподілу, але його параметри невідомі. Потрібно знайти наближене значення параметрів за результатами спостережень х, ..., х _п, отриманими в експерименті (щодо реалізації випадкової вибірки).

Як уже зазначалося, в математичній статистиці існують два види оцінок: точкові та інтервальні. У цій главі будуть розглянуті точкові оцінки, а інтервальним оцінками присвячена наступна глава.

1.3.1. Заможні, незміщені та ефективні оцінки

Нехай - Випадкова вибірка з генеральної сукупності X, функція розподілу якої відома, а - Невідомий параметр, тобто розглядається параметрична модель (Для простоти викладу будемо вважати поки, що - Скаляр).

Потрібно побудувати статистику , Яку можна було б прийняти як точкової оцінки параметра .

Інтуїтивно ясно, що в якості оцінки параметра можна використовувати різні статистики. Наприклад, як точкової оцінки для можна запропонувати такі статистики:

Яку ж з цих статистик віддати перевагу? В загальному випадку потрібно дати відповідь на питання: якими властивостями повинна володіти статистика , Щоб вона була в певному сенсі найкращою оцінкою параметра в? Розгляду вимог до оцінок і методів їх знаходження присвячена ця глава.

Зауважимо, що надалі, як правило, будемо говорити про оцінку параметра параметричної моделі, хоча все сказане можна перенести й на функцію від в.

Визначення 1.3.1.1 Статистику називають заможної оцінкою параметра , Якщо з ростом обсягу вибірки п вона сходиться за ймовірністю до оцінюваного параметру , Тобто

Іншими словами, для заможної оцінки відхилення її від на величину е і більше стає малоймовірним при великому обсязі вибірки. Це властивість оцінки є дуже важливим, бо неспроможна оцінка практично марна. Однак слід зазначити, що на практиці доводиться оцінювати невідомі параметри і при малих обсягах вибірки.

Природним є те вимога, при виконанні якого оцінка не дає систематичної похибки в бік завищення (або заниження) істинного значення параметра .

Визначення 1.3.1.2. Статистику називають незміщеної оцінкою параметра , Якщо її математичне сподівання збігається з , Тобто для будь-якого фіксірованіспер.

Якщо оцінка є зміщеною (тобто останнє рівність не має місця), то величина зсуву Як ми побачимо далі, зсув оцінки часто можна усунути, ввівши відповідну поправку.

Кажуть також, що оцінка є асимптотично незміщеної, якщо при вона сходиться за ймовірністю до свого математичного сподівання, тобто для будь-якого

Припустимо, що є дві незміщені оцінки і для параметра . Якщо дисперсії задовольняють умові

(1.3.1)

для будь-якого фіксованого пі , То слід віддати перевагу оцінку , Оскільки розкид статистики щодо параметра менше, ніж розкид статистики

Визначення 1.3 .1.3. Якщо в деякому класі незміщене оцінок параметра , Що мають кінцеву дисперсію, існує така оцінка , Що нерівність (2.1) виконується для всіх оцінок з цього класу, то говорять, що оцінка є ефективною в даному класі оцінок.

оцінювати невідомі параметри і при малих обсягах вибірки.

Визначення 1.3.1.4. Статистику називають незміщеної оцінкою параметра , Якщо її математичне сподівання збігається з , Тобто для будь-якого фіксірованніспер

Припустимо, що є дві незміщені оцінки і для параметра . Якщо діісперсіі

задовольняють умові

(1.3.2)

Визначення. Якщо в деякому класі незміщене оцінок параметра , Що мають кінцеву дисперсію, існує така оцінка , Що нерівність (3.2) виконується для всіх оцінок з цього класу, то говорять, що оцінка є ефективною в даному класі оцінок.

Іншими словами, дисперсія ефективної оцінки параметра в деякому класі є мінімальною серед дисперсій всіх оцінок з даного класу незміщене оцінок.

Зауваження 1.3.1.1. Ефективну оцінку в класі всіх незміщене оцінок будемо називати ефективної оцінкою, не додаючи слів "в класі незміщене оцінок".

Зауваження 1.3.1.2. У літературі з математичної статистики при розгляді параметричних моделей замість терміна «ефективна оцінка» класі всіх незміщене оцінок використовують і інші: «незміщеної оцінка з мінімальною дисперсією», «оптимальна оцінка». Теорема 1. 3.1. Оцінений

(Вибіркове середнє) математичного сподівання

генеральної сукупності X з кінцевою дисперсією є незміщеної, заможної і ефективної в класі всіх лінійних оцінок, тобто оцінок виду

де , Для довільної параметричної моделі.

Нагадаємо, що елементи випадкової вибірки

є незалежними випадковими величинами і розподіленими так само, як і сама генеральна сукупність X. Отже,

1.4 Критерії згоди

Нехай (X1, .., Xn) - вибірка з невідомим законом розподілу F (X). Розглянемо гіпотези Н0: F (x) = F0 (x) при конкуруючої Н1: F (x) ¹ F0 (x). F0 (x) - деяка задана функція розподілу.

Завдання перевірки гіпотез щодо законів розподілу називається завданням перевірки згоди, а критерій для цього завдання --Рітер згоди.

Розглянемо критерій згоди c 2, або критерій Пірсона.

Розіб'ємо вісь х на т інтервалів Якщо справжня функція розподілу F (x) збігається з F0 (x), то при великих n

Розглянемо випадкову величину (ni --лучайное)

при вона прагне до c 2 --аспределенію випадкової величини з т-е-1 ступенями свободи (е-число статистичних параметрів).

Вирішальне правило для рівня значущості a:

При побудові c 2n повинно виконуватися умова ni ³ 10, в іншому випадку об'єднують інтервали.

У разі застосування гіпотези Н0 говорять, що різниця між F (x) і F0 (x) є випадковим з довірчою ймовірністю 1 - a і обумовлено кінцівкою вибірки.

1.5 Теорема Чебишева

Нерівність Чебишева. Для будь-якої випадкової величини Х, що має математичне сподівання МХ і дисперсію DX, справедливо нерівність

де a - будь-яке позитивне число.

Доказ. Доказ проведемо спочатку для неперервної випадкової величини Х з щільністю розподілу f (x).

Позначимо через А подію, яке у тому, що випадкова точка Х потрапляє за межі ділянки (MX-a; MX + a), тобто

А: {| X-MX | ³ a}

a a

MX - a MX MX + a

Ймовірність попадання Х в цю ділянку дорівнює

Знайдемо дисперсію випадкової величини Х

Абсолютно аналогічно доводиться нерівність Чебишева і для дискретної випадкової величини, що має значення x1, x2, ... з імовірностями p1, p2, ... Тоді замість інтеграла у всіх формулах ставиться знак суми, де підсумовування ведеться за тим xi, для яких

| Xi-MX | ³ a,

що потрібно було довести.

Визначення. Нехай є послідовність чисел

x1, x2, ... , Xn, ...

Кажуть, що ця послідовність сходиться за ймовірністю до невипадковою величиною а, якщо при необмеженому збільшенні п ймовірність події

{| Хп-а | <e},

(Де e> 0 - довільне мале фіксоване число) прагне до одиниці, тобто

Іншими словами, які б не були довільно малі наперед задані числа e> 0 і d> 0 завжди існує N, таке, що при n> N

P {| Xn-a | <e}> 1 - d

Перша теорема Чебишова (Закон великих чисел). Нехай є випадкова величина Х з медіаною МХ і дисперсією DX. Над цією випадковою величиною Х проводиться п незалежних дослідів, в результаті яких вона приймає значення Х1, Х2, ... , Хп (п "екземплярів" випадкової величини Х). Нехай

Тоді послідовність сходиться за ймовірністю до MX:

Доказ. Знайдемо MYn і DYn:

Застосуємо до випадкової величиною Yn нерівність Чебишева, в якому покладемо a рівним e, де e> 0 - як завгодно мале, наперед заданий число.

Як би не було мало e, завжди можна вибрати n таким великим, щоб права частина останнього нерівності стала менше як завгодно малого додатного числа d; отже, при достатньо великому п

P {| Yn-MX | ³ e} <d

Þ P {| Yn-MX | <e}> 1 - d,

а це рівнозначно збіжності за ймовірністю Yn до MX

Зауваження 1.5.1. Першу теорему Чебишева можна записати й інакше, якщо покласти Zn: = Yn-MX

Зауваження 1.5.2. Перша теорема Чебишова відноситься до випадку, коли випадкові величини Х1, Х2, ... , Хп незалежні і мають один і той же розподіл, а значить одне і те ж MX і DX.

Розглянемо випадок, коли умови вироблених дослідів змінюються.

Друга теорема Чебишова. Нехай є випадкова величина Х. Над нею виробляються незалежні досліди, в результаті чого ми отримуємо послідовність

Х1, Х2, ..., Хn, ...

з різними, в загальному випадку, MХi і DXi (i = ). Нехай

Якщо DXi £ D i = 1, 2, ... , Де D - деяке позитивне число, то

Доказ.

(1.5.1)

Згідно нерівності Чебишева

або, враховуючи (1.5.1), маємо

Як би не було мало довільне наперед заданий e, завжди можна вибрати n таким великим, щоб права частина останнього нерівності стала менше довільно малого d. Отже

що потрібно було довести.

Зауваження 1.5.3. При формулюванні Друга теорема Чебишова не можна говорити, що

так як залежать від n, а поняття "збіжність за ймовірністю" визначено нами тільки для постійної а, що не залежить від n.

1.6 Поняття довірчого інтервалу

Будемо вважати, що незалежна вибірка взята з розподілу, що залежить від скалярного параметра . Будемо позначати через розподіл ймовірностей, відповідне значенню невідомого параметра.

Визначення 1.6.1

- Довірчим інтервалом називається інтервал виду де такий, що

Число називають довірчою ймовірністю.

Іншими словами, довірчий інтервал володіє тим властивістю, що, по-перше, його межі обчислюються виключно за вибіркою (і, отже, не залежать від невідомого параметра), і, по-друге, він накриває невідомий параметр з імовірністю .

Значення довірчої ймовірності вибирається заздалегідь, цей вибір визначається конкретними практичними додатками.
Сенс величини - Ймовірність допустимої помилки. Часто беруть значення і т.п.

Нижче ми наводимо один з методів побудови довірчих інтервалів. Він складається з трьох етапів.

Вибираємо функцію , Що залежить від вибірки і від невідомого параметра, таку, що її функція розподілу

не залежить від невідомого параметра .

Вибираємо два числа і таким чином, щоб . Підбираємо і , Що задовольняють умовам

(6.1)

Таким чином,

(6.2)

причому і не залежать від .

Вирішимо подвійне нерівність щодо . У тому випадку, коли його рішенням є інтервал, позначимо його лівий і правий кінці через і відповідно. Природно, вони залежать від вибірки: , . В силу (6.2)

Отже, - Шуканий -Довірчий інтервал.

Зауваження 1.6.1

Описана процедура, зрозуміло, не є універсальною. По-перше, питання про вибір функції вирішується у кожному конкретному випадку і з цього приводу немає загальних рекомендацій. По-друге, зовсім не гарантовано, що рішенням нерівності в п. 3 буде інтервал кінцевої довжини. Разом з тим, у багатьох важливих випадках викладений вище метод приводить до гарних довірчим інтервалам. Наприклад, виправдане застосування такого методу у випадку, коли при кожній фіксованій вибірці функція є строго монотонною і безперервної по змінній .

Зауваження 1.6.2

У силу неоднозначності вибору функції і чисел і , Можна зробити висновок, що -Довірчий інтервал неєдиним.

1.7 Порівняння середніх

Тепер розглянемо випадок, коли обидві сукупності підкоряються нормальному розподілу, але перевірка гіпотез про рівність двох генеральних дисперсій закінчилася відкиданням гіпотези рівності. Таке завдання порівняння двох генеральних середніх при нерівних дисперсіях генеральних прийнято називати проблемою Беренса-Фішера (на ім'я вченого У. Беренса опублікував першу роботу на цю тему в 1929 р.). У цьому випадку замість однієї загальної генеральної дисперсії ми маємо справу з двома нерівними генеральними дисперсіями: σ ^{₂ січень} ≠ σ _{² 2.} Відповідно маємо і дві вибіркові дисперсії s ₁ ² і s _{² 2.} Тоді шукана t-статистика буде обчислюватися за наступним висловом [1.7.1]:

(1.7.1)

Введемо позначення: θ = σ ₁ ² / σ _{² 2,} u = s ₁ ² / s _{² 2} і N = n ₁ / n _2. У цьому випадку вираз (1.7.1) можна переписати в наступному вигляді [(1.7.1)]:

(1.7.2).

Основна складність цього випадку полягає в тому, що подкоренное вираз у знаменнику не має Хі-квадрат розподіл, і тому статистика t не має розподілу Стьюдента. У 40-60-і роки 20 століття Бокс, Уелч, Саттерзвайт, Кохрен, Боно, Шеффе і багато інших статистики провели детальний аналіз цієї проблеми. Так в 1938 р. Уелч досліджував наближене розподіл статистики (1.7.1) і показав, що при рівних обсягах вибірок n ₁ = n ₂ незнання величини θ = σ ₁ ² / σ _{² лютого} не дуже сильно впливає на підсумковий результат. Однак для випадку нерівних обсягів вибірок помилки стають дуже значними. Інші підходи дозволяли апроксимувати статистику (1.7.2) розподіл Стьюдента з дробовими ступенями свободи.

1.8 Метод мінімуму X ^2.

Метод мінімуму X ² застосуємо лише і разі групувати безперервно розподілу або дискретного розподілу. Оцінки, одержувані цим методом, при великих п асимптотично еквівалентні оцінками, отриманими за допомогою більш простого видозміненого методу мінімуму X ^2, виражається рівняннями

(1.8.1)

або

(1.8.2)

в розглянутих випадках останній метод впорається з методом максимуму правдоподібності.

Основна теорема про граничний розподіл X ² для випадку, коли деякі параметри оцінюються за вибіркою що оцінки перебувають за допомогою видозміненого методу мінімуму X ^2. Однак там же було вказано, що є цілий клас методів знаходження оцінок, що призводять до того ж самого граничного розподілу для X ^2. Тепер ми доведемо це твердження.

Асимптотичні вирази для оцінок, одержуваних за допомогою видозміненого методу мінімуму X ² були приведені в явній формі

(1.8.3)

для загального випадку у невідомих параметрів а ₁ ,..., а _г. Припустимо, що виконані умови 1) -3) попереднього параграфа або аналогічні умови для дискретного розподілу. Тоді з попереднього параграфа випливає, що оцінки (1.8.3) асимптотично нормальні (це вже було показано в параграфі 30.3) і асимптотично ефективні.

У всіх множинах асимптотично нормальних і асимптотично ефективних оцінок для параметрів є члени порядку n ^{-1 / 2} такі ж, як і в (1.8.3). Однак з висновку граничного розподілу для у ² випливає, що це граничне розподіл повністю визначається членами порядку n ^{-1 / 2} в (1.8.3). Дійсно, за формулами і

отримуємо і показує, що граничне розподіл для. у = ( , .... ) Визначається саме зазначеними членами.

Таким чином, теорема про граничний розподіл величини X ² справедлива для будь-якого безлічі асимптотично нормальних і асимптотично-ефективних оцінок параметрів.

1.9 Розподіл Пуассона. Аксіоми найпростішого потоку подій

Кажуть, що випадкова величина Х має розподіл Пуассона, якщо її можливі значення 0, 1, 2, ... , Т, ... (Нескінченне, але чітке безліч значень), а відповідні ймовірності виражаються формулою:

x	0	1	...	k	...
P	e ^{- l}	l e ^{- l}	...		...

Число l називається параметром розподілу.

Найпростіший потік подій - така послідовність подій, що відбуваються у випадковий момент часу.

Потік подій називається пуассонівської, якщо він задовольняє аксіомам найпростішого потоку подій:

При таких припущеннях з великим ступенем точності виконуються наступні умови:

Відсутність післядії: вірогідність того, що на довільному часовому проміжку (з точки зору довжини і розташування на тимчасовій осі) не залежить від того, що відбувалося в момент часу, що передувало цього моменту.

Однорідність потоку: Ймовірність того, що на певному часовому проміжку відбудеться 0,1,2, ..., n подій залежить тільки від його довжини і не залежить від положення цього відрізка на тимчасовій осі.

Нехай D t - довжина часового проміжку, тоді: (D t) = l D t + o (D t), D t ® 0.

(D t) = 1 - l D t + o (D t), D t ® 0.

Математичне сподівання розподілу Пуассона дорівнює:

M =

2 Практичні ЧАСТИНА

Варіант 23

Задача 1

На відрізок одиничної довжини навмання ставиться крапка. Обчислити ймовірність того, що відстань від точки до кінців відрізка перевищує величину .

Вирішити завдання при , .

Рішення:

Нехай дано відрізок довжини (Мал. 2.1). Відстань від точки до кінців відрізка перевищує величину в тому випадку, якщо , Де , .

Рис. 2.1

Нехай А - подія, коли . Тоді шукана ймовірність .

Для заданих значень і .

Задача 2

У коло радіуса R навмання ставиться крапка. Знайти ймовірність того, що вона потрапить в одну з двох непересічних постатей, які мають площі і .

Вирішити завдання при , , .

Рішення:

Оскільки фігури не пересікаються, то площа, в яку повинна потрапити точка, дорівнює . Загальна площа, в яку може потрапити точка, дорівнює . Таким чином шукана ймовірність . Для заданих значень , і .

Задача 3

Серед лотерейних квитків виграшних. Навмання взяли квитків. Визначити ймовірність того, що серед них не менш L виграшний.

Вирішити завдання при , , , .

Рішення:

Число способів купити квитків, серед яких L виграшних становить .

Число способів купити квитків, серед яких L +1 виграшних становить , І так далі.

Число способів купити квитків, серед яких виграшних становить .

Таким чином, число способів купити квитків, серед яких не менше половини виграшних становить

+ + ... + .

Загальне число способів купити квитків з становить .

Шукана ймовірність .

Для заданих значень , і .

Задача 4

У ліфт -Поверхового будинку сіли пасажирів ( ). Кожен незалежно від інших з однаковою ймовірністю може вийти на будь-якому (починаючи з другого) поверху. Визначити ймовірність того, що хоча б двоє вийшли на одному поверсі.

Вирішити завдання при , .

Рішення:

Нехай - Подія, коли всі пасажири вийшли на різних поверхах. Тоді ймовірність шуканого події .

Знайдемо . Кількість способів всім пасажирам вийти на різних поверхах становить . Загальне число способів виходу пасажирів на одному з -Го поверху становить . Тоді .

Шукана ймовірність .

Для заданих значень , .

Задача 5

У двох партіях і відсотків доброякісних виробів відповідно. Навмання вибирають по одному виробу з кожної партії. Яка ймовірність виявити серед них одне доброякісне і одне браковане?

Вирішити завдання при і .

Рішення:

Нехай - Подія виявити доброякісне виріб з -Й партії. - Подія виявити браковане виріб з -Й партії. Тоді шукана ймовірність .

Для заданих значень , шукана ймовірність .

Задача 6

Ймовірність того, що мета вражена при одному пострілі першого стрільця - р1, другим - р2. Перший зробив n 1, другий n 2 постріли. Визначити ймовірність того, що мета не уражена.

р1 = 0,76; р2 = 0.39; n 1 = 2; n 2 = 3.

Рішення:

Нехай подія А - мета не уражена. Ймовірність того, що перший стрілець не влучить у ціль при одному пострілі дорівнює (1 - р1). Ймовірність того, що перший стрілець не потрапить при n 1 постріл дорівнює (1 - р1) ^{n 1,} ймовірність того, що другий стрілець не влучить у ціль при n 2 постріли дорівнює (1 - р2) ^{n 2.} Отримаємо

Р (А) = (1 - р1) ^{n 1 (1} - р2) ^{n 2} =

= 0,24 ² * 0,61 ³ = 0,013.

Відповідь: 0,013.

Задача 7

Урна містить М занумеровані куль від 1 до М. Кулі витягуються по одному без повернення. Подія B - хоча б 1 раз співпаде номер кулі і порядковий номер витягу. Визначити ймовірність події С. Знайти граничне значення ймовірності при М .

М = 10.

Рішення:

Кількість збігів одного номера кулі і порядкового номера вилучення одно ; Кількість збігів двох номерів - ; Трьох номерів - ; ...; М номерів - . Загальна кількість способів вилучення М куль одно . Таким чином отримуємо ймовірність події С:

Для М = 1 0 отримаємо

Знайдемо граничне значення ймовірності:

Задача 8

Дана щільність розподілу р (х) випадкової величини . Знайти

параметр ;

функцію розподілу випадкової величини ;

ймовірність виконання нерівності .

, .

Рішення:

знайдемо значення параметра з

Задача 9

Випадкова величина має щільність розподілу . Знайти щільність розподілу ймовірностей випадкової величини

= ,

Рішення:

Знайдемо за формулою

= .

Знайдемо

Відповідь: =

ия номера кулі і порядкового номера вилучення при одному пострілі дорівнює 1 - р1

ВИСНОВКИ

Кореляція і кореляційні моменти є досить важливими поняттями, що мають застосування як в теорії ймовірностей і її додатках, так і в математичній статистиці.

Багато задач практики вирішуються за допомогою обчислення коефіцієнта кореляції або кореляційних моментів. Кореляційний момент - характеристика системи випадкових величин, що описує розсіювання випадкових величин і зв'язок між ними. Ступінь залежності випадкових величин зручніше характеризувати за допомогою безрозмірною величини - коефіцієнта кореляції.

Обробка статистичних даних вже давно застосовується в найрізноманітніших видах людської діяльності. Основними завданнями кореляційного аналізу є оцінка сили зв'язку і перевірка статистичних гіпотез про наявність і силі кореляційної зв'язку. Кореляційний аналіз вважається одним з головних методів в маркетингу, поряд з оптимізаційними розрахунками, а також математичним і графічним моделюванням.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

Івашев-Мусатов О.С. Теорія ймовірностей і математична

статистика., М.: Наука, 1979.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теорія вероятностей.-М.: Наука, 1969.

В.А. Колеман, О.В. Старовірів, В.Б. Турундаевскій. Теорія

ймовірностей і математична сатістіка. М., 1991.

«Теорія Статистики» під редакцією Р.А. Шмойловой / «ФиС», 1998.

А.А. Френкель, Є.В. Адамова «Корреляционно регресійний аналіз в економічних програмах» / М., 1987.

І. Д. Одинцов «Теорія статистики» / М., 1998.