Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Інверсія площині
в комплексно спряжених координатах
Виконала: студентка V курсу
математичного факультету
Дмитрієнко Надія Олександрівна
Науковий керівник:
старший викладач кафедри
алгебри і геометрії
Олександр Миколайович Суворов
Рецензент:
Допущена до захисту в державної атестаційної комісії
«___»__________ 2005 Зав. кафедрою В.М. Вечтомов
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров
2005
Зміст
Введення ................................................. .................................................. ........ 3
Глава 1. Основні положення теорії інверсії ........................................... 4
1.1. Загальні відомості про комплексну площині ......................................... 4
1.2. Визначення інверсії - симетрії відносно кола ........ 5
1.3. Формула інверсії в комплексно спряжених координатах ......... 11
1.4. Нерухомі точки і окружність інверсії .................................... 11
1.5. Образи прямих і кіл при узагальненої інверсії ............ 12
1.6. Властивості узагальненої інверсії ............................................... ......... 19
Глава 2. Застосування інверсії при вирішенні завдань
і доказі теорем ............................................... .................. 30
2.1. Застосування інверсії при вирішенні задач на побудову ............... 30
2.2. Застосування інверсії при доказі ........................................ 41
Висновок ................................................. .................................................. . 43
Бібліографічний список ................................................ ........................... 44
Введення
У наше століття сучасних технологій так і хочеться залучити комп'ютер для вирішення завдань, зокрема, геометричних. Було б чудово, якщо б від користувача потрібно тільки занести в програму потрібні дані, а остання сама б все розрахувала і видала, приміром, радіус і центр шуканої окружності. Але вся проблема в тому, що програма може працювати тільки з координатами. І є сенс перекладу найбільш ефективних з точки зору вирішення завдань перетворень, до числа яких входить і інверсія, на мову координат. Найпростіше це виходить на комплексній площині. Вивченню перетворення інверсії комплексної площини і присвячена ця дипломна робота.
Мета роботи полягає в наступному: узагальнити та систематизувати основні факти про інверсії комплексної площини і показати застосування цього перетворення при вирішенні завдань і доказі теорем.
Поставлена мета передбачала вирішення наступних завдань:
· Висновок комплексної формули інверсії;
· Доказ основних властивостей інверсії на комплексній площині;
· Вирішення декількох завдань за допомогою інверсії комплексній площині;
· Доказ ряду теорем за допомогою інверсії комплексній площині.
Виявилося, що не так багато спеціальних робіт по темі. Інверсія комплексної площині виявилася вкрай слабо висвітлена в літературі в порівнянні з інверсією евклідової площини. Робили таким чином: брали відомий факт з евклідової площини, а потім доводили його методом комплексно спряжених координат. Найчастіше такі докази було зрозуміліше і коротше, ніж вихідні.
Глава 1
Основні положення теорії інверсії
1.1. Загальні відомості про комплексну площині. Задамо на площині прямокутну декартову систему координат 0 xy. Тоді кожному комплексному числу z, представленому в алгебраїчній формі
Отже, безліч точок евклідової площині знаходиться у взаємно однозначним дотриманням безліччю комплексних чисел. Цю площину називають площиною комплексних чисел.
Всі необхідні відомості про цю площині дуже добре дані в книзі Я. П. Понаріна [3]. Тут наведемо лише деякі формули, узяті з того ж джерела, використані в роботі.
Відстань між двома точками з координатами а і b одно
Рівняння прямої в канонічній формі:
Рівняння кола з центром у точці s і радіусом r:
Скалярний добуток векторів:
Колінеарність трьох точок з координатами а, b і з:
Критерій колінеарності векторів:
Відстань від точки з координатою z 0 до прямої
Критерій паралельності двох прямих
Критерій перпендикулярності двох прямих
Подвійне ставлення чотирьох точок площини з координатами а, b, с і d:
Критерій приналежність чотирьох точок одному колі або прямої:
Критерій ортогональності кіл
Паралельний перенос на вектор з координатою r:
Гомотетія з центром s і коефіцієнтом s:
Осьова симетрія з віссю симетрії
Центральна симетрія з центром
1.2. Визначення інверсії - симетрії відносно кола. [1]
Визначення 1. Кутом між двома колами називається кут між дотичними до кіл в точці їх перетину.
Якщо окружності не мають спільних точок, то кут між ними не визначений.
Визначення 2. Кутом між окружністю S і прямої l називається кут між прямою l і дотичної до окружності S у точці перетину цього кола з l.
Знову ж таки, якщо пряма і коло не мають спільних точок, то кут між ними не визначений.
З визначення 2 випливає, що кола, центри яких лежать на даній прямій l, і тільки ці кола, перпендикулярні до прямої l.
Теорема 1. Усі окружності, перпендикулярні прямий l і проходять через точку А, проходять і через точку В, симетричну точці А відносно прямої l.
□ Розглянемо довільну коло з центром на прямій l, що проходить через точку А. Введемо систему координат таким чином, що пряма l є дійсною віссю, а початок координат знаходиться в центрі нашої кола, і радіус її дорівнює 1.
Дійсна вісь має рівняння
Якщо точка А має координату а, то симетрична їй точка В матиме координату
Дійсно, оскільки А їй належить, то
Якщо А не лежить на дійсній осі, то більше спільних точок у пучка кіл, що проходять через А і перпендикулярних l, немає. Якщо б була ще спільна точка С, то розглядаються кола проходили б через точки А, В і С, то є всі збігалися б.
Якщо А лежить на дійсній осі, то у кіл також більше немає спільних точок, оскільки центр їх лежить на цій осі, і якщо є ще одна спільна точка В (не лежить не дійсною осі, інакше окружності банально співпадуть), то є ще одна спільна точка - симетрична їй, і у кіл є три спільні точки, тобто вони всі співпадуть, що неможливо.
Значить, якщо окружності перпендикулярні прямий l і проходять через точку А, і точка В симетрична точці А відносно прямої l (точки А і В можуть збігатися), то це єдині загальні точки цих кіл.
Тому можна дати таке визначення симетрії відносно прямої.
Визначення 3. Точки А і В називаються симетричними відносно прямої l, якщо всі кола, перпендикулярні прямий l і проходять через точку А, проходять і через точку В.
Введемо тепер поняття симетрії відносно кола. Доведемо спочатку наступну теорему.
Теорема 2. Усі окружності, перпендикулярні даної окружності Σ, які проходять через дану точку А, що не лежить на Σ, проходять одночасно і через деяку точку В, відмінну від точки А.
□ Розглянемо деяку окружність w, задовольняє наших умов.
Введемо систему координат таким чином, що початок координат знаходиться в центрі кола Σ і радіус її дорівнює 1, а точка А лежить на дійсній осі.
Тоді Σ задається рівнянням
Точка А, за умовою, не лежить на колі Σ, і А лежить на дійсній осі, тому
Зауважимо, що точка А не може співпадати з центром кола Σ, оскільки тоді дотична до w матиме з останньої дві спільні точки, що неможливо.
Природно, що інших спільних точок у кіл, перпендикулярних окружності Σ і проходять через точку А, що не лежить на Σ, немає, оскільки тоді пучок цих кіл проходив би через три точки, тобто всі окружності б збігалися.
Зауважимо також, що точки з координатами 0, а й
Якщо А лежить на Σ, то інших спільних точок у пучка таких кіл немає. Дійсно, якби була ще одна точка, не лежить на Σ, то згідно теореми була б до того ж загальною і не збігається з нею крапка, не лежить на колі, тобто не збігається з А. Тоді у кіл три загальних точки і вони всі співпадуть, що неможливо. Якщо ж ще одна спільна точка
Так як
Також зауважимо, що і в цьому випадку квадрат відстані від точки А до центру кола дорівнює квадрату радіуса даної окружності.
Тепер стає природним наступне визначення:
Визначення 4. Точка А називається симетричною точці В відносно кола Σ, якщо кожна коло, що проходить через А і перпендикулярна Σ, проходить через точку В.
Для кожної точки А існує тільки одна їй симетрична. Причому, очевидно, що якщо А лежить на Σ, то в неї немає відмінних від неї симетричних точок, вона симетрична сама собі. Також очевидно, що якщо А збігається з центром кола симетрії, то в неї немає симетричної їй точки.
Ще зрозуміло, що твір відстаней від центру даної окружності до симетричних точок дорівнює квадрату радіуса цієї окружності.
Якщо точка А симетрична точці В відносно кола Σ, то і точка В симетрична точці А відносно кола Σ. Це дозволяє говорити про точки, симетричних відносно кола. Сукупність усіх точок, симетричних точках деякої фігури F відносно кола Σ, утворює фігуру F ', симетричну фігуру F відносно кола Σ.
Симетрія відносно прямої є граничним випадком симетрії відносно кола, так як пряму можна розглядати як окружність нескінченного радіуса.
Симетрія відносно кола називається також інверсією; в цьому випадку коло, щодо якої здійснюється симетрія, називається колом інверсії, центр цього кола - центром інверсії, а квадрат її радіуса - ступенем інверсії.
Інверсію можна ще знайти й так:
Визначення 5. Інверсією площині з центром в точці S і ступенем інверсії k називається перетворення, яке всяку точку М площині, відмінну від S, відображає в таку точку М ', що точка М' лежить на промені SM і твір
Доведемо равносильность визначень 4 і 5.
4Þ5. Згадаймо, що при доведенні теореми 2 і далі в міркуваннях ми прийшли до факту, що симетричні відносно кола точки лежать на одній прямій із центром кола Σ і по один бік від нього, причому добуток їхніх відстаней до центру цієї окружності одно постійному дійсному числу - квадрату радіусу кола. Це було показано для кожної точки, відмінної від центру кола.
5Þ4. Проведемо коло з центром в точці S і радіусом
Щоб це було дійсно перетворення, допускають, що точка S відображається в нескінченно віддалену точку, і навпаки (в даному випадку нам зручніше мислити нескінченно віддалену область як одну точку).
Визначення 5 менш геометрично, ніж попереднє, але має перевагу більшої простоти. Виходячи з цього визначення, інверсію іноді ще називають перетворенням зворотних радіусів. З цим визначенням пов'язано також назву «інверсія» (від латинського слова inversio - звернення).
Очевидно, слова «точка М 'лежить на промені SM і твір
Взагалі, говорячи про інверсії, мають на увазі звичайно інверсію з позитивною ступенем. Якщо знак ступеня інверсії може бути будь-яким, то таке перетворення називають узагальненої інверсією. Його визначення буде таким.
Визначення 6. Узагальненої інверсією площині з центром в точці S і ступенем інверсії k називається перетворення, яке всяку точку М площині, відмінну від S, відображає в таку точку М ', що точки S, M і М' колінеарні і скалярний добуток векторів Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Інверсія площині
в комплексно спряжених координатах
Виконала: студентка V курсу
математичного факультету
Дмитрієнко Надія Олександрівна
Науковий керівник:
старший викладач кафедри
алгебри і геометрії
Олександр Миколайович Суворов
Рецензент:
Допущена до захисту в державної атестаційної комісії
«___»__________ 2005 Зав. кафедрою В.М. Вечтомов
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров
2005
Зміст
Введення ................................................. .................................................. ........ 3
Глава 1. Основні положення теорії інверсії ........................................... 4
1.1. Загальні відомості про комплексну площині ......................................... 4
1.2. Визначення інверсії - симетрії відносно кола ........ 5
1.3. Формула інверсії в комплексно спряжених координатах ......... 11
1.4. Нерухомі точки і окружність інверсії .................................... 11
1.5. Образи прямих і кіл при узагальненої інверсії ............ 12
1.6. Властивості узагальненої інверсії ............................................... ......... 19
Глава 2. Застосування інверсії при вирішенні завдань
і доказі теорем ............................................... .................. 30
2.1. Застосування інверсії при вирішенні задач на побудову ............... 30
2.2. Застосування інверсії при доказі ........................................ 41
Висновок ................................................. .................................................. . 43
Бібліографічний список ................................................ ........................... 44
Введення
У наше століття сучасних технологій так і хочеться залучити комп'ютер для вирішення завдань, зокрема, геометричних. Було б чудово, якщо б від користувача потрібно тільки занести в програму потрібні дані, а остання сама б все розрахувала і видала, приміром, радіус і центр шуканої окружності. Але вся проблема в тому, що програма може працювати тільки з координатами. І є сенс перекладу найбільш ефективних з точки зору вирішення завдань перетворень, до числа яких входить і інверсія, на мову координат. Найпростіше це виходить на комплексній площині. Вивченню перетворення інверсії комплексної площини і присвячена ця дипломна робота.
Мета роботи полягає в наступному: узагальнити та систематизувати основні факти про інверсії комплексної площини і показати застосування цього перетворення при вирішенні завдань і доказі теорем.
Поставлена мета передбачала вирішення наступних завдань:
· Висновок комплексної формули інверсії;
· Доказ основних властивостей інверсії на комплексній площині;
· Вирішення декількох завдань за допомогою інверсії комплексній площині;
· Доказ ряду теорем за допомогою інверсії комплексній площині.
Виявилося, що не так багато спеціальних робіт по темі. Інверсія комплексної площині виявилася вкрай слабо висвітлена в літературі в порівнянні з інверсією евклідової площини. Робили таким чином: брали відомий факт з евклідової площини, а потім доводили його методом комплексно спряжених координат. Найчастіше такі докази було зрозуміліше і коротше, ніж вихідні.
Глава 1
Основні положення теорії інверсії
1.1. Загальні відомості про комплексну площині. Задамо на площині прямокутну декартову систему координат 0 xy. Тоді кожному комплексному числу z, представленому в алгебраїчній формі
Отже, безліч точок евклідової площині знаходиться у взаємно однозначним дотриманням безліччю комплексних чисел. Цю площину називають площиною комплексних чисел.
Всі необхідні відомості про цю площині дуже добре дані в книзі Я. П. Понаріна [3]. Тут наведемо лише деякі формули, узяті з того ж джерела, використані в роботі.
Відстань між двома точками з координатами а і b одно
Рівняння прямої в канонічній формі:
Рівняння кола з центром у точці s і радіусом r:
Скалярний добуток векторів:
Колінеарність трьох точок з координатами а, b і з:
Критерій колінеарності векторів:
Відстань від точки з координатою z 0 до прямої
Критерій паралельності двох прямих
Критерій перпендикулярності двох прямих
Подвійне ставлення чотирьох точок площини з координатами а, b, с і d:
Критерій приналежність чотирьох точок одному колі або прямої:
Критерій ортогональності кіл
Паралельний перенос на вектор з координатою r:
Гомотетія з центром s і коефіцієнтом s:
Осьова симетрія з віссю симетрії
Центральна симетрія з центром
1.2. Визначення інверсії - симетрії відносно кола. [1]
Визначення 1. Кутом між двома колами називається кут між дотичними до кіл в точці їх перетину.
Якщо окружності не мають спільних точок, то кут між ними не визначений.
Визначення 2. Кутом між окружністю S і прямої l називається кут між прямою l і дотичної до окружності S у точці перетину цього кола з l.
Знову ж таки, якщо пряма і коло не мають спільних точок, то кут між ними не визначений.
З визначення 2 випливає, що кола, центри яких лежать на даній прямій l, і тільки ці кола, перпендикулярні до прямої l.
Теорема 1. Усі окружності, перпендикулярні прямий l і проходять через точку А, проходять і через точку В, симетричну точці А відносно прямої l.
l |
А |
У |
1 |
0 |
Дійсна вісь має рівняння
Якщо точка А має координату а, то симетрична їй точка В матиме координату
Дійсно, оскільки А їй належить, то
Якщо А не лежить на дійсній осі, то більше спільних точок у пучка кіл, що проходять через А і перпендикулярних l, немає. Якщо б була ще спільна точка С, то розглядаються кола проходили б через точки А, В і С, то є всі збігалися б.
Якщо А лежить на дійсній осі, то у кіл також більше немає спільних точок, оскільки центр їх лежить на цій осі, і якщо є ще одна спільна точка В (не лежить не дійсною осі, інакше окружності банально співпадуть), то є ще одна спільна точка - симетрична їй, і у кіл є три спільні точки, тобто вони всі співпадуть, що неможливо.
Значить, якщо окружності перпендикулярні прямий l і проходять через точку А, і точка В симетрична точці А відносно прямої l (точки А і В можуть збігатися), то це єдині загальні точки цих кіл.
Тому можна дати таке визначення симетрії відносно прямої.
Визначення 3. Точки А і В називаються симетричними відносно прямої l, якщо всі кола, перпендикулярні прямий l і проходять через точку А, проходять і через точку В.
Введемо тепер поняття симетрії відносно кола. Доведемо спочатку наступну теорему.
Теорема 2. Усі окружності, перпендикулярні даної окружності Σ, які проходять через дану точку А, що не лежить на Σ, проходять одночасно і через деяку точку В, відмінну від точки А.
А |
Σ |
w |
1 |
0 |
Введемо систему координат таким чином, що початок координат знаходиться в центрі кола Σ і радіус її дорівнює 1, а точка А лежить на дійсній осі.
Тоді Σ задається рівнянням
Точка А, за умовою, не лежить на колі Σ, і А лежить на дійсній осі, тому
Зауважимо, що точка А не може співпадати з центром кола Σ, оскільки тоді дотична до w матиме з останньої дві спільні точки, що неможливо.
Природно, що інших спільних точок у кіл, перпендикулярних окружності Σ і проходять через точку А, що не лежить на Σ, немає, оскільки тоді пучок цих кіл проходив би через три точки, тобто всі окружності б збігалися.
Зауважимо також, що точки з координатами 0, а й
Якщо А лежить на Σ, то інших спільних точок у пучка таких кіл немає. Дійсно, якби була ще одна точка, не лежить на Σ, то згідно теореми була б до того ж загальною і не збігається з нею крапка, не лежить на колі, тобто не збігається з А. Тоді у кіл три загальних точки і вони всі співпадуть, що неможливо. Якщо ж ще одна спільна точка
Так як
Також зауважимо, що і в цьому випадку квадрат відстані від точки А до центру кола дорівнює квадрату радіуса даної окружності.
Тепер стає природним наступне визначення:
Визначення 4. Точка А називається симетричною точці В відносно кола Σ, якщо кожна коло, що проходить через А і перпендикулярна Σ, проходить через точку В.
Для кожної точки А існує тільки одна їй симетрична. Причому, очевидно, що якщо А лежить на Σ, то в неї немає відмінних від неї симетричних точок, вона симетрична сама собі. Також очевидно, що якщо А збігається з центром кола симетрії, то в неї немає симетричної їй точки.
Ще зрозуміло, що твір відстаней від центру даної окружності до симетричних точок дорівнює квадрату радіуса цієї окружності.
Якщо точка А симетрична точці В відносно кола Σ, то і точка В симетрична точці А відносно кола Σ. Це дозволяє говорити про точки, симетричних відносно кола. Сукупність усіх точок, симетричних точках деякої фігури F відносно кола Σ, утворює фігуру F ', симетричну фігуру F відносно кола Σ.
Симетрія відносно прямої є граничним випадком симетрії відносно кола, так як пряму можна розглядати як окружність нескінченного радіуса.
Симетрія відносно кола називається також інверсією; в цьому випадку коло, щодо якої здійснюється симетрія, називається колом інверсії, центр цього кола - центром інверсії, а квадрат її радіуса - ступенем інверсії.
Інверсію можна ще знайти й так:
Визначення 5. Інверсією площині з центром в точці S і ступенем інверсії k називається перетворення, яке всяку точку М площині, відмінну від S, відображає в таку точку М ', що точка М' лежить на промені SM і твір
Доведемо равносильность визначень 4 і 5.
4Þ5. Згадаймо, що при доведенні теореми 2 і далі в міркуваннях ми прийшли до факту, що симетричні відносно кола точки лежать на одній прямій із центром кола Σ і по один бік від нього, причому добуток їхніх відстаней до центру цієї окружності одно постійному дійсному числу - квадрату радіусу кола. Це було показано для кожної точки, відмінної від центру кола.
5Þ4. Проведемо коло з центром в точці S і радіусом
Щоб це було дійсно перетворення, допускають, що точка S відображається в нескінченно віддалену точку, і навпаки (в даному випадку нам зручніше мислити нескінченно віддалену область як одну точку).
Визначення 5 менш геометрично, ніж попереднє, але має перевагу більшої простоти. Виходячи з цього визначення, інверсію іноді ще називають перетворенням зворотних радіусів. З цим визначенням пов'язано також назву «інверсія» (від латинського слова inversio - звернення).
Очевидно, слова «точка М 'лежить на промені SM і твір
Взагалі, говорячи про інверсії, мають на увазі звичайно інверсію з позитивною ступенем. Якщо знак ступеня інверсії може бути будь-яким, то таке перетворення називають узагальненої інверсією. Його визначення буде таким.
Це перетворення інволютивно, оскільки точки М і М 'входять у формулу
1.3. Формула інверсії в комплексно спряжених координатах. Знайдемо формулу узагальненої інверсії при завданні точок комплексними числами. Нехай точкам S, M і М 'відповідають комплексні числа s, z і z'.
За формулою скалярного добутку векторів
Отже, узагальнена інверсія має формулу
Але всяке чи перетворення площині, заданий формулою
Значить, всяке перетворення площини, що задається формулою
1.4. Нерухомі точки і окружність інверсії. Досліджуємо рівняння інверсії на нерухомі точки: для них має виконуватися рівність
Очевидно, що якщо
Якщо ступінь інверсії негативна, то перетворення не має нерухомих точок (оскільки неможливо зобразити на площині, навіть комплексної, точки, координати яких задовольняють рівності
Так як
1.5. Образи прямих і кіл при узагальненої інверсії. Без обмеження спільності міркувань можна прийняти
Нехай задана пряма l з рівнянням
Якщо q = 0, то отримуємо рівняння
Отже, пряма, яка містить центр інверсії, відображається при цій інверсії в себе; пряма, що не містить центр інверсії, відображається в коло, що проходить через нього. Оскільки інверсія інволютивно, то коло, що містить центр інверсії, відображається в пряму, що не містить його.
Візьмемо тепер окружність
Отже, коло, не проходить через центр інверсії, переходить у коло, також не проходить через центр інверсії.
Зокрема, якщо центр інверсії збігається з центром кола, то
Цікаво, що центр інверсії є одночасно і центром гомотетии, що переводить одне коло в іншу. Для нашого випадку гомотетія буде мати рівняння
Тепер стає ясно, що кожну окружність можна за допомогою слушно обраної інверсії перевести в іншу дану окружність або пряму. Доведемо це.
Нехай дано дві окружності дійсного радіусу. Розглянемо спочатку випадок, коли їх радіуси не рівні.
Ми вже показали, що центри кіл і центр інверсії повинні лежати на одній прямій. Зрозуміло, що центр інверсії не лежить на даних колах.
Точки, що лежать на прямій центрів, переходять у точки, що лежать на тій же прямій. Тому можуть бути два порядки точок:
a 1 |
а 2 |
-1 |
1 |
0 |
Покажемо, що існує інверсія для першого випадку.
Хай крапки перетину другого кола з дійсною віссю мають координати а 1 і а 2. Тоді при інверсії а 1 переходить в -1, а а 2 - в 1. Тоді можна записати, що
З першого рівняння
З другої умови отримуємо
Крапка з координатою а 2 лежить на дійсній осі правіше точки з координатою а 1, тому для визначення знака міри треба знати знак твори
Ступінь інверсії буде позитивна у двох випадках: або
Розглянемо другий випадок. Тоді при інверсії а 1 переходить в 1, а а 2 - в -1. Можна записати, що
Аналогічно, може виявитися, що це не є рішенням. Рішенням це буде в точності тоді, якщо співпадуть значення k з обох рівнянь.
З першого рівняння
Знак мірою визначається знаком твори
Отже, коли радіуси кіл не рівні, одну в іншу можна перевести рівно двома інверсіями, причому одна з них з позитивною ступенем, а інша - з негативною.
Якщо ж радіуси кіл рівні, то всі викладки будуть мати місце, але набагато спростяться. Для першого випадку отримаємо з рівності
Для другого ж випадку отримуємо вірне рівність
Можна зробити висновок, що якщо радіуси кіл рівні, то одну в іншу можна перевести рівно однією інверсією з позитивною ступенем. У принципі, цього слід було очікувати: у двох кіл рівного радіусу тільки один центр гомотетии.
Покажемо тепер, що існує інверсія, яка переводить пряму l в коло дійсного радіуса, і назад. Ясно, що ця окружність проходить через центр інверсії, а пряма немає. Ми вже показали, що центр інверсії лежить на прямій m, що проходить через центр нашої кола перпендикулярно l. Значить, він може бути тільки в одній з точок перетину кола з прямою m.
Введемо систему координат так, що початок координат знаходиться в центрі кола, а пряма m збігається з дійсною віссю.
l |
m |
0 |
Друга інверсія переведе окружність у пряму з рівнянням
Можуть вийти наступні випадки:
1)
2)
3)
4)
5)
Можна зробити висновок, що якщо пряма не має спільних точок з окружністю, то одну в іншу можна перевести рівно двома інверсіями, причому одна з них з позитивною ступенем, а інша з негативною. Якщо пряма стосується кола, то одну в іншу можна перевести тільки однієї інверсією з позитивною ступенем. Якщо пряма, окружність перетинаються, то одну в іншу можна перевести двома інверсіями з позитивними ступенями.
Дві ж різні прямі ніколи не можуть бути переведені один в одного інверсією.
1.6. Властивості узагальненої інверсії. [2]
1є. При узагальненої інверсії з центром О і ступенем k внутрішні точки окружності Σ (О,
□ Для центру інверсії і нескінченно віддаленої області це очевидно. Для інших точок при інверсії з позитивною ступенем це було доведено вище, в теоремі 2. А так як інверсію з негативною ступенем можна представити як комутативними композицію інверсії з позитивною ступенем і центральної симетрії з центром у початку інверсії, то й для неї все очевидно. ■
2є. Перетворення площини, що представляє собою послідовно виконану двічі одну й ту ж інверсію, є тотожне перетворення
□ Слід з інволютивними перетворення інверсії. ■
3є. Дві фігури, інверсні третій фігурі стосовно одного й того ж центру О, гомотетічни.
□ Дійсно, нехай М - точка фігури F, М 1 і М 2 - точки, що відповідають їй у двох інверсіях із загальним центром О і коефіцієнтами k 1 і k 2. Без обмеження спільності міркувань можна розглянути інверсію з центром у початку координат. Тоді, якщо точки М, М 1 і М 2 будуть мати координати m, m 1 і m 2 відповідно, то
Ми бачимо, що вибір ступеня інверсії не впливає на форму отриманих фігур. Ця форма змінюється тільки при зміні центру інверсії.
4є. Залежність відстані між образами A 'і B' двох точок А і В від відстані між цими точками при інверсії з центром S і ступенем k виражається у формулі
□ Інверсія задається формулою
5є. Інверсія зберігає величину кута між колами, а також між окружністю і прямий, між двома прямими, але змінює його орієнтацію на протилежну.
□ Нехай задані два кола (пряма і коло, дві прямі), одна з яких проходить через точки A, B, C, а інша - через точки A, B, D. Беремо точки «хороші», тобто серед них немає нескінченно віддаленої та нульовою, так як ми будемо брати інверсію з центром в нулі. Якщо задані дві прямі, вважаємо А = В. Якщо A ', B', C ', D' - образи цих точок при інверсії
Згідно геометричному змістом аргументу подвійного відносини, він дорівнює орієнтованому кутку між колами (прямий і колом, двома прямими) ABC і ABD, але
Наслідок 1. Інверсія зберігає подвійне ставлення відстаней між точками, кожна з яких не збігається з центром інверсії і з нескінченно віддаленою точкою.
□ Зауважимо, що
Для інших наборів точок це твердження, взагалі кажучи, невірно. Наприклад, будемо припускати, що всі чотири точки різні. Якщо центр інверсії збігається, скажімо, з точкою А, то, при нерівності інших точок нескінченно віддаленої, отримуємо відношення
Наслідок 2. Дві точки та їх образи при інверсії лежать на одному колі або одній прямій.
□ Не обмежуючи спільності міркувань, розглянемо інверсію
Щоб вони лежали на прямій, потрібно зажадати, щоб точки А і В були колінеарні з центром інверсії, причому кожна з точок навіть може співпадати з центром інверсії або нескінченно віддаленою точкою. ■
Слідство 3. Що стосуються кола або стосуються коло і пряма переходять при інверсії в стосуються кола або стосуються коло і пряму, якщо тільки точка торкання не збігається з центром інверсії, інакше вони переходять в паралельні прямі.
□ Кут між стосуються окружністю і прямої або стосуються колами дорівнює 0?. Якщо точка торкання не збігається з центром інверсії, то окружності переходять у два кола, якщо центр інверсії не на одній з кіл, у противному випадку в коло і пряму. Кут зберігається, значить, все вірно.
Якщо ж точка дотику збігається з центром інверсії, то коло переходить у пряму, не проходить через центр інверсії, а пряма переходить сама в себе. Кут між прямими зберігається і дорівнює 0?, Тобто вони дійсно паралельні. ■
Визначення 7. Пряма називається дотичною до кривої в точці М 0, якщо для довільної точки кривої М відстань від М до прямої прямує до нуля швидше, ніж від М до М 0, коли M ® М 0, тобто
Визначення 8. Окружність називається дотичною до кривої в точці М 0, якщо дотична до кола в цій точці є і дотичної до кривої в цій точці.
Визначення 9. Кутом між двома кривими в їх спільної точки називається кут між дотичними до цих кривих у розглянутій точці.
Якщо криві не мають спільних точок, або хоча б одна з них не має дотичній в загальній точці, то кут між кривими не визначений.
Очевидно, що кут між двома кривими в їх спільної точки також можна визначити як кут між дотичними колами (дотичного окружністю і прямої) до цих кривим в розглянутій точці.
Визначення 10. Будь-яке перетворення, при якому зберігаються кути між кривими, називається конформним перетворенням.
Слідство 4. Інверсія є конформне перетворення.
□ Лема. Нехай дана коло з центром s і крапка m 0 на ній. Тоді пряма, що проходить через цю точку і що стосується даної окружності, буде мати рівняння
○ Бажаєма дотична перпендикулярна прямій, що проходить через s і m 0, і сама проходить через m 0.
Перенесемо центр координат в точку m 0, тобто застосуємо паралельний перенос, який буде мати рівняння
Нехай нам дані криві g і n, що мають спільну точку з координатою m 0, і нехай кожна з них має дотичну в цій точці - l і p відповідно. Нехай при деякій інверсії криві g і n перейдуть в криві g 'і n', прямі l і p - у прямі або кола l 'і p'. Всі фігури будуть проходити через точку з координатою m '0. Кут між останніми, по властивості 5, збережеться, тому що залишається показати, що вони будуть дотичними до кривих g 'і n' в точці з координатою m '0.
Отже, для доказу досить показати, що якщо дана крива g і дотична l до неї в точці з координатою m 0, то l 'буде також дотичній до g' в точці з координатою m '0.
Пряма l буде дотичною до кривої в точці М 0 при
Виконаємо інверсію I, нехай її ступінь дорівнює k, а центр s не в точці М 0. Помістимо початок координат у s, і рівняння інверсії буде
Зауважимо, що за умовою виконується
Якщо l '- коло, то дотична до неї у точці М 0' буде, по лемі, мати рівняння
Покажемо, що вона буде дотичній і до g 'в точці М 0', тобто
З властивості 4 маємо:
Тоді
За відомим нерівностям
Розглянутий межа
Але ми брали m 0 дійсним числом, тому
Якщо l '- пряма, то її рівняння співпаде з прообразом:
Ми прийшли до висновку, що коли центр інверсії не лежить в даній точці, то кут між кривими зберігається.
Якщо ж узяти центр інверсії в точці М 0, то остання відобразиться в нескінченно віддалену область. Дотичні l і p перейдуть самі в себе і за угодою про нескінченно віддаленої області будуть стосуватися кривих g 'і c' у невласне точці М '0. Можна визначити кут між ними в невласне точці як наявний кут між ними. ■
Слідство 5. Парне число інверсій не міняє кута між кривими, непарне число міняє напрям кута на протилежне.
6Є. Кожні дві окружності або пряму і окружність можна за допомогою інверсії перевести у дві прямі (пересічні або паралельні) або у дві концентричні кола.
□ Якщо дані кола або коло і пряма стосуються, то при центрі інверсії в точці дотику переходять у дві паралельні прямі (наслідок 4).
Нехай дано дві не стосуються кола дійсного радіусу. Якщо вони перетинаються, то, взявши за центр інверсії одну з точок перетину, отримаємо дві пересічні прямі (вони будуть перетинатися за образом другої точки перетину).
Нехай окружності не перетинаються. Якщо вони вже концентричні, то існує дві інверсії, що переводять їх одна в іншу. Якщо ж вони не концентричні, то в дві прямі вони перейти не можуть, так як тоді центр інверсії повинен розташовуватися одночасно на обох, що неможливо. Спробуємо їх перевести у дві концентричні кола.
a 1 |
а 2 |
-1 |
1 |
0 |
Центр інверсії лежить також на дійсній осі. Дійсно, центр інверсії, центр образу першого кола і центр її ж лежать на одній прямій. Але тоді центр другої кола лежить там же. А центри обох кіл належать дійсної осі.
Нехай координати перетину другого кола з дійсною віссю рівні а 1 і а 2, у першої окружності це будуть точки з координатами -1 і 1. Нехай на осі дана точка О з координатою s. Тоді при інверсії з центром в точці О і ступенем k будуть виконуватися рівності:
Отримані кола концентричні, якщо
1 |
a |
Введемо систему координат таким чином, що пряма буде уявної віссю, а центр кола лежить на дійсній осі і координата однією з точок перетину кола в віссю дорівнює 1, а друга точка перетину має позитивну координату а.
Візьмемо точку на дійсній осі, що не належить даній прямій та кола, нехай її координата дорівнює s. Проведемо інверсію з центром в цій точці і ступенем k. Якщо вона переведе фігури в концентричні кола, то аналогічно це тільки тоді, коли виконується рівність
Якщо ж пряма і коло перетинаються, то, взявши за центр інверсії одну з точок перетину, отримаємо дві прямі. Вони будуть перетинатися в образі другої точки перетину. ■
7є. При інверсії з центром s I і ступенем k коло з центром s радіуса r, не збігається з колом інверсії (якщо ступінь позитивна), відображається в себе тоді і тільки тоді, коли виконується рівність
□ Перенесемо початок координат у центр інверсії паралельним перенесенням
Нас цікавить тільки друга умова сукупності. До речі, воно при
При переході до вихідних координатах отримуємо
Глава 2
Застосування інверсії при вирішенні завдань і доказі теорем
2.1. Застосування інверсії при вирішенні задач на побудову. Метод інверсії дає можливість вирішити ряд найбільш важких конструктивних завдань елементарної геометрії. При цьому його комбінація з методом координат, що фактично відбувається при спробі вирішувати завдання на комплексній площині, дає найбільш точні обчислення місцезнаходження потрібних фігур, що є явним плюсом методу в порівнянні з досить неточними побудовами від руки. Недоліком же цього методу є його громіздкість, пов'язана з необхідністю виконати велике число досить об'ємних обчислень. Але треба сказати, що для комп'ютера це не є труднощами, і перед користувачем постає лише проблема перекладу алгоритму розв'язання задачі на мову програмування.
Завдання на побудову, які вирішуються методом інверсії, Александров [2] ділив на три групи.
Перша група. У завданнях цього роду зворотні криві грають роль геометричних місць. Центр і ступінь інверсії в цьому випадку відомі.
Завдання 1. Дано точка К і дві прямі АВ і ВС. Провести січну KXY так, щоб
○ Шукані точки X і Y інверсний один одному при інверсії з центром у точці К і ступенем з 2. Точка Y є перетин прямої ВА з кривою, зворотної НД Це буде коло, що проходить через центр інверсії, тобто через точку К. Знайдемо її рівняння.
Пересунемо систему координат таким чином, що точка К є початком координат (це буде паралельний перенесення на вектор ОК з формулою
Образ прямий ЗС при інверсії буде
Обчисливши коріння першого рівняння, підставляємо їх в друге. Якщо підійдуть, це рішення. Таким чином, може бути 2, 1 або 0 рішень.
Щоб перевести координату Y у вихідну систему координат, додаємо до отриманої координаті справжню координату До.
Тепер по двох точках - Y і К - пишемо рівняння шуканої прямої:
Друга група. У завдання цієї групи інвертується деяка частина шуканої фігури (відрізок, точка або коло); при цьому теорія інверсії, іноді в поєднанні з іншими методами, часто вкаже таку залежність початку інверсії від даних і шуканих, яка дозволяє вирішити задачу. Початок і ступінь інверсії дано або повинні бути доцільно вибрані. У виборі початку, ступеня, числа інверсій іноді зустрічаються труднощі.
Кращим прикладом завдань цього роду є, на думку Александрова, приватний випадок завдання Кастільоне (Castillon), розібраний нижче.
Завдання 2. До цієї окружність вписати трикутник так, щоб прямі, що містять його боку, проходили б відповідно через дані три точки.
○ Коли всі три точки лежать на даній кола, то рішення очевидно: досить просто з'єднати ці точки і отримаємо шуканий трикутник. Рішення єдино, тому що трикутник своїми вершинами визначається однозначно.
Якщо дві з трьох даних точок лежать на колі і не колінеарні з третьою, то рішення також очевидно. Якщо третя точка лежить всередині кола, то будь-яка пряма, що проходить через неї перетинає коло в двох точках. Було б чудово, якби вона перетинала окружність в одній з даних точок. Це можна влаштувати двома способами, і рішень теж два.
Якщо третя точка лежить поза кола, тобто рівно один випадок, при якому задача не має рішення - якщо обидві проведені прямі є дотичними. Тобто може бути два, одне або жодного рішення.
Якщо тільки одна точка лежить на даній кола, то рішень також у кращому випадку два. Проведемо пряму через точку на колі і крапку не на колі. Отримаємо одну сторону трикутника. Тепер проведемо пряму через другу точку не на колі і точку перетину отриманої прямої, яка не співпадає з даною, якщо вона є. Отримаємо другу сторону трикутника. Третя сторона виходить автоматично.
Так можна зробити з кожної з двох точок не на колі, і рішень буде два, якщо в якомусь чи в обох випадках не вийде, що перша або друга проведена пряма виявиться дотичній.
Розглянемо випадок, коли три дані точки не лежать на даній окружності.
Нехай ABC - шуканий трикутник, сторони АВ, ВС і СА якого проходять через три задані точки М 1, М 2 і М 3 з координатами m 1, m 2 і m 3 відповідно, і вписаний він в коло w з центром S (s) і радіусом r.
Помістимо початок координат у центр кола w за допомогою паралельного перенесення
Зауважимо, що положення точки А визначає весь трикутник, оскільки пряма Am 1 в перетині з окружністю дає точку В, потім пряма Bm 2 в перетині з окружністю дає точку С.
Виконаємо інверсію I 1 з центром в точці М 1 і ступенем
Потім здійснимо інверсію I 2 з центром в точці М 2 і ступенем 
Нарешті, застосуємо інверсію I з центром в точці S (0) і ступенем
Таким чином, композиція інверсій
переводить окружність w і точку А самих в себе.
1) Нехай Σ - коло або пряма, що проходить через точку А. Позначимо
- Це нам знадобиться нижче.
Щоб Σ перейшла в пряму Σ ', необхідно, щоб
проходила через S, тобто Σ проходила через 
Висновок: Σ '- пряма Û
2) Тепер аналогічно попрацюємо з Σ '- прямий або колом, очевидно, що проходить через А. Як ми вже з'ясували,
, І Σ, по допущенню, проходить через А. Щоб Σ 'перейшла при композиції інверсій 
в пряму Σ, необхідно, щоб 
Висновок: Σ - пряма Û
Тепер розглянемо пряму AS '. По першому висновку,
буде пряма. З іншого боку, раз AS '- пряма, то, за другого висновку, 
буде проходити через М '. Тоді маємо, що 
Кут, утворений прямий AM 'з окружністю w в результаті 4 послідовних інверсій не зміниться ні за величиною, ні за спрямуванням (по слідству 5). Звідси випливає, що прямі AS 'і AM', що утворюють у точці А однаковий кут з даною окружністю, співпадуть. І крапка А може бути знайдена як перетин прямої S 'M' з окружністю w. Залежно від взаємного положення цієї прямої та кола, завдання може мати два, одне або жодного рішення.
Може вийти, що точки S 'і M' співпадуть. Це відбувається або при
Звідси алгоритм рішення:
1. Переносимо початок координат в точку S (s). Це паралельний перенос. Відповідно, вираховуємо нові координати точок m 1, m 2 і m 3 за формулою
2. Знаходимо координати точок
3. Три рази заходимо в процедуру розв'язання системи
4. Переводимо отримані координати в вихідну систему координат:
Третя група. Будь-яка задача на побудову дає деяку фігуру, причому деякі елементи цієї фігури невідомі. Інвертуємо цю фігуру. Тоді дані шукані відобразяться відомим чином, і часто може трапитися, що залежність даних і шуканих в відображеної фігурі набагато простіше, ніж в основній фігурі. Тоді треба побудувати відображену фігуру. Потім інвертувати її назад з тим же центром і ступенем. У цьому й полягає головна ідея методу інверсії. Розумний вибір початку інверсії грає істотну роль: обчислення можна сильно скоротити. Ступінь інверсії в цьому випадку звичайно буває довільною.
Класичним прикладом завдань цього типу можна назвати завдання Аполлонія.
Завдання Аполлонія. Побудувати коло, що стосується трьох даних кіл.
○ Нехай дано три кола:
і 
Припустимо, що ми вже побудували потрібну окружність
Таблиця 1. Характер торкання з шуканої окружністю w.
Якщо у нас є дві стосуються кола, то виконаємо інверсію з центром у точці дотику, ці дві окружності перейдуть у паралельні прямі, і завдання зведеться до більш простої: побудувати коло або пряму, складову з виходять паралельними прямими і ще одній прямій або колом кут в 180 °.
Якщо ж ні стосуються кіл, то застосуємо так званий метод розширення. Ми можемо змінювати наші колу так, щоб центри їх завжди залишалися постійними, а радіуси змінювалися, аж до нульового, і торкання шуканої окружності з даними зберігався (можливо, виродившись в прінадлежаніе точки окружності). Причому зробимо так, щоб дві з кіл стосувалися.
Якщо у нас всі кола одна в іншій, як матрьошки, то рішень, очевидно, немає. Розглянемо протилежний випадок, коли є хоча б два кола не одна в іншій. Для визначеності, нехай це перша і друга. Вони можуть бути тільки або пересічними, або поза один одного.
Зробимо їх стосуються наступним чином.
Таблиця 2. Нові радіуси для кіл одна поза інший, щоб стосувалися.
Таблиця 3. Нові радіуси для пересічних кіл, щоб стосувалися.
Об'єднаймо все це в нову таблицю, не враховуючи вид торкання.
Таблиця 4. Підсумки.
Отже, перша і друга кола стали стосуватися. Подивимося, чи може одна з них виродитися в точку.
У першому випадку х негативний, якщо кола перетинаються, але виродження неможливо, так як це означало б дотик початкових окружностей внутрішнім чином. А третя окружність може виродитися.
У другому випадку r 2 точно не нуль, так як кола не стосуються зовнішнім чином, і радіус першого явно позитивне число. Але третя може виродитися.
У третьому випадку все аналогічно. Третя ж коло може виродитися.
Можна зробити висновок, що стосуються кола не вироджуються.
Звернемо увагу, що шукана окружність теж може виродитися у загальну точку всіх трьох кіл - точку дотику перших двох. Але третя не буде торкатися їх в цій точці і не виродиться, інакше окружності б спочатку були стосуються. Тобто, у випадку виходять трьох прямих, потрібно враховувати і загальну точку.
Взагалі, завдання звелася до наступної. Знайти коло, що стосується трьох даних, якщо дві з них стосуються і не вироджені, а третя може бути виродженою.
Виконаємо інверсію в точці дотику. Що стосуються кола перейдуть у дві паралельні прямі, а решта - в коло (точку) або пряму. Потрібно знайти пряму або коло, паралельну получающимся прямим чи стосується получающейся кола (що проходить через крапку). Причому шукана коло або пряма не повинна проходити через точку дотику, інакше вона при інверсії перейде в пряму, а не коло.
Для початку шукаємо коло, що стосується двох паралельних прямих і ще одній прямій або кола. Шукана коло не повинна проходити через А. Це допоміжна задача 1.
Потім шукаємо пряму, паралельну двом паралельним прямим і ще одній прямій або що стосується заданої окружності. Шукана пряма не повинна проходити через А. Але не забуваємо й про загальну точці трьох прямих - нескінченно віддаленої, яка при інверсії перейде в центр інверсії і потім, можливо, стане центром шуканої окружності. Це допоміжна завдання 2.
Допоміжна завдання 1. Дано дві паралельні прямі і коло, можливо вироджена, або пряма. Знайти стосується всіх трьох фігур коло.
○ Нехай задані дві паралельні прямі
Якщо задана ще одна пряма
Якщо знайдено центр, то радіус кола знаходиться як відстань від прямої
Пам'ятаємо, що якщо ми змінювали радіуси, то рішенням є і нескінченно віддалена точка, тобто коло з центром в нескінченно віддаленій точці і нульовим радіусом.
Якщо задана коло або точка
Допоміжна завдання 2. Дано дві паралельні прямі і коло, можливо вироджена, або пряма. Знайти стосується всіх трьох фігур пряму.
○ Нехай задані дві паралельні прямі
Якщо дана ще окружність
Якщо дана пряма, то якщо вона не паралельна двом іншим, то рішень немає. Інакше рішень нескінченно багато, тільки потрібно стежити, щоб прямі не збіглися. ●
Алгоритм розв'язання задачі Аполлонія може бути таким:
1. Якщо все колу розташовані одна в іншій, як матрьошки (при одночасному виконанні умов [3]
2. Визначаємо дві окружності не одна в іншій (для них не виконується нерівність
3. Змінюємо радіуси, роблячи торкання; визначаємо точку дотику (її координата буде дорівнює
4. Перевіряємо результати на дотик. ●
2.2. Застосування інверсії при доказі. Тут знову використовується той факт, що залежність даних і шуканих в відображеної фігурі часто набагато простіше, ніж в основній фігурі. Чудово, якщо в задачі фігурує окружність: метод дає можливість замінювати фігури, що містять окружності, більш простими фігурами.
Теорема Птолемея. Для будь-якого чотирикутника ABCD, вписаного в коло, вірно
□ Хай крапки A, B, C, D мають координати a, b, c, d відповідно.
Приймемо А за центр інверсії, і нехай ступінь інверсії дорівнює 1. При цьому коло переходить у пряму. На цій прямій лежать образи точок B, C, D - точки B ', C ', D ', причому порядок точок зберігається, оскільки по слід 5 зберігається подвійне ставлення точок В, В, С, D, а це є просте відношення трьох точок В, С, D. По властивості 3 можна записати:
З-за збереження порядку точок вірно
Зворотній теорема. Якщо для чотирьох неколінеарних точок A, B, C, D вірно
□ Рівність
Якщо це пряма, то вона та ж сама, і центр інверсії на ній. Тобто всі точки лежать на одній прямій. Протиріччя умові теореми. Значить, це була не пряма, а коло. На ній лежать точки B, C, D. Але раз пряма переводиться в коло, то центр інверсії, тобто точка А, розташований на цій окружності. ■
З цієї теореми випливає теорема Піфагора, якщо чотирикутник є прямокутником.
Висновок
Необхідно відразу обмовитися, що робота не може претендувати на абсолютну повноту викладу даної теми. Однак цілі, поставлені на початку роботи, досягнуто. Виявлено та систематизовано основні визначення і факти, розглянуті основні види завдань, що вирішуються за допомогою перетворення інверсії.
Цікаво було б розглянути симетрію щодо взагалі будь плоскої кривої, але це вже тема для окремого дослідження.
Дипломна робота може бути корисна студентам і вчителям, провідним факультативні заняття по даній темі. Робота легко може бути перетворена у відповідну курсову або дипломну роботу з інформатики, оскільки необхідні алгоритми розв'язання задач вже дані, залишається тільки реалізувати їх на потрібній мові програмування.
Бібліографічний список
1. Адамар, Ж. Елементарна геометрія [Електронний ресурс]: посібник для вищих педагогічних навчальних закладів та викладачів середньої школи. У 2 ч. Ч. 1. Планіметрія / акад. Ж. Адамара; пер. з 2 видання під ред. проф. Д. І. Перепьолкіна. - Вид. 3-є. - М.: Учпедгиз, 1948. - 608 с. Режим доступу: http://www.mccme.ru.
2. Александров, І. І. Збірник геометричних задач на побудову [Електронний ресурс] / І. І. Александров; під ред. Н. М. Наумович. - Вид. 18-е. - М.: Учпедгиз, 1950. - 176 с. Режим доступу: http://www.mccme.ru.
3. Понарін, Я. П. Алгебра комплексних чисел в геометричних задачах [Текст]: Книга для учнів математичних класів шкіл, вчителів та студентів педагогічних вузів / Я. П. Понарін. - М.: МЦНМО, 2004. - 160 с.: Іл. - ISBN 5-94057-152-2.
4. Прасолов, В. В. Завдання по планіметрії. [Електронний ресурс] / В. В. Прасолов. - На основі 4-го вид. (М. МЦНМО, 2001) - М., 2003. - 551 с.: Іл. Режим доступу: http://www.mccme.ru.
5. Яглом, І. М. Геометричні перетворення [Електронний ресурс]. У 2 ч. Ч. 2. Лінійні та кругові перетворення / І. М. Яглом. - М.: Держ. вид-во техніко-теорет. літ-ри, 1956. - 612 с. - (Серія «Бібліотека математичного гуртка»; вип. 8). Режим доступу: http://www.mccme.ru.
Нарешті, застосуємо інверсію I з центром в точці S (0) і ступенем
Таким чином, композиція інверсій
1) Нехай Σ - коло або пряма, що проходить через точку А. Позначимо
Щоб Σ перейшла в пряму Σ ', необхідно, щоб
Висновок: Σ '- пряма Û
2) Тепер аналогічно попрацюємо з Σ '- прямий або колом, очевидно, що проходить через А. Як ми вже з'ясували,
Висновок: Σ - пряма Û
Тепер розглянемо пряму AS '. По першому висновку,
Кут, утворений прямий AM 'з окружністю w в результаті 4 послідовних інверсій не зміниться ні за величиною, ні за спрямуванням (по слідству 5). Звідси випливає, що прямі AS 'і AM', що утворюють у точці А однаковий кут з даною окружністю, співпадуть. І крапка А може бути знайдена як перетин прямої S 'M' з окружністю w. Залежно від взаємного положення цієї прямої та кола, завдання може мати два, одне або жодного рішення.
Може вийти, що точки S 'і M' співпадуть. Це відбувається або при
Звідси алгоритм рішення:
1. Переносимо початок координат в точку S (s). Це паралельний перенос. Відповідно, вираховуємо нові координати точок m 1, m 2 і m 3 за формулою
2. Знаходимо координати точок
3. Три рази заходимо в процедуру розв'язання системи
4. Переводимо отримані координати в вихідну систему координат:
Третя група. Будь-яка задача на побудову дає деяку фігуру, причому деякі елементи цієї фігури невідомі. Інвертуємо цю фігуру. Тоді дані шукані відобразяться відомим чином, і часто може трапитися, що залежність даних і шуканих в відображеної фігурі набагато простіше, ніж в основній фігурі. Тоді треба побудувати відображену фігуру. Потім інвертувати її назад з тим же центром і ступенем. У цьому й полягає головна ідея методу інверсії. Розумний вибір початку інверсії грає істотну роль: обчислення можна сильно скоротити. Ступінь інверсії в цьому випадку звичайно буває довільною.
Класичним прикладом завдань цього типу можна назвати завдання Аполлонія.
Завдання Аполлонія. Побудувати коло, що стосується трьох даних кіл.
○ Нехай дано три кола:
Припустимо, що ми вже побудували потрібну окружність
Таблиця 1. Характер торкання з шуканої окружністю w.
| № | S 1 | S 2 | S 3 |
| 1 | зовнішнє | зовнішнє | зовнішнє |
| 2 | внутрішнє | зовнішнє | зовнішнє |
| 3 | зовнішнє | внутрішнє | зовнішнє |
| 4 | внутрішнє | внутрішнє | зовнішнє |
| 5 | зовнішнє | зовнішнє | внутрішнє |
| 6 | внутрішнє | зовнішнє | внутрішнє |
| 7 | зовнішнє | внутрішнє | внутрішнє |
| 8 | внутрішнє | внутрішнє | внутрішнє |
Якщо ж ні стосуються кіл, то застосуємо так званий метод розширення. Ми можемо змінювати наші колу так, щоб центри їх завжди залишалися постійними, а радіуси змінювалися, аж до нульового, і торкання шуканої окружності з даними зберігався (можливо, виродившись в прінадлежаніе точки окружності). Причому зробимо так, щоб дві з кіл стосувалися.
Якщо у нас всі кола одна в іншій, як матрьошки, то рішень, очевидно, немає. Розглянемо протилежний випадок, коли є хоча б два кола не одна в іншій. Для визначеності, нехай це перша і друга. Вони можуть бути тільки або пересічними, або поза один одного.
Зробимо їх стосуються наступним чином.
Таблиця 2. Нові радіуси для кіл одна поза інший, щоб стосувалися.
| Змінений r 1 | Змінений r 2 | Змінений r 3 | Змінений r w | x | торкання |
| 1, 5 | |||||
| 2, 6 | |||||
| 3, 7 | |||||
| 4, 8 |
| Змінений r 1 | Змінений r 2 | Змінений r 3 | Змінений r w | x | торкання |
| 1, 5 | |||||
| 2, 6 | |||||
| 3, 7 | |||||
| 4, 8 |
Таблиця 4. Підсумки.
| Змінений r 1 | Змінений r 2 | Змінений r 3 | Змінений r w | x |
У першому випадку х негативний, якщо кола перетинаються, але виродження неможливо, так як це означало б дотик початкових окружностей внутрішнім чином. А третя окружність може виродитися.
У другому випадку r 2 точно не нуль, так як кола не стосуються зовнішнім чином, і радіус першого явно позитивне число. Але третя може виродитися.
У третьому випадку все аналогічно. Третя ж коло може виродитися.
Можна зробити висновок, що стосуються кола не вироджуються.
Звернемо увагу, що шукана окружність теж може виродитися у загальну точку всіх трьох кіл - точку дотику перших двох. Але третя не буде торкатися їх в цій точці і не виродиться, інакше окружності б спочатку були стосуються. Тобто, у випадку виходять трьох прямих, потрібно враховувати і загальну точку.
Взагалі, завдання звелася до наступної. Знайти коло, що стосується трьох даних, якщо дві з них стосуються і не вироджені, а третя може бути виродженою.
Виконаємо інверсію в точці дотику. Що стосуються кола перейдуть у дві паралельні прямі, а решта - в коло (точку) або пряму. Потрібно знайти пряму або коло, паралельну получающимся прямим чи стосується получающейся кола (що проходить через крапку). Причому шукана коло або пряма не повинна проходити через точку дотику, інакше вона при інверсії перейде в пряму, а не коло.
Для початку шукаємо коло, що стосується двох паралельних прямих і ще одній прямій або кола. Шукана коло не повинна проходити через А. Це допоміжна задача 1.
Потім шукаємо пряму, паралельну двом паралельним прямим і ще одній прямій або що стосується заданої окружності. Шукана пряма не повинна проходити через А. Але не забуваємо й про загальну точці трьох прямих - нескінченно віддаленої, яка при інверсії перейде в центр інверсії і потім, можливо, стане центром шуканої окружності. Це допоміжна завдання 2.
Допоміжна завдання 1. Дано дві паралельні прямі і коло, можливо вироджена, або пряма. Знайти стосується всіх трьох фігур коло.
○ Нехай задані дві паралельні прямі
Якщо задана ще одна пряма
Якщо знайдено центр, то радіус кола знаходиться як відстань від прямої
Пам'ятаємо, що якщо ми змінювали радіуси, то рішенням є і нескінченно віддалена точка, тобто коло з центром в нескінченно віддаленій точці і нульовим радіусом.
Якщо задана коло або точка
Допоміжна завдання 2. Дано дві паралельні прямі і коло, можливо вироджена, або пряма. Знайти стосується всіх трьох фігур пряму.
○ Нехай задані дві паралельні прямі
Якщо дана ще окружність
Якщо дана пряма, то якщо вона не паралельна двом іншим, то рішень немає. Інакше рішень нескінченно багато, тільки потрібно стежити, щоб прямі не збіглися. ●
Алгоритм розв'язання задачі Аполлонія може бути таким:
1. Якщо все колу розташовані одна в іншій, як матрьошки (при одночасному виконанні умов [3]
2. Визначаємо дві окружності не одна в іншій (для них не виконується нерівність
3. Змінюємо радіуси, роблячи торкання; визначаємо точку дотику (її координата буде дорівнює
4. Перевіряємо результати на дотик. ●
2.2. Застосування інверсії при доказі. Тут знову використовується той факт, що залежність даних і шуканих в відображеної фігурі часто набагато простіше, ніж в основній фігурі. Чудово, якщо в задачі фігурує окружність: метод дає можливість замінювати фігури, що містять окружності, більш простими фігурами.
Теорема Птолемея. Для будь-якого чотирикутника ABCD, вписаного в коло, вірно
□ Хай крапки A, B, C, D мають координати a, b, c, d відповідно.
Приймемо А за центр інверсії, і нехай ступінь інверсії дорівнює 1. При цьому коло переходить у пряму. На цій прямій лежать образи точок B, C, D - точки B ', C ', D ', причому порядок точок зберігається, оскільки по слід 5 зберігається подвійне ставлення точок В, В, С, D, а це є просте відношення трьох точок В, С, D. По властивості 3 можна записати:
З-за збереження порядку точок вірно
Зворотній теорема. Якщо для чотирьох неколінеарних точок A, B, C, D вірно
□ Рівність
Якщо це пряма, то вона та ж сама, і центр інверсії на ній. Тобто всі точки лежать на одній прямій. Протиріччя умові теореми. Значить, це була не пряма, а коло. На ній лежать точки B, C, D. Але раз пряма переводиться в коло, то центр інверсії, тобто точка А, розташований на цій окружності. ■
З цієї теореми випливає теорема Піфагора, якщо чотирикутник є прямокутником.
Висновок
Необхідно відразу обмовитися, що робота не може претендувати на абсолютну повноту викладу даної теми. Однак цілі, поставлені на початку роботи, досягнуто. Виявлено та систематизовано основні визначення і факти, розглянуті основні види завдань, що вирішуються за допомогою перетворення інверсії.
Цікаво було б розглянути симетрію щодо взагалі будь плоскої кривої, але це вже тема для окремого дослідження.
Дипломна робота може бути корисна студентам і вчителям, провідним факультативні заняття по даній темі. Робота легко може бути перетворена у відповідну курсову або дипломну роботу з інформатики, оскільки необхідні алгоритми розв'язання задач вже дані, залишається тільки реалізувати їх на потрібній мові програмування.
Бібліографічний список
1. Адамар, Ж. Елементарна геометрія [Електронний ресурс]: посібник для вищих педагогічних навчальних закладів та викладачів середньої школи. У 2 ч. Ч. 1. Планіметрія / акад. Ж. Адамара; пер. з 2 видання під ред. проф. Д. І. Перепьолкіна. - Вид. 3-є. - М.: Учпедгиз, 1948. - 608 с. Режим доступу: http://www.mccme.ru.
2. Александров, І. І. Збірник геометричних задач на побудову [Електронний ресурс] / І. І. Александров; під ред. Н. М. Наумович. - Вид. 18-е. - М.: Учпедгиз, 1950. - 176 с. Режим доступу: http://www.mccme.ru.
3. Понарін, Я. П. Алгебра комплексних чисел в геометричних задачах [Текст]: Книга для учнів математичних класів шкіл, вчителів та студентів педагогічних вузів / Я. П. Понарін. - М.: МЦНМО, 2004. - 160 с.: Іл. - ISBN 5-94057-152-2.
4. Прасолов, В. В. Завдання по планіметрії. [Електронний ресурс] / В. В. Прасолов. - На основі 4-го вид. (М. МЦНМО, 2001) - М., 2003. - 551 с.: Іл. Режим доступу: http://www.mccme.ru.
5. Яглом, І. М. Геометричні перетворення [Електронний ресурс]. У 2 ч. Ч. 2. Лінійні та кругові перетворення / І. М. Яглом. - М.: Держ. вид-во техніко-теорет. літ-ри, 1956. - 612 с. - (Серія «Бібліотека математичного гуртка»; вип. 8). Режим доступу: http://www.mccme.ru.
[1] Ідея цього пункту розглянута в [5].
[2] Ці властивості сформульовані у вигляді фактів і теорем у джерелах [1], [2], [3], [4], [5].
[3] Умови взаємного розташування кіл дано у джерелі [3] на с.88.