Федеральне агентство з освіти
Державне загальноосвітній заклад вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Аффінниє перетворення евклідової площини в сполучених комплексних координатах
Державне загальноосвітній заклад вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Аффінниє перетворення евклідової площини в сполучених комплексних координатах
Виконала:
студентка V курсу
математичного факультету
Куршакова О.В.
__________________
Науковий керівник:
кандидат фіз.-мат. наук,
професор кафедри алгебри і геометрії
Понарін Я.П.
__________________
Рецензент:
ст. викладач кафедри алгебри і геометрії
Суворов О.М.
__________________
студентка V курсу
математичного факультету
Куршакова О.В.
__________________
Науковий керівник:
кандидат фіз.-мат. наук,
професор кафедри алгебри і геометрії
Понарін Я.П.
__________________
Рецензент:
ст. викладач кафедри алгебри і геометрії
Суворов О.М.
__________________
Допущена до захисту в ГАК
Зав. кафедрою ________________ Вечтомов Є.М.
«» _______________
Декан факультету ______________ Варанкіна В.І.
«»_______________
Кіров 2005
Зміст
\ T "Заголовок 1; 2; Заголовок 2; 1" Передмова. 2
Глава i. Теорія афінних перетворень в сполучених комплексних координатах .. 3
§ 1. Визначення і формула аффинного перетворення в сполучених комплексних координатах 3
1.1. Визначення аффинного перетворення. 3
1.2. Формула аффинного перетворення. 3
§ 2. Рівняння образу прямий при афінному перетворенні. 4
§ 3. Формула зворотного перетворення. 5
§ 4. Основна теорема теорії афінних перетворень. 6
§ 5. Властивість площ трикутників. 7
§ 6. Рід аффинного перетворення. 8
6.1. Орієнтація плоских фігур. 8
6.2. Орієнтація пар векторів. 8
§ 7. Нерухомі точки і подвійні прямі афінних перетворень. 10
7.1. Нерухомі точки афінних перетворень. 10
7.2. Подвійні прямі афінних перетворень. 12
голова ii. Приватні види афінних перетворень в сполучених комплексних координатах .. 15
§ 1. Перетворення подібності. 15
§ 2. Перетворення спорідненості. 16
2.1. Поняття перетворення спорідненості. 16
2.2. Стиснення і його приватні види .. 18
2.3. Зрушення. 19
§ 3. Еліптичний поворот. 21
§ 4. Параболічний поворот. 24
§ 5. Представлення афінних перетворень композиціями їх приватних видів. 25
Бібліографічний список. 28
Теорія афінних перетворень вперше була розглянута Дарбу. У даній роботі ця теорія викладена методом комплексних чисел.
У роботі розглянута загальна теорія для всіх афінних перетворень евклідової площини в сполучених комплексних координатах, а також такі приватні види афінних перетворень, як подоба, спорідненість, еліптичний поворот, параболічний поворот. Перше з них має два різновиди - подоби першого і другого роду, і теорія для нього розроблена Скопець З.А. спільно з Понаріним Я.П. Спорідненість - афінне перетворення, що має пряму нерухомих точок, у якого є приватні види, також розглянуті в роботі. Теорія цього аффинного перетворення для комплексних чисел розроблена Понаріним Я.П. Еліптичний та параболічний повороти - це еквіаффінние перетворення, що є композицією інших афінних перетворень. Вони також визначені науковим керівником.
Для кожного з чотирьох розглянутих афінних перетворень і приватних видів деяких з них отримано координатні формули в сполучених комплексних координатах, вивчені їх найпростіші властивості.
Перетворення евклідової площини називається афінним, якщо воно відображає кожну пряму на пряму. [1]
Відомо, що афінне перетворення площини в афінних (і зокрема, в прямокутних декартових) координатах має формули:
де (1)
Так як хочемо отримати формулу аффинного перетворення в сполучених комплексних координатах, то потрібно отримати вираз комплексної координати z '= x' + iy 'точки M' (z ') через комплексну координату її образу z = x + iy точки M (z): у вираз z 'підставимо замість x' і y 'їх вираження з формул (1): , Розкривши дужки і привівши подібні доданки в правій частині цієї рівності, отримаємо . Тепер зробимо тотожне перетворення над коефіцієнтами при x і iy:
Згрупувавши коефіцієнти при x і iy, отримуємо наступне:
. Ввівши позначення , , і враховуючи, що і , Маємо вираз комплексної координати z 'точки M' через комплексну координату її образу z точки M: . Залишилося знайти визначник цього перетворення. Після деяких перетворень визначник прийме вигляд: , Звідки, скориставшись введеними позначеннями коефіцієнтів аффинного перетворення, маємо: . Таким чином, формула аффинного перетворення в сполучених комплексних координатах має вигляд:
, Де (2)
, Де . (3)
Будь-яка точка M (z), що належить цій прямій, при афінному перетворенні (2) перейде в деяку точку M '(z'), комплексна координата якої . Висловимо з цього рівності і сполученого до нього : звідки отримуємо , Тобто
, Де . (4)
Це формула перетворення, зворотного афінної перетворення (2).
Але повернемося до наших міркувань і підставимо в (3) вираз z через z 'і в результаті чого отримаємо рівність:
. Тепер розкриємо дужки і згрупуємо множники перед z 'і , А решта складові будемо вважати вільним членом, отримаємо рівняння образу прямий:
. (5)
Очевидно, що це рівняння прямої: коефіцієнти при z 'і поєднані, а вільний член є дійсним числом. Таким чином, отримали рівняння образу прямий при афінному перетворенні (2).
Розглянемо визначник перетворення (4), він дорівнює: , Приведемо до спільного знаменника і скоротимо на спільний множник, одержимо: , Де , Отже, визначник зворотного перетворення (4) знаходиться в такій залежності з визначником перетворення (2): і він не дорівнює нулю. Отже, зворотне перетворення (4) також є афінним, що й потрібно було довести.
Існує одне і тільки одне афінне перетворення, що переводить довільні три точки А, В, С, не лежать на одній прямій, в три довільні точки А ', B', C ', також не лежать на одній прямій. [3]
Довести єдиність аффинного перетворення можна показавши, що коефіцієнти перетворення a, b, і c виражаються однозначно через координати точок А ( ), В ( ), С ( ) І A '(a'), B '(b'), C '(c').
Так як точки A ', B', C 'є образами точок А, В і С, то їх координати можна виразити таким чином:
Вирішимо цю систему відносно коефіцієнтів перетворення a, b, c, отримаємо їх вираження через координати точок А, В, С і A ', B', C ':
Таким чином, коефіцієнти перетворення знаходяться однозначно. Опустивши громіздкі викладки, відзначимо, що визначник розглянутого аффинного перетворення не дорівнює нулю, таким чином, доведено існування та єдиність шуканого аффинного перетворення.
,
. (6)
Для координат точок M ', N' і K 'виконуються рівності
Перетворимо формулу площі другого трикутника (6), підставивши замість координат його вершин їх вираження через координати вершин першого трикутника, отримаємо:
Після послідовних перетворень отриманого виразу маємо: , Тобто . Таким чином, площа трикутника пропорційна площі його прообразу з коефіцієнтом пропорційності, рівним вказівникові аффинного перетворення, що й потрібно було довести.
Слідство. Ставлення площі трикутника до площі його образу при афінному перетворенні є інваріантом цього аффинного перетворення.
Знайдене властивість площ трикутників можна узагальнити на довільні -Косинці.
до вектора (На кут, менший 180 0). У зв'язку з цим введемо також поняття орієнтації пари векторів: будемо називати пару векторів і орієнтованої позитивно, якщо напрямок обертання (на найменший можливий кут) від до збігається з напрямком обертання від до ; В іншому випадку пару векторів і назвемо орієнтованої негативно.
Рис. 1
З'ясуємо тепер, як визначити орієнтацію пари векторів і , Заданих своїми комплексними координатами p і q відповідно. Очевидно, що якщо кут між векторами позитивно орієнтований, то його синус позитивний, в іншому випадку - від'ємний.
Використовуємо формулу синуса кута між векторами, заданими своїми комплексними координатами: . Знайдемо синус кута між векторами (P) і (Q): . Тут чисельник - чисто уявне число, отже, знак синуса кута залежить від знаку числа .
Образом вектора (P) при афінному перетворенні (2) буде вектор з комплексною координатою , Вектор , Що є чином вектора (Q) при цьому ж афінному перетворенні буде мати комплексну координату . Знайдемо тепер синус кута між векторами і : . Спростивши праву частину рівності, отримаємо: . Знак синуса кута між векторами і залежить від знаків виразів і так як друге з них присутня у виразі , То саме від виразу залежить, чи буде знак синуса кута між векторами і відрізнятися від знак синуса кута між векторами і . Тобто якщо значення виразу позитивно, то орієнтація пари векторів і буде збігатися з орієнтацією пари векторів і . В іншому випадку при афінному перетворенні (2) орієнтація пари векторів зміниться на протилежну.
Таким чином, афінне перетворення (2) зберігає орієнтацію пари векторів (і, відповідно, плоских фігур) у разі, коли його визначник позитивний. У цьому випадку перетворення (2) є афінним перетворенням першого роду. Інакше, афінне перетворення змінює орієнтацію пари векторів (і, відповідно, плоских фігур) у разі, коли його визначник від'ємний. І в такому випадку перетворення (2) є афінним перетворенням другого роду.
. (7)
Висловимо звідси z. Для цього вирішимо наступну систему
(Де ) (8)
Отримали координату точки, що є інваріантом афінної перетворення з коефіцієнтами a, b, c.
Тоді для аффинного перетворення можливі три випадки [1]:
1) нерухомих точок не існує;
2) нерухома точка єдина;
3) нерухомих точок нескінченно багато.
Розглянемо кожен з цих випадків.
1. Нерухомих точок не існує тоді і тільки тоді, коли для коефіцієнтів перетворення виконується умова: Перетворивши друга умова системи, отримаємо . (9)
Здійснимість цієї системи і є умовою того, що для даного аффинного перетворення нерухомих точок не існує.
2. Нерухома точка єдина тоді і тільки тоді, коли
, Тобто (10)
3. Нерухомих точок нескінченно багато тоді і тільки тоді, коли виконується умова що рівносильно системі
(11)
Візьмемо умова нерухомості точки: (12)
і розглянемо два випадки:
1) Нехай з ≠ 0, тоді помножимо (12) на с, отримаємо: . Скориставшись системою (11), отримаємо рівність:
, (13)
де коефіцієнти при z і поєднані, а вільний член є дійсним числом, отже, рівність (13) за умови (11) задає пряму нерухомих точок.
2) Нехай тепер с = 0, тоді (12) випаде у вигляді . Висловимо звідси z: , Звідки Прирівняємо праві частини і отримаємо рівність , Що рівносильно умові . Поділимо на z ≠ 0, в результаті чого отримаємо . Тобто умова (11) задає пряму нерухомих точок (12), яка називається віссю аффинного перетворення. Якщо така пряма є, то афінне перетворення називається спорідненістю.
Якщо а = 1, то Зав. кафедрою ________________ Вечтомов Є.М.
«» _______________
Декан факультету ______________ Варанкіна В.І.
«»_______________
Кіров 2005
Зміст
\ T "Заголовок 1; 2; Заголовок 2; 1" Передмова. 2
Глава i. Теорія афінних перетворень в сполучених комплексних координатах .. 3
§ 1. Визначення і формула аффинного перетворення в сполучених комплексних координатах 3
1.1. Визначення аффинного перетворення. 3
1.2. Формула аффинного перетворення. 3
§ 2. Рівняння образу прямий при афінному перетворенні. 4
§ 3. Формула зворотного перетворення. 5
§ 4. Основна теорема теорії афінних перетворень. 6
§ 5. Властивість площ трикутників. 7
§ 6. Рід аффинного перетворення. 8
6.1. Орієнтація плоских фігур. 8
6.2. Орієнтація пар векторів. 8
§ 7. Нерухомі точки і подвійні прямі афінних перетворень. 10
7.1. Нерухомі точки афінних перетворень. 10
7.2. Подвійні прямі афінних перетворень. 12
голова ii. Приватні види афінних перетворень в сполучених комплексних координатах .. 15
§ 1. Перетворення подібності. 15
§ 2. Перетворення спорідненості. 16
2.1. Поняття перетворення спорідненості. 16
2.2. Стиснення і його приватні види .. 18
2.3. Зрушення. 19
§ 3. Еліптичний поворот. 21
§ 4. Параболічний поворот. 24
§ 5. Представлення афінних перетворень композиціями їх приватних видів. 25
Бібліографічний список. 28
Передмова
Метою даної роботи є розгляд і вивчення афінних перетворень евклідової площини в сполучених комплексних координатах.Теорія афінних перетворень вперше була розглянута Дарбу. У даній роботі ця теорія викладена методом комплексних чисел.
У роботі розглянута загальна теорія для всіх афінних перетворень евклідової площини в сполучених комплексних координатах, а також такі приватні види афінних перетворень, як подоба, спорідненість, еліптичний поворот, параболічний поворот. Перше з них має два різновиди - подоби першого і другого роду, і теорія для нього розроблена Скопець З.А. спільно з Понаріним Я.П. Спорідненість - афінне перетворення, що має пряму нерухомих точок, у якого є приватні види, також розглянуті в роботі. Теорія цього аффинного перетворення для комплексних чисел розроблена Понаріним Я.П. Еліптичний та параболічний повороти - це еквіаффінние перетворення, що є композицією інших афінних перетворень. Вони також визначені науковим керівником.
Для кожного з чотирьох розглянутих афінних перетворень і приватних видів деяких з них отримано координатні формули в сполучених комплексних координатах, вивчені їх найпростіші властивості.
Глава I. Теорія афінних перетворень в сполучених комплексних координатах
§ 1. Визначення і формула аффинного перетворення в сполучених комплексних координатах
1.1. Визначення аффинного перетворення
Введемо визначення аффинного перетворення евклідової площини в сполучених комплексних координатах.Перетворення евклідової площини називається афінним, якщо воно відображає кожну пряму на пряму. [1]
1.2. Формула аффинного перетворення
Ми хочемо побудувати теорію афінних перетворень за допомогою комплексних чисел. Але для цього потрібно мати формулу аффинного перетворення, тобто вираз комплексної координати z 'образу даної точки M (z) через координату z цієї точки М.Відомо, що афінне перетворення площини в афінних (і зокрема, в прямокутних декартових) координатах має формули:
Так як хочемо отримати формулу аффинного перетворення в сполучених комплексних координатах, то потрібно отримати вираз комплексної координати z '= x' + iy 'точки M' (z ') через комплексну координату її образу z = x + iy точки M (z): у вираз z 'підставимо замість x' і y 'їх вираження з формул (1):
Згрупувавши коефіцієнти при x і iy, отримуємо наступне:
§ 2. Рівняння образу прямий при афінному перетворенні
Як відомо з визначення аффинного перетворення, пряма переходить на пряму. Візьмемо рівняння прямоїБудь-яка точка M (z), що належить цій прямій, при афінному перетворенні (2) перейде в деяку точку M '(z'), комплексна координата якої
Це формула перетворення, зворотного афінної перетворення (2).
Але повернемося до наших міркувань і підставимо в (3) вираз z через z 'і
Очевидно, що це рівняння прямої: коефіцієнти при z 'і
§ 3. Формула зворотного перетворення
У попередньому параграфі нами була знайдена формула (4) перетворення, зворотного афінної перетворення (2). Покажемо, що дане перетворення також є афінним. Для цього достатньо довести, що його визначник не дорівнює нулю.Розглянемо визначник перетворення (4), він дорівнює:
§ 4. Основна теорема теорії афінних перетворень
Доведемо наступну теорему:Існує одне і тільки одне афінне перетворення, що переводить довільні три точки А, В, С, не лежать на одній прямій, в три довільні точки А ', B', C ', також не лежать на одній прямій. [3]
Довести єдиність аффинного перетворення можна показавши, що коефіцієнти перетворення a, b, і c виражаються однозначно через координати точок А (
Так як точки A ', B', C 'є образами точок А, В і С, то їх координати можна виразити таким чином:
Вирішимо цю систему відносно коефіцієнтів перетворення a, b, c, отримаємо їх вираження через координати точок А, В, С і A ', B', C ':
Таким чином, коефіцієнти перетворення знаходяться однозначно. Опустивши громіздкі викладки, відзначимо, що визначник розглянутого аффинного перетворення не дорівнює нулю, таким чином, доведено існування та єдиність шуканого аффинного перетворення.
§ 5. Властивість площ трикутників
Доведемо, що площа трикутника пропорційна площі його образу при деякому афінному перетворенні (2) з коефіцієнтом пропорційності, рівним вказівникові цього аффинного перетворення. [1]
Хай крапки M, N і K неколінеарних, тоді точки M ', N' і K ', що є образами точок M, N і K при деякому афінному перетворенні (2), також неколінеарних. Знайдемо відношення площ орієнтованих трикутників MNK і M 'N' K '. Скористаємося формулою площі позитивно орієнтованого трикутника:Для координат точок M ', N' і K 'виконуються рівності
Перетворимо формулу площі другого трикутника (6), підставивши замість координат його вершин їх вираження через координати вершин першого трикутника, отримаємо:
Після послідовних перетворень отриманого виразу маємо:
Слідство. Ставлення площі трикутника до площі його образу при афінному перетворенні є інваріантом цього аффинного перетворення.
Знайдене властивість площ трикутників можна узагальнити на довільні
§ 6. Рід аффинного перетворення
6.1. Орієнтація плоских фігур
Введемо поняття орієнтації плоских фігур, причому тут можна обмежитися лише розглядом орієнтації трикутників: кожен трикутник може бути орієнтований двома способами, тобто обхід його контуру може відбуватися у двох взаємно протилежних напрямках - «за годинниковою стрілкою» і «проти годинникової стрілки». Аффінниє перетворення першого роду зберігають орієнтацію всіх трикутників, а аффінниє перетворення другого роду міняють її на протилежну.6.2. Орієнтація пар векторів
Якщо на площині задана система координат, то одну з двох орієнтацій плоских фігур називають зазвичай позитивної, а іншу - негативною. За позитивну приймається орієнтація, обумовлена обходом координатного трикутника ОЕ 1 Е 2 (рис. 1) або, що те ж саме, напрямком обертання від вектора Е 1 |
Е 2 |
Про |
Рис. 1
З'ясуємо тепер, як визначити орієнтацію пари векторів
Використовуємо формулу синуса кута між векторами, заданими своїми комплексними координатами:
Образом вектора
Таким чином, афінне перетворення (2) зберігає орієнтацію пари векторів (і, відповідно, плоских фігур) у разі, коли його визначник
§ 7. Нерухомі точки і подвійні прямі афінних перетворень
7.1. Нерухомі точки афінних перетворень
Знайдемо координати нерухомих точок аффинного перетворення (2). Для нерухомих точок, тобто для точок, що переходять в себе при афінному перетворенні, повинно виконуватися така умова: z '= z, тобтоВисловимо звідси z. Для цього вирішимо наступну систему
Отримали координату точки, що є інваріантом афінної перетворення з коефіцієнтами a, b, c.
Тоді для аффинного перетворення можливі три випадки [1]:
1) нерухомих точок не існує;
2) нерухома точка єдина;
3) нерухомих точок нескінченно багато.
Розглянемо кожен з цих випадків.
1. Нерухомих точок не існує тоді і тільки тоді, коли для коефіцієнтів перетворення виконується умова:
Здійснимість цієї системи і є умовою того, що для даного аффинного перетворення нерухомих точок не існує.
2. Нерухома точка єдина тоді і тільки тоді, коли
3. Нерухомих точок нескінченно багато тоді і тільки тоді, коли виконується умова
Візьмемо умова нерухомості точки:
і розглянемо два випадки:
1) Нехай з ≠ 0, тоді помножимо (12) на с, отримаємо:
де коефіцієнти при z і
2) Нехай тепер с = 0, тоді (12) випаде у вигляді
Якщо b = 0 і c ≠ 0, то афінне перетворення є паралельним переносом.
Якщо b = 0 і c = 0, то афінне перетворення є тотожним.
7.2. Подвійні прямі афінних перетворень
Знайдемо умову, за якої пряма при афінному перетворенні (2) перейде сама в себе, тобто буде інваріантом аффинного перетворення.Візьмемо рівняння прямої (3), яка при афінному перетворенні перейде в пряму
1) Перша система сукупності приводиться до вигляду
2) Розглянемо другу систему сукупності (15)
Перетворимо окремо кожне рівність системи (16).
А) Перше рівність системи після деяких перетворень набуде вигляду
Б) Розглянемо тепер друге рівність, перетворимо його праву частину
Доведемо, що якщо для коефіцієнтів прямої (3) p і q вірно рівність (17), то вона є подвійний прямий аффинного перетворення з коефіцієнтами a, b, c і визначником
Глава II. Приватні види афінних перетворень в сполучених комплексних координатах
§ 1. Перетворення подібності
Перетворенням подібності (чи подобою) називається перетворення, яке кожні дві точки P і Q відображає в такі дві точки P 'і Q ', що P' Q '= k · PQ, де k - постійне дійсне додатне число, називане коефіцієнтом подібності. [2]Введемо в розгляд афінне перетворення (2). Розглянемо неколінеарних точки M (z), P (p), Q (q) та їх образи M '(z'), P '(p'), Q '(q') при деякому афінному перетворенні (2). Перетворення подібності задається трьома парами точок M "M ', P" P', Q "Q 'так, що трикутник M' P 'Q' подібний трикутнику MPQ.
Існує два роди перетворень подібності. Подоба першого роду зберігає орієнтацію кожного відображуваного трикутника, а подібність другого роду відображає кожен трикутник у трикутник, протилежно орієнтований з ним. Розглянемо тепер подобу кожного роду окремо.
I. Нехай MPQ і M 'P' Q '- однаково орієнтовані такі трикутники, тоді виконуються рівності
Розглянемо рівність
II. Розглянемо тепер подібні і протилежно орієнтовані трикутники MPQ і M 'P' Q '. Для них вірні рівності:
§ 2. Перетворення спорідненості
2.1. Поняття перетворення спорідненості
Спорідненість - афінне перетворення, що має пряму нерухомих точок. Його задає формула:Віссю цього перетворення є пряма
M '(z') |
l |
M (z) |
Рис. 2
З'ясуємо особливості цього перетворення. Перепишемо його наступним чином
Якщо (а-1) - чисто уявне число (тобто
Якщо ж напрямок аффинного перетворення не збігається з напрямком його осі, то воно називається стисненням до прямої і його задають наступні умови:
2.2. Стиснення і його приватні види
Знайдемо власні числа λ перетворення стиснення (24) з умовиПриймемо без доведення наступну теорему [1]: якщо λ - власне дійсне число аффинного перетворення, то безліч точок, кожна з яких ділить у відношенні
Р |
L |
l |
N ' |
M ' |
N |
M |
Рис. 3
Очевидно, що прямі MM 'і NN' (рис. 3) є подвійними прямими і λ 2 - дійсне число, то точка Р ділить відрізок MM 'у відношенні
Розглянемо окремий випадок стиснення - косу симетрію [1]. Це інволютивно перетворення, тобто воно тотожно перетворенню, зворотному йому. Перетворення, зворотне (24), має формулу:
Воно має ту ж вісь, що і (24). Рівність перетворень (24) і (25) має місце тоді і тільки тоді, коли
Якщо а = 0, отримуємо осьову симетрію щодо дійсної осі. Осьова симетрія - афінне перетворення також другого роду (
2.3. Зрушення
З'ясуємо, як переміщається по площині точка при зсуві (рис.4). Розглянемо рівність (22), візьмемо модулі обох частин цієї рівностіі подивимося, чим є кожен модуль в (26).
N ' |
M ' |
N |
M |
l |
Рис. 4
Перетворимо праву частину (26):
Знайдемо власні числа перетворення зсуву з рівняння, складеного аналогічно тому, як складали для стиснення:
Визначник перетворення зсуву
§ 3. Еліптичний поворот
Еліпс - це образ кола при афінному перетворенні. [1]Розглянемо ортогональноє стиснення g до дійсної осі.
Його ставлять умови:
а зворотне до нього афінне перетворення g -1 має формулу:
При ортогональному стисненні окружність
Розглянемо дві довільні точки окружності N і N 1. Крапку N можна перевести в точку N 1 поворотом h на деякий кут
Y
P N 1
N
M
K M 1
C O D X
Т
Q
Рис. 5
Хай крапки М і М 1 - образи точок відповідно N і N 1 при ортогональному стисненні g. Тоді точку М можемо перевести в точку М 1 наступним чином:
1)
2)
3)
Тоді
1. Спочатку знайдемо формулу перетворення
2. Знайдемо формулу для перетворення f:
Перевіримо, чи буде визначник розглянутого перетворення не дорівнює нулю. Перетворимо вираз визначника
Так як визначник розглянутого аффинного перетворення позитивний, то еліптичний поворот - це афінне перетворення першого роду.
Це перетворення має єдину нерухому точку О, значить воно є центроаффінним. При цьому перетворенні кожна точка М площині (М ≠ О) переходить в іншу точку, яка належить відповідному еліпсу. Цей еліпс при розглянутому перетворенні переходить сам у себе. Перетворення з оголошеними властивостями називається еліптичним поворотом.
З'ясуємо, чи має еліптичний поворот інваріантні пучки паралельних прямих. Для цього знайдемо дискримінант характеристичного рівняння цього перетворення. Комплексні координати векторів
Формулу (29) еліптичного повороту можна записати у вигляді системи умов:
§ 4. Параболічний поворот
Покажемо, що параболу можна перевести в себе при перетворенні її з допомогою композиції зсуву та паралельного переносу, не паралельного осі зсуву. Нехай М - довільна точка параболи П з віссю l (Рис. 6), приймемо цю вісь за дійсну. Зробимо зрушення з цієї ж віссю l: l |
М ' |
О 1 |
Про |
М 1 |
М |
П |
|
Рис. 6
Тепер зробимо паралельний перенос параболи П 1:
Таким чином отримали, що парабола переходить у себе при перетворенні її з допомогою композиції зсуву та паралельного переносу, не паралельного осі зсуву [1,3]. Це перетворення називається параболічним поворотом і має формулу
Визначник знайденого перетворення
Знайдемо власні числа параболічного повороту аналогічно тому, як робили це для інших розглянутих афінних перетворень. Знайдемо власні числа λ з умови
§ 5. Представлення афінних перетворень композиціями їх приватних видів
Вище ми мали цілий ряд прикладів афінних перетворень. Ми знаємо також ряд властивостей, якими володіють всі аффінниє перетворення. Знайдемо загальну конструкцію, що дозволяє отримати будь-яке афінне перетворення. Така конструкція вказується наступної теоремою:Будь-яке Афінний перетворення може бути представлено у вигляді композиції спорідненості і подоби.
Доведемо це твердження. Будь-яке Афінний перетворення має формулу (2) виду
Очевидно, що вираз в дужках задає спорідненість, а коефіцієнти (a + b) і c є коефіцієнтами перетворення подібності.
З'ясуємо, чи зберігає афінне перетворення виду (31) орієнтацію плоских фігур. Зовнішнє перетворення (31) зберігає орієнтацію, тому знайдемо визначник внутрішнього перетворення:
Таким чином, ми представили довільне афінне перетворення (2) у вигляді композиції споріднення і подібності першого роду. Але можливо уявити (2) і у вигляді композиції споріднення і подібності другого роду, тоді (2) набуде вигляду
Зовнішнє перетворення отриманої композиції - подоба другого роду - міняє орієнтацію плоских фігур на протилежну. Розглянемо внутрішнє перетворення. Його визначник дорівнює
Отже, будь-афінне перетворення можна представити у вигляді композиції споріднення і подібності, що й потрібно було довести.
Бібліографічний список
1. Понарін Я.П. Алгебра комплексних чисел в геометричних задачах: Книга для учнів математичних класів шкіл, вчителів та студентів педагогічних вузів. - М.: МЦНМО, 20042. Скопець З.А. Геометричні мініатюри / Укл. Г.Д. Глейзер. - М.: Просвещение, 1990
3. Яглом І.М., Ашкінузе В.Г. Ідеї та методи афінної і проективної геометрії. Частина 1. Афінна геометрія. М.: - Учпедгиз, 1962