Довжина дуги кривої в прямокутних координатах

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Контрольна робота

З дисципліни:

«Вища математика»

Тема:

«Довжина дуги кривої в прямокутних координатах»

1. Похідна певного інтеграла по змінному верхній межі

Сформулюємо наступна властивість певних інтегралів:

Нехай функція неперервна на . Складемо для неї певний інтеграл . Нехай для визначеності на всьому відрізку. Тоді з геометричної точки зору складений інтеграл не що інше, як площа криволінійної трапеції з основою , Яка обмежена лінією .

Якщо в розглянутому інтегралі замінити змінну інтегрування на , То величина його, очевидно, не зміниться. Тому надалі для зручності будемо вважати, що площа трапеції визначається інтегралом .

Величина визначеного інтеграла залежить від значень верхнього та нижнього меж інтегрування, тобто від довжини підстави криволінійної трапеції. Розглянемо тому тепер випадок, коли нижня межа інтеграла фіксований і дорівнює , А верхній може змінюватися, беручи значення , Де . У цьому випадку певний інтеграл буде відповідати площі криволінійної трапеції, величина якої змінюється. Залежати ця площа буде від значення , Тобто . Якщо буде змінюватися безперервно, то і площу трапеції буде мінятися безупинно, тобто - Безперервна функція, яку можна диференціювати.

Теорема. Похідна певного інтеграла по змінному верхній межі дорівнює подинтегральной функції, у якій змінна інтегрування замінена цим верхньою межею, тобто або .

Для обчислення похідної проробимо всі стандартні операції. Задамо прирощення аргументу: , Що, в свою чергу, призведе до приросту функції: . Так як , А , То приріст функції визначається виразом:

.

Застосуємо до отриманого виразу теорему про середню в певному інтегралі:

, Де .

Складемо ставлення . Щоб отримати похідну , Перейдемо в складеному ставленні до межі: . Так як , То при прагненні точка буде прагнути до . Отже, обчислення межі призведе до вираження: .

З доведеної теореми випливає, що - Це первообразная від , Отже, визначений інтеграл також є первообразной від , І обчислювати його, очевидно, необхідно за допомогою тих же прийомів, що і невизначений інтеграл.

2. Формула Ньютона-Лейбніца

Обчислення визначеного інтеграла як межі інтегральної суми являє собою досить складне завдання і може бути виконано лише в деяких найбільш простих випадках. Однак отримана в п. 1 зв'язок між певним інтегралом і первообразной дозволяє отримати простий метод для обчислення цих інтегралів.

Теорема. Якщо будь-яка первообразная від безперервної функції , То справедлива формула: .

У попередньому пункті було показано, що - Це первообразная від функції . Але як було показано при вивченні невизначеного інтеграла, будь-яка безперервна функція має нескінченну безліч первісних, що відрізняються один від одного на постійний доданок. Тому, якщо якась інша первообразная від тієї ж функції , То .

Виявляється, що у разі певного інтеграла постійну можна обчислити. Дійсно, так як може приймати будь-які значення між і (П. 1), то нехай . Тоді: . Але певний інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, отже, . Значить,

.

Покладемо тепер, що , Тоді

.

Отриманий вираз називається формулою Ньютона - Лейбніца. Інша форма записи цього виразу наступна:

.

Зазвичай в отриманих виразах змінна інтегрування позначається літерою .

Таким чином, щоб обчислити визначений інтеграл, необхідно знайти будь-яку первісну від і обчислити різницю її значень у верхньому і нижньому межах інтегрування. Отримана проста формула дозволяє легко знаходити вирішення багатьох математичних і прикладних задач, пов'язаних з обчисленням певного інтеграла.

3. Заміна змінної у визначеному інтегралі

При вивченні невизначеного інтеграла було показано (п. 5.4), що одним з найбільш часто зустрічаються методів його обчислення є заміна змінних. Так як обчислення визначеного інтеграла, згідно з формулою Ньютона - Лейбніца, також пов'язане з перебуванням первісної, то метод заміни змінної застосовний і в ньому, проте при цьому є деякі особливості. У невизначеному інтегралі заміна змінної приводила в кінці обчислень до зворотної заміні, в певному ж, виявляється, можна обійтися без цього.

Теорема. Якщо в певному інтегралі , Де неперервна на , Зробити заміну змінної і при цьому:

1) , ;

2) і безупинні на ;

3) неперервна на і при зміні від до не виходить за межі відрізка ,

то .

Нехай - Якась первообразная від , Тоді . Відповідно до формули Ньютона - Лейбніца, отримаємо відповідний визначений інтеграл: . Але, як було показано в п. 5.4, в невизначеному інтегралі можна зробити заміну змінної , Тоді . У цьому випадку відповідний певний інтеграл буде мати вигляд:

.

В обох певних інтегралів праві частини рівні, отже, рівні й ліві частини:

,

що потрібно було довести.

З доведеної теореми випливає, що при заміні змінної в певному інтегралі повинні помінятися межі інтегрування, і зворотна заміна тут вже не потрібна, так як і при старій і за нової змінної у відповіді виходить одне і те ж число.

4. Інтегрування по частинах в певному інтегралі

Нехай дані функції і , Які безупинні зі своїми похідними на . Складемо їх твір і продиференціюємо його:

.

Візьмемо від обох частин отриманого рівності визначені інтеграли:

.

Але , , . Отже, , Звідки: . Так само як і в невизначеному інтегралі, дана формула вимагає правильного вибору множників і .

5. Довжина дуги кривої в прямокутних координатах

При обчисленні довжини кривої лінії може бути використана та ж методика, що й при обчисленні площ криволінійних трапецій, тобто криву розбивають на такі малі ділянки, довжину яких можна порахувати геометричними методами.

Визначення. Довжиною дуги кривої лінії називають межа, до якої прагне довжина вписаною в неї ламаною лінії при необмеженому збільшенні числа її ланок і при прагненні довжини найбільшого ланки до нуля.

Отже, нехай крива лінія описується функцією на відрізку . При цьому нехай неперервна на цьому відрізку разом зі своєю похідної . Розіб'ємо криву на часткових дуг точками . Поєднавши початок і кінець кожної часткової дуги хордою, одержимо в результаті вписану ламану лінію, довжина якої дорівнює сумі довжин її ланок:

.

Позначимо: , , ..., , ..., . Крім того, , , ..., , ..., . У такому випадку можна розглядати як гіпотенузу прямокутного трикутника і тому

.

Згідно теоремі Лагранжа про середню

, Де ,

отже,

.

Звідси довжина ламаної лінії дорівнює

.

Переходячи до межі в цiй інтегральної сумі, коли число ланок ламаної прямує до нескінченності, а довжина найбільшого ланки прагне до нуля, отримуємо довжину кривої лінії в прямокутній системі координат:

.

Даний інтеграл існує, оскільки за умовою похідна неперервна.

З отриманої формули можна отримати вираз для диференціала дуги, яке використовується як у математиці, так і в деяких задачах теоретичної механіки. Нехай положення правого кінця кривої лінії є змінною величиною, тоді її довжина буде функцією точки, в якій вона закінчується, тобто

.

Візьмемо похідну даного інтеграла по змінному верхній межі (п. 1.):

.

Звідси випливає, що

.

6. Довжина дуги кривої при її параметричному завданні

Розглянемо тепер випадок, коли крива, довжину якої необхідно обчислити, задана параметрично, тобто при цьому зміна від до призводить до зміни від до . Нехай функції і безупинні разом зі своїми похідними на відрізку і при цьому . Тоді , А . Підставимо значення даної похідної і диференціала в формулу для довжини дуги в прямокутній системі координат (п. 5):

.

У разі просторової кривої її параметричне завдання буде виглядати наступним чином:

Якщо зазначені функції безупинні разом зі своїми похідними на відрізку , То можна довести, що довжина даної кривої обчислюється за формулою

.

7. Довжина дуги в полярній системі координат

Якщо крива задана в полярній системі координат, то вона описується функцією , Де . Нехай безупинна разом зі своєю похідною на відрізку .

Перейдемо від полярної до прямокутної системі координат: . Але так як , То отримуємо, що . Інакше кажучи, і виражені через параметр , Тому можна скористатися формулою для довжини дуги при її параметричному завданні (п. 6.):

Звівши в квадрат вирази в дужках і виконавши елементарні перетворення, отримуємо:

.

Зазвичай цю формулу записують наступним чином:

.

8. Обчислення об'ємів тіл за відомими площами поперечних перерізів

Певний інтеграл в деяких випадках може бути використаний і для обчислення об'ємів тіл. Це можна зробити, коли відомі площі всіх їх поперечних перерізів.


Нехай деякий тіло, об'єм якого необхідно визначити, розташоване вздовж осі між точками і . Нехай це тіло володіє тим властивістю, що відома площа його будь-якого поперечного перерізу площиною , Тобто площиною, перпендикулярної осі . Так як в загальному випадку величина цього перерізу буде мінятися, то . У випадку, якщо поверхня тіла є гладкою, а тіло суцільним, то буде безперервною функцією.

Розіб'ємо відрізок точками на часткові відрізки і в кожної отриманої точки проведемо площину, перпендикулярну осі . Все тіло при цьому розіб'ється на шари, а його обсяг дорівнюватиме сумі обсягів усіх отриманих шарів: .

Знайдемо наближено величину обсягу -Ого шару . Для цього розглянемо відрізок , Довжина якого дорівнює . Візьмемо деяку точку і проведемо в ній січну площину, перпендикулярну осі . Якщо досить мало, то шар, який відповідає обсягом , Можна практично вважати прямим циліндром з поперечним перерізом рівним . Але в цьому випадку, як і у кругового циліндра, . Звідси випливає, що

.

Отриманий вираз є інтегральною сумою. Так як функція за умовою безупинна, то межа цієї суми при і існує і дорівнює певному інтегралу:

.

Отже, обсяг тіла з відомими поперечними перерізами дорівнює:

.

9. Об'єм тіла обертання

Розглянемо тепер тіло, отримане в результаті обертання криволінійної трапеції навколо осі . Нехай підставою цієї трапеції є відрізок , Розташований на осі , І вона обмежена безперервної кривої . У цьому випадку в будь-якому перетині отриманого тіла площиною, перпендикулярної осі , Буде коло, радіус якого збігається зі значенням функції в даній конкретній точці. Тому площа перерізу буде дорівнює .

Підставивши цей вираз у формулу для об'єму тіла з відомими площами поперечних перерізів, наведену в попередньому параграфі, отримаємо:

.

Якщо трапеція обертається навколо осі , То повинна бути задана функція на відрізку . У цьому випадку обсяг тіла обертання дорівнює:

.

Література

  1. Крищенко Олександр, канатник Анатолій Аналітична геометрія: Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. Изд-во «Академія», 2009. - 208 c.

  2. Макаричєв Юрій Тригонометрія. Видавництво: ОСВІТА, 2004. - 360 с.

  3. Потапов Михайло Завдання з алгебри, тригонометрії і елементарними функціями. Видавництво: ІСПИТ XXI, 2008. - 160 с.

  4. Тоом А., Гельфанд І., Львівський С. Тригонометрія. МЦМНО, 2003. - 200 с.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
70.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах Площа
Генератор прямокутних імпульсів
Довжина кола і площа круга
Довжина ключа і його повний перебір
Технологія виготовлення будівельної ферми з прямокутних труб
Розрахунок параметрів вигину прямокутних пластин суднового корпусу
Системи координат декартова полярна циліндрична сферична Довжина і координати вектора Век
Інверсія площини в комплексно спряжених координатах
Модель синхронного генератора в фазних координатах
© Усі права захищені
написати до нас