Контрольна робота
З дисципліни:
«Вища математика»
Тема:
«Довжина дуги кривої в прямокутних координатах»
1. Похідна певного інтеграла по змінному верхній межі
Сформулюємо наступна властивість певних інтегралів:
Нехай функція неперервна на . Складемо для неї певний інтеграл . Нехай для визначеності на всьому відрізку. Тоді з геометричної точки зору складений інтеграл не що інше, як площа криволінійної трапеції з основою , Яка обмежена лінією .
Якщо в розглянутому інтегралі замінити змінну інтегрування на , То величина його, очевидно, не зміниться. Тому надалі для зручності будемо вважати, що площа трапеції визначається інтегралом .
Величина визначеного інтеграла залежить від значень верхнього та нижнього меж інтегрування, тобто від довжини підстави криволінійної трапеції. Розглянемо тому тепер випадок, коли нижня межа інтеграла фіксований і дорівнює , А верхній може змінюватися, беручи значення , Де . У цьому випадку певний інтеграл буде відповідати площі криволінійної трапеції, величина якої змінюється. Залежати ця площа буде від значення , Тобто . Якщо буде змінюватися безперервно, то і площу трапеції буде мінятися безупинно, тобто - Безперервна функція, яку можна диференціювати.
Теорема. Похідна певного інтеграла по змінному верхній межі дорівнює подинтегральной функції, у якій змінна інтегрування замінена цим верхньою межею, тобто або .
Для обчислення похідної проробимо всі стандартні операції. Задамо прирощення аргументу: , Що, в свою чергу, призведе до приросту функції: . Так як , А , То приріст функції визначається виразом:
.
Застосуємо до отриманого виразу теорему про середню в певному інтегралі:
, Де .
Складемо ставлення . Щоб отримати похідну , Перейдемо в складеному ставленні до межі: . Так як , То при прагненні точка буде прагнути до . Отже, обчислення межі призведе до вираження: .
З доведеної теореми випливає, що - Це первообразная від , Отже, визначений інтеграл також є первообразной від , І обчислювати його, очевидно, необхідно за допомогою тих же прийомів, що і невизначений інтеграл.
2. Формула Ньютона-Лейбніца
Обчислення визначеного інтеграла як межі інтегральної суми являє собою досить складне завдання і може бути виконано лише в деяких найбільш простих випадках. Однак отримана в п. 1 зв'язок між певним інтегралом і первообразной дозволяє отримати простий метод для обчислення цих інтегралів.
Теорема. Якщо будь-яка первообразная від безперервної функції , То справедлива формула: .
У попередньому пункті було показано, що - Це первообразная від функції . Але як було показано при вивченні невизначеного інтеграла, будь-яка безперервна функція має нескінченну безліч первісних, що відрізняються один від одного на постійний доданок. Тому, якщо якась інша первообразная від тієї ж функції , То .
Виявляється, що у разі певного інтеграла постійну можна обчислити. Дійсно, так як може приймати будь-які значення між і (П. 1), то нехай . Тоді: . Але певний інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, отже, . Значить,
.
Покладемо тепер, що , Тоді
.
Отриманий вираз називається формулою Ньютона - Лейбніца. Інша форма записи цього виразу наступна:
.
Зазвичай в отриманих виразах змінна інтегрування позначається літерою .
Таким чином, щоб обчислити визначений інтеграл, необхідно знайти будь-яку первісну від і обчислити різницю її значень у верхньому і нижньому межах інтегрування. Отримана проста формула дозволяє легко знаходити вирішення багатьох математичних і прикладних задач, пов'язаних з обчисленням певного інтеграла.
3. Заміна змінної у визначеному інтегралі
При вивченні невизначеного інтеграла було показано (п. 5.4), що одним з найбільш часто зустрічаються методів його обчислення є заміна змінних. Так як обчислення визначеного інтеграла, згідно з формулою Ньютона - Лейбніца, також пов'язане з перебуванням первісної, то метод заміни змінної застосовний і в ньому, проте при цьому є деякі особливості. У невизначеному інтегралі заміна змінної приводила в кінці обчислень до зворотної заміні, в певному ж, виявляється, можна обійтися без цього.
Теорема. Якщо в певному інтегралі , Де неперервна на , Зробити заміну змінної і при цьому:
1) , ;
2) і безупинні на ;
3) неперервна на і при зміні від до не виходить за межі відрізка ,
то .
Нехай - Якась первообразная від , Тоді . Відповідно до формули Ньютона - Лейбніца, отримаємо відповідний визначений інтеграл: . Але, як було показано в п. 5.4, в невизначеному інтегралі можна зробити заміну змінної , Тоді . У цьому випадку відповідний певний інтеграл буде мати вигляд:
.
В обох певних інтегралів праві частини рівні, отже, рівні й ліві частини:
,
що потрібно було довести.
З доведеної теореми випливає, що при заміні змінної в певному інтегралі повинні помінятися межі інтегрування, і зворотна заміна тут вже не потрібна, так як і при старій і за нової змінної у відповіді виходить одне і те ж число.
4. Інтегрування по частинах в певному інтегралі
Нехай дані функції і , Які безупинні зі своїми похідними на . Складемо їх твір і продиференціюємо його:
.
Візьмемо від обох частин отриманого рівності визначені інтеграли:
.
Але , , . Отже, , Звідки: . Так само як і в невизначеному інтегралі, дана формула вимагає правильного вибору множників і .
5. Довжина дуги кривої в прямокутних координатах
При обчисленні довжини кривої лінії може бути використана та ж методика, що й при обчисленні площ криволінійних трапецій, тобто криву розбивають на такі малі ділянки, довжину яких можна порахувати геометричними методами.
Визначення. Довжиною дуги кривої лінії називають межа, до якої прагне довжина вписаною в неї ламаною лінії при необмеженому збільшенні числа її ланок і при прагненні довжини найбільшого ланки до нуля.
Отже, нехай крива лінія описується функцією на відрізку . При цьому нехай неперервна на цьому відрізку разом зі своєю похідної . Розіб'ємо криву на часткових дуг точками . Поєднавши початок і кінець кожної часткової дуги хордою, одержимо в результаті вписану ламану лінію, довжина якої дорівнює сумі довжин її ланок:
.
Позначимо: , , ..., , ..., . Крім того, , , ..., , ..., . У такому випадку можна розглядати як гіпотенузу прямокутного трикутника і тому
.
Згідно теоремі Лагранжа про середню
, Де ,
отже,
.
Звідси довжина ламаної лінії дорівнює
.
Переходячи до межі в цiй інтегральної сумі, коли число ланок ламаної прямує до нескінченності, а довжина найбільшого ланки прагне до нуля, отримуємо довжину кривої лінії в прямокутній системі координат:
.
Даний інтеграл існує, оскільки за умовою похідна неперервна.
З отриманої формули можна отримати вираз для диференціала дуги, яке використовується як у математиці, так і в деяких задачах теоретичної механіки. Нехай положення правого кінця кривої лінії є змінною величиною, тоді її довжина буде функцією точки, в якій вона закінчується, тобто
.
Візьмемо похідну даного інтеграла по змінному верхній межі (п. 1.):
.
Звідси випливає, що
.
6. Довжина дуги кривої при її параметричному завданні
Розглянемо тепер випадок, коли крива, довжину якої необхідно обчислити, задана параметрично, тобто при цьому зміна від до призводить до зміни від до . Нехай функції і безупинні разом зі своїми похідними на відрізку і при цьому . Тоді , А . Підставимо значення даної похідної і диференціала в формулу для довжини дуги в прямокутній системі координат (п. 5):
.
У разі просторової кривої її параметричне завдання буде виглядати наступним чином:
Якщо зазначені функції безупинні разом зі своїми похідними на відрізку , То можна довести, що довжина даної кривої обчислюється за формулою
.
7. Довжина дуги в полярній системі координат
Якщо крива задана в полярній системі координат, то вона описується функцією , Де . Нехай безупинна разом зі своєю похідною на відрізку .
Перейдемо від полярної до прямокутної системі координат: . Але так як , То отримуємо, що . Інакше кажучи, і виражені через параметр , Тому можна скористатися формулою для довжини дуги при її параметричному завданні (п. 6.):
Звівши в квадрат вирази в дужках і виконавши елементарні перетворення, отримуємо:
.
Зазвичай цю формулу записують наступним чином:
.
8. Обчислення об'ємів тіл за відомими площами поперечних перерізів
Певний інтеграл в деяких випадках може бути використаний і для обчислення об'ємів тіл. Це можна зробити, коли відомі площі всіх їх поперечних перерізів.
Нехай деякий тіло, об'єм якого необхідно визначити, розташоване вздовж осі між точками і . Нехай це тіло володіє тим властивістю, що відома площа його будь-якого поперечного перерізу площиною , Тобто площиною, перпендикулярної осі . Так як в загальному випадку величина цього перерізу буде мінятися, то . У випадку, якщо поверхня тіла є гладкою, а тіло суцільним, то буде безперервною функцією.
Розіб'ємо відрізок точками на часткові відрізки і в кожної отриманої точки проведемо площину, перпендикулярну осі . Все тіло при цьому розіб'ється на шари, а його обсяг дорівнюватиме сумі обсягів усіх отриманих шарів: .
Знайдемо наближено величину обсягу -Ого шару . Для цього розглянемо відрізок , Довжина якого дорівнює . Візьмемо деяку точку і проведемо в ній січну площину, перпендикулярну осі . Якщо досить мало, то шар, який відповідає обсягом , Можна практично вважати прямим циліндром з поперечним перерізом рівним . Але в цьому випадку, як і у кругового циліндра, . Звідси випливає, що
.
Отриманий вираз є інтегральною сумою. Так як функція за умовою безупинна, то межа цієї суми при і існує і дорівнює певному інтегралу:
.
Отже, обсяг тіла з відомими поперечними перерізами дорівнює:
.
9. Об'єм тіла обертання
Розглянемо тепер тіло, отримане в результаті обертання криволінійної трапеції навколо осі . Нехай підставою цієї трапеції є відрізок , Розташований на осі , І вона обмежена безперервної кривої . У цьому випадку в будь-якому перетині отриманого тіла площиною, перпендикулярної осі , Буде коло, радіус якого збігається зі значенням функції в даній конкретній точці. Тому площа перерізу буде дорівнює .
Підставивши цей вираз у формулу для об'єму тіла з відомими площами поперечних перерізів, наведену в попередньому параграфі, отримаємо:
.
Якщо трапеція обертається навколо осі , То повинна бути задана функція на відрізку . У цьому випадку обсяг тіла обертання дорівнює:
.
Література
Крищенко Олександр, канатник Анатолій Аналітична геометрія: Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. Изд-во «Академія», 2009. - 208 c.
Макаричєв Юрій Тригонометрія. Видавництво: ОСВІТА, 2004. - 360 с.
Потапов Михайло Завдання з алгебри, тригонометрії і елементарними функціями. Видавництво: ІСПИТ XXI, 2008. - 160 с.
Тоом А., Гельфанд І., Львівський С. Тригонометрія. МЦМНО, 2003. - 200 с.