Ім'я файлу: linalg2008.pdf
Розширення: pdf
Розмір: 612кб.
Дата: 12.05.2022
скачати
Пов'язані файли:
загальна алгебра.pdf

4.2
Канонический вид матрицы самосопряженного оператора
Теорема 4.2.1 Для любого самосопряженного оператора f
: V
→ V существует
ортонормированный базис, в котором его матрица имеет диагональный вид с вещественными
числами на диагонали. Указанный канонический вид матрицы самосопряженного оператора
единственен с точностью до перестановки диагональных элементов.
Доказательство.
Проведем доказательство теоремы по индукции по размерности пространства.
1) Пусть dim V = 1. Очевидно, A
f
= (a) — диагональная матрица. В случае поля комплексных чисел, a будет вещественным числом, т.к. a = a.
2) Допустим, что теорема доказана для dim V 6 n, докажем ее для dim V = n + 1.
Сначала разберем случай эрмитова пространства. Пусть v — собственный вектор оператора
f , L = hvi, тогда V = L ⊕ L
⊥
, причем L и L
⊥
оба инвариантны относительно f , тогда матрица оператора f имеет вид A
f
=
µ
a
0 0 A
f
0
¶
, где ограничение f
0
оператора f на L
⊥
тоже самосопряжено, следовательно, по предположению индукции, его можно привести к искомому виду. В итоге матрица A
f
будет диагональной, причем, т.к. a = a, на диагонали будут вещественные числа.
Теперь перейдем к случаю евклидова пространства. Мы знаем, что у любого оператора над полем вещественных чисел существует либо одномерное, либо двумерное инвариантное подпространство. Если у этого оператора есть хотя бы одно одномерное инвариантное подпространство, то можно действовать аналогично предыдущему случаю. Если же у этого оператора имеются лишь двумерные инвариантные подпространства, то его матрица имеет вид A
f
=


a
11
a
12
a
21
a
22 0
0
A
f
0

. По предположению индукции матрица ограничения f
0
на ортогональное дополнение к инвариантному подпространству имеет искомый вид. Осталось лишь разобраться с двумерной клеткой A =
µ
a
11
a
12
a
21
a
22
¶
. Т.к. A
t
= A, то a
21
= a
12
. Для дальнейшего доказательства нам потребуется
Лемма 4.2.2 У двумерной симметричной матрицы характеристический многочлен имеет
вещественные корни.
Доказательство.
det
µ
a
11
− t
a
12
a
21
a
22
− t
¶
= t
2
− (a
11
+ a
22
)t + a
11
a
22
− a
2 12
.
Дискриминант этого многочлена равен D = (a
11
+ a
22
)
2
− 4(a
11
a
22
− a
2 12
) = (a
11
− a
22
)
2
+ 4a
2 12
> 0.
¤
Пусть λ
1
, λ
2
— собственные числа матрицы A. Тогда в базисе, составленным из собственных векторов, она имеет вид A =
µ
λ
1 0
0
λ
2
¶
. Если λ
1
= λ
2
, то мы всегда можем выбрать два ортонормированных собственных вектора в качестве базиса двумерного пространства. Если же
λ
1
6= λ
2
, то отвечающие м собственные векторы уже автоматически ортогональны друг другу.
Доказательство существования канонического вида закончено. Единственность следует из того,
что на диагонали там стоят корни характеристического многочлена с учетом их кратности.
¤
4.3
Канонический вид матрицы кососимметрического оператора
Теорема 4.3.1 У любого кососимметрического оператора f : V
→ V в эрмитовом
пространстве V существует ортонормированный базис, в котором его матрица A
f
имеет
диагональный вид с чисто мнимыми числами на диагонали.
36

Доказательство.
Мы знаем, что если L ⊂ V инвариантно относительно f , то и L
⊥
будет инвариантно относительно f . Следовательно матрицу оператора f можно привести к диагональному виду (таким же способом, каким мы делали это ранее — по индукции,
соответствующий базис будет ортонормированным), A
f
=


λ
1 0
0
λ
n

.
¤
Теорема 4.3.2 У любого кососимметрического оператора f : V
→ V в евклидовом
пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица A
f
имеет блочно-
диагональный вид, причем все блоки либо одномерные (равные нулю), либо двумерные, имеющие
вид
µ
0
a
−a 0
¶
, a ∈ R.
Доказательство. Если у оператора f имеется одномерное инвариантное подпространство,
то доказательство в точности совпадает с эрмитовым случаем, поэтому остается рассмотреть случай, когда можно выделить двумерное инвариантное подпространство L ⊂ V . При этом его ортогональное дополнение L
⊥
также инвариантно, и по предположению индукции можно считать, что матрица ограничения оператора f на L
⊥
уже имеет требуемый вид.
Рассмотрим матрицу ограничения f на L в произвольном ортонормированном базисе двумерного подпространства L: это двумерная матрица, причем, в силу косой симметрии, на ее диагонали стоят нули, а вне диагонали — противоположные по знаку числа.
Единственность канонического вида матриц кососимметрических операторов с точностью до перестановки блоков также следует из того, что эти блоки определяются характеристическим многочленом оператора.
¤
4.4
Изометрии
Определение 4.4.1 Линейный оператор f : V → V называется изометрией, если |f (a)| = |a|
для любого вектора a ∈ V (т.е. если он сохраняет длины векторов).
Утверждение 4.4.2 Оператор f является изометрией тогда и только тогда, когда он
сохраняет скалярное произведение.
Доказательство. Если f сохраняет скалярное произведение, то он, в частности, сохраняет и длины векторов. Остается проверить обратное утверждение. Пусть f сохраняет длины векторов
(т.е. изометрия).
1) В случае, когда пространство V евклидово, возьмем два произвольных вектора a, b ∈ V ,
тогда (a+b, a+b) = (a, a)+(b, b)+2(a, b), откуда (a, b) =
1 2
((a+b, a+b)−(a, a)−(b, b)), следовательно,
оператор f сохраняет скалярное произведение.
2) Рассмотрим теперь случай, когда пространство V эрмитово. Тогда (a + b, a + b) = (a, a) +
(b, b) + (a, b) + (a, b) = (a, a) + (b, b) + 2 Re(a, b), откуда Re(a, b) =
1 2
((a + b, a + b) − (a, a) − (b, b)),
следовательно, вещественная часть скалярного произведения сохраняется. Взяв вектор ib вместо
b, получаем
(a + ib, a + ib) = (a, a) + (ib, ib) + (a, ib) + (ib, a) = (a, a) + (b, b) + i(a, b) − i(b, a) =
= (a, a) + (b, b) + i(a, b) − i(a, b) = (a, a) + (b, b) − 2 Im(a, b),
следовательно мнимая часть скалярного произведения также выражается через длины векторов,
Im(a, b) = −
1 2
((a + ib, a + ib) − (a, a) − (b, b)) и, значит, тоже сохраняется.
¤
Лемма 4.4.3 Следующие три утверждения эквивалентны:
1) оператор f сохраняет скалярное произведение;
2) оператор f переводит некоторый ортонормированный базис в ортонормированный;
3) оператор f переводит произвольный ортонормированный базис в ортонормированный;
4) в любом ортонормированном базисе матрица A
f
оператора f обладает свойством A
t
f
A
f
=
E.
37

Доказательство.
1) ⇒ 3) очевидно, т.к. (f (a
i
), f (a
j
)) = (a
i
, a
j
) = δ
ij
2) ⇒ 1). Пусть a
1
, . . . , a
n
— ортонормированный базис, b
i
= f (a
i
), и b
1
, . . . , b
n
— также ортонормированный базис. Возьмем произвольные векторы x = x
i
a
i
и y = y
i
a
i
. Тогда f (x) = x
i
b
i
,
f (y) = y
i
b
i
, и (f (x), f (y)) = (x
i
b
i
, y
j
b
j
) = x
i
(b
i
, b
j
)y
j
= x
i
(a
i
, a
j
)y
j
= (x, y), значит, f сохраняет скалярное произведение.
Таким образом, первые три условия эквивалентны (3) ⇒ 2) — очевидно). Покажем, что 3) и 4)
эквивалентны.
3)
⇒
4). Возьмем ортонормированный базис a
1
, . . . , a
n
, тогда G(f (a
1
), . . . , f (a
n
))
|
{z
}
=E
=
A
t
f
G(a
1
, . . . , a
n
)
|
{z
}
=E
A
f
, т.е. A
t
f
A
f
= E.
4) ⇒ 3). Для любого ортонормированного базиса a
1
, . . . , a
n
имеем G(f (a
1
), . . . , f (a
n
)) =
A
t
f
G(a
1
, . . . , a
n
)
|
{z
}
=E
A
f
, значит, A
t
f
A
f
=
E, следовательно, векторы f (a
1
), . . . , f (a
n
) также ортонормированны.
¤
4.5
Ортогональные и унитарные операторы
Определение 4.5.1 Оператор, сохраняющий скалярное произведение в евклидовых пространствах называется ортогональным, в эрмитовых пространствах — унитарным.
Лемма 4.5.2 Пусть оператор f действует в евклидовом или эрмитовом пространстве V ,
а L ⊂ V — инвариантное подпространство. Если f сохраняет скалярное произведение, то L
⊥
тоже инвариантно.
Доказательство. Возьмем произвольный вектор a ∈ L
⊥
; надо доказать, что f (a) ∈ L
⊥
, т.е.,
что (f (a), v) = 0 для любого v ∈ V . Мы знаем, что f (L) ⊆ L, но, поскольку ортонормированный базис переходит в ортонормированный базис, то dim f (L) = dim L, следовательно f (L) = L. Тогда найдется такой вектор w ∈ L, что v = f (w), и тогда (f (a), v) = (f (a), f (w)) = (a, w) = 0, что и требовалось доказать.
¤
Лемма 4.5.3 Если f — унитарный оператор, то все его собственные значения по модулю
равны 1, если же f — ортогональный, то все его собственные значения равны ±1.
Доказательство.
Пусть λ — собственное значение, тогда для собственного вектора v
выполнено равенство f (v) = λv. Т.к. оператор сохраняет скалярное произведение, то (v, v) =
(f (v), f (v)) = (λv, λv) = λλ(v, v) = |λ|
2
(v, v), а т.к. v 6= 0, то (v, v) 6= 0, следовательно, |λ|
2
= 1,
т.е. |λ| = 1. Если же оператор f ортогональный, то будем иметь (v, v) = λ
2
(v, v) с вещественным
λ, следовательно, λ = ±1.
¤
Лемма 4.5.4 Если f — унитарный оператор, то его собственные вектора, отвечающие
различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Доказательство. Пусть λ
1
6= λ
2
, и f (v
1
) = λ
1
v
1
, f (v
2
) = λ
2
v
2
(v
1
и v
2
— собственные вектора).
Тогда (v
1
, v
2
) = (f (v
1
), f (v
2
)) = (λ
1
v
1
, λ
2
v
2
) = λ
1
λ
2
(v
1
, v
2
), следовательно, либо (v
1
, v
2
) = 0, т.е.
v
1
⊥ v
2
, либо λ
1
λ
2
= 1. Но во втором случае, поскольку |λ
1
| = |λ
2
| = 1, имеем λ
−1 1
= λ
1
,
поэтому λ
1
λ
2
= λ
−1 1
λ
2
= 1, откуда следует, что λ
1
= λ
2
, что невозможно по предположению.
Следовательно, векторы v
1
и v
2
ортогональны.
¤
Аналогичное утверждение верно и для ортогональных операторов, но у ортогонального оператора может быть не более двух различных собственных значений.
38

Теорема 4.5.5
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   14

скачати