Ім'я файлу: linalg2008.pdf
Розширення: pdf
Розмір: 612кб.
Дата: 12.05.2022
скачати
Пов'язані файли:
загальна алгебра.pdf

называется матрицей Грама. Далее мы убедимся, что ее определитель отличен от нуля, когда векторы a
1
, . . . , a
n
линейно независимы.
Параллелепипеды. Матрица Грама
Определение 2.4.1 Пусть a
1
, . . . , a
n
— система векторов в векторном пространстве V .
Параллелепипедом, натянутым на векторы a
1
, . . . , a
n
называется множество векторов (точек)
Π(a
1
, . . . , a
n
) = {c ∈ V : c = x
1
a
1
+ . . . + x
n
a
n
, 0 6 x
1
, . . . , x
n
6 1}.
Определение 2.4.2 Определим n-мерный объем Vol
n
параллелепипеда Π(a
1
, . . . , a
n
)
индуктивно:
1) одномерный объем Vol
1
Π(a
1
) := |a
1
| — это длина вектора;
2)
Vol
n
Π(a
1
, . . . , a
n
) := Vol
n−1
Π(a
1
, . . . , a
n−1
) · d(a
n
, ha
1
, . . . , a
n−1
i).
Очевидно, что объем есть неотрицательная величина. Корректность этого определения, т.е.
независимость объема от порядка векторов при индуктивном переходе, вытекает из следующей теоремы.
Теорема 2.4.3 (Vol
n
Π(a
1
, . . . , a
n
))
2
= det G(a
1
, . . . , a
n
).
Доказательство. (по индукции)
1) При n = 1, очевидно, |a
1
|
2
= (a
1
, a
1
).
2) Пусть утверждение верно для размерности n − 1, докажем его для размерности n.
Спроектируем вектор a
n
на линейную оболочку векторов a
1
, . . . , a
n−1
: a
n
= (a
n
)
0
+ (a
n
)
⊥
=
λ
1
a
1
+ . . . + λ
n−1
a
n−1
+ b, где b = (a
n
)
⊥
(т.е. b ортогонален векторам a
1
, . . . , a
n−1
) и |b| =
d(a
n
, ha
1
, . . . , a
n−1
i). Имеем:
17

det G(a
1
, . . . , a
n
) = det


(a
1
, a
1
) . . . (a
1
, a
n
)
(a
n
, a
1
) . . . (a
n
, a
n
)

 =
= det


(a
1
, a
1
) . . . (a
1
, a
n−1
) (a
1
, λ
1
a
1
+ . . . + λ
n−1
a
n−1
+ b)
(a
n
, a
1
) . . . (a
n
, a
n−1
) (a
n
, λ
1
a
1
+ . . . + λ
n−1
a
n−1
+ b)

 =
= det


(a
1
, a
1
) . . . (a
1
, a
n−1
)
λ
1
(a
1
, a
1
) + . . . + λ
n−1
(a
1
, a
n−1
) + (a
1
, b)
(a
n
, a
1
) . . . (a
n
, a
n−1
) λ
1
(a
n
, a
1
) + . . . + λ
n−1
(a
n
, a
n−1
) + (a
n
, b)

 =
= λ
1
det


(a
1
, a
1
) . . . (a
1
, a
n−1
) (a
1
, a
1
)
(a
n
, a
1
) . . . (a
n
, a
n−1
) (a
n
, a
1
)


|
{z
}
=0
+ . . .
. . . + λ
n−1
det


(a
1
, a
1
) . . . (a
1
, a
n−1
) (a
1
, a
n−1
)
(a
n
, a
1
) . . . (a
n
, a
n−1
) (a
n
, a
n−1
)


|
{z
}
=0
+
+ det


(a
1
, a
1
) . . . (a
1
, a
n−1
) (a
1
, b)
(a
n
, a
1
) . . . (a
n
, a
n−1
) (a
n
, b)

 =
= det











(a
1
, a
1
)
. . .
(a
1
, a
n−1
)
(a
1
, b)
| {z }
=0
(a
n−1
, a
1
) . . . (a
n−1
, a
n−1
) (a
n−1
, b)
| {z }
=0
(a
n
, a
1
)
. . .
(a
n
, a
n−1
)
(a
n
, b)
| {z }
=(b,b)











=
= det


(a
1
, a
1
)
. . .
(a
1
, a
n−1
)
(a
n−1
, a
1
) . . . (a
n−1
, a
n−1
)

 · (b, b) = det G(a
1
, . . . , a
n−1
) · |b|
2
=
= (Vol
n−1
Π(a
1
, . . . , a
n−1
))
2
· |b|
2
= (Vol
n
Π(a
1
, . . . , a
n
))
2
.
Лемма 2.4.4 Векторы a
1
, . . . , a
n
линейно зависимы тогда и только тогда, когда
det G(a
1
, . . . , a
n
) = 0.
Доказательство. Если векторы a
1
, . . . , a
n
линейно зависимы, то, без ограничения общности,
можно считать, что a
n
= λ
1
a
1
+ . . . + λ
n−1
a
n−1
. Тогда Vol
n
Π(a
1
, . . . , a
n
) = Vol
n−1
Π(a
1
, . . . , a
n−1
) ·
d(a
n
, ha
1
, . . . , a
n−1
i)
|
{z
}
=0
= 0, следовательно, по предыдущей теореме, det G(a
1
, . . . , a
n
) = 0.
Пусть теперь det G(a
1
, . . . , a
n
) = 0. Покажем линейную зависимость векторов a
1
, . . . , a
n
Если a
1
= 0, то линейная зависимость очевидна. Предположим, что a
1
6= 0, и рассмотрим последовательность чисел
0 6= Vol
1
Π(a
1
), Vol
2
(a
1
, a
2
, ), . . . , Vol
n
Π(a
1
, . . . , a
n
) = 0.
Существует такой номер k, что Vol
k−1
Π(a
1
, . . . , a
k−1
) 6= 0, а Vol
k
Π(a
1
, . . . , a
k
)=0. Т.к.
Vol
k
Π(a
1
, . . . , a
k
) = Vol
k−1
Π(a
1
, . . . , a
k−1
) · d(a
k
, ha
1
, . . . , a
k−1
i), то d(a
k
, ha
1
, . . . , a
k−1
i) = 0, т.е.
18

a
k
∈ ha
1
, . . . , a
k−1
i. Следовательно векторы a
1
, . . . , a
k
, а ,значит, и a
1
, . . . , a
n
, линейно зависимы.
¤
Пусть V — евклидово или эрмитово пространство, a
1
, . . . , a
n
и b
1
, . . . , b
n
— два базиса в пространстве V , и C =


c
1 1
. . . c
1
n
c
n
1
. . . c
n
n

 — матрица перехода от первого базиса к второму.
Посмотрим, как связаны матрицы Грама G = G(a
1
, . . . , a
n
) и G
0
= G(b
1
, . . . , b
n
). Поскольку
b
k
= c
i
k
a
i
и элементы матрицы G
0
равны g
0
ij
= (b
i
, b
j
) = (c
k
i
a
k
, c
l
j
a
l
) = c
k
i
(a
k
, a
l
)c
l
j
= c
k
i
g
kl
c
l
j
,
то G
0
= C
t
GC. Если базис a
1
, . . . , a
n
был ортонормированным, то G = E =


1 0
0 1

 и
G
0
= C
t
C.
Утверждение 2.4.5 Произвольная квадратная матрица G является матрицей Грама для
некоторого набора линейно независимых векторов тогда и только тогда, когда существует
такая невырожденная матрица C, что G = C
t
C.
Доказательство.
⇒: пусть G = G(a
1
, . . . , a
n
), выберем в пространстве ортонормированный базис, пусть C —
матрица перехода от этого ортонормированного базиса в базис a
1
, . . . , a
n
, тогда G = C
t
C.
⇐: пусть G
=
C
t
C, тогда C можно считать матрицей перехода от некоторого ортонормированного базиса a
1
, . . . , a
n
к базису b
1
, . . . , b
n
, и тогда G — это матрица Грама для векторов b
1
, . . . , b
n
¤
19

3
Линейные операторы
3.1
Линейные отображения
Определение 3.1.1 Пусть V, W — два векторных пространства над одним полем K.
Отображение f : V → W называется линейным, если ∀x, y ∈ V , λ ∈ K выполняются равенства
f (x + y) = f (x) + f (y) и f (λx) = λf (x).
Пример: множество V
0
— это множество линейных отображений при W = K.
Пусть e
1
, . . . , e
n
— базис в V , а e
e
1
, . . . , e
e
m
— базис в W . Если x = x
i
e
i
∈ V , то f (x) = f (x
i
e
i
) =
x
i
f (e
i
), т.е., для вычисления значения функции в любой точке, достаточно знать ее значения на базисных векторах, т.е. f (e
i
) = a
k
i
e
e
k
(a
k
i
— коэффициенты разложения вектора f (e
i
) по базису e
e),
тогда f (x) = x
i
a
k
i
e
e
k
= y
k
e
e
k
— разложение значения по базисным векторам e
e
1
, . . . , e
e
k
. Координаты
x
i
вектора x в базисе пространства V и координаты y
k
значения отображения f (x) в базисе пространства W связаны следующим соотношением:


y
1
y
m

 =


a
1 1
. . . a
1
n
a
m
1
. . . a
m
n




x
1
x
n

 ,
или, в матричной форме, Y = AX, где Y и X — столбцы координат векторов f (x) и
x соответственно, а матрица A
f
= A = (a
k
i
) является матрицей, определяемой линейным отображением f (и определяющей его).
Мы видим, что задание базисов в V и W позволяет сопоставить каждому линейному отображению f его матрицу A
f
, причем это сопоставление взаимо однозначно. Поэтому существует биективное отображение между множеством линейных отображений L(V, W ) из V
в W и множеством матриц M
m,n
(K) с коэффициентами из поля K размера m × n.
Лемма 3.1.2 L(V, W ) ∼
= M
m,n
(K).
Доказательство.
Достаточно проверить, что построенное выше биективное отображение
L(V, W ) → M
m,n
(K) будет линейным. Но это следует из того, что все отображения из L(V, W )
линейны.
¤
Примеры:
1) Рассмотрим отображение f (x) ≡ 0, ему будет соответствовать нулевая матрица A
f
= 0;
2) Если W = V , а отображение тождественно, f = id : V → V , т.е. f (x) = x ∀x ∈ V , то ему соответствует единичная матрица A
f
= E
n
;
3) Отображению f (x) = λx соответствует матрица A
f
= λE
n
Еще раз отметим, что соответствие f 7→ A
f
зависит от выбора базисов в пространствах V и
W .
Изменим базисы в V (матрица перехода C
1
) и в W (матрица перехода C
2
), тогда,
естественно, изменится и матрица данного линейного отображения. Если в первоначальных базисах координаты были связаны матричным соотношением Y = A
f
X, то в новых базисах
(X = C
1
X
0
, Y = C
2
Y
0
) имеем C
2
Y
0
= A
f
C
1
X
0
, т.е. Y
0
= C
−1 2
A
f
C
1
X
0
= A
0
f
X
0
. Окончательно получаем формулу для матрицы оператора в новых базисах A
0
f
= C
−1 2
A
f
C
1
Определение 3.1.3 Ядром Ker f линейного отображения f : V → W называется множество всех векторов, переходящих в ноль, Ker f = {x ∈ V : f (x) = 0}.
Образом Im f линейного оператора f : V → W называется множество векторов y ∈ W , для которых существует прообраз, Im f = {y ∈ W : ∃x ∈ V, f (x) = y}.
Лемма 3.1.4 Ядро любого линейного оператора является линейным подпространством в
V ; образ любого линейного оператора является линейным подпространством в W .
20

Доказательство.
Доказательство очевидно, надо просто проверить, что эти множества замкнуты относительно операций сложения и умножения на скаляры. Например, в случае ядра,
если
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

скачати