Ім'я файлу: linalg2008.pdf
Розширення: pdf
Розмір: 612кб.
Дата: 12.05.2022
скачати
Пов'язані файли:
загальна алгебра.pdf

Теорема 5.4.1 1) у любой симметричной билинейной функции на вещественном векторном
пространстве существует базис, в котором ее матрица имеет диагональный вид с числами 0,
±1 на диагонали.
2) у любой симметричной билинейной функции на комплексном векторном пространстве
существует базис, в котором ее матрица имеет диагональный вид с числами 0, 1 на диагонали.
3) у любой кососимметричной билинейной функции на вещественном или комплексном
векторном пространстве существует базис, в котором его матрица имеет блочно-
диагональный вид с блоками
µ
0 1
−1 0
¶
и (0) на диагонали.
Доказательство. Пункты 1)-2).
Лемма 5.4.2 Если g 6= 0, где g — функция из пунктов 1)-3) теоремы, то существует такой
вектор a, что g(a, a) 6= 0.
Доказательство. Предположим противное. Пусть g(a, a) = 0 для любого вектора a. Тогда,
т.к. g(a + b, a + b) − g(a, a) − g(b, b) = g(a, b) + g(b, a), то g(a, b) + g(b, a) = 0 для любых векторов
a, b. Если g — симметричная, то сразу получаем g(a, b) = 0. Следовательно наша функция g
тождественно нулевая, что противоречит предположению.
¤
Далее будем действовать по индукции (база индукции dim W = 1 уже проверена). Пусть утверждение теоремы верно для dim W < n, докажем его для dim W = n. Если g = 0, то ее матрица нулевая и всё очевидно. Если же g 6= 0, то возьмем такой вектор a ∈ W , что g(a, a) 6= 0 (по лемме он существует). Возьмем V = hai ⊂ W . Т.к. ограничение g
V
функции g на V невырождено,
то W = V ⊕ V
⊥
g
и dim V
⊥
g
= n − 1. По индукции в V
⊥
g
уже существует нужный базис, добавив к нему вектор (точнее, некоторое его кратное e = λa, такое что g(e, e) = ±1), получим искомый базис.
3) Если g 6= 0, то найдутся такие линейно независимые векторы a, b ∈ W , что g(a, b) 6= 0. Без ограничения общности можно считать, что g(a, b) = 1. Возьмем V = ha, bi ⊂ W . Ограничение
g
V
функции g на V невырождено, т.к. матрица функции g
V
равна
µ
0 1
−1 0
¶
, следовательно,
W = V ⊕ V
⊥
g
, и dim V
⊥
g
= n − 2. В V
⊥
g
по предположению индукции можно выбрать нужный базис. Добавив к нему векторы a и b, получим искомый базис.
¤
Указанный вид матрицы называется нормальным. Для приведения матрицы симметричной билинейной функции к нормальному виду удобно использовать метод Лагранжа выделения полных квадратов. Дадим его краткое описание.
Любая билинейная функция имеет вид g(x, y) = g
ij
x
i
y
j
, где x =


x
1
x
n

, y =


y
1
y
n

. Заменив
y на x, получим квадратичную функцию g(x, x) = g
ij
x
i
x
j
Возможны два случая:
а) Если все коэффициенты при (x
i
)
2
равны нулю, это можно исправить: найдем ненулевое слагаемое вида g
kl
x
k
x
l
и сделаем замену координат
½
x
k
= e
x
k
+ e
x
l
x
l
= e
x
k
− e
x
l
, тогда x
k
x
l
= (e
x
k
)
2
− (e
x
l
)
2
б) Если имеется ненулевое слагаемое вида g
ii
(x
i
)
2
(без ограничения общности можно считать,
что i = 1), тогда выделим полный квадрат, содержащий (x
1
)
2
:
g(x, x) = g
11
³
(x
1
)
2
+
2g
12
g
11
x
1
x
2
+ . . . +
2g
1n
g
11
x
1
x
n
´
+ ,
x
1
=
= g
11
³
x
1
+
g
12
g
11
x
2
+ . . . +
g
1n
g
11
x
n
´
2
+ ,
x
1
.
Сделав замену координат e
x
1
=
p
|g
11
|
³
x
1
+
g
12
g
11
x
2
+ . . . +
g
1n
g
11
x
n
´
, получим g(x, x) = ±(e
x
1
)
2
+ . . .. С
оставшимися слагаемыми, не содержащими x
1
, можно проделать то же самое, в итоге получим,
что g(x, x) = ±(e
x
1
)
2
±(e
x
2
)
2
±. . .±(e
x
k
)
2
, т.е. в новом базисе матрица функции g будет диагональной.
44

Итак, мы знаем, что для любой билинейной вещественной симметрической функции в векторном пространстве W существует базис, в котором она имеет нормальный вид g(x, y) =
x
1
y
1
+ . . . + x
p
y
p
− x
p+1
y
p+1
− . . . − x
p+q
y
p+q
Аналогично, комплексная билинейная симметрическая функция имеет нормальный вид
g(x, y) = x
1
y
1
+ . . . + x
k
y
k
А кососимметрическая функция имеет нормальный вид g(x, y) = x
1
y
2
− x
2
y
1
+ x
3
y
4
− x
4
y
3
+
. . . + x
2i−1
y
2i
− x
2i
y
2i−1 5.5
Единственность нормального вида
Теперь обсудим вопрос о единственности нормального вида. Для комплексной билинейной симметричной функции (соотв. для кососимметричной функции) нормальный вид определяется единственным числом — k (соотв. 2i), которое равно рангу функции, поэтому не зависит от способа приведения к нормальному виду. Рассмотрим оставшийся случай — вещественной симметричной билинейной функции. Нормальный вид ее матрицы
G =















1 0
1
−1
−1 0
0 0















.
Введем в рассмотрение три числа: p — количество единиц q — количество минус единиц, s —
количество нулей. Видно, что p + q = rk g, s = dim W − rk g следовательно, p + q и s не зависят от выбора базиса.
Определение 5.5.1 Пара чисел (p, q) называется сигнатурой вещественной симметричной билинейной функции (или квадратичной функции).
Если функция g невырождена, то s = 0, и для определения p и q достаточно знать хотя бы одно из них или их разность. Поэтому в случае невырожденной функции сигнатурой часто называют число p − q.
Теорема 5.5.2 (инерции) Если вещественная симметричная билинейная функция в
пространстве W приведена к нормальному виду двумя разными способами, то числа p, q и
s одни и те же.
Доказательство.
Пусть функция
g
имеет нормальный вид в
двух базисах:
e
1
, . . . , e
p
, e
p+1
, . . . , e
p+q
, e
p+q+1
, . . . , e
p+q+s
и e
e
1
, . . . , e
e
p
0
, e
e
p
0
+1
, . . . , e
e
p
0
+q
0
, e
e
p
0
+q
0
+1
, . . . , e
e
p
0
+q
0
+s
0
,
причем, как мы уже знаем, s
0
= s и p
0
+ q
0
= p + q. Рассмотрим в W подпространства
V
+
= he
1
, . . . , e
p
i, V
−
= he
p+1
, . . . , e
p+q
i, V
0
= he
p+q+1
, . . . , e
p+q+s
i
и e
V
+
= he
e
1
, . . . , e
e
p
0
i, e
V
−
= he
e
p
0
+1
, . . . , e
e
p
0
+q
0
i, e
V
0
= he
e
p
0
+q
0
+1
, . . . , e
e
p
0
+q
0
+s
i.
Если x ∈ V
+
и x 6= 0, то g(x, x) > 0 (неравенство строгое, так как ограничение функции g на
V
+
невырождено). Действительно, если x = x
1
e
1
+ . . . + x
p
e
p
, то g(x, x) = (x
1
)
2
+ . . . + (x
p
)
2
> 0.
Аналогично, если x ∈ V
−
⊕V
0
, то g(x, x) 6 0. Такая же ситуация имеет место с подпространствами e
V
+
, e
V
−
и e
V
0
Пусть p > p
0
, тогда dim V
+
= p, dim( e
V
−
⊕ e
V
0
) = dim e
V
−
+ dim e
V
0
= q
0
+ s = dim W − p
0
Следовательно,
dim V
+
+ dim( e
V
−
⊕ e
V
0
) = p + dim W − p
0
> dim W,
45

значит, пересечение этих подпространств нетривиально, V
+
∩ ( e
V
−
⊕ e
V
0
) 6= {0}. Возьмем произвольный ненулевой вектор их этого пересечения, x ∈ V
+
∩ ( e
V
−
⊕ e
V
0
). Т.к. x ∈ V
+
, x 6= 0,
то g(x, x) > 0, но, с другой стороны, т.к. x ∈ e
V
−
⊕ e
V
0
, то g(x, x) 6 0. Получили противоречие.
Случай p < p
0
рассматривается аналогично.
¤
5.6
Теорема Якоби. Критерий Сильвестра
Сигнатура и нормальный вид симметричной билинейной (или квадратичной) функции могут быть определены и без нахождения в явном виде замены координат.
Напомним, что угловым минором порядка k квадратной матрицы называется минор,
составленный из первых k строк и k столбцов.
Теорема 5.6.1 (Якоби) Пусть G — матрица симметричной билинейной функции g в
некотором базисе. Пусть все угловые миноры до порядка r = rk G отличны от 0. Тогда
существует базис, в котором функция g имеет вид g(x, y) = |G
1
|x
1
y
1
+
|G
2
|
|G
1
|
x
2
y
2
+. . .+
|G
r
|
|G
r−1
|
x
r
y
r
,
где |G
i
| — i-й угловой минор.
Доказательство. Будем искать новый базис в виде
e
0
1
= e
1
;
e
0
2
= e
2
+ c
1 2
e
0
1
;
e

1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14

скачати