Ім'я файлу: linalg2008.pdf
Розширення: pdf
Розмір: 612кб.
Дата: 12.05.2022
скачати
Пов'язані файли:
загальна алгебра.pdf

5
Билинейные и полуторалинейные функции
5.1
Билинейные функции (формы)
Определение 5.1.1 Пусть V — векторное пространство над полем K. Функция g : V ×V → K
называется билинейной функцией, если она линейна по каждому аргументу, т.е.
g(a
1
+ a
2
, b) = g(a
1
, b) + g(a
2
, b)
∀a
1
, a
2
, b ∈ V ;
g(λa, b) = λg(a, b)
∀a, b ∈ V, λ ∈ K;
g(a, b
1
+ b
2
) = g(a, b
1
) + g(a, b
2
)
∀a, b
1
, b
2
∈ V ;
g(a, λb) = λg(a, b)
∀a, b ∈ V, λ ∈ K.
Если выбрать базис e
1
, . . . , e
n
в пространстве V , то билинейную функцию можно записать матрицей G = (g
ij
), где g
ij
= g(e
i
, e
j
). Причем (если базис зафиксирован), то существует взаимно- однозначное соответствие между квадратными матрицами и билинейными функциями, т.е. любая матрица задает какую-то функцию и разные матрицы задают разные функции.
Если в этом базисе векторы a, b имеют координаты (a
1
, . . . , a
n
) и (b
1
, . . . , b
n
) соответственно, то
g(a, b) = g
ij
a
i
b
j
, или, в матричной форме,
g(a, b) =
¡
a
1
. . . a
n
¢
Ã
g
11
. . . g
1n
. . . . . .
. . .
g
n1
. . . g
nn
! 

b
1
. . .
b
n

 .
Пример.
Если g(a, b) = (a, b) — обычное скалярное произведение в евклидовом пространстве, то g
будет билинейной функцией, а ее матрица G будет просто матрицей Грама. Поэтому на матрицу билинейной функции можно смотреть как на обобщение матрицы Грама.
Если G — матрица билинейной функции g, то значение этой функции на двух любых векторах восстанавливается по формуле g(x, y) = g(x
i
e
i
, y
j
e
j
) = x
i
g(e
i
, e
j
)y
j
= x
i
g
ij
y
j
или, в матричной форме
g(x, y) = (x
1
. . . x
n
)G


y
1
y
n

 .
При замене базиса e
0
k
= c
i
k
e
i
, где C = (c
i
k
) — матрица перехода, матрица билинейной функции изменится следующим образом:
g
0
kl
= g(e
0
k
, e
0
l
) = g(c
i
k
e
i
, c
j
l
e
j
) = c
i
k
g(e
i
, e
j
)c
j
l
= c
i
k
g
ij
c
j
l
,
т.е. G
0
= C
t
GC, где G
0
— матрица той же билинейной функции в новом базисе.
На множестве билинейных функций можно естественным образом определить структуру линейного пространства (над тем же полем K), причем размерность этого пространства будет
n
2
, где n = dim V . Обозначается оно B(V ). Очевидно, что B(V ) ∼
= M at(n × n).
Определение 5.1.2 Рангом
билинейной функции называется ранг ее матрицы в
произвольном базисе, rk g = rk G.
Формулы перехода к другому базису показывают, что это определение корректно.
Действительно, поскольку матрица перехода C обратима, rk C
t
GC = rk G.
Определение 5.1.3 Левым ядром билинейной функции g ∈ B(V ) называется множество
G
L
= {a ∈ V : g(a, b) = 0 ∀b ∈ V }. Правым ядром билинейной функции называется множество
G
R
= {a ∈ V : g(b, a) = 0 ∀b ∈ V }.
Очевидно, что множества G
L
и G
R
являются подпространствами в V .
40

Лемма 5.1.4 Размерности левого и правого ядер совпадают и равны dim G
L
= dim G
R
=
dim V − rk g.
Доказательство. Если a ∈ G
L
, то из равенства g(a, b) = 0 для любого вектора b следует, что
¡
a
1
. . . a
n
¢
Ã
g
11
. . . g
1n
. . . . . .
. . .
g
n1
. . . g
nn
!
= 0,
т.е. координаты вектора a удовлетворяют однородной системе линейных уравнений с матрицей
G
t
. Поэтому размерность пространства решений этой системы совпадает с dim G
L
и равна n −
rk G. Аналогично, правое ядро можно отождествить с множеством решений системы уравнений с матрицей G, и получить dim G
R
= n − rk G.
¤
Определение 5.1.5 Билинейная функция g называется невырожденной, если dim G
L
=
dim G
R
= 0 (это условие равносильно тому, что det G 6= 0 или rk g = dim V , а также невырожденности матрицы G).
Примеры:
1) пусть G =
µ
0 1 0 0
¶
. Найдем левое и правое ядро: g(a, b) = (a
1
a
2
)
µ
0 1 0 0
¶ µ
b
1
b
2
¶
= a
1
b
2
Следовательно, G
L
= he
2
i и G
R
= he
1
i, где e
1
, e
2
— базис.
2) билинейная функция может быть невырождена на всем пространстве, но быть вырожденной на подпространстве! Например, пусть G =
µ
−1 0 0
1
¶
, рассмотрим вектор a =
µ
1 1
¶
и подпространство V = hai. Т.к. g(a, a) = 0, то для любых двух векторов b, c ∈ V (т.е. коллинеарных вектору a) g(a, b) = 0, т.е. ограничение билинейной функции g на подпространство V вырождено,
в то время как сама функция g невырождена, т.к. det G 6= 0. Отметим, что в этом примере левое и правое ядро совпали, потому (как мы увидим далее) что функция симметрична.
5.2
Симметричные и кососимметричные функции
Если g : V × V → K — билинейная функция, то функция (a, b) 7→ g(b, a), полученная из функции g заменой первого и второго аргументов, также является билинейной функцией. Мы будем ее обозначать g
t
, g
t
(a, b) = g(b, a). Это же обозначение мы будем использовать и для полуторалинейных функций над полем комплексных чисел.
Определение 5.2.1 Билинейная функция g называется симметричной, если g
t
= g, т.е. если
g(b, a) = g(a, b); кососимметричной, если g
t
= −g, т.е. если g(b, a) = −g(a, b).
Утверждение 5.2.2 Если билинейная функция симметрична (или кососимметрична), то
ее левое и правое ядра совпадают.
Доказательство. Очевидно (см. определение левого и правого ядер).
¤
В случае (косо)симметричной билинейной функции g корректно определено ее ядро Ker g =
G
L
= G
R
Определение 5.2.3 Функция f : V → K называется квадратичной функцией (формой), если существует такая симметричная билинейная функция g, что f (a) = g(a, a) для любого a ∈ V .
Заметим, что если f — квадратичная функция, то
f (a + b) = g(a + b, a + b) = g(a, a) + g(a, b) + g(b, a) + g(b, b),
следовательно, g(a, b) =
1 2
(f (a + b) − f (a) − f (b)). Таким образом, симметричные билинейные функции и квадратичные функции находятся во взаимно однозначном соответствии.
41

Утверждение 5.2.4 Любая билинейная функция допускает единственное разложение в
сумму симметричной и кососимметричной билинейных функций.
Доказательство.
Существование указанного разложения очевидно, т.к. g(a, b) =
1 2
(g(a, b) + g(b, a)) +
1 2
(g(a, b) −
g(b, a)).
Единственность. Сначала убедимся, что если билинейная функция одновременно симметрична и кососимметрична, то она нулевая. Действительно, если g(a, b) = g(b, a) = −g(b, a), то 2g(b, a) =
0, поэтому g(b, a) = 0 для всех a, b.
Пусть теперь функция g обладает двумя разложениями указанного вида, g = g
1
+ g
2
= h
1
+ h
2
,
где g
1
, h
1
симметричны, а g
2
, h
2
кососимметричны. Тогда 0 = (g
1
− h
1
) + (g
2
− h
2
), откуда следует,
что как функция g
2
− h
2
, так и функция g
1
− h
1
, должна быть одновременно симметричной и кососимметричной, поэтому обе эти функции равны нулю.
¤
5.3
Ортогональное дополнение
Определение 5.3.1 Пусть V ⊂ W , а на W задана (косо)симметричная билинейная функция
g, тогда V
⊥
g
= {a ∈ W : g(a, b) = 0 ∀b ∈ V }.
Пример.
Пусть G =
µ
−1 0 0
1
¶
в базисе e
1
, e
2
и пусть a = e
1
+ e
2
. Обозначим V
1
= he
1
i, V
2
= he
2
i,
V
3
= hai. Тогда V
⊥
g
1
= V
2
, V
⊥
g
3
= V
3
. Видно, что ортогональное дополнение в случае произвольной билинейной симметричной функции не очень похоже на обычное ортогональное дополнение.
Случай кососимметричной билинейной функции будет выглядеть еще более экзотичным.
Лемма 5.3.2 dim V
⊥
g
> dim W − dim V , причем равенство достигается тогда и только
тогда, когда Ker g ∩ V = {0}.
Доказательство. Выберем базис e
1
, . . . , e
r
в V . Тогда любой вектор b ∈ V можно записать в виде b = b
i
e
i
, 1 6 i 6 r. Тогда условие a ∈ V
⊥
g
эквивалентно равенствам g(a, e
i
) = 0 для всех
i = 1, . . . , r. Дополним выбранный базис до базиса всего пространства. Тогда на n координат вектора a мы будем иметь систему из r линейных уравнений
(
g(a, e
1
) = 0
. . . . . .
. . .
g(a, e
r
) = 0.
Размерность пространства решений этой системы (т.е. пространства V
⊥
g
) удовлетворяет неравенству dim V
⊥
g
> n − r = dim W − dim V (здесь стоит неравенство, потому что некоторые уравнения системы могут быть линейно зависимыми).
Равенство будет достигаться тогда и только тогда, когда ранг этой системы равен в точности
r, т.е. все строки линейно независимы. Пусть для некоторых коэффициентов λ
i
r
X
i=1
λ
i
g(a, e
i
) = g(a,
r
X
i=1
λ
i
e
i
) = g(a, b) = 0
(здесь b =
P
r
i=1
λ
i
e
i
∈ V ). Если ранг системы уравнений меньше r, т.е. если строки линейно зависимы, то это равносильно тому, что для некоторого b ∈ V , b 6= 0, равенство g(a, b) = 0
выполнено для всех a ∈ W (т.е. отображение a 7→ g(a, b) тождественно равно нулю). Но это значит, что b ∈ Ker g, или, другими словами, V ∩ Ker g 6= {0}. Но тогда линейная независимость,
наоборот, означает, что V ∩ Ker g = {0}.
¤
Лемма 5.3.3 V ∩ V
⊥
g
= Ker g
V
, где g
V
— ограничение g на V .
42

Доказательство. Возьмем произвольный вектор a ∈ V ∩ V

1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   14

скачати