Ім'я файлу: linalg2008.pdf
Розширення: pdf
Розмір: 612кб.
Дата: 12.05.2022
скачати
Пов'язані файли:
загальна алгебра.pdf

1.6
Пересечение и сумма подпространств
Лемма 1.6.1 Пусть даны два линейных подпространства V
1
и V
2
пространства W , тогда
V
1
∩ V
2
также является линейным подпространством.
Доказательство. Для доказательство необходимо проверить, что множество V
1
∩V
2
замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляры. Т.к. множества V
1
и V
2
замкнуты относительно этих операций, то ∀x, y ∈ V
1
∩V
2
, ∀λ ∈ K получаем, что x+y, λx ∈ V
1
и x+y, λx ∈ V
1
,
следовательно, x + y, λx ∈ V
1
∩ V
2
¤
Замечание. В отличие от пересечения, объединение подпространств V
1
∪ V
2
в общем случае не будет линейным подпространством. Например, если V
1
= h
√
2i, а V
2
= h
√
3i над полем Q, то вектор
√
2 +
√
3 не будет принадлежать V
1
∪ V
2
Определение 1.6.2 Суммой V
1
+ V
2
подпространств V
1
и V
2
называется множество всех векторов v ∈ W , которые можно представить в виде суммы v = v
1
+ v
2
, где v
1
∈ V
1
и v
2
∈ V
2
, т.е.
V
1
+ V
2
= hV
1
∪ V
2
i.
Лемма 1.6.3 Для любых двух подпространств V
1
и V
2
их сумма V
1
+ V
2
также будет
линейным пространством.
Доказательство. Возьмем произвольные векторы a, b ∈ V
1
+ V
2
, a = a
1
+ a
2
, b = b
1
+ b
2
,
a
1
, b
1
∈ V
1
, a
2
, b
2
∈ V
2
. Тогда a+b = (a
1
+b
1
)+(a
2
+b
2
) ∈ V
1
+V
2
. Аналогично доказывается, что для
λ ∈ K, a ∈ V
1
+V
2
, их произведение λa ∈ V
1
+V
2
. Очевидно, что все условия определения линейного пространства будут выполнены, следовательно V
1
+ V
2
является линейным пространством.
¤
Теорема 1.6.4 dim V
1
+ dim V
2
= dim(V
1
+ V
2
) + dim(V
1
∩ V
2
).
Доказательство. Пусть e
1
, . . . , e
r
— базис в V
1
∩ V
2
, dim(V
1
∩ V
2
) = r. Т.к. V
1
∩ V
2
⊂ V
1
и
V
1
∩ V
2
⊂ V
2
, то этот базис можно дополнить до базисов в V
1
и V
2
Пусть e
1
, . . . , e
r
, e
r+1
, . . . , e
r+p
— базис в V
1
, dim V
1
= r + p; e
1
, . . . , e
r
, e
r+p+1
, . . . , e
r+p+q
— базис в V
2
, dim V
1
= r + q. Докажем, что e
1
, . . . , e
r
, e
r+1
, . . . , e
r+p
, e
r+p+1
, . . . , e
r+p+q
— базис в V
1
+ V
2
:
1) (линейная независимость). Пусть λ
1
e
1
+ . . . + λ
r+p+q
e
r+p+q
= 0, тогда
λ
1
e
1
+ . . . + λ
r
e
r
+ λ
r+1
e
r+1
+ . . . + λ
r+p
e
r+p
|
{z
}
∈V
1
=
= −(λ
r+p+1
e
r+p+1
+ . . . + λ
r+p+q
e
r+p+q
)
|
{z
}
∈V
2
= v,
следовательно, v ∈ V
1
∩ V
2
, и его можно разложить по базису, v = α
1
+ . . . + α
r
e
r
, тогда
0 = v − v = α
1
+ . . . + α
r
e
r
+ λ
r+p+1
e
r+p+1
+ . . . + λ
r+p+q
e
r+p+q
,
следовательно λ
r+p+1
= . . . = λ
r+p+q
= 0 и α
1
= . . . = α
r
= 0, т.к. e
1
, . . . , e
r
, e
r
p
+1
, . . . , e
r+p+q
линейно независимы. Поэтому v = 0. Но тогда v = λ
1
e
1
+ . . . + λ
r
e
r
+ λ
r+1
e
r+1
+ . . . + λ
r+p
e
r+p
= 0,
и из линейной независимости системы векторов e
1
, . . . , e
r
, e
r+1
, . . . , e
r+p
заключаем, что λ
1
=
. . . = λ
r
= λ
r+1
= . . . = λ
r+p
= 0. Итак, все λ
i
= 0, i = 1, . . . , r + p + q, следовательно
e
1
, . . . , e
r
, e
r+1
, . . . , e
r+p
, e
r+p+1
, . . . , e
r+p+q
линейно независимы.
2) (максимальность). Возьмем произвольный вектор a ∈ V
1
+ V
2
, a = a
1
+ a
2
, где a
1
∈ V
1
,
a
2
∈ V
2
. Разложим векторы a
1
и a
2
по базисам,
a
1
= λ
1
e
1
+ . . . + λ
r
e
r
+ λ
r+1
e
r+1
+ . . . + λ
r+p
e
r+p
,
a
2
= µ
1
e
1
+ . . . + µ
r
e
r
+ µ
r+p+1
e
r+p+1
+ . . . + µ
r+p+q
e
r+p+q
,
тогда
a = (λ
1
+ µ
1
)e
1
+ . . . + (λ
r
+ µ
r
)e
r
+ λ
r+1
e
r+1
+ . . . + λ
r+p
e
r+p
+
+ µ
r+p+1
e
r+p+1
+ . . . + µ
r+p+q
e
r+p+q
,
следовательно система векторов e
1
, . . . , e
r
, e
r+1
, . . . , e
r+p
, e
r+p+1
, . . . , e
r+p+q
является базисом в
1
+
2
, значит, dim(V
1
+ V
2
) = r + p + q, откуда следует утверждение теоремы.
¤
7

1.7
Прямая сумма подпространств. Внешняя прямая сумма
Определение 1.7.1 Сумма подпространств V
1
+V
2
называется прямой суммой (обозначение
V
1
⊕ V
2
), если V
1
∩ V
2
= {0}.
Следствие 1.7.2 dim(V
1
⊕ V
2
) = dim V
1
+ dim V
2
.
Доказательство. Утверждение следствия очевидно вытекает из предыдущей теоремы.
¤
Лемма 1.7.3 Следующие утверждения эквиваленты:
(i) сумма V
1
+ V
2
прямая;
(ii) dim V
1
+ dim V
2
= dim(V
1
+ V
2
);
(iii) разложение любого вектора a вида a = v
1
+ v
2
, где v
1
∈ V
1
, v
2
∈ V
2
, единственно;
(iv) если 0 = v
1
+ v
2
, где v
1
∈ V
1
, v
2
∈ V
2
, то v
1
= v
2
= 0.
Доказательство. То, что 1) ⇐⇒ 2), вытекает из последнего следствия предыдущей лекции.
Докажем, что 1) ⇒ 4). Пусть 0 = v
1
+ v
2
, v
1
∈ V
1
, v
2
∈ V
2
, но v
1
6= 0, а следовательно и v
2
6= 0,
тогда получаем, что v
2
= −v
1
, т.е. v
2
∈ V
1
и , следовательно V
1
∩V
2
3 v
2
6= 0, т.е. сумма не прямая.
1) ⇐ 4) доказывается аналогично. Если сумма не прямая, то ∃v ∈ V
1
∩ V
2
, v 6= 0, тогда v ∈ V
1
,
−v ∈ V
2
и 0 = v + (−v).
Докажем 4) ⇒ 3). Пусть у некоторого вектора a есть два разложения, a = v
1
+ v
2
= v
0
1
+ v
0
2
,
v
1
, v
0
1
∈ V
1
, v
2
, v
0
2
∈ V
2
, тогда 0 = (v
1
= v
0
1
)
|
{z
}
∈V
1
+ (v
2
− v
0
2
)
| {z }
∈V
2
. Но тогда v
1
− v
0
1
= v
2
− v
0
2
= 0.
То, что 4) ⇐ 3) очевидно, т.к. разложение любого вектора единственно, то и разложение нулевого вектора единственно.
¤
Понятие прямой суммы можно обобщить на любое конечное число подпространств: сумма
V
1
+ . . . + V
n
будет прямой, если
∀i = 1, . . . , n V
i
∩ (V
1
+ . . . + V
i−1
+ V
i+1
+ . . . + V
n
) = {0}.
(2)
Если сумма V
1
+ . . . + V
n
прямая, то для любого вектора a из этой суммы разложение вида
a = v
1
+ . . . + v
n
, где v
i
∈ V
i
, i = 1, . . . , n, единственно.
Замечание. Условие (2) более сильное, чем условие V
i
∩ V
j
= {0} ∀i, j = 1, . . . , n. Например,
если взять три прямые (вектора, коллинеарные этим прямым), пересекающиеся в одной точке,
то сумма любых двух из них будет прямой суммой, но сумма всех трех — нет, т.к. любой вектор третьей прямой можно представить в виде суммы векторов первых двух прямых, следовательно его разложение не будет единственно.
Внешняя прямая сумма
Определение 1.7.4 Внешней прямой суммой двух линейных пространств V
1
, V
2
над одним полем K (не обязательно являющихся подпространствами одного пространства) называется новое линейное пространство V
1
⊕ V
2
над полем K, состоящее из всех пар (v
1
, v
2
), где v
i
∈ V
i
, i = 1, 2, с операциями сложения и умножения на скаляры:
1) (v
1
, v
2
) + (v
0
1
, v
0
2
) = (v
1
+ v
0
1
, v
2
+ v
0
2
),
2) λ(v
1
, v
2
) = (λv
1
, λv
2
),
где v
i
, v
0
i
∈ V
i
, λ ∈ K.
Если при этом отождествить сами пространства V
1
и V
2
с подмножествами внешней прямой суммы следующим образом: V
1
↔ (V
1
, 0) и V
2
↔ (0, V
2
), то их можно рассматривать как подпространства пространства V
1
⊕ V
2 8

1.8
Координаты
Определение 1.8.1 Пусть дано линейное пространство V
и базис e
1
, . . . , e
n
этого пространства, тогда любой вектор x ∈ V можно представить в виде x = λ
1
e
1
+ . . . + λ
n
e
n
. Числа
λ
1
, . . . , λ
n
∈ K называются координатами вектора x в этом базисе.
Введем некоторые соглашения для записи координат. Индексы у координат мы обычно будем писать не снизу, а сверху, т.е. не x
i
, а x
i
. Вместо длинной записи x = x
1
e
1
+ . . . + x
n
e
n
мы часто будем писать x
i
e
i
, на самом деле подразумевая сумму
P
n
i=1
x
i
e
i
. Координаты векторов мы часто будем записывать в виде столбцов, т.е. x =


x
1
x
n

.
Корректность определения координат следует из свойств базиса (линейная независимость и максимальность).
Замена координат
Пусть нам даны два базиса e
1
, . . . , e
n
и e
e
1
, . . . , e
e
n
одного векторного пространства, тогда можно записать следующие равенства:
e
e
1
= c
1 1
e
1
+ . . . + c
n
1
e
n
,
. . .
. . .
. . .
e
e
n
= c
1
n
e
1
+ . . . + c
n
n
e
n
,
которые равносильны одному матричному равенству
(e
e
1
. . . e
e
n
) = (e
1
. . . e
n
)


c
1 1
. . . c
1
n
c
n
1
. . . c
n
n

 .
Матрица
C =


c
1 1
. . . c
1
n
c
n
1
. . . c
n
n


называется матрицей перехода от базиса e
1
, . . . , e
n
к базису e
e
1
, . . . , e
e
n
Лемма 1.8.2 Пусть x
1
, . . . , x
n
— координаты вектора x в базисе e
1
, . . . , e
n
, а e
x
1
, . . . , e
x
n
—
координаты этого же вектора в базисе e
e
1
, . . . , e
e
n
. Тогда


x
1
..
.
x
n

 = C


e
x
1
..
.
e
x
n

 .
Доказательство. Так как x
j

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

скачати