Ім'я файлу: linalg2008.pdf
Розширення: pdf
Розмір: 612кб.
Дата: 12.05.2022
скачати
Пов'язані файли:
загальна алгебра.pdf

Лемма 1.9.2 Если f : V → W — изоморфизм, то обратное отображение f
−1
: W → V
также будет изоморфизмом.
Доказательство. поскольку отображение f взаимно однозначно. Докажем только первый пункт, т.е., что f
−1
(w
1
+ w
2
) = f
−1
(w
1
) + f
−1
(w
2
) ∀w
1
, w
2
∈ W (второй пункт доказывается аналогично):
f (f
−1
(w
1
) + f
−1
(w
2
)) = f (f
−1
(w
1
)) + f (f
−1
(w
2
)) = w
1
+ w
2
= f (f
−1
(w
1
+ w
2
)),
следовательно f
−1
(w
1
) + f
−1
(w
2
) = f
−1
(w
1
+ w
2
), т.к. отображение f взаимно однозначно.
¤
Таким образом, изоморфность является отношением эквивалентности, т.е. обладает свойствами симметричности (любое пространство изоморфно самому себе), рефлексивности (если V
изоморфно W , то W изоморфно V ) и транзитивности (если V изоморфно W и W изоморфно U ,
то V изоморфно U ).
Лемма 1.9.3 Если dim V = n, то V изоморфно пространству K
n
столбцов (строк) из n
элементов.
Доказательство.
Пусть e
1
, . . . , e
n
— базис в V , тогда построим отображение f : V → K
n
следующим образом: если x = x
i
e
i
, то f (x) =


x
1
x
n

. Легко проверить, что это отображение будет изоморфизмом, а следовательно V ∼
= K
n
¤
Следствие 1.9.4 Если dim V = dim W , то V ∼
= W .
Доказательство. Пусть dim V = dim W = n, тогда V ∼
= K
n
∼
= W .
¤
Верно и обратное:
Лемма 1.9.5 Если V ∼
= W , то dim V = dim W .
Доказательство. Допустим, что dim V < dim W , пусть e
1
, . . . , e
n
— базис в W , тогда вектора
f (e
1
), . . . , f (e
n
) ∈ V должны быть линейно независимыми. Действительно, если λ
1
f (e
1
) + . . . +
λ
n
f (e
n
) = 0, то, применив к обеим частям этого равенства отображение f
−1
, получим λ
1
e
1
+ . . . +
λ
n
e
n
= 0, откуда λ
1
= . . . = λ
n
= 0. Но их линейная независимость противоречит предположению dim V < n.
¤
Лемма 1.9.6 Пусть dim V = dim W , а отображение f : V → W удовлетворяет условиям
линейности:
1) f (v
1
+ v
2
) = f (v
1
) + f (v
2
) ∀v
1
, v
2
∈ V ,
2) f (λv) = λf (v) ∀v ∈ V, λ ∈ K.
Пусть e
1
, . . . , e
n
— базис в V . Тогда f является изоморфизмом тогда и только тогда, когда
f (e
1
), . . . , f (e
n
) — базис в W .
Доказательство. Если f — изоморфизм, то из равенства λ
1
f (e
1
) + . . . + λ
n
f (e
n
) = 0 следует
f (λ
1
e
1
+ . . . + λ
n
e
n
) = 0, откуда заключаем, что λ
1
e
1
+ . . . + λ
n
e
n
= 0, значит, все λ
i
= 0.
Обратно, пусть f (e
1
, . . . , f (e
n
)) — базис в W . Для проверки взаимной однозначности отображения f достаточно проверить, что отображение f
−1
корректно определено. Пусть w ∈ W
имеет разложение по базису w = w
1
f (e
1
)+. . .+w
n
f (e
n
). Тогда определим отображение g : W → V
равенством g(w) = w
1
e
1
+ . . . + w
n
e
n
. Очевидная проверка показывает, что g = f
−1
¤
10

1.10
Двойственное векторное пространство
Напомним, что линейным функционалом на векторном пространстве V (над полем K) называется отображение f : V → K, удовлетворяющее условиям линейности
1) f (v
1
+ v
2
) = f (v
1
) + f (v
2
) ∀v
1
, v
2
∈ V ;
2) f (λv) = λf (v) ∀v ∈ V, λ ∈ K.
Зададим на множестве V
0
всех линейных функционалов f : V → K, операции:
1) (f
1
+ f
2
)(v) = f
1
(v) + f
2
(v), f
1
, f
2
∈ V
0
;
2) (λf )(v) = λf (v), f ∈ V
0
, λ ∈ K.
Эти операции превращают V
0
в линейное пространство. Это пространство называется
двойственным пространством к V .
Лемма 1.10.1 V ∼
= V
0
.
Доказательство. Пусть e
1
, . . . , e
n
— базис в V , тогда докажем, что ε
1
, . . . , ε
n
будет базисом в V
0
, где функционалы ε
i
∈ V
0
, i = 1, . . . , n, определяются равенствами ε
i
(e
j
) = δ
i
j
(δ
i
j
— символ
Кронекера, т.е. δ
i
j
=
½
1 при i = j
0 при i 6= j . Поскольку f (x
i
e
i
) = x
i
f (e
i
), то значение функционала на произвольном векторе полностью определяется значениями функционала на базисных векторах и координатами этого вектора, т.е. функционалы ε
i
полностью заданы нашими условиями. Нам нужно доказать два пункта:
1) линейная независимость векторов ε
1
, . . . , ε
n
. Если f = λ
1
ε
1
+ . . . + λ
n
ε
n
= 0 (равенство нулю в V
0
означает, что f (v) = 0 для любого вектора v ∈ V ), то f (e
i
) = λ
i
= 0, т.е. все λ
i
= 0.
Следовательно эти функционалы линейно независимы.
2) максимальность, т.е. что ∀f ∈ V
0
, ∃λ
1
, . . . , λ
n
∈ K такие что f = λ
i
ε
i
. Возьмем произвольный функционал f ∈ V
0
, тогда, если x = x
i
e
i
, то f (x) = x
i
f (e
i
). Возьмем λ
i
= f (e
i
), тогда получим,
что
f (x) = x
i
f (e
i
) = x
i
λ
i
= λ
i
x
j
ε
i
(e
j
) = λ
i
ε
i
(x
j
e
j
) = λ
i
ε
i
(x),
что и требовалось доказать.
¤
Пусть нам даны базисы e
1
, . . . , e
n
и e
e
1
, . . . , e
e
n
в пространстве V и двойственные к ним базисы
ε
1
, . . . , ε
n
и e
ε
1
, . . . , e
ε
n
в пространстве V
0
. Пусть C — матрица перехода от базиса e
1
, . . . , e
n
к e
e
1
, . . . , e
e
n
, найдем матрицу перехода от базиса ε
1
, . . . , ε
n
к e
ε
1
, . . . , e
ε
n
. Возьмем произвольный функционал f ∈ V
0
, тогда f = f
i
ε
i
= e
f
j
e
ε
j
, где f
i
и e
f
j
— это координаты функционала f в базисах
ε
1
, . . . , ε
n
и e
ε
1
, . . . , e
ε
n
соответственно. Вычислим значение функционала f на векторе e
e
k
двумя способами. С одной стороны, f (e
e
k
) = e
f
j
e
ε
j
(e
e
k
) = e
f
k
, а с другой стороны, f (e
e
k
) = f
i
ε
i
(c
j
k
e
j
) = f
i
c
i
k
,
так как (e
e
1
. . . e
e
n
) = (e
1
. . . e
n
)C. Отсюда получаем, что e
f
k
= f
i
c
i
k
. Следовательно ( e
f
1
. . . e
f
n
) =
(f
1
. . . f
n
)C, или (после транспонирования, обозначенного индексом t)


f
1
f
n

 = (C
−1
)
t



e
f
1
e
f
n


,
и, наконец, отсюда получаем связь между базисами: (e
ε
1
. . . e
ε
n
) = (ε
1
. . . ε
n
)(C
−1
)
t
, т.е. матрица перехода от базиса ε к e
ε равна (C
−1
)
t
Мы доказали, что V ∼
= V
0
, однако выбор изоморфизма f : V → V
0
зависит от выбора базиса в пространстве V . Действительно, пусть V = R, тогда базисом является любое ненулевое число
e ∈ R. Выберем также еще один базис e
e = λe, λ 6= 0, 1. Пусть ε — базис в V
0
, двойственный к e,
т.е. ε(e) = 1, а e
ε — двойственный базис к e
e, т.к. e
ε(e
e) = 1, то e
ε = λ
−1
e. Изоморфизм f : V → V
0
,
отвечающий базису e, задан следующим образом: ∀x = αe, f (x) = αε. Перейдем к базису e
e, тогда изоморфизм e
f : V → V
0
будет задаваться следующим образом: e
f (x) = e
f (αλ
−1
e
e) = αλ
−2
ε. Т.е.
разные выборы базиса в пространстве V дают разные изоморфизмы!
Пример: двойственное пространство пространства многочленов
Рассмотрим пространство K
n
[x] многочленов степени не выше n с коэффициентами из поля K от переменной x ∈ K. Зафиксируем произвольное x = x
0
, и каждому многочлену p(x) поставим в
11

соответствие число p(x) 7→ p(x
0
) ∈ K. Каждое x
0
задает свое отображение ev
x
0
: K
n
[x] → K. Т.к.
ev
x
0
(p(x) + q(x)) = p(x
0
) + q(x
0
) = ev
x
0
(p(x)) + ev
x
0
(q(x))
и ev
x
0
(λp(x)) = λev
x
0
(p)x, то отображение ev
x
0
линейно для каждого x
0
. Таким образом, каждое значение x
0
задает элемент ev
x
0
двойственного пространства K
n
[x]
0
Лемма 1.10.2 Если x
0
, x
1
, . . . , x
n
— попарно различные значения, то ev
x
0
, ev
x
1
, . . . , ev
x
n
будет базисом в двойственном пространстве K
n
[x]
0
.
Доказательство. Если нам удастся построить базис в пространстве K
n
[x], который будет двойственным к ev
x
0
, ev
x
1
, . . . , ev
x
n
, то отсюда будет следовать, что ev
x
0
, ev
x
1
, . . . , ev
x
n
будет двойственным к базису в K
n
[x], т.е. будет базисом в K
n
[x]
0
. Построим такой базис:
Нам нужно найти такие многочлены p
0
(x), p
1
(x), . . . , p
n
(x), что ev
x
i
(p
j
(x)) = δ
j
i
, т.е. значение
i-й функции ev
x
i
на всех базисных многочленах, кроме p
i
(x), равно 0, а на p
i
(x) равно 1. Эти многочлены можно построить, используя, например, интерполяционную формулу Лагранжа:
p
i
(x) =
(x − x
0
) . . . (x − x
i−1
)(x − x
i+1
) . . . (x − x
n
)
(x
i
− x
0
) . . . (x
i
− x
i−1
)(x
i
− x
i+1
) . . . (x
i
− x
n
)
.
Докажем, что эти многочлены образуют базис.
1) линейная независимость: p(x) = λ
i
p
i
(x) = 0 только, если все λ
i
= 0, т.к. p(x
i
) = λ
i
∀i.
2) максимальность: возьмем произвольный многочлен p(x), тогда p(x) = p(x
i
)p
i
(x), т.е.
является линейной комбинацией многочленов p
i
(x).
(здесь, согласно тензорным обозначениям, подразумевается суммирование по индексу i).
Таким образом, мы доказали, что p
0
(x), p
1
(x), . . . , p
n
(x) — базис в K
n
[x], а значит двойственный к нему базис ev
x
0
, ev
x
1
, . . . , ev
x
n
будет базисом в K
n
[x]
0
¤
12

2
Евклидовы и унитарные пространства
2.1
Евклидовы и унитарные пространства
Определение 2.1.1 Линейное пространство V над полем R называется евклидовым, если на нем определена функция f : V × V → R (обозначается f (a, b) = (a, b) и называется скалярным произведением), удовлетворяющая следующим свойствам:
1) линейность по второму аргументу: (a, b + λc) = (a, b) + λ(a, c) для любых a, b, c ∈ V , λ ∈ R;
2) симметричность: (b, a) = (a, b) для любых a, b ∈ V ;
3) положительная определенность: (a, a) > 0 для любого a ∈ V , причем, если (a, a) = 0, то
a = 0.
Видно, что благодаря второму свойству эта функция также будет линейной и по первому аргументу, т.е. она билинейна.
Определение 2.1.2 Линейное пространство V над полем C называется унитарным (или
эрмитовым), если на нем определена функция f : V × V → C (обозначается
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

скачати