Ім'я файлу: 94507.docx
Розширення: docx
Розмір: 799кб.
Дата: 24.11.2020
скачати
Пов'язані файли:
Сферична геометрія.docx
Розширення: docx
Розмір: 799кб.
Дата: 24.11.2020
скачати
Пов'язані файли:
Сферична геометрія.docx
3.1.6. Заняття № 6.
Тема уроку: Загальна схема розв’язування лінійних діофантових рівнянь.
Мета уроку:
- ознайомити учнів із поняттям лінійного діофантового рівняння та загальною схемою його розв’язання.
- сформувати вміння розв’язувати лінійні діофантові рівняння, використовуючи загальну схему їх розв’язання.
Хід уроку:
Після того, коли учні усвідомили найпростіші методи розв’язування діофантових рівнянь, слід перейти до більш складного матеріалу, а саме до специфічних методів розв’язування лінійних діофантових рівнянь.
Для більш глибокого усвідомлення учнями загальної схеми розв’язування лінійних діофантових рівнянь, розглянемо її застосування на прикладі.
Приклад 1: Розв’язати рівняння
у цілих числах.Розв’язання:
Знайдемо спочатку будь-який конкретний розв’язок цього рівняння, звичайним підбором:
Так як
, то 
і отже, 
, 
- це конкретний розв’язок нашого рівняння (один з багатьох, не більше!) отже, ; 
.Тепер віднімемо одне рівняння від другого:
,
,
.У останньому рівнянні позначимо
через 
, а 
через 
, тобто:
Звідси легко бачити, що
ділиться на 3, а на 5.Отже, покладемо
, тоді 
, тут 
, очевидно, може бути будь-яким цілим числом. Тепер, якщо повернутися назад, до заміни, ми одержимо набір розв’язків:
, тобто
, де може бути будь-яким цілим числом.Останні вирази для
та 
і є загальним розв’язком даного лінійного рівняння в цілих числах.Після розгляду приклада, доцільно показати учням лінійне рівняння та його розв’язки у загальному вигляді.
Теорема: Якщо пара цілих чисел
, 
задовольняє рівнянню:
, де , , 
- цілі числа і НСД 
, то 
, 
, де - довільне ціле число, є спільним розв’язком цього рівняння в цілих числах.Приклад 2: Розв’язати рівняння у цілих числах:
.Розв’язання:
НСД
, також 15 не ділиться на НСД 
, тобто це рівняння не має розв’язків у цілих числах.Звичайно, інших розв’язків рівняння
не має, цей момент учні повинні дуже чітко усвідомлювати.Не розуміючи того, що пари
вичерпують усі розв’язки даного рівняння, неможливо рухатися далі.Доводити цю теорему недоцільно, бо розв’язання конкретного лінійного рівняння по суті і є доведенням цієї теореми, а доцільно запропонувати самостійно розв’язати приклад з повним виведенням формул для загального розв’язку.
Приклад 3: Розв’язати рівняння
в цілих числах.Розв’язання:
Розділимо обидві частини рівняння на НСД
, отримаємо рівносильне рівняння: 
НСД
.Знайдемо конкретний розв’язок даного рівняння:
Так як
, отже 
, 
- конкретний розв’язок нашого рівняння.Отже,
; 
.Почленно віднімемо одне рівняння від другого:
Позначимо
за , а за . Отже,
Тепер видно, що
ділиться на 1, а - кратне 4, а отже можна покласти, що:
; 
.Повертаємося до заміни:
, тобто
, де може бути будь яким цілим числом.Наступні приклади краще розв’язувати використовуючи сформульовану теорему.
Приклад 4: Розв’язати рівняння
в цілих числах.Розв’язання:
За теоремою, треба знайти будь-який конкретний розв’язок рівняння.
Так як
, то 
, 
- конкретний розв’язок даного рівняння.Отже, за теоремою:
.З нашого рівняння:
, 
.Тобто:
, де - довільне ціле число.Для самостійного розв’язку учнів:
Приклади: Знайти цілі розв’язки рівнянь:
а)
с) 
б)
д) 
Розв’язання:
а)
Знайдемо конкретний розв’язок рівняння:
, тобто
, 
- конкретний розв’язок рівняння. Для даного рівняння 
, 
.
, 
.б)
Знайдемо конкретний розв’язок:
. Отже 
, 
- конкретний розв’язок рівняння. Для цього рівняння
, 
.
, .с)
Конкретний розв’язок:
, 
. Для даного рівняння
, 
.
, .д)
Конкретний розв’язок:
, . Для даного рівняння
, 
.
, .Домашнє завдання:
1. Розв’язати рівняння
у цілих числах (вивести формули для загального розв’язку).Відповідь:
, .2. Розв’язати рівняння у цілих числах:
а)
б) 
Відповідь:
а)
б) 
, 
, .Висновки.
Проблема розв’язування діофантових рівнянь являє собою одну з найбільш складних та цікавих проблем теорії чисел. Тому дуже багато математиків у своїх роботах приділяють особливу увагу питанням розв’язку діофантових рівнянь. Це стосується як вчених давнини: Піфагора, Діофанта Олександрійського, Брахмагупти, Пхаскари, так і вчених більш близької доби: П. Ферма, Ж.Л. Лагранжа.
Однак, ця проблема розв’язана не до кінця. Лише для рівнянь другого степеню з двома невідомими вона розв’язана повністю. Це означає, що немає такого алгоритму, користуючись яким можна було б про всяке діофантове рівняння сказати, чи розв’язане воно в цілих числах. Якби такий алгоритм існував, то достатньо було б його застосувати до рівняння Ферма, щоб питання про розв’язаність чи нерозв’язаність цього рівняння в цілих числах було з’ясоване. Але загального порядку дій немає, і теорема Ферма продовжує хвилювати уми математиків.
І все ж не слід відмовлятись від спроб знайти доведення теореми. Адже заняття математикою – це своєрідна безпрограшна лотерея. Не розв’язавши проблеми, ви, однак завжди знайдете багато важливих і корисних результатів.
Завдання, які зводяться до діофантових рівнянь, дуже часто зустрічаються на математичних олімпіадах різних рівнів. Тому доцільно познайомити учнів з основними поняттями, пов’язаними із діофантовими рівняннями та ідеями розв’язування задач, які до них зводяться.
В даній роботі виділено основні методи розв’язування задач, пов’язаних із діофантовими рівняннями; підібрано різнорівневу систему завдань для відпрацювання кожного методу; розроблено систему занять по ознайомленню учнів із завданнями, що зводяться до таких рівнянь.
За рахунок того, що в роботі підібрано різнорівневу систему вправ, розроблені матеріали можна використовувати при роботі з учнями як 6-7 так і 8-9 класів.Розроблені матеріали частково апробувалися під час підготовки до II етапу олімпіади з математики учнів 8-9 класів Ізюмської ЗОШ I-III ступенів №11.
Література
Кованцов М.І. Математична хрестоматія. Алгебра і початки аналізу. – 1977. – с.25, 91-92.
Миронюк В., Ясінський М. Методика розв’язування олімпіадних задач, пов’язаних з показниковими та степенево-показниковими діофантовими рівняннями. // Математика в школі. – 2005. – №3 . – с.47-49.
Плис Т.В. Вивчення діофантових рівнянь у шкільному курсі алгебри. // Математика в школах України. – 2006. – №35. – с.21-24.
Малинин В. Решение уравнений в натуральных числах. //Математика. – 2001. – №2. – с.25-28.
Черепинський О. Розв’язування рівнянь у цілих числах. // Математика. – 2005. – №29-30. – с.22-26.
Тищенко В.В. Діофантові рівняння. http://klasnaocinka.com.ua/ru/article/diafantovi-rivnyannya-tvorcha-robota.html
Чемерис М І. http://metodportal.net/node/5645
1 2 3 4 5