Ім'я файлу: 94507.docx
Розширення: docx
Розмір: 799кб.
Дата: 24.11.2020
скачати
Пов'язані файли:
Сферична геометрія.docx
Розширення: docx
Розмір: 799кб.
Дата: 24.11.2020
скачати
Пов'язані файли:
Сферична геометрія.docx
3.1.2. Заняття № 2.
Тема уроку: Розв’язування діофантових рівнянь, використовуючи властивості подільності.
Мета уроку: формування вміння розв’язувати діофантові рівняння за допомогою властивостей подільності чисел; продовження формування вміння розв’язувати тестові задачі.
Хід уроку:
Почати урок слід з перевірки домашнього завдання.
Далі доцільно підвести дітей до висновку, що вивчений ними на минулому уроці метод не завжди раціональний, займає багато часу. Його зручно використовувати лише у випадках невеликого перебору.
Більш поширеним та дієвим найпростішим методом розв’язування діофантових рівнянь є метод, пов’язаний із властивостями подільності чисел.
Рівняння, що розв’язуються таким методом можна поділити на окремі групи. Кожній групі доцільно присвятити по цілому уроку. Метод доцільно детально розбирати на конкретних прикладах. Спочатку треба розглянути приклад з попереднього уроку.
Задача1. Знайти двозначне число, яке дорівнює подвоєному добутку його цифр.
Розв’язання: Склавши рівняння, маємо:
Звідси
Якщо уважно придивиться, то можна побачити, що вираз
- ціле число.Отже,
- парна цифра (ділиться на 2), більша 5 (
, бо інакше отримаємо 
), тобто необхідно перевірити тільки значення 
, 
. При отримуємо 
. Не задовольняє умові задачі і , бо у цьому випадку рівність дає 
.Відповідь : шукане число 36.
Треба звернути увагу учнів на те, що проста оцінка виразу (використали властивість подільності) звела перебор до мінімуму.
Отже, метод використання подільності чисел при розв’язуванні діофантових рівнянь полягає у наступному: треба рівняння представити у такому вигляді, щоб можна було легко оцінити вираз, використовуючи властивості подільності чисел, і вже потім конкретно перебирати декілька значень.
Задача2:Хлопці збирали гриби. Один з них знайшов 6 грибів, а інші по 13 грибів кожний. На наступний день кількість хлопців була іншою, один з них знайшов 5 грибів, а інші по 10 грибів кожний. Скільки хлопчиків збирали гриби у перший і другий день, якщо кількість зібраних грибів у обох була однакова? Відомо, що це ціле число більше за і менше за 200.
Розв’язання:
Для розв’язання цієї задачі достатньо введення двох невідомих.
Нехай у перший день збирали гриби
хлопців, а у другий - хлопців.Тоді за умовою задачі отримуємо рівняння:
Виразимо одне невідоме через інше (у даному випадку зручніше виразити
через , так як коефіцієнт біля дорівнює 10, а подільність на 10 легко перевірити):
.Далі можна використати метод повного перебору, а саме послідовно перебрати натуральні значення
і шукати ті з них, для яких значення буде цілим. Однак цей шлях дуже громіздкий.Легко бачити, що для подільності на 10 число
повинно закінчуватися цифрою 0, але тоді число 
повинно закінчуватися цифрою 2. Так як останню цифра добутку одержуємо, коли множимо останні цифри множників,значить, число повинно закінчуватись цифрою 4, тобто число може бути рівним 4; 14; 24; ...Але з умови задачі відомо, зо кількість грибів, зібраних у перший день, більша, ніж 100 і менша, ніж 200.
Підставляємо у вираз
виділені значення , бачимо, що цій умові задовольняє лише 
. Тоді 
.Відповідь : у перший день збирали гриби 14 хлопців, а у другий 18 хлопців.
Задача 3. «Продаж курей» (старовинна задача). Три сестри прийшли на ринок із курьми. Одна принесла на продаж 10 курей, друга 16, третя 26. До полудня вони продали частину своїх курей за однією і тією ж ціною. Після полудня, побоюючись, що не всі кури будуть продані, вони знизили ціну та розпродали залишишок курей знов по однаковій ціні. Додому усі троє повернулися з однаковою виручкою: кожна сестра отримала від продажу 35 карбованців.
За якою ціною вони продавали курей до і після полудня?
Розв’язання:
Позначимо кількість курей, що продала кожна сестра до полудня через
, , 
. У другій половині дня вони продали 
, 
, 
курей. Ціну до полудня позначимо через 
, після полудня через 
. | Кількість проданих курей | Ціна | |||
| До полудня | | | | |
| Після полудня | | | | |
Перша сестра виручила:
, отже, 
.Друга:
, отже, 
.Третя:
, отже, 
.Перетворимо ці три рівняння:
Віднімемо від третього рівняння перше, потім друге, отримаємо послідовно:
або
Розділимо перше із цих рівнянь на друге:
, або 
.Так як
, , - цілі числа, то і різниця 
, 
- теж цілі числа.Отже, для існування рівності
необхідно, щоб ділилось на 8, а на 5. Отже 
.Звідки:
.Відмітимо, що число
- не тільки ціле, але й додатне, бо 
(у протилежному випадку перша сестра не могла б отримати грошей стільки ж, скільки третя).Так як
, то 
.При цілих і додатних
і остання нерівність задовольняється тільки в одному випадку: коли 
і 
.Підставимо ці значення у рівняння:
, , знаходимо: 
, . Тепер повертаючись до рівняння:
і підставляючи у них знайдені значення
, , визнамо ціни зі якими продавали курей:
крб., 
крб..Отже, курей продавали до полудня по 3 крб. 75 коп., після полудня по 1 крб. 25 коп.
Для самостійної роботи учнів:
Задача 4: який прямокутник? Сторони прямокутника виражаються цілими числами. Якої довжини повинні вони бути, щоб периметр прямокутника чисельно дорівнює його площі?
Розв’язання:
Позначимо сторони прямокутника через
та , складаємо рівняння:
Звідси випливає :
.Так як
і мають бути додатними, то додатним повинно бути і число 
, тобто 
2.Перетворимо вираз так :
Так як
повинно бути цілим числом, то вираз 
повинен бути цілим.Але при
це можливо лише, якщо 
. Відповідними значеннями будуть 
.Відповідь : шукана фігура є або прямокутник зі сторонами 3 та 6, або квадрат із стороною 4.
Домашнє завдання:
Задача 5 : Знайти всі натуральні
, при яких дріб 
буде цілим числом.Розв’язання :
Перепишемо наш дріб:
.За умовою це ціле число, отже
- ціле число.Тоді
цілий дільник числа 10. Цілими дільниками числа 10 є числа 
;
; 
; 
. Прирівнюючи послідовно до кожного з цих чисел та вибираючи тільки натуральні розв’язки отриманих рівнянь, одержуємо, що при натуральних 
дріб буде цілим числом.3.1.3 . Заняття № 3.
Тема уроку: Розв’язування діофантових рівнянь із використанням властивостей подільності чисел.
Мета уроку: формування вміння розв’язувати діофантові рівняння, використовуючи властивості подільності чисел.
Хід уроку:
На цьому уроці слід розглянути ще одну групу рівнянь, що розв’язуються методом використання властивостей подільності чисел.
Урок слід почати із розгляду приклада та детального його пояснення.
Задача 1. Знайти усі пари цілих чисел, що задовольняють рівнянню:
Розв’язання:
Представимо число 7 у вигляді добутку його дільників:
; 
.Тепер перше рівняння можна переписати у вигляді двох систем:
а)
б) 
Розв’язком системи а) є пара чисел:
, 
. Розв’язком системи б) є пара чисел: 
, 
. Друге рівняння можна переписати теж у вигляді двох систем:
в)
г) 
Розв’язком системи в) є пара чисел:
, 
. Розв’язком системи г) є пара чисел: 
, 
. Отже, розв’язками вихідного рівняння є пари чисел:
; 
; 
; 
.Однак вже у другому прикладі одразу такий метод застосувати неможливо. Спочатку треба перетворити вираз, а вже потім застосовувати запропонований метод.
Задача 2.
. Знайти цілі розв’язки. Розв’язання:
Перенесемо
у ліву частину рівняння:
Легко бачити, що у лівій частині маємо різницю квадратів:
Отже, наше рівняння має вигляд:
.Замінимо дане рівняння рядом систем:
а)
б) 
в) 
г) 
д)
е) 
ж) 
з) 
Розв’язавши ці системи, можна переконатися, що рівняння не має розв’язків у цілих числах.
Ці системи розв’язувати зовсім не обов’язково. Слід тільки уважно придивитись і побачити, що сума та різниця тих самих цілих чисел у відповіді дають числа однієї парності (або сума та різниця це парні числа, або сума та різниця це непарні числа), а в нашому випадку жодна із систем не відповідає цій властивості, тобто одразу видно, що жодна із систем немає розв’язків у цілих числах.
Засвоєння учнями розглянутих прикладів, дозволяє розглянути більш складні приклади цього типу.
Задача 3. Розв’язати рівняння
в цілих числах.Розв’язання:
Зробимо доцільні перетворення рівняння, що вже більш складні, ніж у попередньому прикладі:
Тепер залишилося тільки перебрати усі можливі розкладення числа 4 у добуток цілих множників.
а)
б) 
в) 
г) 
д)
є) 
Розв’язками цих систем, та нашого вихідного рівняння є пари чисел:
; 
; 
; 
; 
; 
.Приклади для самостійної роботи учнів:
Задача 4. Знайти усі пари натуральних чисел, що задовольняють рівнянню:
Розв’язання:
Перетворимо ліву частину нашого рівняння:
.Розкладемо число 105 на множники:
.Така рівність (при натуральних значеннях
і ) можлива тільки у наступних випадках:а)
б) 
в) 
г) 
(при натуральних значеннях
і 
, тому система
не може мати розв’язків у натуральних числах).
Розв’язуючи ці системи, отримуємо наступні розв’язки вихідного рівняння:
; 
; 
; 
.Задача 5. Знайти цілі розв’язки рівняння:
Розв’язок:
Перетворимо дане рівняння:
Дане рівняння можна замінити на такі системи:
а)
б) 
в) 
г) 
Розв’язками цих систем і нашого вихідного рівняння є пари чисел:
а)
б) 
в) 
г) 
Домашнє завдання:
Розв’язати рівняння в цілих числах:
а)
.б)
у цілих натуральних числах.Відповіді:
1) Рівняння перетворюється:
Відповідь:
; 
2) Відповідь:
.1 2 3 4 5