Ім'я файлу: Презентація з історії математики.pptx
Розширення: pptx
Розмір: 3310кб.
Дата: 06.04.2023
скачати
Пов'язані файли:
Курсова робота 421 гр.doc
Задачи для Савченко.docx

Виділення алгебри в самостійний предмет як вчення про рівняння.

Виконавець:


Херсонський державний університет

2023 рік

студентка 421 групи,

спеціальності

Середня освіта (Математика)

Васібаєва Таміла Шаірбеківна

Походження

Саме слово "алгебра" - арабського походження. У математику воно ввійшло завдяки праці "Кітаб ал-Джебр і ал-мукабала" ("Книга про відновлення і протиставлення") середньоазіатського математика Мухаммеда бен-Муси ал-Хорезмі (IX ст.), в якій алгебра вперше розглядається як самостійна галузь математики. Згодом цю працю під назвою “Algebr" перекладено латинською мовою. Звідси і походить назва науки - "алгебра". У цьому творі розглядаються рівняння 1-го і 2-го степенів та нові для того часу загальні правила їх розв'язування. Все викладається за допомогою слів, символи не використовуються навіть для чисел, невідоме в рівнянні називається коренем або річчю, його квадрат - просто квадратом. Хорезмі розглядає 3 види чисел: просто числа, які він позначав "дирхам"; невідоме, яке він називав "шай" (річ) або "джизр", коли мова йшла про корінь рівняння; квадрат невідомого позначався "маал". Для розв'язування рівняння пропонувалося виконати дві операції. "Ал-джебр" (відновлення) - операція, за допомогою якої можна перенести від'ємні члени рівняння з однієї частини рівняння в іншу так, щоб в обох частинах його були тільки додатні члени. На той час від'ємні числа вважалися абсурдними; перенесення ж їх у другу частину рівняння перетворювало їх таким чином в справжні числа. Операція "Ал-мукабала" (протиставлення) - знищення якогось члена в одній частині рівняння і відповідне знищення тотожного йому члена рівняння в іншій частині.

Наприклад

Наприклад, завдяки першій операції рівняння перетворюється на , а завдяки другій, яка полягає у відніманні від обох частин рівняння виразу , отримаємо рівняння , звідки .

Назва першої з цих операцій - "ал-джебр", з якої завжди повинно було починатися розв'язування рівняння, згодом поширилась на всю науку про рівняння - алгебру.

У роботі ал-Хорезмі зародилася теорія квадратних рівнянь, він вперше починає досліджувати квадратне рівняння як окремий математичний об'єкт. Хорезмі пропонував таку класифікацію лінійних і квадратних рівнянь:

1) "Квадрати дорівнюють кореням"

2) "Квадрати дорівнюють числу" ;

3) "Корені дорівнюють числу" ;

4) "Квадрати і числа дорівнюють кореням" ;

5) "Квадрати і корені дорівнюють числу" ;

6) "Корені і числа дорівнюють квадратам" .

Для ал-Хорезмі члени кожного з цих рівнянь тільки додатні. До уваги не беруться рівняння, які не мають додатних розв'язків. Розв'язуючи неповне квадратне рівняння , Хорезмі не враховував нульові розв'язки, оскільки вони не мали практичного значення. Також він дуже рідко використовував ірраціональні значення коренів, які називав "джизр асамм", тобто "німий корінь" або "сліпий корінь".

Розв'язування рівнянь типу 4-6 обґрунтовувалось за допомогою геометричних побудов. Для квадратних рівнянь мін визначав не лише корені, але і їх квадрати.

Приклади

1) Рівняння ал-Хорезмі формулював і розв'язував так.

Квадрати і числа дорівнюють кореням. Наприклад, один квадрат і число 21 дорівнюють 10 кореням того самого квадрата. Тобто питають, у що перетвориться квадрат, який, після додавання до нього числа 21, дорівнюватиме 10 кореням того самого квадрата? Р о з в ‘ я з а н н я. Розділи навпіл число коренів; половина х -це число 5, помнож це число саме на себе, матимеш добуток 25, далі слід відняти від нього число 21, дістанемо остачу 4, а з неї добути квадратний корінь; він дорівнює 2, цей корінь треба відняти від половини числа коренів, яка дорівнює 5; матимемо остачу 3, це і буде корінь шуканого квадрата, який є 9. Можна додавати цей корінь 2 до половини числа коренів, сума становитиме 7. Це і буде корінь шуканого квадрата, а сам квадрат буде 49.

Виконані у такий спосіб операції відповідають формулі Тобто

рівняння вигляду розв’язується за формулою .

Приклади

2) Інший спосіб пропонується для розв’язування рівнянь виду

.

Р о з в ‘ я з а н н я. До кожної із сторін квадрата ABCD добудуємо 4 прямокутники і 4 малі квадрати, дістанемо великий квадрат GHFE (рис. 1). Припускаючи, що квадрат ABCD є , а чотири прямокутники становлять , бачимо, що висоти цих прямокутників будуть визначатись через , а сума площ чотирьох маленьких квадратів дорівнюватиме . Отже, площу квадрата GНFЕ можна записати так: . За умовою , а = b+. Значення a і b відомі, тому можна побудувати і знайти .
A

B

D

C

G

H

E

F

Рис. 1

Алгебра – теорія рівнянь

Питанням розв'язування рівнянь займався також Омар Хайям. Він вважав, що алгебра - це теорія рівнянь, чітко відокремивши алгебру від арифметики.

Основним математичним твором О. Хайяма є великий трактат "Про доведення задач алгебри й алмукабали", присвячений кубічним рівнянням. Автор розумів, що значення невідомих можуть бути неперервними (довжина, площа, об'єм) або виражатися цілими числами, тому для їх знаходження можна користуватися як числовими методами, так і геометричними. В трактаті міститься класифікація алгебраїчних рівнянь першого і другого степеня і геометричних побудов коренів, за допомогою яких визначається кількість та існування додатних коренів. В основу класифікації О. Хайям поклав степінь рівняння і розташування його членів. Розташування має бути таким, щоб ні в правій, ні в лівій частині рівняння не було від'ємних членів. За його класифікацією розрізнялися 14 канонічних типів кубічних рівнянь. Для кожного з цих типів обґрунтовувався вибір відповідної пари конічних перерізів. Розв'язуючи рівняння третього степеня, він розглядав перетини двох парабол, параболи і кола, параболи і гіперболи тощо. З цього приводу він відмічав, що, розв'язуючи кубічні рівняння, слід використовувати перші дві книги "Конічних перерізів" Аполлонія, бо "Начал" Евкліда недостатньо. Щоб розв'язати геометрично рівняння , Хайям, дотримуючись принципу однорідності розмірності, спочатку приводив його до виду . Це рівняння розв'язувалось за допомогою колаі параболи . Його коренем є абсциса точки перетину цих кривих, яка не збігається з початком координат. Такий самий метод Хайям використовував для розв'язування рівняння , розглядаючи перетин параболиі рівносторонньої гіперболи . Сучасних символічних позначень у його працях також не було, все записувалось словами. У випадку рівнянняпобудова кореня здійснювалась за допомогою параболита гіперболи . Показавши, що при рівняння розв'язків не має, він дослідив випадки, коли , , і вказав границі, в яких існують корені. Аналізуючи знаки коренів, О. Хайям дійшов висновку, що кубічне рівняння може мати два додатні корені, але не здогадався, що існують рівняння, які мають три додатні корені. До таких, зокрема, належить рівняння .

Хоч він не зміг знайти формулу для розв'язання кубічних рівнянь у загальному вигляді, але висловив сподівання, що

"можливо, хто-небудь з тих, хто прийде після нас, це здійснить".

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!


скачати

© Усі права захищені
написати до нас