Нульова гіпотеза позначається як H0. Це гіпотеза про відсутність відмінностей у значеннях ознак. Наприклад, гіпотеза "H0 : fi1 - fi2 = 0" читається так: "висунута нульова гіпотеза про відсутність значущої різниці між середніми fi1 і fi2". Як правило, нульова гіпотеза - це те, що ми хочемо спростувати, якщо перед нами стоїть завдання довести значущість відмінностей.
Альтернативна гіпотеза є логічним запереченням нульової гіпотези і позначається як H1. Природно, що це гіпотеза про існування відмінностей. Наприклад, гіпотеза "H1: fi1 - fi2 Ф 0" читається так: "висунута альтернативна гіпотеза про наявність значущої різниці між середніми fi1 і /г2". Найчастіше альтернативна гіпотеза - це те, що ми хочемо довести. Проте існують завдання, коли бажано підтвердити нульову гіпотезу і переконатися, наприклад, що вибірки не розрізняються між собою за якимись показниками. Нульову й альтернативну гіпотези прийнято представляти у парі:
но: ці - Ц2 = 0; ні: ці - Ц2 Ф 0.
Статистичні висновки робляться на підставі прийняття однієї гіпотези і відхилення іншої. Рішення приймається з певною достовірністю.
Статистичні гіпотези можуть бути спрямованими і неспрямованими.
Спрямовані (однобічні) гіпотези мають формулювання: но: Ці <р-2 (Мі не перевищує цф); ні: ці > Ц2 (мі перевищує
Неспрямовані (двобічні) гіпотези формулюються так:
н0: /іі = ц2 (рі не відрізняється від /г2); ні: /іі Ф ц2 (рі відрізняється від /г2).
Спрямовані гіпотези висувають, якщо значення показника в одній сукупності вище (нижче), ніж в іншій; якщо під впливом якихось дій в одній сукупності відбуваються більш (менш) виражені зміни, ніж в іншій. Неспрямовані гіпотези формулюють, якщо необхідно довести лише відмінності форми або значень показників розподілу ознак.
Статистичні гіпотези розділяють на параметричні й непараметричні. Параметричними називають гіпотези щодо невідомого значення параметра розподілу, що входить у деяке параметричне сімейство розподілів, наприклад, нормальних. Припущення, при якому вид розподілу невідомий (тобто не передбачається, що воно входить у деяке параметричне сімейство розподілів), називається непараметричною гіпотезою. Якщо і нульова Н0, і альтернативна Ні - параметричні гіпотези, то завдання перевірки статистичної гіпотези -параметричне. Якщо хоча б одна з гіпотез Н0 або Ні - непараметрична, то перевірки статистичної гіпотези є непараметричним завданням. Перевірка гіпотез здійснюється на основі статистичних критеріїв.
44.Критична область, критичні точки,Відшукання критичних областей
Для перевірки нульової гіпотези використовують спеціально підібрану випадкову величину, розподіл якої відомо. Позначимо цю величину .
визначення.Статистичним крітеріемназивают випадкову величину , Яка служить для перевірки нульової гіпотези.
Для перевірки гіпотези за даними вибірок обчислюють приватні значення входять до критерій величин і таким чином отримують приватне (що спостерігається) значення критерію.
визначення.спостережуваним значенням називають значення критерію, обчислене за вибірками.
Після вибору певного критерію безліч всіх його можливих значень розбивають на два непересічних підмножини: одне з них містить значення критерію, при яких нульова гіпотеза відкидається, а інша - при яких вона приймається.
визначення. Критичною областьюназивают сукупність значень критерію, при яких нульову гіпотезу відкидають, а сукупність значень критерію, при яких гіпотезу приймають, називають областю прийняття гіпотези.
Основний принцип перевірки статистичних гіпотез:якщо бачимо значення критерію належить критичної області, то гіпотезу відкидають, а якщо бачимо значення критерію належить області прийняття гіпотези, то гіпотезу приймають.
Критична область і область прийняття гіпотези, це є деякі інтервали, отже, існують точки, які їх розділяють.
визначення.Критичними точками (межами) називають точки, що відокремлюють критичну область від області прийняття гіпотези.
Розрізняють односторонню (правобічним або лівостороннім) та двосторонню критичні області. Правобічної називають критичну область, яка визначається нерівністю , де - додатне число. Лівосторонньої називають критичну область, яка визначається нерівністю , де - від'ємне число.
Двосторонньої називають критичну область, яка визначається нерівностями , де .
Зокрема, якщо критичні точки симетричні відносно нуля, двостороння критична область визначається нерівностями и або рівносильним нерівністю .
Для відшукання правобічної або лівосторонньої критичної області, необхідно знайти критичну точку . Для її знаходження задаються досить малої вероятностью- рівнем значущості . Потім знаходять критичну точку , Виходячи з вимог(Для правобічної області) (Для лівосторонньої області.).
Двостороння критична область визначається нерівностями . Тому, критичні точки знаходять виходячи з вимог.Для кожного критерію є відповідні таблиці, за якими і знаходять критичну точку, що задовольняє цим вимогам.Після того, як критична точка знайдена, обчислюють за даними вибірок спостережуване значення критерію , І якщо виконується нерівність , То нульову гіпотезу відкидають; якщо ж , То немає підстав, щоб відкинути нульову гіпотезу.Поряд з рівнем значущості , Тобто ймовірністю того, що буде відкинута правильна гіпотеза, розглядають ймовірність того, що нульова гіпотеза буде відкинута, якщо вірна конкуруюча гіпотеза. Цю ймовірність називають потужністю критерію.
45.Потужність критерію
Припущення-гіпотези можуть бути різними, та їх можна перевірити за допомогою статистичних даних. Обмеженість вибіркових даних припускає можливість прийняття неправильного рішення. Очевидно, що за статистичними даними важко, а іноді і неможливо робити безпомилкові висновки, при цьому помилки при перевірці гіпотез можуть бути двох родів. Помилка першого роду складається в тому, що відкидається основна гіпотеза, коли вона вірна. При помилці другого роду відкидається вірна конкуруюча гіпотеза. Ймовірність α припуститися помилки першого роду називається рівнем значущості критерію, ймовірність припуститися помилки другого роду зазвичай позначають β. Ймовірність (1–β) не припуститися помилки другого роду називають потужністю критерію.
З метою перевірки статистичної гіпотези використовують спеціально складену випадкову величину (статистику або критерій) розподіл якої відомий, її позначають t, F чи Χ2 у залежності від її розподілу (у загальному вигляді позначимо ). Прийняте рішення, щодо нульової гіпотези опирається на статистичний критерій – правило за яким гіпотеза повинна бути прийнята чи відкинута. Статистичний критерій розбиває всю множину можливих значень статистики (критерію) на дві множини, що не перетинаються: критичну область (область відкидання гіпотези) та область припустимих значень (область прийняття гіпотези). При перевірці гіпотези намагаються обрати таку критичну область, де потужність критерію буде найбільшою.
Вимоги до критичної області аналітично можна записати так:
тобто критичну область слід обирати так, щоб ймовірність потрапляння у неї статистики була мінімальною та рівною α, якщо гіпотеза H0 вірна, та максимальною у протилежному випадку. Або іншими словами, критична область повинна бути такою, щоб при даному рівні значущості α, потужність критерію була б найбільшою.
46.Порівняння двох дисперсій нормально розподілених генеральних сукупностей
Порівняння двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей
Ця задача виникає в метрології при порівнянні точності приладів. Крім того, умова рівності дисперсій чи їхньої незмінності в процесі дослідження лежить в основі багатьох задач перевірки гіпотез про порівняння інших параметрів (математичного сподівання, коефіцієнтів кореляції та ін.).
Нехай генеральні сукупності
і 
розподілені нормально. По незалежних вибірках, узятих з цих сукупностей, з обсягами, які дорівнюють відповідно 
і 
, знайдено виправлені вибіркові дисперсії 
і 
. Необхідно за цими характеристиками при заданому рівні значущості 
перевірити нульову гіпотезу про те, що генеральні дисперсії даних сукупностей дорівнюють одна одній:
: 
.Оскільки виправлені дисперсії є незміщеними оцінками генеральних дисперсій, тобто
, 
, нульову гіпотезу можна переписати також у такому вигляді: : 
.У якості критерію перевірки нульової гіпотези про рівність генеральних дисперсій візьмемо відношення виправлених дисперсій, тобто таку випадкову величину:
. (1)Можна впевнитися, що величина F за умови справедливості нульової гіпотези має розподіл Снедекора – Фішера (9) з
і 
ступенями волі.Таким чином, маємо нульову гіпотезу
: і конкуруючу гіпотезу 
: 
. У цьому випадку критична область при заданому рівні значимості є двосторонньою, обумовленою сукупністю співвідношень:
(2)Однак, можна показати, що якщо чисельник відносини (1), що визначає випадкову величину
, більше знаменника, тобто якщо > і 
, то першу нерівність з 
перевіряти не потрібно, тому що вона виконується автоматично при невеликих рівнях значимості , що звичайно застосовують. При цьому перевірка гіпотези зводиться до перевірки тільки другої нерівності з 
. Це проводиться наступним чином: по таблиці критичних точок розподілу Снедекора – Фишера з і ступенями волі при вибраному рівні значимості відповідно (2) знаходять значення величини . Далі, якщо 
< , немає причин відкинути нульову гіпотезу, якщо > – нульову гіпотезу відкидають47.Порівняння виправленої вибіркової дисперсії з гіпотетичною генеральною дисперсією
Порівняння виправленої вибіркової дисперсії з гіпотетичною генеральною дисперсією нормальної сукупності
Ця задача виникає в метрології під час перевірки точності роботи приладів, інструментів щодо припустимих характеристик розсіювання.
Нехай генеральна сукупність розподілена нормально, причому генеральна дисперсія
встановлена теоретично або на основі попередніх досліджень. Потрібно перевірити її значення на основі виправленої дисперсії 
з 
ступенями волі, яку отримано за вибіркою обсягу 
.З огляду на те, що
є незміщеною оцінкою генеральної дисперсії, нульову гіпотезу можна переписати ще так: : 
.У якості критерію перевірки нульової гіпотези тепер доцільно взяти випадкову величину
, що, як можна показати, має розподіл 
, тому і має таке позначення. При конкуруючій гіпотезі : 
критична область при заданому рівні значимості , як і в попередньому випадку, є двосторонньою і визначається сукупністю співвідношень:дісперсія генеральний сукупність
(3)У таблиці критичних точок розподілу
, також як і для -розподілу раніше, зазначено лише праві критичні точки. Але на відміну від попередньої задачі тут необхідно врахувати обидві умови (3). Для цього ми застосуємо більш універсальний прийом, придатний в обох випадках. Він заснований на очевидній рівності:
.Використовуючи її, ліву критичну точку можна шукати, так само, як і праву.
Для перевірки нульової гіпотези необхідно обчислити значення критерію,
, що спостерігається, і знайти ліву та праву критичні точки 
, 
, відповідно.Якщо при цьому,
– немає причин відкинути нульову гіпотезу, її приймають. Якщо 
чи 
– нульову гіпотезу відкидають.1 2 3 4 5 6 7