1   2   3   4   5   6   7
Ім'я файлу: Шпори_ТЙМС[1].docx
Розширення: docx
Розмір: 1798кб.
Дата: 26.11.2020
скачати

Очевидно, сприятливих комбінацій може бути стільки, скільки різних рядків у цій таблиці, а їх буде стільки, скількома способами можна розміс­тити два знаки "+" у трьох клітинках, тобто треба кожного разу з трьох клітинок вибрати дві. Очевидно, це можна зробити C32способами. Отже, у цьому разі буде C32сприятливі комбінації результатів випробувань.Повернемося до загального випадку. Кількість усіх можливих сприят­ливих комбінацій N = Ckn . Підставивши це у формулу (2), матимемо Формулу (3) називають ще формулою Бернуллі.

10.Локальна теорема ЛапласаЯкщо ймовірність р появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність Pn(k) того, що подія А з’явиться в n випробуваннях рівно k разів, приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше n) значенню функції при  ..Є таблиці, в яких наведені значення функції  , що відповідають додатнім значенням аргументу х. Для від’ємних значень аргументу користуються тими ж таблицями, оскільки функція  парна, тобто  .Отже, ймовірність того, що подія А з’явиться в n незалежних випробуваннях рівно k разів, приблизно дорівнює де  .

11.Інтегральна теорема ЛапласаТеорема.Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність того, що подія А з’явиться в n випробуваннях від k1до k2разів, приблизно дорівнює визначеному інтегралу , де  і .При розв’язанні задач, що вимагають застосування інтегральної теореми Лапласа, користуються спеціальними таблицями, оскільки невизначений інтеграл  не виражається через елементарні функції. Таблиця для інтеграла приводиться в довідниках. В таблиці даються значення функції для позитивних значень х і для х=0; для x<0 користуються тією ж таблицею (функція непарна, тобто ). В таблиці приведені значенні інтеграла лише до х=5, так як для можна прийняти . Функцію часто називаютьфункцією Лапласа.Для того щоб можна було користуватися таблицею функції Лапласа, перетворимо співвідношення (*) так: .Отже, ймовірність того, що подія А з’явиться в n незалежних випробуваннях від k1до k2разів,

,де  і .

12.Дискретні випадкові величини.Біноміальний закон розподілу.Розглянемо випадкову величину  (випадкові величини будемо позначати малими буквами грецького алфавіту), можливі значення якої утворюють скінченну або нескінченну послідовність чисел х1,х2, ..., хnОзначення. Нехай задана функція Р(х), значення якої в кожній точці х = хі (і = 1, 2, …) рівне імовірності того, що величина  прийме значення хі Рі) = Р( =хі). Така випадкова величина   називається дискретною (перервною).Функція Р(х) називається законом розподілу ймовірностей випадкової величини або законом розподілу. Дана функція визначена в точках послідовності х1, х2, .., хn, ... .В кожному з дослідів випадкова величина   приймає завжди яке-небудь значення з області її зміни, тому: Р(х1)+Р(х2)+…+Р(хn)+…=1.Приклад. Випадкова величина   ‑ число очок, які випадають при разовому киданні грального кубик.Можливі значення   ‑ числа 1, 2, 3, 4, 5 і 6. При цьому імовірність того, що   прийме одне з цих значень, одна й та ж сама і рівна 1/6. Таким чином тут закон розподілу ймовірностей є функція Р(х)=1/6 для довільного значення х із множини {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Проводиться n незалежних дослідів, в результаті кожного з яких може з’явитися чи не з’явитися подія А. Нехай імовірність появи події А в кожному з дослідів дорівнює p.Розглянемо випадкову величину   ‑ число появ події А при n незалежних дослідах. Область зміни   складається з усіх цілих чисел від 0 до n включно.Закон розподілу ймовірностей   визначається формулою Бернуллі (підрозділ 1.8.).

.Нехай випадкова величина   може приймати довільне ціле невід’ємне значення. Причому ; ( =0,1,2,…n,…).

де  ‑ деяка додатна константа.Кажуть, що випадкова величина   розподілена за законом Пуассона, якщо можливі значення випадкової величини   утворюють скінченну послідовність х1, х2, …, хn. Закон розподілу ймовірностей випадкової величини дають у вигляді таблиці, в якій .

Таблиця 2.1





















Цю таблицю називають рядом розподілу (the number distribution) випадкової величини  . Функцію   можна показати у вигляді графіка (рис. 2.1). Для цього візьмемо прямокутну систему координат на площині. По горизонтальній осі будемо відкладатиможливі значення випадкової величини  , а по вертикальній осі – значення функції  ; якщо з`єднати точки цього графіка, то отримаємо фігуру, що називається многокутником розподілу (polygons sharing). Біноміальний розподіл ймовірностей.Цілочислова випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:


У табличній формі цей закон набирає такого вигляду:



При перевірці виконання умови нормування використовується формула біному Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним
Побудуємо ймовірнісну твірну функцію для цього закону Отже, імовірнісна твірна функція для біноміального закону

13.Найпростіший потік подій. Найпростішим (пуассонівским) називають потік подій, який володіє властивостями стаціонарності, відсутності післядії і ординарності.Зауваження. Часто на практиці важко встановити, чи володіє потік перерахованими вище властивостями. Тому були знайдені і інші умови, при дотриманні яких потік можна вважати найпростішим або близьким до найпростішого. Зокрема, встановлено, що якщо потік представляє собою суму дуже великого числа незалежних стаціонарних потоків, вплив кожного з яких на суму (сумарний потік) нікчемно малий, то сумарний потік (за умови його ординарності) близький до найпростішого.Інтенсивністю потоку  називають середнє число подій, які з’являються в одиницю часу.Можна довести, що якщо постійна інтенсивність потоку відома, то ймовірність появи k подій найпростішого потоку за час тривалістю t визначається формулою Пуассона Ця формула відображає всі властивості найпростішого потоку.

14.Закон розподілу Пуассона.Дискретна випадкова величина Х має закон розподілу Пуассона, якщо ймовірності її можливих значень обчислюється за формулою Пуассона, де a=np<10. Як правило, Пуассонівський розподіл стосується ймовірності появи сприятливої події в великій кількості експериментів, якщо в одному – ймовірність успішного завершення прямує до нуля.
У табличній формі цей закон розподілу має вигляд

Умова нормування для пуасонівського закону розподілу запишеться наступним чином Побудуємо ймовірну твірну функцію для наведеного закону: Вона приймає досить простий компактний вигляд Скориставшись залежностями для визначення математичного сподівання М (Х) та дисперсії D (X) через похідні від твірної функції в одиниці, дістанемо їх прості залежності

1. Математичне сподівання визначають за формулою

2. Маючи другу похідну від твірної функції в одиниці знаходятьдисперсі
Середнє квадратичне відхилення встановлюємо через квадратний корінь з дисперсії Отже, для пуассонівського закону розподілу ймовірностей математичне сподівання і дисперсія рівні добутку кількості дослідів на ймовірність сприятливої події На практиці, якщо математичне сподівання і дисперсія близькі за значенням то приймають гіпотезу, що досліджувана величина має закон розподілу Пуассона.3. Асиметрія і ексцес для пуасонівського закону також рівні і обчислюються за формулами

15.Математичне сподівання дискретних випадкових величин. Однією з часто використовуваних на практиці характеристик при аналізі випадкових величин є математичне сподівання. Під даним терміном часто вживають "середнє значення" випадкової величини X. Розраховувати його не так важко, особливо якщо маємо дискретну величину з невеликою кількістю точок.
Математичним сподіванням випадкової величини X визначеної на дискретній множині значень називається величина, яка рівна сумі попарних добутків величин X на їх ймовірності появи Якщо множина обмежена, то потрібно шукати суму скінченного числа доданків Якщо множина X є неперервною, то математичне сподіванням випадкової величини X визначається інтегруванням за формулою Якщо  , то Якщо   то Властивості математичного сподівання:1. Математичне сподівання від сталої величини C рівне сталій 2. Сталий множник при випадковій величині можна виносити за дужки Для дискретної випадкової величини справедлива залежність Для неперервної наступна: 3. Якщо A і B є сталими величинами, то справедлива залежність Для дискретної випадкової величини:










...









...


16.Властивості математичного сподівання. 1.Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій постійній величині, тобто:М(С)=С.2.Постійний множник можна виносити за знак математичного сподіванняM(kx)=kM(x).3.Математичне сподівання суми скінченої кількості випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань:M(x+y)=M(x)+M(y).4.Математичне сподівання добутку випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань цих величин: .5.Якщо всі значення випадкової величини X зменшити (збільшити) на одне й те саме число , то математичне сподівання зменшиться (збільшиться) на те саме число:M(X–C)=M(X)–C Наслідок:Математичне сподівання відхилення випадкової величини , від її математичного сподівання дорівнює 0

17.Дисперсія дискретних випадкових величин.Дисперсією дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання: .Таким чином, для обчислення дисперсії, згідно з означенням, спочатку обчислюють  , потім складають закон розподілу величини :

та знаходять  .Для практичного обчислення дисперсії зручніше користуватися формулою .

Дійсно, 

18.Властивості дисперсії. . 1.Дисперсія сталої величини дорівнює нулю.2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, піднісши його до квадрату: 3.Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин: .Аналогічно дисперсія суми кількох взаємно залежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин; дисперсія суми постійної величини і випадкової величини дорівнює дисперсії випадкової величини.4.Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:

19.Середнє квадрат.відхилення.Однаково розподілені взаємно незал. Випадкові велич.СКВ:Знаючи середнє арифметичне значення даних експерименту , виникає наступне питання: як обчислити середню величину , на яку відрізняються дані від середнього арифметичного?Різницю між будь-яким виміром з вибірки і середнім арифметичним цієї ж вибірки називають відхиленням варіанти xi від М : xi – М.Якщо обчислити відхилення для усіх варіант, то серед отриманих значень будуть від’ємні і додатні, які у сумі даватимуть 0, тобто, взаємно компенсуються. Це означає, що неможливо обчислити середнє відхилення, як середнє арифметичне відхилень. Для того, щоб уникнути компенсації додатних і від’ємних значень, існує декілька способів. Найпоширеніший – піднесення кожної різниці (xi – М) до квадрату. ( Квадрати як від’ємних, так і додатних величин є величинами додатними). Додаючи квадрати усіх різниць і ділячи на кількість цих різниць, отримаємо величину, яка називається дисперсією. Фактично вона показує середнє арифметичне квадратів відхилень. Для того, щоб позбутися квадрату величини, обчислюємо корінь квадратний з дисперсії. Отримана значення називається середнім квадратичним відхиленням. Розрізняють формули середнього квадратичного відхилення для генеральної і вибіркової сукупностей.При існуючих даних генеральної сукупності використовують таку формулу:  , де  Xi - значення і-тої варіанти, і=1,...,n;М – середнє арифметичне,– об’єм генеральної сукупності.Якщо ж є тільки дані вибірки, то застосовується така формула: , де Xi - значення і-тої варіанти, і=1,...,n;

М – середнє арифметичне,– об’єм вибіркової сукупності.

20.Закон великих чисел.Нерівність Чебишева. Теорема 2. Нехай  ,  , …  — послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають обмежені в сукупності дисперсії, тобто   для будь-якого i. Тоді яке б не було   справедливе співвідношення:

.

Зміст закону великих чисел Чебишова полягає в нижчевикладеному. Якщо окрема випадкова величина приймає значення, що дуже відрізняється від математичного сподівання, середнє арифметичне великого числа випадкових величин з імовірністю, близькою до одиниці, приймає значення, що мало відрізняється від середнього арифметичного їх математичних сподівань.

Доведення.Нехай  , тобто середнє арифметичне n випадкових величин. Випадкова величина   має математичне сподівання:



і дисперсію

.

Використано властивості математичного сподівання і дисперсії. Застосовуючи до випадкової величини нерівність Чебишова, знайдемо, що

 , тому





Оскільки   при будь-якому i, отже,

.

Переходячи до границі при  , маємо

.

Окремий випадок закону великих чисел Чебишова

1   2   3   4   5   6   7

скачати

© Усі права захищені
написати до нас