1   2   3   4   5   6   7
Ім'я файлу: Шпори_ТЙМС[1].docx
Розширення: docx
Розмір: 1798кб.
Дата: 26.11.2020
скачати

Теорема 1. Нехай   ‑ послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають обмежені в сукупності дисперсії ( ) і однакові математичні сподівання  . Тоді, яке б не було  , справедливе співвідношення:

,

оскільки:

.

21.Теорема Чебишева. Якщо послідовність попарно незалежних випадкових величин Х , Х , ... , Х , ... має скінченні математичні сподівання і дисперсії цих величин рівномірно обмежені (не перевищують сталого числаC), то середнє арифметичне випадкових величин збігається по ймовірності до середнього арифметичного їх математичних сподівань, тобто якщо   будь-яке додатне число, то Зокрема, середнє арифметичне послідовності попарно незалежних величин, дисперсії яких рівномірно обмежені і які мають одне і те ж математичне сподівання a, збігається по ймовірності до математичного сподівання a, тобто якщо  – будь-яке додатне число, то

21.Теорема Бернуллі Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то при необмеженому збільшенні числа експериментів   імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р, взятої за абсолютною величиною на  ( > 0) прямуватиме до одиниці зі зростанням n, що можна записати так:  

Доведення. Оскільки W(A) = / n,де — число експериментів — яких випадкова подія А спостерігалась, n — загальне число проведених експериментів, то ми можемо записати, що  , деХі — дискретна випадкова величина, яка може набувати лише одного з можливих значень: 0 або 1. У табличній формі закон дискретної випадкової величини Хі можна записати так:

хі

0

1

рі

q

p

Числові характеристики Хі:M(Xi) = 0 q + 1 p = p;M(X2i) = p;D(Xi) = M(X2i) – M2(Xi) = p – pp(1 – p) = pq.Нерівність Чебишова для теореми Бернуллі матиме такий вигляд:

Отже,доведено,що 

23.Неперервна випадкова величина.Функція розподілу ймовірності випадкової величини, властивості. Випадкова величина   називається неперервною (continuous), якщо для неї існує невід’ємна, кусково-неперервна функція   така, що для всіх   виконується рівність: . Нехай  – довільна випадкова величина, а – будь-яке її допустиме значення.Означення. Функцією розподілу ймовірностей довільної випадкової величини  або просто функцією розподілу величини  називається функція, яка представляє розподілвеличини  : значення цієї функції в точці дорівнює ймовірності того, що випадкова величина набуває значення менше : .Оскільки функція розподілу являє собою ймовірність, вона повинна задовольняти основним аксіомам теорії ймовірностей і мати властивості, притаманні ймовірностям. Але ця функція залежить від можливих значень випадкової величини  , і тому повинна в загальному вигляді визначатися для всіх значень . Таким чином, вимога, щоб функція розподілу являла собою ймовірність, накладає на її властивості певні обмеження.Основні властивості функції розподілу  довільної випадкової величини :1)  ;2)  , ( , )3) Функція  не зменшується при зростанні (неспадна, тобто , якщо .)4)  .Відзначимо ще одну властивість функції  :5) Якщо  , то

,тобто стрибок функції в довільній точці збігається з ймовірністю події .

Нехай  – дискретна випадкова величина, задана таблицею розподілу:

























Для довільного числа  подія є сума подій , тому ймовірність події є сума ймовірностей , тобто Отже, функція  є неперервною всюди, крім точок стрибків і є розривною у всіх точках з величиною стрибка , залишаючись неперервною зліва в цих точках.
24.Функція густини розподілу та її властивості. Функція   називається густиною (щільністю) (the density) розподілу ймовірностей або коротко густиною розподілу (the density distribution). Якщо  , то одержимо:

 (2.2)

Виходячи з геометричного змісту інтеграла як площі, можна скaзати, що ймовірність виконання нерівності   рівна площі криволінійної трапеції з основою  , обмеженою зверху кривою   (рис. 2.3). Далі  , тоді .Звідси слідує:  Знайдемо   як похідну інтеграла за змінною верхньою границею, вважаючи   неперервною 
25.Нормальний закон розподілу.Кажуть, що неперервна випадкова величина  розподіленанормально, якщо її щільність розподілу має вигляд  (19)

для будь-якого  і довільних чисел і .Графік функції  називаютьнормальною кривою або кривою Гауса. Ця крива є симетричною відносно прямої  і має одну точку максимуму при :  величина якого залежить від параметра  .При  та нормальну криву називаютьнормованою.Зауваження. Якщо випадкова величина  розподілена за нормальним законом з параметрами і , то випадкова величина буде розподілена за нормованим нормальним законом.Функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини   з параметрами  і   має вигляд , де  – функція Лапласа. Часом замість використовують функцію Тоді Використовуючи формулу (20), легко знайти ймовірність попадання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в інтервал   На підставі цієї ж формули одержимо формулу для знаходження ймовірності відхилення нормально розподіленої випадкової величини від свого математичного сподівання  на наперед задану величину . Якщо у формулі (22) покласти  , то З останньої рівності виходить такий висновок: ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина  набуває своїх значень у проміжку , дорівнює 0, 9973. Це означає, що – практично достовірна подія. Одержане твердження називаютьправилом трьох сигм”.Для випадкової величини  , яка має нормальний розподіл з параметрами  і  ,  

26.Нормальна крива. Найпоширеніша із теоретичних кривих виявилася нормальна крива. Вона застосовується як стандарт, з яким порівнюють інші розподіли, а також відіграє значну роль у вибірковому, кореляційно-регресійному, факторному та інших статистичних методах. Нормальний розподіл близький до інших одновершинних розподілів. Його використовують як перше наближення при моделюванні. Розподіли, що не є нормальними, приводять до нормальних шляхом перетворення змінної величини х, наприклад заміною х на їх логарифми lg x. Логарифмічною нормальною кривою можна описати асиметричні розподіли з правосторонньою асиметрією.Частоти теоретичної кривої називають теоретичними частотами. Для нормального розподілу вони визначаються за формулою ,де n - обсяг елементів сукупності; - інтегральна функція розподілу. Ця функція табульована. Її значення – це значення функції нормального розподілу при певни значеннях t.  0 0,33 0,72 1,0 1,38 1.78 2,83   0,5 0,628 0,764 0,841 0,916 0,962 0,997 1,

27.Ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини в заданий інтервал. Імовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини в заданий інтервал визначається за формулою  Ймовірність.попадання Х на інтервал   дорівнює відношенню довжини цього інтервалу до довжини усього проміжку  .Цей розподіл задовольняють, наприклад, похибки округлення різноманітних розрахунків.Графік рівномірного розподілу НВВ Х зображено на рис.

Числові характеристики НВВ , розподілені за рівномірним законом, дорівнюють



28.Правило трьох сігм. Якщо випадкова величина Х розподілена нормально, то тобто Х відхилена від свого середнього значення (математичного сподівання) не більш ніж на потроєне середнє квадратичне відхилення s.У практиці це правило використовують так: якщо закон розподілу випадкової величини Х невідомий, але тоді можна припустити, що Х розподілена нормально.

29. Показниковий закон розподілу.

Показниковий (експоненціальний) розподіл – це розподіл неперервної випадкової величини   з параметром  , заданий законом:



Графік щільності експоненціального розподілу зображено на (рис. 3.2, а, б).



Рис. 3.2

Функція розподілу має вигляд:



F(х)=

= -е .

Графік зображено на рис. 3. 2, б.

Обчислимо математичне сподівання.

М =



.

Знайдемо дисперсію для даного закону.  .

=



;

.

Використано:  .

Ймовірність попадання на відрізок  .

.

Експоненціальний розподіл використовується в теорії надійності.

Функція надійності R(t) визначає імовірність безвідмовної роботи елемента за час tR(t)=exp .


30.Рівномірний закон розподілу.Розподіл імовірностей називають рівномірним, якщо на інтервалі, до якого належать всі можливі значення випадкової величини, густина розподілу зберігає стале значення С при х . Знайдемо сталу С. Оскільки всі можливі значення випадкової величини містяться на інтервалі (а, в) і f(х)=0 при х і х , то має виконуватись співвідношення:

або   і с= .

Отже, щільність ймовірності рівномірного розподілу, зображена на (рис. 3.1, а), запишеться аналітично так:



Знайдемо функцію розподілу рівномірно розподіленої на [а, b] випадкової величини:



1. Для х , 

2. Для а 

3. Для х > b,   .



На (рис. 3.1, б) зображено функцію розподілу рівномірно розподіленої на [а, b] випадкової величини.

Визначимо основні числові характеристики в. в.  , яка підлягає закону рівномірного розподілу на відрізку  . Математичне сподівання дорівнює:

М   .

В силу симетричності рівномірного розподілу медіана дорівнює  .

При рівномірному законі розподілу мода відсутня.

Дисперсія дорівнює :           D .

М(   .

.

.

Середнє квадратичне відхилення:  .

31. Математична статистика.Математична статистика — це галузь математичних знань, яка розробляє раціональні прийоми (способи) систематизації, обробки і аналізу даних статистичних спостережень масових явищ з метою встановлення характерних для них статистичних закономірностей, використання для наукових і практичних висновків.
     Математична статистика абстрагується від матеріального змісту масових явищ, які вона характеризує, виконує роль основи для застосування власне математичних методів, які являють собою інструментарій статистичної науки. Більшість методів обробки статистичних даних ґрунтується на імовірнісній природі цих даних. Галузь застосування таких статистичних методів обмежується такими вимогами, де явища, які досліджуються, були б підпорядковані достатньо визначеним імовірнісним закономірностям. Предметом статистики є розміри і кількісні співвідношення масових суспільних явищ, закономірності їх формування, розвитку та взаємозв'язку. Найважливіші розділи математичної статистики:

  • статистичні ряди розподілу;

  • оцінка параметрів розподілу;

  • закони розподілу вибіркових характеристик;

  • перевірка статистичних гіпотез;

  • дисперсійний, кореляційно-регресійний, коваріаційний аналіз;

  • факторний та кластерний аналіз тощо.

     До основних завдань математичної статистики можна віднести наступні великі класи задач:

  • встановлення законів розподілу різних випадкових змінних, одержаних у результаті статистичного спостереження;

  • перевірка статистичних гіпотез;

  • оцінка невідомих параметрів різних розподілів.

Вибірка можливих значень випадкової змінної - це випадковий вектор, складений з результатів спостережень, кожне з яких суть незалежна випадкова величина.Оцінка  параметра а називається несмещенной, якщо її математичне сподівання збігається зі значенням параметра:

 Якщо умова (3.17) не виконується, то таку оцінку називають зміщеною, а різниця  називається зміщенням.Ефективною серед усіх незміщене оцінок параметра називається та оцінка, яка має мінімальну дисперсію.Задачі математичної статистики. В основі наукових знань лежить спостереження. Для відшукання загаль¬ної закономірності, якій підпорядковано явище, необхідно його багаторазово спостерігати в однакових умовах. Під однаковими умовами спостережень розуміють дотримання практично однакових значень основних факторів, що визначають умови протікання явища.Математична статистика вивчає методи обробки результатів спосте¬режень масових випадкових явищ з метою виявлення закономірностей. Виснов¬ки про закономірності, яким підпорядковуються явища, що вивчаються метода¬ми математичної статистики, завжди грунтуються на обмеженій кількості ви¬бір-кових спостережень. Результати таких спостережень називають статистич¬ними даними.Якщо теорія ймовірностей вивчає закономірності випадкових явищ і має справу з математичними моделями цих явищ, то математична статистика дозволяє зробити висновок про відповідність статистичних даних конкретній ймовірнісній моделі. Припущення про відповідність статистичних даних ті й чи іншій ймовірнісній моделі у математичній статистиці називається гіпотезою. Висунення гіпотез проводиться після попереднього опрацювання статистичних даних.При прийняті гіпотез слід враховувати те, що статистичні дані наближено відображають досліджуване явище (процес), так як практично неможливо врахувати вплив усіх факторів, крім основних, на умови протікання явища. До того ж неточності у вимірюваннях теж вносять свої похибки у статистичні дані. Тому при прийняті гіпотези задаються деякою мірою або рівнем значущості, з якою її можна прийняти чи відхилити. Прийнята гіпотеза і є тією законо¬мірністю, що описує дане явище.Методи математичної статистики також використовуються для оцінки параметрі ймовірнісних моделей, для побудови гарантійних інтервалів цих параметрів, а також для вивчення зв’язку між окремими факторами, що обумовлюють дане явище.

32.Генеральна й вибіркова сукупності.Способи відбору.Генеральна сукупність (від лат. generis — спільний, родовий; англ. statistical population) — вся множина однорідних за певною ознакою об'єктів чи подій, які є предметом інтересу або дослідження. Є одним із основних понять математичної статистики.В залежності від того, скільки разів відібрані для обстеження одиниці приймають участь у відборі, розрізняють повторний та безповторний відбір. При повторному відборі обстежені одиниці ” повертаються” у генеральну сукупність і знову приймають участь у відборі. При без повторному відборі одиниці, що попали у вибірку, більше не приймають участі у відборі, таким чином кожна одиниця може бути відібраною лише один разПри формуванні вибіркової сукупності використовують також наступні види відбору:індивідуальний, при якому у вибіркову сукупність вибирають по одній одиниці з генеральної сукупності;груповий або серійний , при якому вибирається група (серія) одиниць;комбінований, тобто сполучення перших двох видів відбору.Розрізняють чотири основних способи формування вибіркової сукупності:1). власне випадковий відбір (повторний чи безповторний) , при якому вибіркова сукупність формується виключно випадково (методом жеребкування , за таблицями чисел тощо);2). механічний ( систематичний) відбір, при якому у вибіркову сукупність попадають одиниці з певними порядковими номерами. При цьому всі одиниці генеральної сукупності спочатку впорядковуються та їм присвоюються порядкові номери. Далі визначається пропорція відбору та крок. Наприклад, пропорція відбору 1/20, отже крок ( різниця між порядковими номерами) становить 20. Далі з першої групи випадковим чином визначається перший порядковий номер, а наступні – шляхом додавання кроку відбору. Наприклад, з перших 20 одиниць обрано 7-му, тоді наступні одиниці – 27, 47, 67 і т.д. Цей спосіб відбору є безповторним.3).типовий відбір передбачає , що генеральна сукупність поділяється на однорідні групи і з кожної групи випадковим або механічним способом формується вибіркова сукупність . Якщо з кожної групи відбирається однаковий процент одиниць, типовий відбір називається  пропорційним, а якщо однакова кількість одиниць – непропорційним. Типовий відбір може бути повторним і безповторним.4). серійний відбір , при якому у вибіркову сукупність відбираються групи одиниць (серії) , які надалі обстежуються суцільноУ статистичній практиці застосовується відбір у часі, наприклад , моментне спостереження, що передбачає реєстрацію ознак на певний момент часу, як правило, через рівні інтервали.ВИБІРКОВА СУКУПНІСТЬ — частина генеральної сукупності, об'єкти якої виступають як основні об'єкти спостереження. ... мети дослідження) властивості генеральної сукупності.Результати вибіркового спостереження багато в чому залежать від способів формування та відбору одиниць у вибіркову сукупність. Основним принципом правильності відбору одиниць є строго об'єктивний підхід до відбору одиниць для спостереження. Дотримання цього принципу дає змогу запобігти систематичних (тенденційних) помилок і найбільш точно і повно представити генеральну сукупність.Попередження систематичних помилок досягається в результаті застосування науково-обгрунтованих способів формування вибіркової сукупності.

При формуванні вибіркової сукупності мають бути забезпечені дві умови:

  • 1) рівні можливості для кожної одиниці генеральної сукупності потрапити у вибірку (так званий принцип рівноможливості);

  • 2) досить представницька чисельність вибіркової сукупності.

В статистиці застосовуються різні види і способи формування вибіркової сукупності. В кожному конкретному випадку залежно від цілого ряду умов, а саме завдань дослідження, суті досліджуваного явища, специфіки об'єкта, обсягу сукупності, коливання ознаки, наявності матеріальних і трудових ресурсів, вибирають найбільш оптимальну систему формування вибіркової сукупності, яка визначається видом і способом відбору.За видами розрізняють: 1) індивідуальний відбір - у вибірку потрапляють окремі одиниці генеральної сукупності; 2) груповий відбір - у вибірку потрапляють якісно однорідні групи або серії досліджуваних одиниць; 3) комбінований відбір як комбінація індивідуального і групового відбору.Спосіб відбору визначає конкретний механізм або процедуру вибірки одиниць з генеральної сукупності. В практиці застосування вибіркового спостереження найбільше поширення одержали такі види вибірки: власне-випадкова, механічна, типова, серійна (гніздова) і комбінована. Ці способи можуть бути застосовані і в поєднанні один з одним.При власне-випадковій вибірці відбір одиниць з генеральної сукупності проводиться без попереднього розчленування її на будь-які групи і одиниця спостереження збігається з обліковою одиницею.Суть випадкового відбору полягає в тому, що кожна одиниця спостереження потрапляє у вибірку випадково - за жеребом. Залежно від способу відбору одиниць розрізняють повторний і безповторний відбір.При повторному відборі (за схемою поверненого шару) кожна одиниця після її реєстрації повертається до генеральної сукупності і знову може бути відібраною. Цей спосіб відбору забезпечує постійність складу генеральної сукупності. Імовірність потрапляння кожної одиниці до вибірки залишається постійною, отже, зберігається незалежність наступного витягання одиниць від попередніх.При безповторному відборі (за схемою неповерненок) шару) кожна одиниця після її реєстрації до генеральної сукупності не повертається і в подальшому відборі участі не бере, тобто та сама одиниця не може двічі потрапити до вибірки. Тому безповторна вибірка краще репрезентує генеральну сукупність і, отже, дає меншу помилку, ніж повторна.На відміну від повторного відбору при безповторному відборі не зберігається постійність генеральної сукупності, а імовірність потрапляння окремих одиниць до вибірки весь час змінюється (для одиниць, що залишилися, вона зростає). В зв'язку з цією особливістю до формул середньої та граничної помилок вибірки вводиться поправочний коефіцієнт, про що вже згадувалось вище.Щоб позбутися елементів суб'єктивності при відборі одиниць з генеральної сукупності можна користуватися таблицею випадкових чисел.Випадковий відбір дає добрі результати в однорідних сукупностях, тобто в тих, де варіація ознаки є незначною. Якщо ж сукупність неоднорідна і складається з різних типів явищ, то необхідно застосувати типову вибірку.Механічний відбір - це різновидність випадкового відбору. Суть його полягає в тому, що всі одиниці генеральної сукупності розташовуються в певному порядку (за зростанням або зменшенням, за алфавітом, географічним положенням тощо), а потім суто механічно через певний інтервал відбираються одиниці у вибіркову сукупність.Наприклад, якщо треба відібрати 100 об'єктів із генеральної сукупності чисельністю 1000 одиниць, то величина інтервалу становитиме к = N: п = 1000: 100 = 10, тобто слід відібрати по одній одиниці з кожного десятка. Щоб забезпечити випадковість відбору доцільно першу вибірку з першого інтервалу провести за жеребом. Якщо відбір починають з третього об'єкта, то до вибірки потраплять 3-й, 13-й, 23-й і т.д. об'єкти.Середню і граничні помилки вибірки при механічному відборі розраховують за тими самими формулами, що і для випадкового безповторного відбору, оскільки механічний відбір, як правило, проводиться безповторно.При типовому відборі всю генеральну сукупність попередньо поділяють на типові групи за досліджуваною ознакою, а потім із кожної групи випадковим або механічним способом відбирають необхідну кількість одиниць. При цьому до початку відбору необхідно забезпечити принцип пропорційного представництва кожної групи відповідно з їхньою чисельністю або їхніх середніх квадратичних відхилень або дисперсій. Можливий також відбір, пропорційний обом показникам - чисельності одиниць в типових групах і ступеню варіації ознаки. Такий відбір називається оптимальним. На практиці найчастіше застосовують вибірку, пропорційну чисельності типових груп.


33.Статистичний розподіл вибірки. Емпірична функція розподілу.Припустимо, що вивчають деяку генеральну випадкову величину Х. Для цього проводять низку незалежних дослідів або спостережень, у кожному з яких величина Х набуває того чи іншого значення. Сукупність отриманих значень х12,. ,хn величини Х (де n - кількість дослідів) і є утворена намивибірка. Цю сукупність часто називають статистичним рядом; він відіграє роль вихідного числового матеріалу, що підлягяє подальшій обробці та аналізу.Перший етап обробки статистичного ряду - побудова так званого простого варіаційного ряду. Його отримують з елементів наявної вибірки, розмістивши хі (і = 1,2,...,n) у порядку зростання (неспадання) їхніх значень.Позначимо члени нового ряду через х(і), щоб відрізняти його від хі . Тоді простий варіаційний ряд буде поданий як неспадна послідовність:

x(1), x(2),…., х(п) ,

де х(1) ≤ х(2) ≤ …..≤ х(п).

Наступний етап обробки вихідного статистичного ряду - побудова статистичного (емпіричного) закону розподілу. Форма його запису залежить від характеру досліджуваної випадкової величини Х.

Нехай Х - дискретна випадкова величина. Тоді найбільш природна форма статистичного закону розподілу вибірки описується за допомогою так званого згрупованого варіаційного ряду. Його отримують у такий спосіб: серед чисел простого варіаційного ряду відбирають усі різні і розміщують їх у порядку зростання:

х12,. ,хk,

де х12<...<хk (k ≤ n). При цьому для виділених варіант хі (і = 1,2,...,k) одночасно обчислюють частоти nі, що їм відповідають або відповідні відносні частоти wі;; частота nі дорівнює кількості спостережень, в яких випадкова величина Х набула значення хi, а відносна частота   (і = 1,2,...,k).

Очевидно, що   ;   .

Дискретним статистичним розподілом вибірки називається відповідність між варіантами та їхніми частотами або відносними частотами.

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна подати у формі таблиць:

• дискретний статистичний розподіл частот:

xi

х1

х2



xk

ni

п1

п2



nk

• дискретний статистичний розподіл відносних частот:

xi

х1

х2



xk

wi

w1

w2



wk

1   2   3   4   5   6   7

скачати

© Усі права захищені
написати до нас