Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
«Гомельський державний університет
ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра МПМ
РЕФЕРАТ
Почала систематичного курсу стереометрії в середній школі
Виконавець:
Студентка групи М-32 ____________ Кільцева А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент ____________ Лебедєва М.Т.
Гомель 2007
Зміст
Введення
При вивченні аксіом важливо, щоб учні зрозуміли абстрактний характер геометричних понять, побачили процес абстрагування в дії і навчилися помічати його у навколишній дійсності.
Вивчаючи геометричні поняття "лінія", "точка", "пряма", "площина" та інші, вчитель акцентує увагу учнів на тому, що кожне з них - результат абстрагування (відволікання) від реальних об'єктів.
Наприклад, лінія кордону на карті - смуга певної ширини (істотна властивість кордону) для прикордонників.
Як видно, в залежності від мети розгляду в одному випадку суттєвими властивостями кордону є одні властивості, а в іншому - інші. В якості прикладів, що дозволяють уявити собі площину, вибираємо рівну поверхню столу, гладку поверхню озера, ділянку поля, що тягнеться до горизонту.
У даному випадку, як і для прямої, площину подання необмежено продовженою на всі боки, тобто абстрагуємося від властивості обмеженості кожного з перелічених об'єктів.
1. Методика вивчення паралельності прямих і площин. Методична схема вивчення теорем і їх докази (на прикладі ознаки паралельності прямої і площини)
1.1 Методика вивчення аксіом стереометрії
Побудова системи аксіом стереометрії відбувається за двома напрямками: 1) переформулювання аксіом планіметрії для простору, 2) додавання нових "специфічних" аксіом стереометрії.
Перше з них здійснюється через прийняття аксіоми: "У кожній площині простору справедливі (здійсненні) всі аксіоми планіметрії". Друге полягає у формулюванні кількох аксіом приналежності для простору. У підручнику Погорєлова використано другий напрямок. Оскільки вводиться новий геометричний образ - площину, то її основні властивості в просторі висловлюють аксіоми:
З 1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй.
З 2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.
З 3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку. То через них можна провести площину, і притому тільки одну.
Таким чином, система аксіом стереометрії складається з аксіом планіметрії і групи аксіом С.
Методична схема вивчення аксіом стереометрії
1. Роз'яснити абстрактний характер геометричних понять.
2. Роз'яснити сутність аксіом та їх роль у побудові геометрії, сформулювати аксіоми.
3. Проілюструвати аксіоми на моделях.
4. Закріпити аксіоми шляхом логічного аналізу їх формулювань.
5. Закріпити аксіоми у процесі їх застосування до висновку перших наслідків геометрії приналежності в просторі, до вирішення завдань.
Проілюструємо схему на аксіомах групи С.
1. Поняття площину, точка, пряма - абстрактні, тому що в кожному з випадків відволікалися від властивостей обмеженості, лінійних розмірів, можливої ширини, якими володіли ці предмети в навколишній дійсності.
2. Перераховані властивості дозволяють будувати перетин багатогранників, доводити слідства, які з аксіом.
3. В якості ілюстрації аксіом на моделі скористаємося малюнком куба, за яким учні можуть відповісти на наступні питання: перерахувати точки, що належать площинам: (ABC), (AA 1 B 1), (D 1 C 1 C), (A 1 B 1 C 1); назвати площині, яким належать точки D 1, C, B 1, A, M, N; назвати лінії перетину площин (AA 1 D 1) і (ABC), (DD 1 C 1) і (BB 1 C 1 ); чи мають вони спільні точки; чи можна провести площину через наступні пари прямих: AB і AD, A 1 B 1 і BB 1, A 1 D 1 і C 1 C, BC і AA 1.
4. Аксіома З 1: "Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй". Її аналіз можна направити питаннями: Про які геометричні фігури говориться в цій аксіомі? - О площині і точках. Що саме йдеться про площині і точках? - На кожній площині є точки, що належать їй; для кожної площини можна вказати точки, які їй не належать . Скільки тверджень сформульовано в аксіомі З 1? Сформулюйте їх окремо. - Сформульовано два твердження: 1) якою б не була площина, існують точки, що належать їй, 2) якою б не була площина, існують точки, які не належать їй. Якими іншими словами можна замінити слова "яка б не була площину "?
5. На малюнку зображено дві різні площини a і b, що мають спільну точку A. Скільки загальних точок мають площини a і b?
Оскільки площині - необмежені і використовуючи аксіому З 2, отримуємо відповідь: нескінченно багато точок, розташованих на прямій, що є їх лінією перетину.
Завдання: Чи можна через точку перетину двох даних прямих провести третю прямую, що не лежить з ними в одній площині? Поясніть відповідь.
За аксіомі З 3 пересічні дані прямі задають положення однієї з площин у просторі. У просторі знайдеться пряма, яка не належить даній площині (застосовуємо аксіому С 1, за якою вибравши будь-яку точку, що не належить побудованої площині, і точку перетину даних прямих, будуємо шукану пряму). Таку пряму можна побудувати.
Роль аксіом у побудові геометрії добре видно при доказі перших наслідків, які в чинному підручнику представлені у вигляді теорем.
Т.15.1. Через пряму і не лежить на ній крапку можна побудувати площину, і притому тільки одну.
Для кращого виділення всіх пропозицій, що використовуються при доказі слідства, доцільно доказ оформити у вигляді таблиці з двома колонками "твердження" і "на підставі".
Теорема доведена.
Т.15.2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.
Т.15.3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.
Слідство з Т.15.2. Площина і не лежить на ній пряма або не перетинаються, або перетинаються в одній точці.
З'ясувати, наслідками з яких аксіом є сформульовані теореми? (Аксіома 1, аксіома З 3).
Учням необхідно пояснити, що доказ наводиться не тільки з метою переконання в істинності якого-небудь припущення, але і для того, щоб звести це припущення до раніше відомим, показати, яким чином з аксіом, визначень і вже доведених теорем слід дане припущення.
1.2 Методика вивчення паралельності прямих і площин
Зміст: визначення паралельних і перехресних прямих у просторі, теорема про існування та єдність прямої, що проходить через дану точку паралельно даній прямій, транзитивність паралельності прямих, паралельність прямої і площини (визначення та ознака), паралельність площин (визначення та ознака), зображення просторових фігур на площині.
Поряд зі звичайними цілями навчання геометрії тут велику роль відіграє мета формування в учнів просторового уявлення і уяви.
Методика вивчення визначення паралельних і перехресних прямих побудована за допомогою логічної операції заперечення: "Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються". "Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються перехресними". Точний зміст понять: "прямі не перетинаються", "прямі не лежать в одній площині" може бути отриманий за допомогою операції заперечення понять "прямі перетинаються", "прямі лежать в одній площині".
Методична схема вивчення паралельних і перехресних прямих у просторі
1. Повідомити визначення;
2. Проілюструвати ці поняття на моделі куба, класній кімнаті, малюнку;
3. Провести логічний аналіз формулювання визначення;
4. Виконати завдання на знаходження паралельних і перехресних прямих на моделі (малюнку) куба;
5. Супроводити показ паралельних і перехресних прямих відповідними обгрунтуваннями.
Для полегшення логічного аналізу визначень і побудови заперечення корисно на дошці виконати такі записи:
1. Прямі a і b перетинаються: мають спільну точку, і притому тільки одну;
2. Прямі a і b не перетинаються: не мають спільних точок або спільних точок більше однієї.
Поняття паралельного проектування вводиться за допомогою генетичного визначення. Відповідно до загальної особливістю генетичних визначень використовується методична схема вивчення паралельного проектування:
· Одночасно проговорити визначення і провести побудови (виконується вчителем);
· Одночасно проговорити визначення та показати відповідні побудови на готовому малюнку (виконується учнем); стерти наявний на дошці малюнок;
· Одночасно проговорити визначення і виконати новий малюнок (виконується учнем).
Методику вивчення теорем і їх доказів розглянемо на прикладі ознаки паралельності прямої і площини: "Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна який-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самої площині".
Методична схема:
1) підвести учнів до теореми, сформулювати її;
2) виконати малюнок, коротку запис теореми;
3) повідомляти загальну ідею теореми;
4) привести план докази;
5) надати учням можливість самостійно здійснити док-во;
6) здійснити доказ (учень);
7) закріпити доказ шляхом його відтворення;
8) застосувати теорему до вирішення завдань.
Підведення учнів до теореми: на стіл покладемо спицю а 1, другу спицю покладемо так, щоб вона була паралельна спиці а 1.
Питання: що можна сказати про взаємне розташування спиці а і поверхні столу?
Після досвіду задається питання: Яку теорему можна сформулювати?
Ідея докази: (після виконання малюнка і короткої записи теореми).
Виконаємо доп. побудова: через паралельні прямі а і а 1 проведемо площину a 1.
Док-во від протилежного:
Врахуємо, що всі спільні точки площин a і a 1 повинні належати прямій а 1.
План докази:
1) проводимо площину a 1;
2) робимо припущення, що а не паралельна a;
3) розглянемо точку А, точку перетину прямої а і площини a;
4) приходимо до висновку, що прямі а й а 1 перетинаються;
5) протиріччя;
6) а / / a.
Після проведення докази вирішимо таку задачу:
Нехай SABC тетраедр. MKP-середини ребер SA, SB, SC
Як розташовуються прямі MK, KP, MP щодо ABC?
MK-середня лінія DASB => MK / / AB => MK / / ABC. Аналогічно для ін прямих.
2. Методика вивчення перпендикулярності прямих і площин. Методична схема вивчення ознаки перпендикулярності прямої і площини
Зміст: визначення: перпендикулярних прямих, перпендикулярних прямої і площини, перпендикуляра до площини, відстань від точки до площини, похилої, прямокутної проекції похилій, перпендикулярних площин, теореми про перпендикулярних прямих, ознака перпендикулярності прямої і площини, теорем про зв'язок між паралельність і перпендикулярність прямих і площин у просторі, теорема про три перпендикуляри, теорема про перпендикулярних площинах.
Оскільки в підручнику Погорєлова не вводиться поняття про перпендикулярних перехресних прямих то: пряма а, перетинає площину a, називається перпендикулярної до площини a, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої в площині a, що проходить через точку перетину прямої а з площиною a.
Визначення, наведені в цій темі, відносяться до генетичних (конструктивних), тому при їх вивченні використовують методичну схему, визначену в "2" для паралельного проектування. Згідно визначення до площини проводимо пряму, кіт. перетинає її в деякій точці А. У цій площині знайдеться пряма, що проходить через точку перетину.
Якщо ця пряма перпендикулярна до даній прямій, то її називають перпендикулярної до площини. За малюнком куба попросити учнів позначити ребра куба, перпендикулярні до площин AA 1 BB 1, ABCD, D 1 C 1 CD, і назвати площині, яким перпендикулярні ребра C 1 D 1, A 1 D 1, BC.
Ознака перпендикулярності:
Якщо пряма, що перетинає площину, перпендикулярна до двом прямим у цій площині, то вона перпендикулярна до площини.
Сформулювати цю теорему учні зможуть самі, використовуючи наведену вище завдання (наприклад, ребро А 1 D 1 перпендикулярно до площини DD 1 C 1 => А 1 D 1 ^ DD 1 і А 1 D 1 ^ D 1 З 1 тобто двом прямим лежачим в цій площині).
Методична схема вивчення ознаки перпендикулярності прямої і площини
1) підвести учнів до ознаки, сформулювати його;
2) виконати малюнок, коротку запис теореми;
3) повідомляти загальну ідею доведення теореми;
4) виконати доп. побудови;
5) повідомляти ідею доказу теореми в більш конкретній формі;
6) привести план докази;
7) викласти доказ;
8) закріпити доказ по частинах;
9) відтворення докази повністю;
Для того, щоб підвести учнів до теореми можна скористатися і ін моделлю, що складається з листа картону і декількох спиць. З її допомогою показати, що якщо пряма перпендикулярна тільки до однієї прямої, розташованої у площині a, то цього не досить, щоб пряма а була перпендикулярна до площині a.
У підручнику дано слово "пересічні" прямі. Тут наведено традиційне доказ, засноване на застосуванні ознак рівності трикутників. Одне з перших доп. побудов-проведення через точку А довільної прямої Х, що необхідно для того щоб довести справедливість визначення прямої, що перетинає площину, цій площині. Друга частина доп. побудов: AА 1 = AА 2, довільна пряма СВ, що перетинає прямі b, х, с. А 1 С, А 1 Х, А 1 В, А 2 С, А 2 Х, А 2 В - для утворення трикутників, рівність яких буде доведено.
План докази:
При наявності докладного плану докази коротку запис робити не доцільно. Частина, що залишилася проводиться усно.
Пункт 1 плану можна здійснити, спрямовуючи учнів питаннями типу: Яку фігуру треба розглянути? Яке її властивість потрібно встановити?
Після того як доведено, що для DА 1 СA 2 виконується рівність А 1 С = A 2 С?, Чому А 1 С = А 2 С? Чому А 1 В = А 2 В? Чому DА 2 ЗС = DА 2 ВС? і т. п.
Висновок
При вивченні аксіом доцільно показати, що багато хто з них з'явилися в результаті спостереження і абстрагування різних видів практичної діяльності.
Наприклад, при ознайомленні учнів з аксіомою прямої лінії: "Через дві різні точки простору проходить, і при тому тільки одна, пряма" можна розповісти про спосіб розпилювання колоди на дошки вручну.
Ефективними для розвитку просторової уяви є використання шарнірних моделей, вміння учнів моделювати умови задач за допомогою підручних засобів. При вивченні багатогранників корисними каркасні моделі тіл, виготовлені учнями.
2. Н. М. Рогановскій «Методика викладання в середній школі», Мн., «Вища школа», 1990р.
3. Г. Фройденталь «Математика як педагогічна завдання», М., «Просвещение», 1998р.
4. М.М. «Математична лабораторія», М., «Просвещение», 1997.
5. Ю. М. Колягін «Методика викладання математики в середній школі», М., «Просвещение», 1999р.
6. А. А. Столяр «Логічні проблеми викладання математики», Мн., «Вища школа», 2000р.
Установа освіти
«Гомельський державний університет
ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра МПМ
РЕФЕРАТ
Почала систематичного курсу стереометрії в середній школі
Виконавець:
Студентка групи М-32 ____________ Кільцева А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент ____________ Лебедєва М.Т.
Гомель 2007
Зміст
Введення
1. Методика вивчення паралельності прямих і площин. Методична схема вивчення теорем і їх докази (на прикладі ознаки паралельності прямої і площини)
1.1 Методика вивчення аксіом стереометрії
1.2 Методика вивчення паралельності прямих і площин
2. Методика вивчення перпендикулярності прямих і площин. Методична схема вивчення ознаки перпендикулярності прямої і площини
Висновок
Література
Введення
При вивченні аксіом важливо, щоб учні зрозуміли абстрактний характер геометричних понять, побачили процес абстрагування в дії і навчилися помічати його у навколишній дійсності.
Вивчаючи геометричні поняття "лінія", "точка", "пряма", "площина" та інші, вчитель акцентує увагу учнів на тому, що кожне з них - результат абстрагування (відволікання) від реальних об'єктів.
Наприклад, лінія кордону на карті - смуга певної ширини (істотна властивість кордону) для прикордонників.
Як видно, в залежності від мети розгляду в одному випадку суттєвими властивостями кордону є одні властивості, а в іншому - інші. В якості прикладів, що дозволяють уявити собі площину, вибираємо рівну поверхню столу, гладку поверхню озера, ділянку поля, що тягнеться до горизонту.
У даному випадку, як і для прямої, площину подання необмежено продовженою на всі боки, тобто абстрагуємося від властивості обмеженості кожного з перелічених об'єктів.
1. Методика вивчення паралельності прямих і площин. Методична схема вивчення теорем і їх докази (на прикладі ознаки паралельності прямої і площини)
1.1 Методика вивчення аксіом стереометрії
Побудова системи аксіом стереометрії відбувається за двома напрямками: 1) переформулювання аксіом планіметрії для простору, 2) додавання нових "специфічних" аксіом стереометрії.
Перше з них здійснюється через прийняття аксіоми: "У кожній площині простору справедливі (здійсненні) всі аксіоми планіметрії". Друге полягає у формулюванні кількох аксіом приналежності для простору. У підручнику Погорєлова використано другий напрямок. Оскільки вводиться новий геометричний образ - площину, то її основні властивості в просторі висловлюють аксіоми:
З 1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй.
З 2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.
З 3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку. То через них можна провести площину, і притому тільки одну.
Таким чином, система аксіом стереометрії складається з аксіом планіметрії і групи аксіом С.
Методична схема вивчення аксіом стереометрії
1. Роз'яснити абстрактний характер геометричних понять.
2. Роз'яснити сутність аксіом та їх роль у побудові геометрії, сформулювати аксіоми.
3. Проілюструвати аксіоми на моделях.
4. Закріпити аксіоми шляхом логічного аналізу їх формулювань.
5. Закріпити аксіоми у процесі їх застосування до висновку перших наслідків геометрії приналежності в просторі, до вирішення завдань.
Проілюструємо схему на аксіомах групи С.
1. Поняття площину, точка, пряма - абстрактні, тому що в кожному з випадків відволікалися від властивостей обмеженості, лінійних розмірів, можливої ширини, якими володіли ці предмети в навколишній дійсності.
2. Перераховані властивості дозволяють будувати перетин багатогранників, доводити слідства, які з аксіом.
3. В якості ілюстрації аксіом на моделі скористаємося малюнком куба, за яким учні можуть відповісти на наступні питання: перерахувати точки, що належать площинам: (ABC), (AA 1 B 1), (D 1 C 1 C), (A 1 B 1 C 1); назвати площині, яким належать точки D 1, C, B 1, A, M, N; назвати лінії перетину площин (AA 1 D 1) і (ABC), (DD 1 C 1) і (BB 1 C 1 ); чи мають вони спільні точки; чи можна провести площину через наступні пари прямих: AB і AD, A 1 B 1 і BB 1, A 1 D 1 і C 1 C, BC і AA 1.
4. Аксіома З 1: "Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй". Її аналіз можна направити питаннями: Про які геометричні фігури говориться в цій аксіомі? - О площині і точках. Що саме йдеться про площині і точках? - На кожній площині є точки, що належать їй; для кожної площини можна вказати точки, які їй не належать . Скільки тверджень сформульовано в аксіомі З 1? Сформулюйте їх окремо. - Сформульовано два твердження: 1) якою б не була площина, існують точки, що належать їй, 2) якою б не була площина, існують точки, які не належать їй. Якими іншими словами можна замінити слова "яка б не була площину "?
5. На малюнку зображено дві різні площини a і b, що мають спільну точку A. Скільки загальних точок мають площини a і b?
Оскільки площині - необмежені і використовуючи аксіому З 2, отримуємо відповідь: нескінченно багато точок, розташованих на прямій, що є їх лінією перетину.
Завдання: Чи можна через точку перетину двох даних прямих провести третю прямую, що не лежить з ними в одній площині? Поясніть відповідь.
За аксіомі З 3 пересічні дані прямі задають положення однієї з площин у просторі. У просторі знайдеться пряма, яка не належить даній площині (застосовуємо аксіому С 1, за якою вибравши будь-яку точку, що не належить побудованої площині, і точку перетину даних прямих, будуємо шукану пряму). Таку пряму можна побудувати.
Роль аксіом у побудові геометрії добре видно при доказі перших наслідків, які в чинному підручнику представлені у вигляді теорем.
Т.15.1. Через пряму і не лежить на ній крапку можна побудувати площину, і притому тільки одну.
Для кращого виділення всіх пропозицій, що використовуються при доказі слідства, доцільно доказ оформити у вигляді таблиці з двома колонками "твердження" і "на підставі".
| Твердження | На підставі |
| Пряма AB, точка С | Аксіома I. Яка б не була пряма, існують точки, що належать прямій, і точки, що не належать їй. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну. |
| ABÇAC = A | Якщо прямі мають одну спільну точку, то вони перетинаються |
| площину a | Аксіома З 3: Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і притому тільки одну. |
| Єдиність: $-ет a ¢, що проходить через пряму AB і С. Þ aÇa ¢ по прямій, якій належать A, B, C. | Аксіома З 2 Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку. |
| A, B, C не лежать на одній прямій | Умова задачі |
| Протиріччя. |
Т.15.2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.
Т.15.3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.
Слідство з Т.15.2. Площина і не лежить на ній пряма або не перетинаються, або перетинаються в одній точці.
З'ясувати, наслідками з яких аксіом є сформульовані теореми? (Аксіома 1, аксіома З 3).
Учням необхідно пояснити, що доказ наводиться не тільки з метою переконання в істинності якого-небудь припущення, але і для того, щоб звести це припущення до раніше відомим, показати, яким чином з аксіом, визначень і вже доведених теорем слід дане припущення.
1.2 Методика вивчення паралельності прямих і площин
Зміст: визначення паралельних і перехресних прямих у просторі, теорема про існування та єдність прямої, що проходить через дану точку паралельно даній прямій, транзитивність паралельності прямих, паралельність прямої і площини (визначення та ознака), паралельність площин (визначення та ознака), зображення просторових фігур на площині.
Поряд зі звичайними цілями навчання геометрії тут велику роль відіграє мета формування в учнів просторового уявлення і уяви.
Методика вивчення визначення паралельних і перехресних прямих побудована за допомогою логічної операції заперечення: "Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються". "Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються перехресними". Точний зміст понять: "прямі не перетинаються", "прямі не лежать в одній площині" може бути отриманий за допомогою операції заперечення понять "прямі перетинаються", "прямі лежать в одній площині".
Методична схема вивчення паралельних і перехресних прямих у просторі
1. Повідомити визначення;
2. Проілюструвати ці поняття на моделі куба, класній кімнаті, малюнку;
3. Провести логічний аналіз формулювання визначення;
4. Виконати завдання на знаходження паралельних і перехресних прямих на моделі (малюнку) куба;
5. Супроводити показ паралельних і перехресних прямих відповідними обгрунтуваннями.
Для полегшення логічного аналізу визначень і побудови заперечення корисно на дошці виконати такі записи:
1. Прямі a і b перетинаються: мають спільну точку, і притому тільки одну;
2. Прямі a і b не перетинаються: не мають спільних точок або спільних точок більше однієї.
Поняття паралельного проектування вводиться за допомогою генетичного визначення. Відповідно до загальної особливістю генетичних визначень використовується методична схема вивчення паралельного проектування:
· Одночасно проговорити визначення і провести побудови (виконується вчителем);
· Одночасно проговорити визначення та показати відповідні побудови на готовому малюнку (виконується учнем); стерти наявний на дошці малюнок;
· Одночасно проговорити визначення і виконати новий малюнок (виконується учнем).
Методику вивчення теорем і їх доказів розглянемо на прикладі ознаки паралельності прямої і площини: "Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна який-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самої площині".
Методична схема:
1) підвести учнів до теореми, сформулювати її;
2) виконати малюнок, коротку запис теореми;
3) повідомляти загальну ідею теореми;
4) привести план докази;
5) надати учням можливість самостійно здійснити док-во;
6) здійснити доказ (учень);
7) закріпити доказ шляхом його відтворення;
8) застосувати теорему до вирішення завдань.
Підведення учнів до теореми: на стіл покладемо спицю а 1, другу спицю покладемо так, щоб вона була паралельна спиці а 1.
Питання: що можна сказати про взаємне розташування спиці а і поверхні столу?
Після досвіду задається питання: Яку теорему можна сформулювати?
Ідея докази: (після виконання малюнка і короткої записи теореми).
Виконаємо доп. побудова: через паралельні прямі а і а 1 проведемо площину a 1.
Док-во від протилежного:
Врахуємо, що всі спільні точки площин a і a 1 повинні належати прямій а 1.
План докази:
1) проводимо площину a 1;
2) робимо припущення, що а не паралельна a;
3) розглянемо точку А, точку перетину прямої а і площини a;
4) приходимо до висновку, що прямі а й а 1 перетинаються;
5) протиріччя;
6) а / / a.
Після проведення докази вирішимо таку задачу:
Нехай SABC тетраедр. MKP-середини ребер SA, SB, SC
Як розташовуються прямі MK, KP, MP щодо ABC?
MK-середня лінія DASB => MK / / AB => MK / / ABC. Аналогічно для ін прямих.
2. Методика вивчення перпендикулярності прямих і площин. Методична схема вивчення ознаки перпендикулярності прямої і площини
Зміст: визначення: перпендикулярних прямих, перпендикулярних прямої і площини, перпендикуляра до площини, відстань від точки до площини, похилої, прямокутної проекції похилій, перпендикулярних площин, теореми про перпендикулярних прямих, ознака перпендикулярності прямої і площини, теорем про зв'язок між паралельність і перпендикулярність прямих і площин у просторі, теорема про три перпендикуляри, теорема про перпендикулярних площинах.
Оскільки в підручнику Погорєлова не вводиться поняття про перпендикулярних перехресних прямих то: пряма а, перетинає площину a, називається перпендикулярної до площини a, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої в площині a, що проходить через точку перетину прямої а з площиною a.
Визначення, наведені в цій темі, відносяться до генетичних (конструктивних), тому при їх вивченні використовують методичну схему, визначену в "2" для паралельного проектування. Згідно визначення до площини проводимо пряму, кіт. перетинає її в деякій точці А. У цій площині знайдеться пряма, що проходить через точку перетину.
Якщо ця пряма перпендикулярна до даній прямій, то її називають перпендикулярної до площини. За малюнком куба попросити учнів позначити ребра куба, перпендикулярні до площин AA 1 BB 1, ABCD, D 1 C 1 CD, і назвати площині, яким перпендикулярні ребра C 1 D 1, A 1 D 1, BC.
Ознака перпендикулярності:
Якщо пряма, що перетинає площину, перпендикулярна до двом прямим у цій площині, то вона перпендикулярна до площини.
Сформулювати цю теорему учні зможуть самі, використовуючи наведену вище завдання (наприклад, ребро А 1 D 1 перпендикулярно до площини DD 1 C 1 => А 1 D 1 ^ DD 1 і А 1 D 1 ^ D 1 З 1 тобто двом прямим лежачим в цій площині).
Методична схема вивчення ознаки перпендикулярності прямої і площини
1) підвести учнів до ознаки, сформулювати його;
2) виконати малюнок, коротку запис теореми;
3) повідомляти загальну ідею доведення теореми;
4) виконати доп. побудови;
5) повідомляти ідею доказу теореми в більш конкретній формі;
6) привести план докази;
7) викласти доказ;
8) закріпити доказ по частинах;
9) відтворення докази повністю;
Для того, щоб підвести учнів до теореми можна скористатися і ін моделлю, що складається з листа картону і декількох спиць. З її допомогою показати, що якщо пряма перпендикулярна тільки до однієї прямої, розташованої у площині a, то цього не досить, щоб пряма а була перпендикулярна до площині a.
У підручнику дано слово "пересічні" прямі. Тут наведено традиційне доказ, засноване на застосуванні ознак рівності трикутників. Одне з перших доп. побудов-проведення через точку А довільної прямої Х, що необхідно для того щоб довести справедливість визначення прямої, що перетинає площину, цій площині. Друга частина доп. побудов: AА 1 = AА 2, довільна пряма СВ, що перетинає прямі b, х, с. А 1 С, А 1 Х, А 1 В, А 2 С, А 2 Х, А 2 В - для утворення трикутників, рівність яких буде доведено.
План докази:
| DА 1 СА 2 | А 1 С = А 2 З |
| DА 1 ВА 2 | А 1 В = А 2 В |
| DА 1 ПС, А 2 НД | DА 1 ЗС = DА 2 ЗС => ÐА 1 ВХ = ÐА 2 ВХ |
| DА 1 ВХ, А 2 ВХ | DА 1 ВХ = DА 2 ВХ => А 1 Х = А 2 Х |
| DА 1 ХА 2 | х ^ а |
Пункт 1 плану можна здійснити, спрямовуючи учнів питаннями типу: Яку фігуру треба розглянути? Яке її властивість потрібно встановити?
Після того як доведено, що для DА 1 СA 2 виконується рівність А 1 С = A 2 С?, Чому А 1 С = А 2 С? Чому А 1 В = А 2 В? Чому DА 2 ЗС = DА 2 ВС? і т. п.
Висновок
При вивченні аксіом доцільно показати, що багато хто з них з'явилися в результаті спостереження і абстрагування різних видів практичної діяльності.
Наприклад, при ознайомленні учнів з аксіомою прямої лінії: "Через дві різні точки простору проходить, і при тому тільки одна, пряма" можна розповісти про спосіб розпилювання колоди на дошки вручну.
Ефективними для розвитку просторової уяви є використання шарнірних моделей, вміння учнів моделювати умови задач за допомогою підручних засобів. При вивченні багатогранників корисними каркасні моделі тіл, виготовлені учнями.
Література
1. К.О. Ананченка «Загальна методика викладання математики у школі», Мн., «Унiверсiтецкае», 1997р.2. Н. М. Рогановскій «Методика викладання в середній школі», Мн., «Вища школа», 1990р.
3. Г. Фройденталь «Математика як педагогічна завдання», М., «Просвещение», 1998р.
4. М.М. «Математична лабораторія», М., «Просвещение», 1997.
5. Ю. М. Колягін «Методика викладання математики в середній школі», М., «Просвещение», 1999р.
6. А. А. Столяр «Логічні проблеми викладання математики», Мн., «Вища школа», 2000р.