Негативне заломлення світла на межах поділу середовищ

Курсова робота

на тему

«Негативне заломлення світла на межах поділу середовищ»

Зміст

1 Введення

2. Природа негативного заломлення світла: історичні замітки

3. Рівняння Максвелла і просторова дисперсія

4. Поляритони з негативною груповою швидкістю

5. Магнітна сприйнятливість на оптичних частотах

6. Інші цікаві ефекти

7. Висновок

8.Спісок літератури

1. Введення

Негативне заломлення світла на межах поділу середовищ є природним наслідком того, що групова швидкість хвиль в одній із середовищ негативна. У цій роботі коротко простежується історія виникнення такої інтерпретації цього явища. Розглядається кілька фізичних систем, в яких нормальні електромагнітні хвилі (поляритони) можуть мати негативну групову швидкість, зокрема, в області оптичних частот. Ці системи досліджуються при обліку просторової дисперсії. При такому розгляді використовується діелектричний тензор εij (ω, k), який визначає повний електромагнітний відгук, створюваний електромагнітної хвилею з частотою ω і хвильовим вектором k. Поляритони з негативною груповою швидкістю як у природних, так і в штучних матеріалах утворюються в тих випадках, коли просторова дисперсія досить сильна. Наводяться відповідні приклади об'ємних і поверхневих хвиль як в гіротропних, так і в негіротропних середовищах. Обговорюється також співвідношення між згаданим підходом, що використовують узагальнений тензор діелектричної сприйнятливості εij (ω, k), і більш відомим, але більш обмеженим описом, заснованому на використанні діелектричної проникності та магнітної сприйнятливості μ (ω).

У даній роботі явище негативного заломлення світла обговорюється в термінах дисперсії μ (к) поляритонів - нормальних електромагнітних хвиль, що розповсюджуються в середовищі у області резонансів. Ми будемо розглядати макроскопічно однорідну і ізотропну середу з пренебрежимо малої диссипацией: у цьому випадку не виникає додаткових ускладнень і фізика розглянутих явищ особливо прозора. Іншими словами, ми розглядаємо тіла розміром порядку або більше довжини хвилі в середовищі λ. В ізотропному середовищі частота хвилі зі залежить тільки від модуля хвильового вектора до = | к |, а значить, групова швидкість хвильового пакету

спрямована або по к, або по-до в залежності від знаку d μ (k) / dk. Як було зазначено Л.І. Мандельштамом [1 -3], другий з цих випадків, випадок "негативної групової швидкості", d μ (k) / dk <0, пов'язаний з явищем негативного заломлення. Англійська оптик Артур Шустер в книзі [4] також згадував про таку можливість. Однак він розглядав область аномальної дисперсії в околиці резонансу, де визначення групової швидкості в вигляді (1) не застосовується.

Добре відомо (див., наприклад, [3,5 - 7]), що в середовищі з малою диссипацией швидкість поширення енергії збігається з груповою швидкістю, так що вектор потоку енергії S (у випадку електромагнітних хвиль званий вектором Пойнтінга) є твір

де U - Усереднена за часом щільність енергії. У стані термодинамічної рівноваги U> О, отже, для хвиль з негативною груповою швидкістю вектор потоку енергії S спрямований у бік, протилежний хвильовому вектору к. Негативне заломлення світла і всі незвичайні властивості матеріалів з ​​негативним заломленням - природні слідства такого зв'язку між S і к. Ми будемо розглядати негативне заломлення тільки електромагнітних хвиль, однак Мандельштамом було ясно показано (див. розділ 2.1), що негативне заломлення - це загальна властивість хвиль будь-якої природи з негативною груповою швидкістю.

Ми обговоримо деякі фізичні системи, в яких можуть існувати поляритони з негативною груповою швидкістю і в яких, отже, можна намагатися реалізувати негативне заломлення (в тому числі і в оптичній області частот). Існування поляритонів з негативною груповою швидкістю виявляється можливим для середовищ з досить сильною просторовою дисперсією діелектричних властивостей [7-9]. Наявність просторової дисперсії означає існування нелокального діелектричного відгуку і виражається в залежності узагальненого діелектричного тензора ε> (μ, к) від хвильового вектора до [6, 7].

Далі буде показано, що підхід, заснований на обліку просторової дисперсії, містить в собі як окремий випадок більш відомий підхід, що часто використовується для опису негативного заломлення світла в середовищі з одночасно негативними діелектричною проникністю, ε (ω) <0, і магнітною сприйнятливістю, μ (ω) <0. У зв'язку з такими середовищами зазвичай згадується робота Веселаго [10], хоча в дійсності значно раніше цей випадок вперше обговорювалося в роботі Сивухин [11], а потім у статтях Пафомова [12, 13]. Зокрема, в цих роботах міститься зауваження про негативну групової швидкості в такому середовищі. Гілка з негативною груповою швидкістю ясно видно на рис. 1. На малюнку 1а зображений закон дисперсії ω (k) поперечних поляритонів, визначається добре відомим рівнянням

де n (ω) - коефіцієнт заломлення, при модельному вираженні для діелектричної проникності

Рис. 1.

Дисперсія ω (к) поперечних поляритонів в матеріалі, описуваному модельної магнітною сприйнятливістю (5) і діелектричною проникністю, що задається (а) рівнянням (4) і (б) рівнянням (6) при спеціальному виборі характерних частот. Полярітонний гілки з негативною груповою швидкістю вказані стрілками. Зауважимо, що малюнок (як і всі інші в даному огляді) виконаний не в масштабі: параметри підбиралися з єдиною метою - якомога ясніше показати якісну сторону явища, що має резонансну структуру, і

Одна з трьох поляритонних гілок, зображених на рис. 1а, очевидно, має негативної груповою швидкістю, оскільки частота поляритону зі спадає зі збільшенням хвильового вектора k (Ця гілка вказана стрілкою). Зрозуміло, гілка з негативною груповою швидкістю знаходиться саме в тій області частот, де ε (ω) (4) і μ (ω) (5) одночасно негативні. На малюнку 1 параметри підібрані таким чином, щоб значення частоти і полюса (ω), і нуля (ω _т2) магнітної сприйнятливості потрапляли в щілину добре відомого поздовжньо-поперечного (ω _р ω) розщеплення, що виникає внаслідок резонансу діелектричної проникності. Звичайно, можливе й інше розташування цих частот.

На малюнку 16 зображено дисперсія поляритонов при тому ж вираженні (5) для μ (ω), але модельний вид діелектричної проникності задається нерівністю (4), а вираженням

відповідним часто обговорюваного нагоди металевих систем, в яких відсутня резонанс ω _±, а ω збігається із плазмовою частотою ω _р. Одна з двох поляритонних гілок має негативну групову швидкість.

2. Природа негативного заломлення світла: історичні замітки

2.1 Л.І. Мандельштам і негативне заломлення світла

Недавнє спостереження негативного заломлення в області мікрохвиль [14] і теоретичний прогноз можливості так званої ідеальної ("perfect") фокусування світла [15] призвело до підвищеного інтересу до матеріалів з ​​негативним заломленням. На цю тему опубліковано безліч статей у наукових і популярних журналах і навіть у газетах. Причому дуже часто відправним пунктом у розвитку досліджень негативного заломлення світла вважається згадувана вище робота Веселаго 1968 [10]. У дійсності, як уже зазначалося у вступі, історія негативного заломлення світла почалася значно раніше - глибоке розуміння суті цього явища було досягнуто Л.І. Мандельштамом щонайменше в 1940 р., а в статті Веселаго просто були відсутні посилання на раніше проведені дослідження.

Основоположник видатної Московської фізичної школи (див., наприклад, [16]) Л.І. Мандельштам прочитав у Московському державному університеті кілька неформальних циклів лекцій. Ці лекції, що почалися в 1930 р., тривали багато років. На лекціях, які славилися глибоким проникненням у суть обговорюваного предмета, розглядалися багато важливих і тонкі питання оптики, теорії відносності та квантової механіки. Їх відвідували не тільки студенти, але і багато шановні професори. Завдяки записам, зробленим співробітниками Мандельштама СМ. Ритова і М.А. Леонтовичем, ці лекції збереглися і увійшли до Повного зібрання праць Мандельштама, а значно пізніше були опубліковані окремо [3].

На одній з лекцій 1944 Мандельштам дав детальний аналіз негативного заломлення, що відбувається на плоскій межі розділу двох середовищ, в одній з яких можуть поширюватися хвилі з негативною груповою швидкістю. Нижче ми наводимо уривок з лекції Мандельштама. Після обговорення умов, за яких групова швидкість є швидкість поширення енергії, Мандельштам продовжує:

"Нехай всі ці умови виконані, і, отже, енергія переміщується з груповою швидкістю. Але ми знаємо, що групова швидкість може бути негативна. Це означає, що група (і енергія) рухається у бік, протилежний напрямку поширення фази хвилі. Чи можливі такі випадки в дійсності?

У 1904 році Лемб придумав деякі штучні механічні моделі одновимірних "середовищ", в яких групова швидкість може бути негативною. Сам він, мабуть, не вважав, що наведені ним приклади можуть мати фізичні застосування. Але, як виявляється, існують і цілком реальні середовища, в яких для деяких областей частот фазова та групова швидкості дійсно спрямовані назустріч один одному. Це виходить у так званих "оптичних" гілках акустичного спектру кристалічної решітки, розглянутих М. Борном. Можливість подібного явища дозволяє з дещо іншої точки зору підійти і до таких, здавалося б, добре відомих речей, як відображення і переломлення плоскої хвилі на площині розділу між двома непоглинаючих-ські середовищами. Перебіг цього явища, при розборі якого про групової швидкості зазвичай взагалі не згадують, істотно залежить від її знака.

Дійсно, в чому полягає ідея виведення формул Френеля?

Розглядають плоску синусоїдальну хвилю, що падає під кутом ц, на плоску межу у = 0,

і поряд з нею ще дві хвилі - вбитих та заломлених

На площині в = 0 ці хвилі повинні задовольняти так званим граничним умовам. Для пружних тіл ця умова безперервності напружень і зміщень по обидві сторони від кордону. У електромагнітної задачі на площині розділу повинні бути неперервні тангенціальні складові напруженостей і нормальна складова індукцій. Легко показати, що з одного тільки відбитою хвилею (або тільки з заломленої) цим граничним умовам задовольнити не можна. Навпаки, при наявності обох хвиль умови завжди можуть бути виконані. Звідси, між іншим, зовсім не випливає, що повинні бути тільки три хвилі, а не більше: граничні умови допускають наявність ще однієї, четвертої хвилі, що йде під кутом я - <р _' у другій середовищі. Зазвичай мовчки беруть, що цієї хвилі немає, тобто постулюють, що в другій середовищі поширюється тільки одна хвиля.

З граничних умов негайно ж слід закон відображення і закон заломлення

Проте останнє рівність задовольняється як при куті Δ φ ₁ так і при куті π - φ ₁ Хвиля у другій середовищі, відповідна φ ₁ поширюється у напрямку від кордону розділу (рис. 2, ліворуч). Хвиля ж, відповідна π - φ ₁ поширюється у напрямку до кордону розділу (рис. 2, праворуч). Вважається само собою зрозумілим, що другої хвилі бути не може, тому що світло падає з першої середовища на другу, а значить, у другій середовищі енергія повинна відтікати від кордону розділу. Але причому тут енергія? Адже напрям розповсюдження хвилі визначається її фазової Якщо ж маємо випадок негативної группоскоростью, енергія ж переміщається з груповою швидкістю. Тут допускається, таким чином, логічний стрибок, якого не відчувають лише тому, що звикли до збігу напрямків поширення енергії і фази. Якщо такий збіг має

місце, тобто якщо групова швидкість позитивна, то тоді все виходить правильно.

Рис. 2. Віддзеркалення і заломлення падаючої плоскої хвилі. (Малюнок з лекцій Мандельштама [1, 3].)

вої швидкості - випадок, як я вже говорив, цілком реальний, - то все змінюється. Вимагаючи як і раніше, щоб енергія в другій середовищі відтікала від кордону розділу, ми приходимо тоді до того, що фаза повинна набігати на цю кордон і, отже, напрям поширення заломленої хвилі становитиме з нормаллю кут π - φ ₁ [Як показано на малюнку 2 праворуч]. Як не незвично така побудова, але, звичайно, нічого дивного в ньому немає, бо фазова швидкість ще нічого не говорить про направлення потоку енергії ".

Ці зауваження, зроблені Мандельштамом понад шістдесят років тому, в дійсності пояснюють фізичну причину виникнення негативного заломлення і його природу. Повчально, що, говорячи про природу негативного заломлення, Мандельштам оперує термінами "хвильовий вектор", "групова швидкість" і "принцип причинності", а не терміном "негативний коефіцієнт заломлення", так популярним сьогодні. З принципу причинності випливає, що в середовищі, яке перебуває в термодинамічній рівновазі, інтенсивність хвилі, що розповсюджується від кордону розділу, повинна зменшуватися. Це правило визначає знак уявної частини коефіцієнта заломлення, а отже, і знак його дійсної частини, оскільки вони взаємопов'язані і опред еляются зн АКОМ в наступному з (3) рівнянні n (ω) = ε (ω) μ (ω).

Встановлена ​​зв'язок між негативним заломленням і негативною груповою швидкістю ясно показує, що негативне заломлення можливо для хвиль будь-якої природи, а також вказує на можливість відшукання відповідних для спостереження негативного заломлення матеріалів на основі вивчення дисперсії ω (k) тих хвиль, які можуть у них поширюватися. Короткий огляд історії питання про негативну групової швидкості можна знайти також у недавній роботі [17], де ця історія простежується аж до таких ранніх робіт, як роботи Лемба [18] і фон Лауе [19].

Той факт, що поняття групової швидкості надзвичайно важливо в оптиці кристалів, детально обговорюється в монографії [7]. Негативне переломлення, що виникає на межі розділу з гіротропних середовищем, розглядається вже у першому виданні цієї книги 1966 року і супроводжується так добре відомим тепер рис. 2 (див. [7, с. 264]).

2.2 Випромінювання Черенкова

У тих середовищах, в яких поширюються хвилі з негативною груповою швидкістю, випромінювання Черенкова має ряд особливостей. Ці особливості також вже давно відомі. З теорії випромінювання Черенкова (див., наприклад, [6]) легко отримати, враховуючи знак групової швидкості, "незвичайне" напрям поширення випромінювання. Нехай заряджена частинка рухається в прозорій середовищі вздовж осі х із швидкістю v. У результаті середовище може випромінювати електромагнітні хвилі з частотою ω і хвильовим вектором до, такими, що ω = k _x v. З іншого боку, хвильовий вектор і частота зв'язані співвідношенням k = nω / c, де n = ε-коефіцієнт заломлення. Оскільки k> k _x, повинно виконуватися співвідношення v> v _ph = с / n (ω), тобто випромінювання хвиль з частотою зі можливо, якщо швидкість частки перевищує фазову швидкість v _ph.

Рис. 3. Ілюстрація до напрямку випромінювання Черенкова в середовищі з позитивною (а) і негативною (б) груповою швидкістю.

Тут v - напрям швидкості частинки, к - напрям хвильового вектора випромінювання, a S - напрямок вектора Пойнтінга. Вектор S спрямований уздовж групової швидкості v _g і визначає дійсне напрямок випромінювання.

Якщо позначити через θ кут між напрямком руху частинки й хвильовим вектором випромінювання до, то легко бачити, що

Наведемо цитату з [6]: "... випромінювання кожної частоти відбувається вперед у напрямку руху частинки і розподіляється по поверхні конуса з кутом розчину в, що визначаються формулою (7)".

З логіки наведеного виведення ясно, що висновок про напрямку випромінювання грунтується на неявному припущенні про те, що відповідає хвильовому вектору до групова швидкість v _g позитивна, а значить, спрямована по к - ситуація, показана на рис. За. Якщо ж групова швидкість, навпаки, негативна, тобто v _g спрямована в бік, протилежний до, то напрямок випромінювання (потік енергії S) буде мати протилежну орієнтацію. У цьому випадку напрямок випромінювання утворює тупий кут з напрямком руху частинки, що вперше було відзначено Пафомовим [13]. На малюнку 36 зображено випромінювання Черенкова, спрямоване тому. Випромінювання розподілено по поверхні конуса з тим же кутом розчину.

Надалі буде показано, що хвилі з негативною груповою швидкістю можуть виникати в кристалах завдяки наявності просторової дисперсії. У монографії [7, с. 405,406] обговорюються різні випадки прояву просторової дисперсії в випромінюванні Черенкова. Особливо цікаві ефекти як в гіротропних [7, 20], так і в негіротропних [7] середовищах виникають в околиці екситонних резонансів: при зростанні швидкості рухається частинки напрямок конуса Черенкова змінюється від напрямку випромінювання вперед до напряму випромінювання тому.

Цікаво також вплив, який чиниться негативною груповою швидкістю на перехідне випромінювання зарядженої частинки, що проходить через кордон між двома середовищами з різними діелектричними проникний-мости. Важлива роль знака групової швидкості для перехідного випромінювання та особливості "зворотного" ефекту Доплера вперше були вивчені в роботах Франка [21], Барсукова [22] та Пафомова [12].

3. Рівняння Максвелла і просторова дисперсія

3.1 Тензор діелектричної проникності

Макроскопічні рівняння Максвелла складають основу електродинаміки суцільних середовищ [6]. Вони виводяться усередненням "мікроскопічних" електромагнітних полів, зарядів і густин струму і повинні доповнюватися так званими матеріальними рівняннями - зв'язками між усередненими полями. Матеріальні рівняння визначаються відгуком середовища на електромагнітне поле. Дотримуючись Ландау і Ліфшиця [6] (див. також [7, 23]), видається більш правильним і зручним використовувати підхід, заснований на обліку просторової дисперсії, в якому розглядаються тільки три макроскопічних поля: Е, D, В, а четверте поле, Н, вважається рівним В. У рамках цього підходу результат усереднення всіх мікроскопічних струмів включається у визначення поля D. Макроскопічні рівняння Максвелла для монохроматичних плоских хвиль приймають вигляд

а зв'язок між компонентами полів D і Е (матеріальне рівняння) виражається як

У рівнянні (9) узагальнений діелектричний тензор ε (ω, к) залежить від хвильового вектора к. Це означає, що врахована просторова дисперсія, тобто той факт, що індукція електричного поля D в даній точці простору залежить не тільки від електричного поля Е в цій точці (що відповідало б локального відгуку), але також і від електричного поля в деякій її околиці (нелокальний відгук). По суті, тензор ε (ω, к) описує і електричний, і магнітний відгуки середовища (другий з них - з природним обліку просторових похідних поля Е). Просторова дисперсія з'являється як додаток до більш звичної тимчасової, або частотній, дисперсії, що виражається в залежності діелектричного тензора від ω. Зазвичай ефекти, пов'язані з просторовою дисперсією, є набагато більш слабкими, ніж ефекти, пов'язані з тимчасовою дисперсією, але перші можуть приводити до якісно нових явищ, таких, наприклад, як гіротропія або виникнення додаткових електромагнітних хвиль. Розгляд просторової дисперсії спрощується, якщо відповідний параметр ка ~ а / λ малий (тут а - характерний мікроскопічний розмір або довжина вільного пробігу заряджених частинок). Трохи параметра ка дозволяє в багатьох випадках враховувати тільки перші члени (лінійні та / або квадратичні) в розкладанні тензора ε (ω, к) за ступенями компонент хвильового вектора до [6, 7]:

Різні тензори, що стоять в розкладах (10) і (11), відображають властивості симетрії розглянутої системи і задовольняють принципом симетрії кінетичних коефіцієнтів Онсагером. Зокрема, в системі, яка має центром інверсії, другі члени розкладання (тобто пропорційні першого ступеня к,) зникають.

Оскільки з рівнянь Максвелла (8) відразу виходить, що

рівняння (12) і (9), взяті разом, визначають рівняння дисперсії ω (к) електромагнітних хвиль в середовищі.

Усереднену за часом щільність енергії і вектор Пойнтінга в обговорюваному (E, D, В)-підході можна знайти, розглядаючи хвильові пакети [6, 7]. Зазначені величини задаються відповідно виразами

Співвідношення (13) і (14) за відсутності дисипації задовольняють закону збереження енергії. Наявність додаткового (другого) доданка в рівнянні (14) [24,25]-результат обліку просторової дисперсії. Цей член відіграє визначальну роль в появі хвиль з негативною груповою швидкістю.

Надалі ми приведемо короткий порівняльне обговорення (див. розділ 3.2) обох підходів: (E, D, B)-підходу, що враховує просторову дисперсію, і так званого "симетричного" підходу, заснованого на розгляді всіх чотирьох полів, Е, D, В , Н. Тим не менше ми відсилаємо читача до книги [26], оглядам [27-29] і недавній статті [8], в яких можна знайти обговорення різних точок зору, інші аргументи і подробиці.

3.2 ізотропного середовища з центром інверсії

Якщо приймається до уваги просторова дисперсія, то діелектричний відгук визначається тензорної величиною навіть для ізотропної системи, оскільки вектор до визначає виділений напрям. Отже, для ізотропного середовища, що володіє центром інверсії (негіротропная середа), загальний вигляд діелектричного тензора є [6]

де поперечна ε (ω, к) та поздовжня ε (ω, к) діелектричні проникності залежать тільки від модуля хвильового вектора до і задають повний опис властивостей середовища. У відповідності з рівняннями (12) і (9) закон дисперсії ω (к) поперечних (Е _ к) поляритонів можна знайти з

а рівняння

визначає дисперсію поздовжніх (Е | | к, D = 0, В = 0) хвиль.

Симетричний підхід, в якому використовуються залежні тільки від частоти діелектрична проникність е (з) і магнітна сприйнятливість μ (ω), відповідає межі до - + 0 в підході, заснованому на обліку просторової дисперсії [6]:

Легко бачити, що, якщо в дисперсійному рівнянні для поперечних поляритонів (16) покласти

то (16) стає тотожним рівнянню (3), отриманому при описі в термінах ε (ω) і μ (ω), де до ² з ² / ω ² = n ² = ε (ω) μ (ω). Вже одне це ясно показує більш широкі можливості підходу, заснованого на обліку просторової дисперсії, так як він дозволяє вивчати різні ефекти, пов'язані з просторовою дисперсією, з точністю навіть більшою тієї точності, яка визначається урахуванням тільки членів oc / k ² в тензора ε _L {ω, k ), тоді як ε (ω) і μ (ω)-підхід дозволяє врахувати тільки зазначені в (20) (і то не всі) члени. Більш того, навіть при врахуванні тільки членів порядку до ² застосування підходу, заснованого на обліку просторової дисперсії, має якісні переваги. Дійсно, у розглянутій ізотропної системі входить в рівняння (10) тензор відгуку a _ijlm в загальному випадку задається двома незалежними параметрами. Ці параметри (а і Ь) можуть бути обрані, наприклад, так, щоб виконувалося рівність

де е _ril позначає антисиметричний одиничний тензор третього рангу. Запис (21) симетрична і за першою (if), і по другій (1т) парі індексів, внаслідок чого поздовжня і поперечна діелектричні проникності можуть бути представлені у вигляді

З рівнянь (10) і (21) випливає, що відповідне матеріальне рівняння (9) запишеться як

З рівнянь (22) і (23) ясно, що параметр '(оо) визначає, грубо кажучи, міру просторової дисперсії, обумовленої "магнітним відгуком" системи: параметр b (ω) пов'язаний з магнітною сприйнятливістю (див. рівняння (19)) співвідношенням

У свою чергу, параметр а (ω) визначає міру просторової дисперсії, пов'язаної з "електричним відгуком". Наявність параметра а (ω) і його залежність від зі неможливо врахувати в рамках опису в термінах е (ω) і μ (ω). Обидва цих відгуку схожим чином впливають на дисперсію поперечних поляритонів (рівняння (22) і (16)), але дисперсія поздовжніх хвиль залежить тільки від електричного відгуку (рівняння (22) і (17)). Необхідно особливо відзначити, що поляритони з негативною груповою швидкістю і, отже, негативне переломлення можуть виникати в системах з μ (ω) = 1 (тобто з b (ω) = 0), якщо коефіцієнт відгуку а (ω) має відповідної залежністю від частоти.

3.3 Зв'язок з мікроскопічним описом

Діелектричний тензор ε _ij (ω, к) описує відгук середовища на електромагнітне обурення з довільними частотами ω і хвильовими векторами к. Цей тензор має певні, добре відомі аналітичні властивості і в принципі може бути отриманий спеціальними методами з мікроскопічного опису елементарних збуджень середовища (див., наприклад, роботи [7, 23, 30-32], у яких обговорюються багато важливих аспекти цього питання). Наприклад, для збуреного основного стану системи N заряджених частинок із зарядом е і масою т в обсязі V діелектричний тензор визначається наступним мікроскопічним виразом [7]:

Вхідні у вираз (24) вектори М ⁿ (к) суть матричні елементи обурення, записані в декартових координатах:

де r ^а - радіус-вектор а-ї частки. Тут | 0> позначає хвильову функцію основного стану, а \ n - незбурена хвильові функції різних збуджених станів. Ці стани нульового наближення, які ми будемо називати жсітонамі ("механічними екситонами", користуючись термінологією [7]), слід обчислювати без урахування макроскопічного електромагнітного поля.

Корисно простежити мікроскопічне походження виразів типу (20) і (22) в ізотропному системі з центром інверсії. Для найпростішої моделі незалежних атомів або молекул у відповідності з рівнянням (24) діелектрична проникність е (ω) визначається елементами М ⁿ (к = 0) (більш точні моделі розглядаються в [33, 34]):

і, отже, в неї вносять внесок тільки електричні дипольно-дозволені переходи (звані також Е1-переходами). Позначаючи відповідні частоти переходів через ω _{е n,} отримуємо з рівняння (24):

де "сили осциляторів". Поблизу якої-небудь однієї резонансної частоти ω _± рівняння (27) набуває таку структуру:

Член до ² в рівнянні (20) має зовсім інше походження: він виникає внаслідок електричних дипольно-заборонених переходів. У молекулярній картині такі заборонені (forbidden) переходи стають можливими завдяки наступним членам розкладання exp (ikr ^a) у рівнянні (25), та їх незникаючих внесок у Mf (k) є

Магнітні дипольні переходи (Ml-переходи) відбуваються за рахунок антисиметричною комбінації

Ця комбінація повинна стояти між <n | і | 0> у рівнянні (29). Насправді там стоїть інша комбінація, що відрізняється від (30) виразом

Як добре відомо, комбінація (31) призводить до електричних квадрупольні переходах. Різниця між магнітними дипольними і електричними квадрупольними переходами відображено в симетрії тензора Х визначеного в рівнянні (29): для перших він антісімметрічен, а для других симетричний. Вклад в тензор <a _iJlm (21), який дають і Е2-переходи, і Ml-переходи, має вигляд

Зауважимо, що магнітні дипольні комбінації Х ^{n (m)} * Х ^{n (m) що} входять до рівняння (32), дійсно вносять внесок тільки в коефіцієнт магнітного відгуку b (ω) з рівняння (21). З іншого боку, електричні квадрупольні комбінації типу Х ^{n (q)} * Х ^{n (q)} дають внесок в обидва коефіцієнта відгуку, а (ω) і b (ω), визначених у рівнянні (21). Приклади цього можна знайти, наприклад, в [7] (загальне обговорення електричної квадрупольний поляризації в макроскопічної електродинаміки див [35]).

Рівняння (32) ясно показує, що магнітні дипольні й електричні квадрупольні переходи можуть призвести до вкладів одного і того ж типу в поперечну діелектричну проникність ω _± (ω, к). Облік такого вкладу від одного ізольованого резонансу з частотою ω призведе до заміни рівняння (28) наступним рівнянням:

де Ff визначає силу переходу. Властивості середовища, що випливають з рівняння (33), визначаються відносної роллю обох резонансів, один з яких - дипольно-дозволений, а інший - заборонений. У результаті можуть з'явитися поляритони з негативною груповою швидкістю (див. рис. 1). За допомогою рівнянь (4), (5) і (20) легко переконатися в тому, що частота ω _f, при якій магнітна сприйнятливість ц (з) дорівнює нулю, відповідає частоті ω забороненого переходу

З наведеного виведення видно, що сила забороненого переходу в атомних або молекулярних матеріалах в загальному випадку набагато слабше, ніж сила дипольно-дозволеного переходу:

де а - характерна атомна або молекулярна довжина, v - характерна швидкість електрона. У зв'язку з цим нагадаємо, що F _e / e _h визначає на рис. 1 величину розщеплення ω - ω _L, a _{F f} = F _m - ширину зони полярітонас негативною груповою швидкістю.

3.4. Однорідна система без центру інверсії

Якщо в середовищі не існує центру інверсії (гіротропним середовища), то просторова дисперсія виявляється вже в членах першого порядку малості по хвильовому вектору до, так як тензори λ _ijl і б _ijl в розкладах (10) і (11) не зникають. Легко скласти уявлення про цікаві властивості дисперсії поляритонів в такому середовищі, навіть якщо обмежитися тільки лінійними по к членами [7, 36]. В ізотропному системі тензори загального вигляду λ _ijl і б _ijl, зводяться до одиничного антисиметричною тензорів і розкладання приймає вигляд

Як буде обговорюватися в розділах 4.2 та 4.3, рівняння (35) доцільно застосовувати поблизу поздовжньої частоти й),: £ (й> ц) = 0, а рівняння (36) - поблизу резонансної частоти _±.

Корисно з'ясувати мікроскопічний сенс тензора діелектричної проникності, записаного у вигляді (35) і (36). Добре відомо (див. [32-34]), що, наприклад, для набору незалежних гіротропних молекул оптична активність виникає внаслідок переходів в стану n> з не рівними нулю матричними елементами обох типів (як (26), так і (29)) . Справді, такі переходи, що призводять до появи лінійних по к, членів в рівнянні (35), відповідають наявності в тензора λ _ijl (10) комбінацій виду

Мікроскопічний сенс функції б (ω), що входить в рівняння (36), обговорюється в розділі 4.2.

4. Поляритони з негативною груповою швидкістю

Як вже зазначалося у розділі 3.1, другий член у виразі (14) для вектора Пойнтінга S явно показує, як просторова дисперсія може "звернути" напрям поширення енергії по відношенню до хвильовому вектору к. Справді, перший доданок в (14) в ізотропного середовищі є вектор, спрямований по к. Для того щоб групова швидкість виявилася негативною, другий доданок має бути направлено за-до і перевершувати перше по величині. Для цього, зокрема, потрібно, щоб просторова дисперсія dε _L (ω, k) / dk була досить сильною. Цей випадок і здійснюється в середовищі, що характеризується рівнянням (33), з негативними ε (ω) і μ (ω) при частотах нижче забороненої частоти ω _f. У розділах 4.1-4.3 ми обговоримо кілька інших випадків, коли істотна просторова дисперсія діелектричної проникності призводить до виникнення поляритонов з негативною груповою швидкістю.

4.1 Екситони з негативною ефективної масою в негіротропних середовищах

У 1957 Пекарям [37] вперше було відзначено, що просторова дисперсія діелектричної проникності поблизу екситонного резонансу може призвести до появи додаткової розповсюджується світловий (екситон-поляритонної) хвилі. Така можливість пов'язана з тим, що екситонної збудження в середовищі може переміщатися (наприклад від однієї молекули до іншої) і його енергія залежить від хвильового вектора к. Розглянемо вираз (28) для поперечного діелектричної проникності, яка визначається відгуком, відповідним ізольованому електричному дипольно-дозволеному екситонного переходу з частотою ω _L. Матричні елементи (25) "відбирають" тільки екситонного стану \ n> з імпульсом (квазі-імпульс) n к, а значить, енергії ω _п - Ті енергії, які відповідають цьому імпульсу. У наближенні ефективної маси дисперсія енергііексітона має вигляд

Відповідно, поперечна діелектрична функція виражається як

що для нерухомих екситонів (М _ехс = оо) збігається з рівнянням (28). Звичайно, сила осцилятора F _e теж може залежати від до, але ми обмежимося більш сильним ефектом, пов'язаним з резонансним знаменником у рівнянні (39). До речі, зауважимо, що просторову дисперсію, наприклад, такого виду, як у рівнянні (39), не можна врахувати з допомогою ε (ω)-μ (ω) - описи. З рівнянь (16) і (39) легко знайти дисперсію поперечних поляритонів, приклади якої наведено на рис. 4.

Малюнок 4 показує, що в деякій області частот ω для кожної частоти дійсно можуть знайтися два значення хвильового вектора до, що відповідають двом поперечним поляритонная гілка з однією і тією ж поляризацією. Та з них, яка має більший хвильовий вектор (позначений як до _2), і є передбачена Пекарям додаткова хвиля.

Рис. 4. Дисперсія двох поперечних поляритонних гілок і поздовжньої хвилі в системі з дисперсією екситона (38): (а) ефективна маса екситона позитивна, М _{е xc} > 0; (б) негативна ефективна маса, М _{е x з} <0.

Найбільш переконливі експерименти були проведені в напівпровідниках поблизу резонансу, що відповідає екситона Ваннье-Мотта (див. обговорення і посилання на літературу в [7]). Принципове значення для знаку групової швидкості має знак ефективної маси екситона. Зазвичай ефективна маса екситона Ваннье-Мотта позитивна: М _ехс = т _е + m _h> 0, де т _е і m _{h-відповідно} ефективні маси електронів і дірок. Така ситуація зображена на рис. 4а. Очевидно, що додаткове хвиля в цьому випадку має позитивну групову швидкість.

Проте в органічних кристалах радіус екситонів Френкеля звичайно малий. У такій ситуації резонансну взаємодію між молекулами сильно залежить від їх орієнтації, що призводить до того, що ефективна маса екситона, взагалі кажучи, може бути негативною або мати різні знаки для різних напрямків. Випадок негативною ефективної маси зображений на рис. 46. Ясно видно, що для деякого інтервалу частот ω додаткова поперечна поляритонна хвиля (хвиля з хвильовим вектором до ₂₎ має негативну групову швидкість. Саме ця поперечна хвиля буде відчувати негативний переломлення.

На малюнку 4 також показана дисперсія поздовжніх хвиль, що визначається рівнянням (17). Для визначеності ми поклали ε (ω, k) = ε _L {ω, k). Хвильовий вектор поздовжньої хвилі позначений через до _м. Якщо М _ехс <0, то поздовжні хвилі в цьому наближенні також мають негативну групову швидкість. У загальному випадку всі три хвилі (дві поперечних і одна поздовжня) можна порушити в середовищі за допомогою падаючої хвилі, що має відповідну частоту. Для того щоб вирішити завдання про відображення і проходження хвиль в цьому випадку, слід ввести так звані додаткові граничні умови (ДГУ), оскільки, очевидно, зазвичай використовуваних граничних умов Максвелла буде недостатньо для знаходження амплітуд всіх порушених хвиль. Явний вигляд ДГУ залежить від мікроскопічної природи екситонів. Для молекулярних кристалів це питання докладно обговорюється в [7].

У недавній роботі [38] проведено чисельне моделювання відбиття і проходження світла через плоску пластину, зроблену з матеріалу, в якому екситони мають негативну ефективну масу, М _ехс <О (рис. 46). Ці розрахунки переконливо показали, що завдяки негативному переломленню хвиль з негативною груповий швидкістю така пластина дійсно приводить до фокусування випромінювання. Результати чисельного моделювання [38] також вказують на те, що для експериментальної реалізації такої системи необхідний кристал з великою силою осцилятора екситонного переходу та досить слабкою диссипацией додаткових поляритонов при частотах нижче частоти екситонного резонансу.

4.2 гіротропним системи поблизу екситонних переходів

Гіротропним системи добре відомі завдяки явищам оптичної активності і циркулярного (кругового) дихроїзму. Цілком природно було б очікувати, що в певних частотних діапазонах ω в цих системах також можуть поширюватися поляритони з негативною груповою швидкістю. Ми почнемо обговорення, розглядаючи частоти в околиці екситонного резонансу ω _L. Додаткові хвилі в цій області частот в гіротропних кристалах були розглянуті Гінзбургом [36]. Оскільки частота переходу відповідає полюса діелектричної проникності, в цій області зручніше використовувати розкладання (36) для зворотного діелектричного тензора. Функція, обернена діелектричної проникності, звертається в нуль при частоті, рівній частоті переходу. Звідси ясно, що якісно важливо використовувати наступний, залежить від просторової дисперсії член цього розкладу.

Рівняння (36) відповідає матеріального рівнянню

зв'язує поля Е і D, де параметр S (ω) визначає "силу" гіротропія. Співвідношення (40) спільно з хвильовим рівнянням для поперечних хвиль приводять до рівняння

нетривіальні рішення якого описують поперечні поляритони в даній системі. Відомо, що ці рішення відповідають хвилям з круговою поляризацією. Дисперсія поляритону з (к) визначається з умови звернення до нуль детерм-нантауравненія (41):

або, для хвиль з різною круговою поляризацією,

Рис. 5. Дисперсія поперечних поляритонів в гіротропних середовищі. Зверніть увагу на різницю в діапазоні частот (і хвильових векторів) на рис. а і б. На малюнку а показана область частот поблизу зі _± і нижче неї; околиця частоти зі »знаходиться багато вище і не поміщається на малюнку. На малюнку б показано область частот поблизу ω і вище за неї; околиця частоти ω _± знаходиться багато нижче і не поміщається на малюнку. Точки перетину пунктирних ліній з дисперсійними кривими відповідають допустимим значенням хвильового вектора до для хвиль з даною частотою ω. На обох малюнках видно поляритони з негативною груповою швидкістю.

Рівняння (42) є рівнянням третього порядку за до ² (ω), що призводить при заданій ω до наявності трьох хвиль, які в деяких областях спектру можуть розповсюджуватися в середовищі. Малюнок 5а ілюструє дисперсію поперечних поляритонів, що виходить з рівняння (42а) при використанні модельної діелектричної функції ε (ω), заданої рівнянням (28), і постійної б (ω) = б [36].

Легко переконатися в тому, що, як і для середовищ з центром інверсії (див. розділ 4.1), що виникає в обговорюваному випадку дисперсія поляритонов обумовлена ​​специфічною залежністю енергії екситона від хвильового вектора до [7, 39]. Для того щоб переконатися в справедливості сказаного, розглянемо область частот поблизу резонансу ω _L, в якій зворотний діелектричну проникність можна наближено представити у вигляді лінійної функції

Далі перейдемо в рівнянні (42а) до межі с - + оо (тобто не будемо враховувати запізнюється взаємодія між зарядами), тоді

Таким чином, "мікроскопічне" походження співвідношення (42) обумовлено наявністю в законі дисперсії екситона лінійного по к доданка, що має різні знаки для екситонів з різною поляризацією.

Лінійне поведінка (44) являє собою перші члени в розкладанні енергії екситона за ступенями до в гіротропних середовищі з параметром гіротропія 5. Вперше лінійна залежність частоти дипольно-активних збуджень від хвильового вектора спостерігалися експериментально в спектрах комбінаційного розсіяння на оптичних фононах, що розповсюджуються вздовж оптичної осі кристала кварцу [40].

Як ясно видно з рис. 5а, додаткова хвиля з хвильовим вектором до _3, що відповідає нижній поляритонной гілки, має негативну групову швидкість.

Крім того, на тій же частоті ω існують ще дві хвилі з хвильовими векторами до ₁ і до _2. Для експериментальної реалізації негативного заломлення хвиль з хвильовим вектором до ₃ потрібні матеріали з якомога більшою силою осцилятора екситонного переходу, великий обертальної здатністю і досить слабкою диссипацией хвиль при частотах нижче резонансної.

4.3 гіротропним середовища навколо частоти поздовжніх коливань

Негативне переломлення мікрохвиль в штучної гіротропних середовищі нещодавно було розглянуто з використанням параметрів ε (ω) і μ () ω в роботі Пендрі [41] для околиці поздовжньої частоти ω. Наше розгляд ведеться із застосуванням підходу, заснованого на послідовному обліку просторової дисперсії, що дозволяє вийти за рамки області низьких частот. За деталями ми відсилаємо читача до роботи [46].

Оскільки поздовжня частота відповідає нулю діелектричної проникності ε (ω), в цьому випадку зручно скористатися розкладанням (35) для діелектричного тензора. Звернення діелектричної проникності в нуль, ε (ω) = 0, показує, що наступний член в розкладанні, враховує просторову дисперсію, якісно важливий. З визначення діелектричної проникності (28) видно, що

таким чином, ε (ω) в околиці ω веде себе як лінійна функція ω:

Рівняння (35) в ізотропному середовищі має вигляд

де величину гіротропія визначає параметр λ (ω). Використовуючи рівняння (12), знаходимо, що поля поперечних поляритонов задовольняють рівнянню

Нетривіальними рішеннями рівняння (47) є хвилі з круговою поляризацією, закон дисперсії яких можна знайти з рівняння

де знаки плюс і мінус відповідають хвилям з різною круговою поляризацією. На малюнку 56 показано дисперсія поперечних поляритонов для частот поблизу ω і вище ω. Криві отримані з рівняння (48) з використанням модельної діелектричної проникності ε (ω) (28).

Легко якісно зрозуміти характер поляритонного спектру, зображеного на рис. 56, якщо підставити вираз (45) в дисперсійне рівняння (48). Тоді відразу ж отримуємо дисперсійні криві для поляритонів у вигляді "зміщених парабол":

де λ = λ (ω). З рівняння (49) та рис. 56 видно, що для кожної частоти ω, при якій хвилі можуть поширюватися, існують рішення двох видів. Позначимо відповідні їм хвильові вектори через до ₁ і до _2, нехай до ₁ ≤ до _2. Для частот зі> з »хвилі, що відповідають до _м і до _2, належать гілкам з різною поляризацією, а при ω <ω - одній і тій же галузі, ω_ (k). Ця гілка має мінімум со_ {до _тт) = з »- А (відповідний найнижчою з частот, при кото яких в середовищі можуть розповсюджуватися хвилі. Глибина цього мінімуму

істотно залежить не тільки від ω і λ, а й від А. Очевидно, що гілка ω _ (до <до _тт) (k1-хвилі) при з <зі »має негативну групову швидкість, оскільки у цієї гілки частота зменшується зі зростанням хвильового вектора до _х. Всі інші гілки спектру (49) мають звичайні - позитивні - групові швидкості. При мінімальній можливої ​​частотегрупповие швидкості обох хвиль стають рівними нулю.

Цікаво відзначити, що, як і у випадку, показаному на рис. 1, хвилі з негативною груповою швидкістю у випадку, відповідному рис. 56, виникають в тому частотному діапазоні, в якому електромагнітних хвиль не було б у відсутність магнітного резонансу. У гіротропних середовищі негативною груповий швидкістю мають хвилі тільки з однією з двох поляризацій, а хвилі з іншого поляризацією мають звичайну - позитивну - групову швидкість.

Оскільки фазові швидкості хвиль з правої і лівої поляризациями різні, площину поляризації лінійно поляризованого світла буде обертатися. Корисно відзначити, що з рівняння (48) слід точне співвідношення між значеннями хвильових векторів до ₂ і до ₁ при одній і тій же частоті ω> ω для довільних залежностей ε (ω) і λ (ω) від ω:

а відповідне йому рівняння для частот ω <ω дає значення суми цих векторів при одному і тому ж значенні частоти:

Рівняння (51) і (52) приводять до одного і того ж значенням для обертальної здатності:

при частотах і вище, і нижче а,,, (див. [46]). Вимірюючи р (обертання площини поляризації на одиницю довжини проходження променя), можна таким чином отримати інформацію про параметр гіротропія λ (ω).

Диссипация може сильно ускладнити практичну реалізацію умов для спостереження негативного заломлення. Наведемо кількісну ілюстрацію до розглянутого нами зараз нагоди гіротропних середовища навколо поздовжньої частоти. Абсолютно ясно, що показана на рис. 56 дисперсія хвиль має фізичний сенс, тільки якщо для частот, близьких до з », глибина мінімуму А (50) досить велика в порівнянні з дисипативної шириною Г поперечних електромагнітних хвиль. Як показано нами в роботі [46] на кількох прикладах, це обмеження призводить до дуже жорстким вимогам, що накладаються на "допустимі" значення гіротропія та дисипації.

У роботі [46] показано, що при експериментальному вирішенні питання про те, чи підходить гіротропним матеріал для спостереження негативного заломлення, може виявитися корисним звичайне дзеркальне відображення: цікава область частот навколо ω повинна безпосередньо виявлятися у властивостях спектру відображення лінійно поляризованого падаючого світла.

4.4 Поверхневі поляритони

Хвилі з негативною груповою швидкістю можуть виникати і при поширенні поверхневих хвиль. В якості прикладу розглянемо поверхневі поляритони поблизу резонансу з коливаннями поверхневого перехідного шару. Відомо, що поверхневий перехідний шар (наприклад тонка плівка на підкладці) може корінним чином змінити дисперсію поверхневих поляритонів, якщо вони знаходяться в резонансі з коливальними або електронними збудженнями шару [47]. Перехідний шар, підібраний правильним чином, може привести до того, що дисперсійні криві поверхневих поляритонів будуть мати ділянки з негативною груповою швидкістю.

Розглянемо систему, що складається з тонкої плівки товщиною d>> а (а - постійна гратки) з діелектричною проникністю ε (ω), яка поміщена між двома напівнескінченного середовища з діелектричними проницаемостями ε ₁ (ω)> 0 і ε ₂ (ω) <0 відповідно. У цій системі в певному інтервалі частот існують поверхневі поляритони, і їх дисперсійна крива ω (к) визначається рівнянням [47]

Тут до - двовимірний хвильовий вектор поверхневих поляритонів, спрямований уздовж кордону розділу середовищ, середа передбачається ізотропної у площині розділу. Параметри у рівнянні (53) визначаються так:

при цьому передбачається, що kd <<1. При значенні d = 0 параметри p і q також звертаються в нуль і (53) зводиться до добре знайомого рівнянню дисперсії поверхневих поляритонів на межі розділу між двома напівнескінченного середовища. Описуваний нами ефект виникає завдяки наявності тонкої плівки, тобто завдяки тому, що d = 0. Однак, оскільки kd <<1, ясно, що члени рівняння (53), пропорційні d, будуть особливо важливі в тій області частот, де або діелектрична проникність ε (ω) = 0 (поздовжній резонанс), або зворотна їй функція 1 \ ε (ω) = 0 (поперечний резонанс). Часто в першому з цих двох випадків вплив тонкої плівки на дисперсію поверхневих поляритонів виявляється сильнішим.

Для того щоб проілюструвати, як суттєво може впливати тонка плівка на поверхневі поляритони поблизу резонансу, розглянемо тонку металеву плівку, напилену на металеву підкладку. У цьому випадку ε _l = 1, а оптичний відгук обох металів (плівки і підкладки відповідно) можна апроксимувати модельним виразом Друде:

У відсутність тонкої плівки поверхневі плазмополярітони підкладки існують в інтервалі частот

Нехай тепер ω _р <<ω _2р, тоді резонанс між Поверхневі поляритони підкладки і плазмонами тонкої металевої плівки виникає при частоті ω = ω _р.

На малюнку 6 зображена дисперсія поляритонів, що виникають у такій системі. Тут використані значення (ω _2р / ω _р) ² = 15,2 і значення товщини плівки.

Рис. 6. Дисперсія поверхневих поляритонів, що виникає при резонансі з коливаннями в тонкому поверхневому шарі. Резонанс виникає при частоті зі _р. Ясно видно і щілину в спектрі, і гілку з негативною груповою швидкістю (з хвильовим вектором до ₂ для даної частоти).

d = 26 А, відповідні експериментальним результатами [48], отриманим у разі алюмінієвої підкладки, покритої срібною плівкою. Завдяки резонансу полярітонний спектр, показаний на рис. 6, розпадається на дві гілки, розділені щілиною. Очевидно, що для даної частоти зі існують два рішення, що відповідають нижній поляритонной гілки. То з них, яке відповідає більшому значенню до (позначеного як до _2), відповідає додаткової поверхневої поляритонної хвилі з негативною груповою швидкістю. З малюнка ясно видно, що частота зменшується лінійно, і причину цього легко прояснити за допомогою наступного аналізу.

Справді, при ω <<ω _2р величини діелектричної проникності (54) повинні відповідати умовам

Тоді другим і четвертим членами в лівій частині рівняння (53) можна знехтувати. При досить великих до справедливе співвідношення x = к і з рівняння (53) відразу слід рівняння дисперсії поляритону:

Рівняння (55) описує негативну групову швидкість нижній поляритонной гілки, показаної на рис. 6.

Експериментальне спостереження [49] термічно порушеної випромінювання таких поверхневих поляритонів з негативною груповою швидкістю здійснено для системи, що складається з плівки ZnSe на підкладці з А1 і Сг. Експерименти [50] для тонких плівок LiF на сапфірової підкладці підтвердили наступну з рівняння (53) залежність величини енергетичної щілини від товщини плівки (величина щілини пропорційна d). Зі зростанням резонансної плазмової частоти ця щілина може істотно збільшуватися. Так, у згаданій роботі [48] спостерігалася щілину величиною 0,4 еВ в спектрі поверхневих плазмонів для алюмінієвої підкладки, покритої срібною плівкою товщиною d = 2,6 нм, що добре узгоджується з теоретичною оцінкою. Розщеплення дисперсії поверхневих поляритонів спостерігалося також в системах, що складаються з органічного монослоя [51] і тонкої органічної плівки [52], поміщених на срібну підкладку.

Теорія поширення поверхневих хвиль при врахуванні дифракції хвиль на краю плівки і доданих поверхневих хвиль була розвинена в роботі [53]. Наявність дифракції і перетворення поверхневих хвиль в об'ємне випромінювання і, навпаки, об'ємного випромінювання в поверхневі хвилі істотно ускладнює проблему знаходження ДГУ для поверхневих хвиль.

5. Магнітна сприйнятливість на оптичних частотах

Ми вже обговорювали в розділах 3.1, 3.2 та 3.4 деякі особливості відповідності між двома підходами, використовуваними в електродинаміці суцільних середовищ. Один з підходів заснований на обліку просторової дисперсії: у ньому розглядаються три поля (E, D, B) і система рівнянь доповнюється матеріальними рівняннями (9) з діелектричним тензором ε (ω, к). В іншому (можливо, більш звичному), так званому "симетричному" підході в явному вигляді розглядаються всі чотири поля (E, D, B, H) і для монохроматичних хвиль використовуються матеріальні рівняння

Використання рівнянь (56) разом з рівняннями Максвелла призводить до звичайного дисперсійного рівняння (3) для плоских хвиль, які поширюються в просторово однорідному середовищі.

У цьому розділі ми розглянемо умови, за яких магнітна сприйнятливість μ (ω), що входить в рівняння (56), зберігає свій фізичний сенс при описі безперервної середовища. Для природних матеріалів це питання аналізується в підручнику Ландау і Ліфшиця [6], де робиться наступний висновок: "На відміну від ε (ω) магнітна проникність μ (з) при збільшенні частоти порівняно рано втрачає свій фізичний сенс". Що це означає? Добре відомо, що для переходу до просторово-усередненим величинам, що здійснюється за макроскопічному описі, потрібно, щоб характеризують середу мікроскопічні розміри а (таких розмірів може бути декілька) були набагато меншими, ніж довжина, на якій змінюються макроскопічні електромагнітні поля (тобто , наприклад, довжина електромагнітних хвиль в середовищі: а <λ). Для природних матеріалів а зазвичай близько атомного або молекулярного розміру, постійної грати або довжини вільного пробігу зарядів.

У багатьох з недавніх робіт, що послідували за роботою Пендрі [54], макроскопічні рівняння Максвелла використовуються для вивчення розповсюдження хвиль і негативного заломлення в штучних періодичних або аморфних структурах (метаматеріалів). Посилання на більш ранні дослідження в рамках того ж підходу як періодичних, так і аморфних штучних середовищ можна знайти в [55]. Ці матеріали - композити, складені з елементів самої різної форми (сфер, лінійних провідників і т.д.). Геометричні розміри складових матеріал об'єктів ("штучних молекул") та відповідна постійна гратки (новий масштаб довжини а) можуть бути в сотні разів більше, ніж у природних матеріалах. В якості прикладу відзначимо тут структуру, складену з пар золотих наноштирям розміром порядку 80-200 нм, що вивчалися в роботі [56] при довжині світлової хвилі у вакуумі від 400 до 700 нм. Інший приклад - недавня робота [57], в якій використовувалася подвійна періодична структура, що складається з пар паралельних золотих нанопрутьев розміром 780 х 220 х 50 нм. Довжина хвилі падаючого світла варіювалася в області 500-2000 нм. Структури, що вивчалися в роботах [56, 57], виготовлялися з метою створення метаматеріалу з негативним коефіцієнтом заломлення на оптичних частотах. Проте в обох випадках фактично були створені лише "моношари", а не об'ємні структури.

Існує два різні способи аналізу таких композитів. Оскільки розміри нанооб'єктів істотно перевершують атомні розміри, кожен з цих об'єктів можна описувати в рамках звичайної макро-скопическая теорії і характеризувати, наприклад, відповідними ε (ω) і μ (ω). Тоді завдання про поширення світла в композитному матеріалі можна вирішувати, задаючи на поверхнях нанооб'єктів граничні умови Максвелла, за допомогою, наприклад, методу кінцевих різниць чисельної електродинаміки [58]. Очевидно, що при такому потужному і прямолінійній підході немає необхідності обчислювати ефективні матеріальні характеристики середовища, а звичайні значення ε (ω) і μ (ω) залежать від точки простору. Будь-які обмеження, що накладаються на значення функції μ (ω) в цьому підході, - ті ж, що і для природних матеріалів.

Інший, концептуально привабливий і допускає аналітичне рішення метод полягає у проведенні "повторного усереднення" структури композиту і використанні для отриманої ефективно-однорідного середовища макроскопічних рівнянь Максвелла. Такий метод застосуємо до тих пір, поки λ>> а, тобто поки середовище може описуватися відповідними ефективними проникністю і сприйнятливістю. Важливо, що розгляд розповсюдження хвиль, подібне до того, яке зазвичай проводиться для природних однорідних конденсованих середовищ з а <<λ, виправдано тільки в тому випадку, коли можливе введення постійних в просторі ефективних параметрів ε, μ. Однак виявляється, що подання про ефективну сприйнятливості μ (ω) має обмежену область застосування [6].

5.1 Магнітний момент макроскопічного тіла

Складність визначення фізичного сенсу μ (ω) при високих частотах в [6], важливого як для теорії, так і для інтерпретації експерименту, пов'язується з тим, що може виявитися неможливим "вимір" сприйнятливості допомогою вимірювання повного індукованого магнітного моменту макроскопічного тіла. У самому справі, індукована макроскопічна щільність струму J в залежному від часу поле створюється як за рахунок намагніченості

так і за рахунок діелектричної поляризації Р == (D - Е) / 4 π:

Рівняння (58) може бути отримано, з одного боку, безпосередньо з усереднених макроскопічних рівнянь Максвелла

а з іншого боку, з обчислення струму J = (pv) як середнє від мікроскопічної щільності струму при відомих положеннях і швидкостях заряджених частинок у середовищі [33, 35].

Індукований повний магнітний момент макроскопічного тіла

також є сума двох доданків:

де

Таким чином, фізичний зміст намагніченості М як магнітного моменту одиниці об'єму тіла пов'язаний з можливістю знехтувати в рівнянні (60) внеском (62) залежить від часу діелектричної поляризації. Тільки тоді, коли цим вкладом можна знехтувати, сприйнятливість μ (ω) можна вважати фізичною величиною, що визначає магнітний момент одиниці об'єму.

Зауважимо, що для електричного дипольного моменту аналогічної проблеми не існує [6]: повний електричний дипольний момент визначається співвідношенням, подібним співвідношенню (61): P ^tot = JPd v

Виникає природне запитання про умови, при яких вклад M ^{tot 2} в M ^tot дійсно малий. Використовуючи рівняння Максвелла (59) і визначення М (57) і Р, можна легко обчислити відносні вклади в індукований струм (58) для монохроматичних плоских хвиль. Для того щоб внесок магнітного струму був домінуючим, тобто

і, отже, членом M ₂ ^tot можна було б знехтувати, необхідно виконання нерівності

Таким чином, якщо для заданих ε (ω) і μ (ω) величина R (ω)>> 1, то внеском M ^{tot 2} можна знехтувати і тоді величина μ (ω), що входить в одне з рівнянь (56), буде більш або менш точно визначати магнітний момент одиниці об'єму, що виникає при поширенні в середовищі плоскої електромагнітної хвилі. Якщо ж нерівність (63) не виконується, то магнітний момент одиниці об'єму визначається в основному струмом електричної поляризації, а фізичний сенс величини магнітної сприйнятливості μ (ω), яка визначає, в тому числі, величину коефіцієнта заломлення хвиль, виявляється неясним. Тепер ми вже не можемо сказати, що величина μ (ω) є магнітний момент одиниці об'єму, таким чином, правомірність її використання, а отже, і симетричного підходу стає сумнівною. Тим не менш фізичний зміст величини μ (ω) може бути визначений і в цьому випадку, якщо можливо її незалежне вимірювання. Використання плоскої хвилі, на основі якої отримано нерівність (63), є не кращим способом визначення величини магнітної сприйнятливості μ (ω). Причина полягає в тому, що електромагнітна хвиля створює не самі підходящі умови для зменшення величини M ₂ ^tot, оскільки електричне поле хвилі відносно сильне. Замість цього можна, як обговорюється в [6], помістити макроскопічне тіло з малим розміром в залежне від часу (монохромотіческое) магнітне поле, створюване зовнішнім струмом J _ext. Електричне поле повинно бути відносно слабким, і тоді внесок електричної поляризації в магнітний момент одиниці об'єму може бути зроблений малим. Для того щоб вирішити завдання аналітично, візьмемо циліндричний зразок довжиною L і радіусом / і помістимо його всередину соленоїда, в якому магнітне поле створюється зовнішнім круговим струмом. При такій геометрії трохи зразка означає, що

З іншого боку, зразок повинен бути макроскопічними:

для того щоб взагалі мало сенс запроваджувати ефективну магнітну сприйнятливість.

Якщо виконується умова (64), то магнітне поле в зразку створюється в основному зовнішнім струмом. Позначимо величину цього постійного поля через Н. Поява поля Н призводить до постійної намагніченості зразка М = (μ (ω) - 1) H/4π, і його внесок (61) в повний магнітний момент виражається у вигляді

Однак змінне магнітне поле створює у зразку також і електричне поле відповідно до рівняння Максвелла

У розглянутій геометрії величина цього поля є функцією відстані від осі циліндра х: Е = | ωμ (ω) (Нх/2с |. Величина щільності струму діелектричної поляризації, а отже, другий внесок (62) в повний магнітний момент має вигляд

З рівнянь (66) і (67) отримуємо, що, для того щоб переважав "магнітний" вклад

повинно виконуватися нерівність

Використовуючи замість частоти зі відповідну їй довжину плоскої хвилі в середовищі λ (ω) = 2π с / ω ^ εμ, можна переписати критерій (68) у вигляді

При виконанні критерію (68) величина μ (ω) зберігає свій сенс поза залежності від виконання нерівності (63). Цей критерій "слабшим" нерівності (63) в силу умови (64). Зрозуміло, чисельні коефіцієнти в нерівностях (68), (69) залежать від вибору форми зразка, а ті інтервали частот, в яких умова (64) не виконується, слід виключити з наведеного вище розгляду.

Відзначимо, що нерівності (63) і (68) природним чином випливають із порівняння вкладів відгуку середовища до узагальненої діелектричну проникність ε _L (ω, k) - l в рівнянні (20): для виконання цих нерівностей необхідно, щоб внесок члена з просторовою дисперсією ω до ² був більше, ніж внесок члена без просторової дисперсії. Для заданої частоти із нерівність (63) відповідає в рівнянні (20) хвильовому вектору до хвилі в середовищі, а нерівність (68) - хвильовому вектору до ~ 1 / 1, тобто \ / к має порядок розміру зразка.

Для того щоб легше було задовольнити нерівності (68), розмір зразка l повинен бути якомога меншим, але все ж таким, щоб зразок залишався макроскопічними тілом (див. (65)). Очевидно, що чим менше мікроскопічний розмір а, тим меншим може бути розмір зразка l і тим легше задовольнити нерівності (69). Найменше можливе значення а - порядку атомних або молекулярних розмірів - зустрічається в природних матеріалах. Наявність множника ω ² в знаменнику лівої частини критерію (68) ясно показує, що при досить низьких частотах цей критерій виконується добре, оскільки при низьких частотах величини ε (ω) і μ (ω) слабо залежать від частоти. Із зростанням частоти задовольнити критерію (68) стає все важче.

Звичайно, виконання цього критерію залежить також і від деталей частотної залежності функцій ε (ω) і μ {ω). Використовуючи, наприклад, модельні виразу (4) і (5), запишемо ліву частину нерівності (68) у вигляді

Величина (70) має "горб" у вузькій області поблизу нуля магнітної сприйнятливості ω _mz, який насправді буде "розмитий" через дисипації. Крім того, величина вираження (70) визначається множником

де стоїть праворуч оцінка зроблена для природних (що складаються з молекул або атомів) матеріалів при оптичних частотах з ~ co _L ~ З ^ (див. (34)). Очевидно, що для даного макроскопічного розміру зразка (65) нерівність (68) у загальному випадку не може виконуватися для оптичних частот. Вимірювання (або модельні розрахунки) повного магнітного моменту макроскопічного тіла в цій області частот не будуть визначатися магнітним моментом одиниці об'єму М, за винятком, можливо, деяких частотних інтервалів.

Представляється розумним припустити, що та ж оцінка (71) і той же висновок справедливі також для метаматеріалів, створених з досить маленьких (а <<λ) металевих чи інших структур, якщо електрична і магнітна резонансні частоти мають той же порядок, що й ω _р , а величина, еквівалентна F _m / F _e, має порядок ω a ² / с ^2. Можна було б перевірити, чи виконується умова, подібне (68), для структур різної форми, дані про які опубліковані, і встановити область частот, в якої сприйнятливість μ (ω) має фізичний сенс при макроскопічному описі зразка. Незважаючи на те, що характерний розмір а в метаматеріалів набагато більше розміру атома (складає кілька десятків або сотень нанометрів), очевидно, однак, що область частот, в якій задовільно виконується набір нерівностей

при зростанні а в загальному випадку буде зміщуватися у бік менших частот. Дійсно, може виявитися, що в метаматеріали з великими а нерівності (72) не виконуються для більшості частот, але довжина хвилі до все ж помітно перевершує а. Тоді сприйнятливість неможливо виміряти (і, отже, визначити її фізичний зміст) за допомогою описаного вище соленоїда . У цій ситуації для оцінок залишається, по суті, тільки критерій (63). Нам невідома будь-яка найкраща конфігурація для "вимірювання" сприйнятливості.

До тих пір, поки λ>> а, метаматеріал, зрозуміло, можна розглядати як суцільну середу, а підхід, заснований на обліку просторової дисперсії і використовує тензор ε (ω, к), являє собою розумну альтернативу підходу, що використовує ε (ω) і μ (ω) на тих частотах, на яких μ (ω) втрачає фізич-ський сенс. Однак з міркувань, наведених у розділі 3, слід, що до тих пір, поки облік просторової дисперсії обмежується членами ω до ^2, як, наприклад, в рівнянні (22), формально можна описувати поперечні поляритони в рамках ε (ω)-μ ( ω) - підходу, якщо тепер вже якась ефективна сприйнятливість ц (з) задана рівнянням (20), з якого випливає звичайний вираз (3) для коефіцієнта заломлення. Однак з міркувань, наведених у цьому розділі, ясно, що певну таким чином сприйнятливість μ (ω) у загальному випадку не можна пов'язати з повним магнітним моментом макроскопічного тіла при оптичних частотах, оскільки враховується тільки та частина просторової дисперсії, яка обумовлена ​​магнітними дипольно-дозволеними переходами. Описаний метод, заснований на обліку просторової дисперсії, зрозуміло, дозволяє досліджувати інші види дисперсії і відповідні якісно нові ефекти (такі як виникнення додаткових хвиль), які повністю відсутні б в описі матеріальних властивостей тіла в термінах ε (ω) і μ (ω).

Коли будь-який із структурних розмірів а метаматеріалу стає порівнянним з довжиною хвилі світла в середовищі до, опис поширення хвиль в композиті в рамках електродинаміки суцільних середовищ стає неможливим, оскільки композит не можна вважати, як уже згадувалося, "ефективної безперервної" середовищем, і слід використовувати опис з допомогою залежної від координати функції відгуку матеріалу.

Актуальним є аналіз застосовності ε (ω)-μ (ω)-підходу до результатів вже опублікованих робіт, в яких стверджувалося про спостереженні в метаматеріалів негативного заломлення в оптичній області. На жаль, в публікаціях не завжди наводяться дані про величини ε (ω) і μ (ω). У деяких випадках приводиться авторами цих робіт значення уявної частини коефіцієнта відображення виявляється порядку значення дійсної частини або навіть перевершує його, що виключає можливість серйозного ставлення до опублікованими тверджень. Важливо також, щоб досліджувані експериментально структури були по-справжньому тривимірними, а не двовимірними моношарами: моношари навіть штучних матеріалів слід враховувати тільки в граничних умовах для полів. Ніякого відношення до негативного переломленню у тривимірних матеріалах експерименти з "моношарами", взагалі кажучи, не мають.

6. Інші цікаві ефекти

6.1 Генерація гармонік в середовищах з негативною груповою швидкістю

Генерація гармонік в середовищі з негативною груповою швидкістю має ряд особливостей. Тут, слідуючи [8], на якісному рівні коротко розповімо про одне з цікавих ефектів. Розглянемо напівнескінченного середовища, в якій можуть поширюватися хвилі з негативною груповою швидкістю в деякому діапазоні частот. Зазвичай спектральна ширина Δ ω цього інтервалу досить вузька: Δ ω <ω. Нехай лазерний промінь з частотою ω що знаходиться всередині інтервалу Δ ω, падає на середу з вакууму. Тоді частота другої гармоніки 2 і частоти більш високих гармонік припадають на ту область частот, при яких у середовищі поширюються хвилі вже з позитивною груповою швидкістю. Як відомо, джерела генерації гармонік визначаються тензорним твором нелінійних сприйнятливості х ^{2), Х ^{3 \ і амплітуд поля в середовищі. При малих значеннях інтенсивності поле Е (ω, к) може бути обчислено в лінійному наближенні без урахування нелінійної взаємодії. Оскільки входить переломлена хвиля відповідає частоті, на якій поширюються хвилі з негативною груповою швидкістю, її хвильовий вектор направлений з обсягу тіла до його поверхні, як показано на рис. 7а. Тоді хвильовий вектор джерела, наприклад, другої гармоніки дорівнює 2к і також направлений до межі поділу між тілом і вакуумом. З іншого боку, хвильовий вектор хвилі з частотою 2 ω, яка забирає енергію від поверхні в глиб нелінійного середовища, повинен бути спрямований від поверхні в глиб тіла. Тому хвильові вектори джерела другої гармоніки і цієї нормальної минулої хвилі будуть неузгоджені по фазі, їх взаємодія буде слабким, і ця хвиля також порушуватиметься слабо. Таке неузгодженість призведе до того, що основна частина енергії джерела другої гармоніки буде передана другій гармоніці, що поширюється у вакуумі з

напрямку від поверхні, як схематично показано на рис. 7а.

Рис. 7. Схематична ілюстрація ефектів, що обговорюються у розділі 6. (А) Генерація гармонік.

Частота зі падаючої хвилі потрапляє у вузький інтервал частот Лео, в якому хвилі в середовищі мають негативну групову швидкість. Енергія, передана більш високим гармоникам 2 ω і З ω буде поширюватися (вектор Пойнтінга S) в основному в відбитої моді, (б) ультракоротких імпульсів в середовищі з негативною груповою швидкістю призводить до виникнення двох заломлених імпульсів з різним сьнное "дзеркало". Деталі відповідних розрахунків можна знайти в роботах [8, 59] (обговорення генерації гармонік акустичних хвиль в одновимірних фононних кристалах з негативним заломленням див [60]). Експериментальні дослідження нелінійних ефектів тільки починаються; можна відзначити роботу [61], в якій спостерігалося посилення інтенсивності відбитої другої гармоніки в лініях передачі з негативною груповою швидкістю, обумовлене нелінійними ефектами. Інші нелінійні властивості штучних матеріалів з ​​негативною груповою швидкістю обговорюються в [62-64].

6.2 Поширення ультракоротких імпульсів в середовищі з негативною груповою швидкістю

У Нині можна створювати ультракороткі імпульси в широкому діапазоні частот - від терагерцевому області до області далекого ультрафіолету. Цікавий ефект, пов'язаний з негативним заломленням, може виникнути, коли спектральна ширина імпульсу ДО помітно перевершує спектральну ширину Δ ω інтервалу частот, для якого в матеріалі існують хвилі з негативною груповою швидкістю [8]. Розмірковуючи якісно, ​​уявімо ультракоротких імпульсів у вигляді суми фур'є-компонент і простежимо поширення кожної з них, а потім зберемо їх назад після того, як імпульс пройде через середовище.

Якщо ΔΩ> Δ ω то можна очікувати, що падаючий імпульс у середовищі з негативною груповою швидкістю розкладеться на три імпульси з різним спектральним складом, як схематично показано на рис. 76. Відбитий імпульс повинен мати приблизно той же спектральний склад, що і падаючий. У двох минулих імпульсів різними будуть і напрям поширення, і спектральний склад. Центральна частина спектру імпульсу (шириною Аса) відчуває негативне відображення на межі поділу, але компоненти з частотами з "крил", які знаходяться поза інтервалу Δ ω, поширюються за звичайними правилами "позитивного" переломлення. Таким чином, інтервал частот Аса можна визначити методами спектроскопії, вимірюючи спектри по-різному заломлених пройшли імпульсів.

Незвичайні ефекти можуть виникнути і в результаті генерації гармонік і змішування хвиль при застосуванні ультракоротких імпульсів - вищі гармоніки також будуть поширюватися незвичайним чином. Оскільки тільки деяка частина спектрів входить і виходить сигналів відчуває негативне заломлення, що виходять сигнали для минулого і відбитого світла будуть абсолютно різними: енергія, форма імпульсу, спектральний склад і напрям поширення будуть не такими, як у випадку звичайної нелінійного середовища. Деталі опису складні і залежать від спектрального складу ультракороткої імпульсу і матеріалу з негативним заломленням.

7. Висновок

Нам було приємно в цьому огляді ще раз віддати данину поваги Л.І. Мандельштаму, вказати ще на початку 1940-х років на те, що негативне заломлення хвиль на межі розділу середовищ виникає як наслідок негативної групової швидкості в одній з межують середовищ [1-3]. Розуміння цієї обставини змушує звернути особливу увагу на різні фактори, що впливають на закон дисперсії ω (к) хвиль, що поширюються в середовищі.

Найбільш загальний метод дослідження таких факторів для електромагнітних хвиль в ефективно однорідному середовищі полягає в обліку просторової дисперсії. При цьому вводиться узагальнений діелектричний тензор ε (ω, k), що відповідає відгуку середовища на обурення з частотою оа і хвильовим вектором к. Нормальні хвилі (поляритони) з негативною груповою швидкістю можуть з'явитися в середовищі (як у природничих, так і в штучних метаматеріалів) , якщо просторова дисперсія (залежність діелектричного тензора від к) досить сильна. Один з приватних випадків виникнення такої ситуації (відповідний пространсвенной дисперсії 00 k ²⁾ більш відомий як випадок матеріалу, в якому одночасно негативні діелектрична проникність ε (ω) і магнітна під c пріімчівость μ (ω). Підхід, заснований на обліку просторової дисперсії, дозволяє працювати також у діапазоні оптичних частот, де μ (ω) втрачає традиційний фізичний зміст, і навіть у тих ситуаціях, коли в середовищі не існує відгуку магнітодіпольного типу.

За допомогою тензора ε _ij (ω, к) можна єдиним чином розглядати і більш складні матеріальні рівняння, і які з них якісно нові ефекти, такі як додаткові поляритонне хвилі. У цьому огляді ми використовували цей підхід для опису декількох фізичних систем, в яких існують умови для поширення поляритонов з негативною груповою швидкістю при оптичних частотах. В якості прикладів розглядалися гіротропним і не-гіротропним середовища, об'ємні та поверхневі хвилі. Ми сподіваємося, що ці приклади можуть виявитися корисними при підборі матеріалів для експериментальних досліджень.

Ми зосередили основну увагу на фізичних причини виникнення поляритонов з негативною груповою швидкістю. При цьому ми не могли детально обговорити багато важливі фактори, що впливають на можливість практичної реалізації ефектів, пов'язаних з існуванням негативного заломлення. Один з них полягає в наявності дисипації - проблеми, зрозуміло, загальною для всіх частотних інтервалів. Таким чином, наприклад, кристали з інтенсивними та вузькими екситонних резонансами заслуговують особливої ​​уваги. Інша проблема полягає в порівняно низької ефективності порушення додаткових поляритонов через неузгодженості хвильових векторів. Для підвищення ефективності їх дослідження в кристалах при позитивній груповій швидкості додаткових хвиль були запропоновані схеми, які, можливо, можуть бути застосовані і у разі негативного заломлення.

Список літератури

1. Мандельштам Л. І. Повне зібрання праць Т. 5 (М.: Изд-во АН СРСР, 1950), див лекції, прочитані 26 лютого 1940 і 5 травня 1944

2. Мандельштам Л. І.: рис 15 475 (1945)

3. Мандельштам Л. І. Лекції з оптики, теорії відносності та квантової механіки (М.: Наука, 1972)

4. Schuster A (Sir) An Introduction to the Theory of Optics 2nd ed. (London: E. Arnold, 1909)

5. Brillouin L Wave Propagation and Group Velocity (New York: Academic Press, 1960)

6. Ландау Л.Д., Ліфшиц Є. М. Електродинаміка суцільних середовищ (М.: Наука, 1992)

7. Агранович В.М., Гінзбург В. Л. Крісталлооптіка з урахуванням просторової дисперсії і Теро екситонів (М.: Наука, 1965)

8. Agranovich V М et al. Phys. Rev. У 69 165112 (2004)

9. Agranovich VM et al. J. Lumin. 1 10 167 (2004)

10. Веселаго В Г УФН 92 517 (1967)

11. Сивухин Д У Оптика і спектроск. 3 308 (1957)

12. Пафомов У ЕЖЕГФ 1936 1853 (1959)

13. Пафомов У Є: рис 30 761 (1956), 33 1074 (1957)

14. Shelby RA, Smith DR, Schultz S Science 292 77 (2001)

15. Pendry J У Phys. Rev. Lett. 1985 3966 (2000)

16. Фейнберг ЕЛ УФН 172 91 (2002)

17. McDonald До Т Am. J. Phys. 69 607 (2001)

18. Lamb H Proc. London Math. Soc. 1 473 (1904)

19. Laue M Ann. Phys. (Leipzig) 18 523 (1905)

20. Агранович В М, Пафомов У Є, Рухадзе А А: рис 36 238 (1959); БасеФ Г, Каганов М І, Яковенко У М ФТТ4 3260 (1962)

1. Франк І М: рис 36 823 (1959)

2. Барсуков К. А.: рис 36 1485 (1959)

3. Іллінський Ю.А., Келдиш Л. В. Взаємодія електромагнітного випромінювання з речовиною (М.: Изд-во МГУ, 1989)

4. Ритов С. М.: рис 17 930 (1947)

5. Герценштейн М. Є.: рис 26 680 (1954)

6. Melrose D В, McPhedran R З Electromagnetic Processes in Dispersive Media: a Treatment on the Dielectric Tensor (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991)

7. Голубков А.А, Макаров В А УФН 165339 (1995)

8. Виноградов А.П. УФН 172363 (2002)

9. Bedeaux D, Osipov M, Vlieger J J. Opt. Soc. Am. A грудня 2431 (2004)

10. Keldysh LV, Kirzhmtz DA, Maradudin AA (Eds) The Dielectric Function of Condensed Systems (Modern Problems in Condensed Matter Sciences, Vol. 24) (Amsterdam: North-Holland, 1989)

11. Mahan GD Many-Particle Physics 3rd ed. (New York: Kluwer Acad. / PlenumPubl., 2000)

12. Toyozawa Y Optical Processes in Solids (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2003)

13. Craig DP, Thirunamachandran T Molecular Quantum Electrodynamics: an Introduction to Radiation-Molecule Interactions (London: Academic Press, 1984)

14. Barron LD Molecular Light Scattering and Optical Activity 2nd ed. (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004)

15. Джексон Дж Д Класична електродинаміка (М.: Світ, 1965)

16. Гінзбург В Л: рис 34 1993 (1958)

17. Пекар С.І.: рис 33 1022 (1957)

18. Silvestri L et al. Nuovo Cimento З 27 437 (2004)

19. Агранович У М УФЯ71 141 (1960)

20. Pine AS, Dresselhaus G Phys. Rev. 188 1489 (1969)

21. Pendry J У Science 306 1353 (2004)

22. Tretyakov S et al. J. Electromagn. Waves Appl. 17 695 (2003)

23. Mackay TG Microw. Opt. Technol. Lett. 45 120 (2005)

24. Jin Y, He S Opt. Express 1913 4974 (2005)

25. Monzon C, Forester DW Phys. Rev. Lett. 95 123904 (2005)

26. Agranovich VM, Gartstein Yu N, Zakhidov AA Phys. Rev. У 73 045114 (2006)

27. Агранович В М, в сб. Поверхневі поляритони: електромагнітні хвилі на поверхнях і межах розділу середовищ (Під ред. В М Агранович, Д Л Міллса) (М.: Наука, 1985)

28. Lopez-Rios T, Abeles F, Vuye G J. Phys. (Paris) 39 645 (1978)

29. Vinogradov EA, Leskova TA Phys. Rep. 194273 (1990)

30. Yakovlev VA, Nazin VG, Zhizhin GN Opt. Commun. 15 293 (1975)

31. Pockrand I, Brillante A, Mobius D J. Chem. Phys. Листопада 6289 (1982)

32. Bellessa J et al. Phys. Rev. Lett. 93 036404 (2004)

33. Agranovich VM, Leskova TA Prog. Surf. Sci. 29 169 (1988)

34. Pendry J У Phys. Rev. Lett. 1985 3966 (2000)