Методика вивчення показовою і логарифмічної функції в курсі середньої школи Найпростіші показові 3

= a ^x Потім формується визначення показовою функції: функція, задана формулою y = a ^x ( , , и формулируемые основные свойства: D ( a ^x )= R ; E ( a ^x )= R _Т ; a ^x возрастает при a >1 и a ^x убывает при 0< a <1; напоминаются основные свойства степеней. ), Називається показовою функцією з підставою a, і формулюються основні властивості: D (a ^x) = R; E (a ^x) = R _Т; a ^x зростає при a> 1 і a ^x убуває при 0 <a <1; нагадуються основні властивості ступенів. Т.ч. показова функція є систематизація, узагальнення і розширення знань учнів про властивості ступеня.

В якості додатку властивостей показовою функції розглядаються рішення найпростіших показникових рівнянь і нерівностей.

Логарифмічна функція - новий математичний об'єкт для учнів. = b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a . До поняття логарифма учнів підводять у процесі вирішення показового рівняння a ^x = b в тому випадку, якщо b не можна представити у вигляді ступеня з основою a. >0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают log _a b , т.е. a ^logab = b . Наше рівняння у випадку b> 0 має єдиний корінь, який називають логарифмом b за основою a і позначають log _a b, тобто a ^logab = b. Одночасно з введенням нового поняття учні знайомляться з основним логарифмічна тотожність. При роботі з логарифмами застосовуються такі їх властивості, які з властивостей показовою функції:

При будь-якому ( и y , выполнены равенства: ) І будь-яких позитивних x і y, виконані рівності:

1. log _a 1 = 0

2. log _{a a} = 1

3. log _a xy = log _a x + log _a y

4. log _a x / y = log _a x-log _a y

= plog _a x 5. Log _a x ^p = plog _a x

При доведенні використовується основне логарифмічне тотожність:

= a ^logax ; y = a ^logay x = a ^logax; y = a ^logay

Розглянемо доказ 3:

т . е . xy = a ^logax a ^logay = a ^{logax + logay} т. е. ч . т . д . xy = a ^{logax + logay} = a ^logaxy, год. т. д.

Основні властивості логарифма широко застосовуються під час перетворення виразів, що містять логарифми.

№ 497 (Алгебра і початки аналізу, 10-11)

Знайти , Якщо:

тобто рівні підстави логарифмів, рівні значення логарифмів рівні логаріфміруемие вираження. Цей прийом міркування надалі буде застосовний при вирішенні найпростіших логарифмічних рівнянь.

З. Поняття оберненої функції і методика його введення

Найбільш доступним введення логарифмічної функції можна було б провести після введення поняття зворотної функції. Проте методика викладу теми про зворотну функції складна через складні самого матеріалу. Тема "Поняття про зворотній функції" наведена в підручнику "Алгебри і початки аналізу. 10-11" і розрахована на необов'язкове вивчення. У цю тему входять:

1) оборотність функцій, пов'язане з вирішенням наступних завдань: обчислити значення функції по даному значенню аргументу і знайти значення аргументів, при яких функція ухвалює дане значення . Друге завдання не завжди має єдине рішення (наприклад, для , ). Функція приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, називається оборотною, тобто якщо оборотна, а число належить , То рівняння має рішення і до того ж тільки одне.

2) Зворотній функція - як нове поняття - пояснюється на конкретних прикладах.

Визначення. Нехай - Довільна оборотна функція. Для будь-якого числа з її області значень є в точності одне значення , Що належить області визначення , Таке, що: . Поставивши у відповідність кожному це значення , Отримаємо нову функцію з областю визначення і областю значень .

Завдання. Знайти функцію, зворотну функції

Покажемо, що рівняння при будь-якому значенні має єдине рішення .

, Де .

Якщо згадати область значення даної функції , То отримуємо позитивну відповідь. Таким чином, наша функція оборотна і зворотна їй функція

Алгоритм вирішення таких завдань: знайти і даної функції ; Поміняти місцями у формулі змінні , Тобто отримати формулу і з отриманої рівності висловити через .

У більш складних випадках (коли функція не є оборотною на всій області визначення) слід користуватися теоремою: про зворотну функції:

возрастает (или убывает) на промежутке I , то она обратима. Якщо функція f зростає (або спадає) на проміжку I, то вона оборотна. функция g , определенная в области значений f , также является возрастающей (или убывающей). Зворотній до f функція g, визначена в області значень f, також є зростаючою (або зменшенням).

Завдання. = x ² -3 x +2. Знайти функції, зворотні функції y = x ² -3 x +2.

= y ² -3 y +2= y ² -2 y *3/2+9/4-9/4+2=( y -3/2) ² - ¼ => ( y -3/2) ² = x +1/4, где x ≥-1/4 => y ₁ =3/2+( x +1/4) ^1/2 и y ₂ =3/2-( x +1/4) ^1/2 . x = y ² -3 y +2 = y ² -2 y * 3 / 2 +9/4-9 / 4 +2 = (y -3 / ²⁾ 2 - ¼ => (y -3 / ²⁾ 2 = x +1 / 4, де x ≥ -1 / 4 => y ₁ = 3 / 2 + (x +1 / 4) ^{1 / 2} і y ₂ = 3/2- (x +1 / 4) ^{1 / 2.}

( y ₁ )= D ( y ₂ )= E ( x ² -3 x +2)=[-1/4;+∞) D (y ₁₎ = D (y ₂₎ = E (x ² -3 x +2) = [-1 / 4; + ∞)

Для знаходження областей значень зворотних функцій звернемося до графіку, використовуючи наступне властивість:

и обратной к ней функции g симметричны относительно прямой y = x . Графіки функції f і зворотної до неї функції g симетричні відносно прямої y = x.

² -3 x +2=0 => x ₁ =1; x ₂ =2 x ² -3 x +2 = 0 => x ₁ = _1; x ₂ = ₂

_в =3/2; y _в =-1/4 x _в = 3 / 2; y _в =- 1 / 4

З графіка видно, що

( y ₁ )=[3/2;+∞), E ( y ₂ )=(-∞;3/2]. E (y ₁₎ = [3 / 2; + ∞), E (y ₂₎ = (- ∞; 3 / 2].

4. Методика вивчення логарифмічної функції, її властивостей та їх застосування. Похідна показовою і логарифмічної функції

Методика вивчення логарифмічної функції

Вивчення логарифмічної функції починається з виділення визначення: функцію, задану формулою називають логарифмічною функцією з підставою . Основні властивості виводиться із властивостей показовою функції:

1. ,

тому що при вирішенні рівняння

,

тобто будь-яке позитивне число має логарифм за основою .

2. ,

тому що за визначенням логарифма будь-якого дійсного числа справедливо рівність:

,

тобто функції виду приймає значення в точці .

3. >1) или убывает (при 0< a <1). Логарифмічна функція на всій області визначення зростає (за a> 1) або зменшується (при 0 <a <1).

Покажемо, що >1 возрастает. при a> 1 зростає. Нехай і , Треба довести, що: . Припустимо протилежне, тобто що . Оскільки показова функція >1 возрастает, то из неравенства при a> 1 зростає, то з нерівності слід: , Що суперечить вибору . Отже: і функція >1 – возрастает. при a> 1 - зростає.

Оскільки >1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x >1 и отрицательна для 0< x <1 (для основания 0< a <1 – наоборот). при a> 1 функція зростає, то логарифмічна функція позитивна при x> 1 і негативна для 0 <x <1 (для заснування 0 <a <1 - навпаки). На підставі розглянутих властивостей будується графік цієї функції.

Похідна показовою і логарифмічної функції

. Приступаючи до вивчення похідної показовою і логарифмічною функцій, учні знайомляться з новим для них числом e. Необхідність появи цього числа пов'язується з вирішенням задачі про дотичній до графіка показовою функції, з кутовим коефіцієнтом, рівним 1, тобто без доведення приймається наступне твердження:

= e ^x в точке 0 имеет производную, равную 1, т.е. існує таке число, більше 2 і менше 3 (це число позначають буквою е), що показова функція y = e ^x в точці 0 має похідну, яка дорівнює 1, тобто -1)/ (E ^{Δ x} -1) / при Δ x à 0. Δ x à при Δ x à 0.

^æ дифференцируема в каждой точке области определения и ( e ^x )'= e ^x . Теорема: функція e ^æ диференційовна в кожній точці області визначення і (e ^x) '= e ^x. Опр.: Натуральним логарифмом називається логарифмом по підставі е:

= log _e x ln x = log _e x

Вірно співвідношення:

e ^{ln a} = a => a ^x = (e ^{ln a) x} = e ^{x ln a.}

дифференцируема в каждой точке области определения, и: Теорема: показова функція а ^x диференційовна в кожній точці області визначення, і:

)'= a ^x ln a (A ^x) '= a ^x ln a

симметричны относительно у=х. Диференційовність логарифмічної функції випливає з того, що: графіки у = а ^х і в = log _a x симетричні щодо у = х. Показова функція диференційовна в будь-якій точці, а її похідна не перетворюється на нуль, графік показовою функції має негоризонтальним дотичну в кожній точці. Тому і графік логарифмічної функції має невертикальною дотичну в будь-якій точці, а це рівнозначно диференційовності логарифмічної функції на її області визначення.

' x =1/ x . Похідна логарифмічної функції для будь-якого х з області визначення знаходиться за формулою: ln 'x = 1 / x.

= e ^ln x = e ^ln => x '=( e ^{ln x} => x '= (e ^ln )', n / r / x '=1 => ( e ^{ln x)} ', n / r / x' = 1 => (e ^ln )'=1 => e ^{ln x)} '= 1 => e ^ln ( ln x )'=1 => ln ' x =1/ e ^{ln x} (ln x) '= 1 => ln' x = 1 / e ^ln =1/ x . ^x = 1 / x.

Висновок

Вивчення теми "Показникова, логарифмічна та степенева функції" в курсі алгебри і початки аналізу передбачає знайомство учнів з питаннями:

Узагальнення поняття про ступінь; поняття про ступінь з ірраціональним показником; рішення ірраціональних рівнянь і їх систем; показова функція, її властивості і графік; основні показові тотожності:

; ;

тотожні перетворення показникових виразів; рішення показникових рівнянь, нерівностей і систем; поняття про зворотний функції; логарифмічна функція, її властивості і графік; основні логарифмічні тотожності:

; ;

тотожні перетворення логарифмічних виразів; рішення логарифмічних рівнянь, нерівностей і систем; похідна показовою функції; число е і натуральний логарифм; похідна статечної функції; диференціальне рівняння радіоактивного розпаду.

Література

1. К.О. верс i тэцкае",1997г. Ананченко "Загальна методика викладання математики в школі", Мн., "Ун i версо i тецкае", 1997р.

2.Н.М.Рогановскій "Методика викладання в середній школі", Мн., "Вища школа", 1990р.

3.Г.Фройденталь "Математика як педагогічна задача", М., "Просвіта", 1998р.

4.Н.Н. "Математична лабораторія", М., "Просвіта", 1997р.

5.Ю.М.Колягін "Методика викладання математики в середній школі", М., "Просвіта", 1999р.

6.А.А.Столяр "Логічні проблеми викладання математики", Мн., "Вища школа", 2000р.