Вивчення теми Трикутники в курсі геометрії 7-9 класів середньої школи

Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і
методики викладання математики
Курсова робота
Вивчення теми "Трикутники"
в курсі геометрії 7-9 класів середньої школи
Виконала студентка математичного
факультету групи М-41
Міхєєва М.А.
Науковий керівник Ошуева Є.С.
Кіров 2003

Зміст
Введення
§ 1 Аналіз шкільних підручників по темі: "Трикутники" в 7-9 класі
п. 1 Зміст і порядок викладу матеріалу
п. 2 Порівняльний аналіз підручників з даної теми
п. п. 1 Визначення трикутника
п. п. 2 Рівнобедрений трикутник
п. п. 3 Ознаки рівності трикутників
п. п. 4 Ознаки подібності трикутників
§ 2 Конспекти підсумкових уроків на тему "Трикутники" для 7-9 класів
п. 1 Узагальнюючий урок за темою "Ознаки рівності трикутників"
п. 2 Узагальнюючий урок за темою "рівнобедрений трикутник. Висоти, медіани, бісектриси трикутника"
п. 3 Підсумковий урок по темі "Подібні трикутники"
п. 4 Підсумковий урок повторення та узагальнення за темою "Трикутники"
Висновок
Бібліографічний список
Додаток

Введення

Трикутник є найважливішою фігурою планіметрії, і тому в першу чергу вивчають властивості цієї фігури. З ним пов'язано багато методи, використовувані при вирішенні різних геометричних задач. Будь-який багатокутник може бути розділений на трикутники, а вивчення властивостей цього багатокутника, зводиться до вивчення складових його трикутників. У якомусь сенсі вивчається в шкільному курсі геометрія - це геометрія трикутника. Тому дуже важливо уявляти собі методику викладу цієї теми в різних навчальних посібниках для правильної побудови курсу та уникнення методичних помилок.
Дана робота проведена з метою, простежити методику викладу теми "Трикутники" в курсі геометрії 7-9 класу середньої школи, а також підготувати конспекти підсумкових уроків з даної теми.
Аналіз проводиться за 4 основними підручниками, найбільш часто зустрічаються в шкільній практиці. Це підручники А.В. Погорєлова Геометрія 7-11 (8 видання), Л.С. Атанасян, Б.Ф. Бутузова і ін Геометрія 7-9, А.П. Кисельова Геометрія 7-9, І.Ф. Шаригіна Геометрія 7-9.
Мета:
Проаналізувати підходи і особливості викладу даної теми.
Простежити відповідність матеріалу підручників змісту навчання, прийнятого міністерством освіти Р.Ф.
Виявити переваги і недоліки викладу цієї теми.
Розробити 4 конспекту уроків підсумкового повторення.

§ 1 Аналіз шкільних підручників по темі: "Трикутники" в 7-9 класі

п. 1 Зміст і порядок викладу матеріалу

Л.С. Атанасян та ін Геометрія 7-9	А.В. Погорєлов Геометрія 7-11	А.П. Кисельов Геометрія 7-9	І.Ф. Шаригін Геометрія 7-9
Початкові геометричні відомості Трикутники Паралельні прямі Співвідношення між сторонами і кутами Чотирикутники Площа Подібні трикутники Окружність Вектори	Основні властивості найпростіших геометричних фігур Суміжні і вертикальні кути Ознаки рівності трикутників Сума кутів трикутника Геометричні побудови Чотирикутники Теорема Піфагора Декартові координати на площині Рух Вектори Подоба фігур Рішення трикутників Багатокутники Площі фігур	Пряма лінія Кути Математичні пропозиції Трикутники Основні завдання на побудову Паралельні прямі Паралелограми і трапеції Окружність Подібні фігури Поняття про вимірювання величин Подоба трикутників Подоба багатокутників Подоба фігур довільного виду Деякі теореми про пропорційні відрізків Метричні співвідношення між елементами трикутника Пропорційні лінії в колі тригонометричні функції гострого кута	Перші поняття геометрії Основні властивості площини Трикутник і коло. Початкові відомості Види геометри-чеських завдань і методи їх вирішення Паралельні прямі і кути Подоба Метричні співвідношення в трикутнику та кола Завдання і теореми геометрії

Зміст розглянутих вище підручників відповідає змісту освіти і навіть з деяких питань перевершує її.

п. 2 Порівняльний аналіз підручників з даної теми

п. п. 1 Визначення трикутника

Існують два підходи до визначення трикутника:
1 підхід. Поняття трикутника вводиться конструктивно: як фігура, що складається з трьох точок і трьох відрізків з'єднують ці точки. Такий підхід реалізований в підручнику Атанасян і в підручнику Погорєлова. При цьому нічого не говориться про площині трикутника. Це робиться з метою відступу від теоретико-множинної концепції і від визначення рівних геометричних фігур за допомогою відображень, що зберігають відстані (переміщень і рухів). Але і тут є істотні відмінності.
У книзі Погорєлова дається таке визначення трикутника: "Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно сполучають ці точки". Зміст виразу "відрізок з'єднує точки" ніде не пояснений. Хоча про це і легко здогадатися, але зміст слова "попарно" зовсім не очевидний для семикласника. Крім того, визначення істотно залежить від позначень, чого явно в формулюванні не вказано. У цілому, формулювання сприймається як великовагова і важка для розуміння. У Атанасян визначення чисто конструктивне, воно наочно і легше сприймається школярами.
2 підхід. Поняття трикутника дається як окремий випадок багатокутника, але в цьому понятті йдеться не тільки про фігуру утвореної замкненою лінією, але і про частину площині обмеженою цієї замкнутої лінією. Цей підхід реалізовано в підручниках Кисельова і Шаригіна. Тут визначення трикутника окремо не розглядається. Згодом Атанасян і Погорєлов все ж таки звертаються до другого підходу в темі "Многокутники" так як це поняття їм знадобиться для визначення поняття площі.
Визначення рівності трикутників у всіх чотирьох підручниках дається через суміщення рівних фігур шляхом накладення. Але в підручниках з другим підходом мається на увазі, що і площини трикутників також поєднуються накладенням.

п. п. 2 Рівнобедрений трикутник

Визначення рівнобедреного і рівностороннього трикутника однакове у всіх підручниках. Таке визначення є загальноприйнятим в математиці.
У підручниках Кисельова і Шаригіна властивості рівнобедреного трикутника розглядаються в одній теоремі. Докази проводяться аналогічно, з використанням осьової симетрії щодо бісектриси трикутника і визначення рівних трикутників. У силу того, що ні Атанасян, ні Погорєлов не використовують руху площини в 7 класі, основою для доказу властивостей рівнобедрених трикутників є ознаки рівності трикутників.
Атанасян в доказі властивостей рівнобедреного трикутника користується першою ознакою рівності трикутників. У книзі Погорєлова властивості рівнобедреного трикутника доводяться з використанням визначення трикутника як впорядкованої трійки точок, але ні де не пояснюється, що ΔCAB і ΔCBA це різні трикутники, а не один і той же по-різному позначений. Такий доказ учнями 7 класу розуміється досить важко. Автор, ухилившись від явної формулювання визначення трикутника як орієнтованого шляху, ставить учня лицем до лиця з міркуваннями, які може зрозуміти лише той, хто зовсім чітко уявляє собі трикутник як орієнтований шлях (це хоч і не явне, але звернення до теоретико-множинного підходу, який так ретельно уникає). Тому такі докази сприймаються учнями як цирковий фокус.
Ознаки рівнобедреного трикутника в підручнику Атанасян не розглядаються, хоча ці теореми дуже корисні. У підручнику Погорєлова наводиться одна ознака (через рівність кутів при основі). Повністю всі ознаки розглянуті тільки у Шаригіна.

п. п. 3 Ознаки рівності трикутників

У всіх чотирьох підручниках застосовується один і той же підхід з використанням аксіоми існування трикутника рівного даному. Але ніде посилань на цю аксіому немає. Докази проводяться на основі наочності з допомогою накладення і додатку. У підручнику Погорєлова ця аксіома формулюється, але безпосередньо при доказі на неї посилання не робляться. Лише після доказу першої ознаки рівності трикутників проводиться детальний розбір його із зазначенням використовуваних в доказі аксіом. Це введено з метою, зробити доказ більш суворим, ніж, наприклад доказ, наведене у Кисельова. Як нам здається, саме для цього автор вводить таке нетрадиційне визначення трикутника.
Докази, наведені в підручниках Атанасян і Кисельова аналогічні. Але в підручнику Кисельова, виходячи з введеного їм визначення трикутника, слід було б ще довести, що площині трикутників так само співпадуть при накладенні (про що в доказах навіть не згадано). У підручнику Атанасян аксіоми не є основою, на якій будується шкільний курс геометрії (разом з тим, в додатку в кінці підручника докладно викладено питання про систему аксіом в курсі геометрії). На нашу думку, велика перевага в порівнянні з навчальним посібником Кисельова, має використання в підручнику Атанасян в якості основного робочого апарату ознаки рівності трикутників, а не властивості геометричних перетворень. Такий підхід дозволяє відпрацювати спільні прийоми доведення теорем. Ці докази будуються за схемою: пошук рівних трикутників → доказ передбачуваного рівності → обгрунтування нових тверджень. Завдяки використанню ознак рівності трикутників легше засвоюються основні теореми планіметрії (властивості та ознаки серединного перпендикуляра, властивості рівнобедреного трикутника, теорема про зовнішній вугіллі трикутника, властивості і ознаки паралельних прямих і паралелограма, теорема Фалеса, ознаки подібності трикутників тощо). У підручнику Атанасян перша ознака розглядається у відриві від двох інших. Це обгрунтовано тим, що він є основою для доказу властивостей рівнобедреного трикутника, що полегшують доказ третьому ознаки рівності трикутників.
Лише у підручниках Кисельова і Шаригіна всі три ознаки вивчаються послідовно тому там не потрібні розбивати їх для доведення властивостей рівнобедрених трикутників.
У підручнику Шаригіна крім накладення використовуються ще і симетрія, що ускладнює докази. Доказ третьому ознаки проводиться з використанням елементів побудови. Крім того, застосовується рух зване перенесенням, але ніде не вказано як воно здійснюється і чи дійсно переводить одну точку в іншу. Крім трьох традиційних ознак рівності трикутників наводиться ще один для тупого кута і двох не утворюють його сторін. Доказ випливає з завдання про не існування трикутника рівного даному, якщо рівні дві сторони і не міститься між ними кут.

п. п. 4 Ознаки подібності трикутників

Визначення подібних трикутників дається як трикутники, у яких відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. Атанасян вводить поняття пропорційних подібних сторін. Аналогічне визначення наведене в підручнику Кисельова. У підручнику Шаригіна поняття аналогічно визначенню, наведеному у Погорєлова, але воно ні як не пов'язане з позначеннями.
Доказ ознак подібності трикутників в підручнику геометрії А.В. Погорєлова грунтується на властивостях гомотетии, висновок яких використовує формулу відстані між точками на координатній площині і тим самим теорему Піфагора. А теорема Піфагора, у свою чергу, доводиться на основі тригонометричних функцій кута, коректність визначень яких перевіряється за допомогою узагальненої теореми Фалеса, яка каже, що паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають від них пропорційні відрізки. Ясно, що теорема Фалеса є частиною ознак подібності, тут спостерігається небажаний в методичному відношенні відхід від поступального розвитку курсу. Крім того, при доведенні теореми Фалеса процес вимірювання відрізків, і у випадку, коли відрізки не сумірні, усвідомленням процесу їх вимірювання відбувається в учнів зі значними труднощами. Цей матеріал займає час всього курсу геометрії у 8 класі. Теорема Фалеса розглядається в самому початку 8 класу, а ознаки подібності в самому кінці 8 класу. У цьому плані краще розташування матеріалу у навчальному посібнику Кисельова. Але й у нього доказ ознак подібності засноване на такий лемі: пряма, паралельна стороні трикутника, відсікає від нього трикутник, подібний даний. При доведенні цієї леми розглядаються окремо випадки, коли відношення сторін трикутників є або раціональним, або ірраціональним числом, доказ ускладнюється також використанням загальної міри і аксіом. А у Атанасян площі фігур, на відміну від трьох інших підручників, розглядаються раніше, і тому вдається обійти зазначену труднощі. Фактично вона долається один раз при доказі властивостей пропорційних відрізків у прямокутному трикутнику. У цьому і полягає одна з переваг раннього введення поняття площі.
Як уже видно метод докази ознак подібності трикутників в підручнику Атанасян є суттєво іншим. Так доказ першої ознаки подібності трикутників в цьому підручнику грунтується на теоремі про ставлення площ трикутників, яка каже, що якщо в трикутниках ABC і A ₁ B ₁ C ₁ кути А і А ₁ рівні, то

. Ця теорема не є традиційною для шкільного курсу і швидше за все носить допоміжний характер. З іншого боку на основі цієї теореми досить просто доводиться, що відношення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності. По суті справи всі доказ в один рядок. Ця ж теорема дозволяє дати просте доказ ознак подібності трикутників. У той же час її віддаленість від місця застосування накладає певні труднощі на засвоєння учнями докази ознак подібності трикутників. Тут краще модифікувати її, з тим, щоб її можна було застосувати безпосередньо в темі "Ознаки подібності трикутників". У Погорєлова такий теореми немає, що робить неможливим вирішення його методами завдань такого плану:
Трикутники АВС і А ₁ В ₁ З ₁ подібні, їх відповідні сторони ставляться як 6: 5. Площа Δ АВС більше площі Δ А ₁ В ₁ З ₁ на 77 см ^2. Знайдіть площі трикутників.
У підручнику Шаригіна доводиться терема про пропорційні відрізках і властивості паралельних прямих. Всі три ознаки подібності формулюються один за одним, і для всіх наводиться один доказ з деякими поясненнями для кожного з ознак. Застосовуються додаткові побудови для кожного, а далі використовується попередня теорема з деякими варіаціями і ознаки рівності трикутників.
Про ставлення площ подібних фігур так само нічого не говориться.

§ 2 Конспекти підсумкових уроків на тему "Трикутники" для 7-9 класів

п. 1 Узагальнюючий урок за темою "Ознаки рівності трикутників"

(За підручником Погорєлова А. В. Геометрія 7-11)
Мета:
повторити і систематизувати знання учнів з даної теми;
застосувати отримані знання для вирішення завдань пов'язаних з трикутниками;
здійснити перевірку отриманих знань.
План уроку:
Організаційний момент (2-3 хв).
Актуалізація знань (3-8 хв).
Тестування (8-10 хв).
Групова робота (10-15 хв).
Математичний диктант (3-4 хв).
Підведення підсумків уроку. Постановка домашнього завдання (2 хв).
Організаційний момент. Формулюється тема уроку. Цілі уроку повідомляються заздалегідь. Клас налаштовується на роботу та отримання гарних оцінок.
Повторення ознак рівності треугольн6іков. Троє учнів доводять ознаки на дошці, а троє інших виробляють контроль і формулюють ознаки.
Тест на знання ознак рівності трикутників. Кожен з учнів одержує листочок із зображенням 10 пар трикутників (див. додаток лист 1), на яких відзначені відповідні рівні елементи. Пропонується відшукати пари трикутників, про рівність яких можна стверджувати, спираючись на один з ознак. Видаються маленькі листочки, на них у строчку по порядку записуються: у разі позитивної відповіді - номер відповідної ознаки, у разі негативного - ставиться нуль. У результаті повинен вийти код з 10 цифр складається з 0,1,2 і 3 (1020103002). Збіг відповіді учня і цифри коду зазначається знаком "+" (код заздалегідь виписується на дошку). Відразу ж підраховується кількість зароблених балів.

Робота тут же оцінюється: 10-8 збігів - "5";
7-6 збігів - "4";
5-3 збігів - "3".
Після уроку листочки здаються на перевірку.
Групова робота. Працюють у групі по 4 людини. Розбирають завдання (див. додаток лист 2). Кожен бере на себе по одному завданню на пояснення. Учитель за вибором може запитати будь-якого з групи або всіх (всього 4 варіанти). Решта уважно слухають, доповнюють, виправляють. Увага повинна бути постійно так як на будь-якому етапі пояснення завдання можна передати учневі в іншій групі.
Математичний диктант. Математичний диктант дозволяє за короткий час перевірити глибину знань учнів, виставити оцінки, проаналізувати помилки. Диктант проводиться на місці під копірку: один примірник учневі здають вчителю для перевірки, другу залишають собі. Відповідати на запитання потрібно "так" чи "ні".
Чи вірно, що якщо трикутники рівні, то кожен кут першого трикутника дорівнює кожному розі другого трикутника? [Ні].
Чи правда, що кожному розі одного трикутника знайдеться кут, рівний йому в другому рівному трикутнику? [Так].
Чи вірно, що якщо сторона і два прилеглих до неї кута відповідно рівні стороні і двом прилеглих до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні? [Так].
Чи вірно, що якщо три кути одного трикутника відповідно рівні трьох кутах іншого трикутника, то такі трикутники рівні? [Ні].
Чи вірно, що дві сторони і кут одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту іншого трикутника, то такі трикутники рівні? [Ні].
Чи вірно, що медіани в рівних трикутниках, проведені до рівних сторонам рівні? [Так].
Підведення підсумків уроку. Постановка домашнього завдання.
Учням повідомляють результати їх роботи, заохочують кращі відповіді. Урок вважається успішним, якщо залишає в учнів почуття задоволення собою, якщо їх знання стають систематизованими, а дії усвідомленими.
Методичні рекомендації:
У разі не маєтку в наявності копірки математичний диктант учні перевіряють один в одного олівцем, виставляють оцінки, а потім ці листочки здаються на перевірку вчителю
При роботі по групах у середньому може вийти від 6 до 10 груп, т.е.2-3 групи будуть мати однакові варіанти. У цьому випадку робота організується на розсуд вчителя.

п. 2 Узагальнюючий урок за темою "рівнобедрений трикутник. Висоти, медіани, бісектриси трикутника"

(За підручником Атанасян Л.С., Бутузова Б.Ф. та ін Геометрія 7-9)
Мета: закріпити, узагальнити, систематизувати, оцінити знання по даній темі.
План уроку:
Організаційний момент (2-3 хв).
Актуалізація знань (3-8 хв).
Тестування (8-10 хв).
Групова робота (15-20 хв).
Підведення підсумків уроку. Постановка домашнього завдання (2 хв).
Організаційний момент. Повідомляється тема, мета уроку. Налаштовуємо клас на роботу. Даємо стимул на отримання гарних оцінок.
Повторення основних визначень і властивостей. Проводиться фронтальне опитування учнів, бажано слабких учнів з наступних питань: визначення трикутника, медіани, бісектриси, висоти, рівнобедреного трикутника; його властивості, перша ознака рівності трикутників.
Тест на знання визначень і властивостей рівнобедреного трикутника (див. додаток лист 3). Кожному учневі видаються листочки з завданнями. Відповіді пишуться під копірку, один з листочків здається вчителю. Тест тут же перевіряється, і ставляться оцінки.
Групова робота. Працюють у групі по 4 людини. Розбирають завдання. Кожен бере на себе по 1-2 завдання на пояснення. Учитель за вибором може запитати будь-якого учня. Пояснення завдання можна передавати іншому учневі відповідальному за цю ж задачу. Учні розповідають рішення з місця. Учитель записує на дошці основні моменти. Решта перевіряють і доповнюють відповіді.
Варіант 1.
1. Запишіть всі трикутники, зображені на малюнку

2. У Δ EFG EF = FG, EK = LG. Визначте вид трикутників EFG і KFL.
3. Чим відрізняється бісектриса кута від бісектриси трикутника?
4. У равнобедренном Δ ABC AB = BC. Доведіть рівність його медіан AM і CN.
5. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см. Підстава дорівнює 6 см. Знайти бічну сторону даного трикутника.
Варіант 2.
1. Які лінії співпадуть, якщо трикутник, вирізаний з паперу, перегнути за його бісектрисі? Чому?
2. У равнобедренном Δ CEF CE = CF. Доведіть рівність його бісектрис EL і FK.

3. У Δ ABC (див. рис) AC = BC,

. Визначте вид Δ ABC і Δ DEC.
4. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 42 см., бічна сторона становить 2 / 7 периметра. Знайдіть підставу даного трикутника.
5. Трикутники ABC і OPQ рівні. Периметр Δ ABC дорівнює 40 см., AB = 17см., PQ = 5см. Знайти інші сторони трикутників.
Варіант 3.
1. Чи може трикутник бути опуклим? Чому?
2. Чи може висота трикутника лежати:
всередині трикутника;
поза трикутника;
на його боці?

3. Сформулюйте друга ознака рівності трикутників для рівнобедрених трикутників.
4. У Δ EFG EP = FQ і

Визначте вид трикутників EFG і GPQ.
5. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 32 см., бічна сторона більше підстави на 4 см. Знайдіть сторони даного трикутника.
V. Підведення підсумків уроку. Завдання домашнього завдання.
Учні повідомляють результати їх роботи, заохочують кращі відповіді. Підбивають підсумки уроку. З'ясовують, що ще не засвоєно в чому виникли труднощі.

п. 3 Підсумковий урок по темі "Подібні трикутники"

(За підручником Атанасян Л.С., Бутузова Б.Ф. та ін Геометрія 7-9)
Мета:
узагальнити вивчений матеріал;
сформувати вміння застосовувати математичні знання до вирішення завдань;
виявити й усунути прогалини в знаннях учнів.
План уроку:
Організаційний момент (2-3 хв).
Актуалізація знань (5-8 хв).
Фронтальна робота (7-9 хв).
Групова робота (10-12 хв).
Математичний диктант (3-4 хв).
Підведення підсумків уроку. Постановка домашнього завдання (2 хв).
Організаційний момент.
Мета: налаштувати клас на хорошу роботу. Дати стимул для отримання гарних оцінок.
Повторення ознак подібності і теореми про ставлення площ подібних фігур. Дошка заздалегідь розбивається на 4 частини, в кожній з яких виконується креслення і записується умова та укладання відповідної ознаки чи теореми (див. додаток лист 4). Викликати до дошки чотирьох учнів, запропонувавши кожному заповнити прогалини і виконати, де це потрібно додаткові побудови.
Колективна робота з дошкою.
Поки учні готуються до відповіді, клас вирішує (усно) завдання за готовими кресленнями.

Дайте визначення подібних фігур. Які з наведених на дошці фігур є подібними? Які з наведених паралельно трикутників є подібними?

У трапеції АВСD проведені діагоналі АС і ВD. В силу, якого ознаки подібності трикутників Δ COB ~ Δ AOD?
У прямокутному трикутнику АВС з вершини прямого кута опущена на гіпотенузу висота СD, AC = 6, DB = 9. Знайти відношення площ трикутників АСD і CDB.
Бічна сторона і заснування одного рівнобедреного трикутника відповідно рівні 34 см. та 20 см., а іншого 17 та 10. Визначте подібні чи це трикутники.
Прослухати викликаних раніше учнів, які доводили одна з ознак подібності трикутників, і з'ясувати, що в доказі кожного з двох останніх ознак відрізняються лише ознаки рівності трикутників в залежності від даних.
Додаткові питання відповідає:
в прямокутному трикутнику проекції катетів на гіпотенузу рівні 25 і 16. Знайдіть катети, висоту.
Наведіть приклади з життя, які приводять до поняття подібних фігур.
Групова робота.
Клас розбивається на групи по 4 людини. Кожна група вирішує завдання на виданої картці. Через 8 хв. за варіантами запитуються завдання з місця на вибір вчителя. Якщо людина в групі не відповідає, запитують іншу групу, у якій той же варіант.

Варіант 1
Дано:
Δ АВС - прямокутний;
DE ^ AB.
Доведіть, що трикутники АВС і АЕD подібні;
Знайдіть катети Δ АВС, якщо АВ = 13 см., АЕ = 5,2 см., DE = 2 см;
Знайдіть відношення площ Δ ABC і Δ AED.
Варіант 2

Дано:
ABCD - паралелограм;
BD - діагональ;
AF - довільний відрізок;
BO = 6 см;
OD = 18 см.
Вкажіть такі трикутники;
Визначте коефіцієнт подібності;
Знайдіть відношення їх площ.
Варіант 3

Дано:
Δ АВС;
BD - висота;
MP ^ BD; BM = 5 см;
BP = 8 см; BC = 24см.
Довести, що Δ BOP ~ Δ BDC;
Знайти АВ;
Знайти відношення площ трикутників MPB і ABC.
Математичний диктант.
Диктант пишеться під копірку один варіант вчителю, інший учням. Перевірка здійснюється тут же.
Якщо ви згодні з твердженням то поставте знак "+", якщо не згодні то знак "-".
Є два трикутника, вони є подібними, якщо
ставлення їх площ дорівнює 2;
одна сторона в два рази більша за іншу;
три кути рівні, а одна сторона трикутника пропорційна відповідній стороні іншого трикутника;
відношення відповідних сторін дорівнює 2;
відношення середніх ліній трикутників дорівнює відношенню підстав.
Підведення підсумків уроку. Постановка домашнього завдання.
Учням повідомляють результати їх роботи, заохочуються кращі відповіді.
Методичні рекомендації:
Кількість докази записаного на дошці може змінюватись на розсуд вчителя.
У залежності від часу можна також скоротити число усних завдань.

п. 4 Підсумковий урок повторення та узагальнення за темою "Трикутники"

(За підручником Атанасян Л.С., Бутузова Б.Ф. та ін Геометрія 7-9)
Мета:
закріпити вміння і знання, отримані раніше;
застосувати отримані знання для вирішення завдань пов'язаних з трикутниками.
План уроку:
Організаційний момент (2-3 хв).
Актуалізація знань (3-4 хв).
Фронтальна робота з класом (10-13 хв).
Самостійна робота (17-20 хв).
Підведення підсумків уроку. Постановка домашнього завдання (2 хв).
Організаційний момент.
Налаштовуємо клас на роботу. Повідомляємо мета уроку.
II. На початку уроку проводиться розминка фронтально з класом: повторення основних теоретичних положень з даної теми.
1) Сформулюйте визначення трикутника:
рівнобедреного;
рівностороннього;
прямокутного.
2) Перерахуйте властивості рівнобедреного трикутника.
3) Сформулюйте ознаки рівнобедреного трикутника.
4) Чи можна назвати рівносторонній трикутник рівнобедреним?
5) Які трикутники називаються рівними?
6) Які елементи називаються відповідними?
7) Сформулюйте:
1-й ознака рівності трикутників;
2-й ознака рівності трикутників;
Третя ознака рівності трикутників.
8) Які трикутники називаються подібними?
9) Що значить пропорційні сторони?
10) Що таке коефіцієнт подібності?
11) Сформулюйте:
1-й ознака подібності трикутників;
2-й ознака подібності трикутників;
Третя ознака подібності трикутників.
12) Назвіть:
формулу для обчислення площі трикутника;
формулу Герона;
формулу площі трикутника, вписаного в коло;
формулу площі трикутника, описаного навколо кола.

13) Чи є серед наведених формул вірні?

а)

б)

в)

г)

д)

14) Що таке вектор?
18) Сформулюйте правило додавання векторів:
трикутника;
чотирикутника
Завдання для загального розбору. По черзі учні викликаються до дошки або, по можливості, з місця. Завдання записана на дошці.

Дано:
ΔАВС-рівнобедрений (АВ = ВС);

;

.
Доведіть, що Δ АВМ = Δ ВМС;
Доведіть, що Δ АКМ

~ Δ ВМС;
Знайти КМ;
Знайдіть площу Δ АВМ, Δ АКМ;
Знайдіть радіус кола вписаного в Δ АВС;
Побудуйте Δ ВDС, зменшивши масштаб в 2 рази, і опишіть біля нього коло;
Висловіть вектор

через вектора

;
Знайдіть радіус кола, описаного близько Δ АВС;
IV. Завдання для самостійної роботи. Рішення завдання в кінці уроку здається.

Дано:
Δ АВС - прямокутний;

= 90 ^о;
АМ = МВ; DM

AB; AF | | BC;
CK | | DM; DM = 6; MB = 8.
Доведіть, що Δ AFM = Δ DMB.
Доведіть, що Δ AFM ~ Δ ABC.
Знайдіть боку Δ АВС.
Знайдіть СК.
Знайдіть відношення периметрів Δ АСК і Δ ВКВ.
Знайдіть СМ.
Висловіть вектор

через вектори

.
Накресліть тупокутний трикутник і впишіть в нього коло.
V. Постановка домашнього завдання. Підведення підсумків уроку.
Методичні рекомендації:
Проводиться в кінці 8 класу. Повторення по даній темі проводиться як урок одного завдання.
З метою економії часу можна актуалізацію знань проводити у міру необхідності безпосередньо при розборі завдання.

Висновок

У даній роботі було проведено методичний аналіз навчальних посібників з геометрії для середньої школи. Виділено підходи, гідності і недоліки викладення даної теми в чотирьох запропонованих вище підручниках, а також наведені приблизні конспекти уроків підсумкового повторення з методичними рекомендаціями. Проаналізовано базові поняття і теореми теми "Трикутники", що дозволяє вибрати найбільш вірний підхід та методику викладання курсу.
Ця курсова буде корисна методистам, вчителям, студентам педагогічних ВНЗ.

Бібліографічний список

1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Е.Г. Позняк, І.І. Юдіна Геометрія: підручник для 7-9 класу середньої школи. - М.: Просвещение, 1990 р.
2. А.В. Погорєлов Геометрія: підручник для 7-11 класу загальноосвітніх установ. - 8-е видання - М.: Просвещение, 1998 р.
3. А.П. Кисельов, Н.А. Рибкін Геометрія: підручник - задачник для 7-9 класу. - М. вид-во "Дрофа", 1995 р.
4. І.Ф. Шаригін Геометрія: підручник для 7-9 класу. - 2-е видання - М. вид-во "Дрофа", 1998 р.
5. Уроки підсумкового повторення 7-11 класи загальноосвітньої школи \ Н. Гришкова, А. Ілюхіна \ \ "Математика" додаток до газети "1 вересня" № 13, 1999 р.
6. Л. Басова Ознаки рівності трикутників \ \ "Математика" додаток до газети "1 вересня" № 34, 2000 р.
7. І. Смирнова, В. Смирнов Самостійні роботи з геометрії 7 клас \ \ "Математика" додаток до газети "1 вересня" № 33, 2001 р.
8. В. Рижик Тести на іспиті. Геометрія 8-11 клас \ \ "Математика" додаток до газети "1 вересня" № 1, 2002 р.
9. Л. Птічкіна Тести повторення з геометрії 7 клас \ \ "Математика" додаток до газети "1 вересня" № 11, 2000 р.
10. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Е.Г. Позняк, І.І. Юдіна Про конкурсний підручнику геометрії для 7-9 класів \ \ Математика в школі № 1, 1989 р.
11. А.В. Гладкий Про деякі визначеннях у навчальному посібнику А.В. Погорєлова \ \ Математика в школі № 6, 1990 р.
12. В.А. Смирнов Про докази ознак подібності трикутників \ \ Математика в школі № 6, 1990 р.
13. О.М. Колмогоров Про навчальному посібнику Геометрія 6-10 А.В. Погорєлова \ \ Математика в школі № 2, 1983 р.
14. А.С. Міщенко, А.С. Понтрягин Про пробному підручнику Геометрія 6-8 \ \ Математика в школі № 2, 1983 р.

15. А.І. Медяник Науково - методичні гідності навчального посібника з геометрії А.В. Погорєлова \ \ Математика в школі № 2, 1983 р.
16. В.В. Пікан Про практичної спрямованості пробного підручника Геометрія 6-8 \ \ Математика в школі № 2, 1983 р.

Додаток

Лист 1.
. SHAPE \ * MERGEFORMAT

Лист 2.
Доведіть, що трикутники рівні.
Доведіть, що рівні ті елементи трикутників, які відмічені знаком "?".

Лист 3, Тест
1.

ВС = 10 см.
ВС = 5 см.
ВС = 15 см.

а) АС = 10 м.
б) АС = 20 м.
в) АС = 5 м

а)

б)

в)

5. Довести, що

а) 1) Розглянемо Δ АВО і Δ ОСD;
2) АВ = ВО (дано);
3) DO = DC (дано);
4) AO = AB = BO (див. малюнок);
5) OD = DC = OC (див. малюнок);
6) з 2) - 5) випливає, що Δ АВО і Δ ОCD рівносторонні;
7) з 6)

(Вертикальні кути);
9) з 7) і 8)

б) 1) Розглянемо трикутники АВО і ОСD;
2) АВ = ВО (дано);
3) DO = DC (дано);
4) з 2) і 3) Δ АВО і Δ OCD - рівнобедрені;
5) з 4) слід

(Вертикальні кути)
7) з 5) і 6)

.

Лист 4

Дано:
Δ АВС = Δ А ₁ В ₁ С _1;
ÐА = ÐА _1, ÐВ =  ÐВ _1.
Довести, що
Δ АВС ~ Δ А ₁ В ₁ С _1.
Доказ.
По теоремі про суму кутів трикутника ...
Аналогічно використовуючи рівність ÐА =  ÐА _1,  ÐВ =  ÐВ _1, отримуємо

. Отже, подібні боку трикутників АВС і А ₁ В ₁ З ₁ пропорційні.
Ч. т.д.

Дано:
Δ KLM = Δ K ₁ L ₁ M _1;
ÐK =  ÐK _1;

.
Довести, що
ΔPQR ~ ΔP ₁ Q ₁ R _1.
Доказ. Враховуючи перший ознака досить довести ÐМ =  ÐМ _1.
Розглянемо Δ КLM ₂ ...
Звідси випливає, що ÐМ =  Ð2, а так як  Ð2 =  ÐМ _1, то ÐМ =  ÐМ _1. Скористаємося першою ознакою
Δ КLM ~ Δ K ₁ L ₁ M _1.
Ч. т.д.

Дано:
Δ PQR і Δ P ₁ Q ₁ R _1;

;
Довести, що
Δ PQR ~ Δ P ₁ Q ₁ R _1.
Доказ.
Для цього, враховуючи друга ознака подібності трикутників досить довести, що ÐP = ÐP _1. Розглянемо трикутник PQR ₂ ...
Звідси випливає ÐP = Ð1, т.к Ð1 = ÐP _1, то ÐP = ÐP ₁
Ч. т.д.

Дано:
Δ АВС ~ Δ А ₁ В ₁ С _1;
к - коефіцієнт подібності;
S і S ₁ - площі трикутників АВС і А ₁ В ₁ З ₁ відповідно.
Довести, що

.
Доказ.
Скористаємося теоремою про ставлення площ трикутників мають по рівному кутку ...
Ч. т.д.