Курсова робота
Ірраціональні рівняння
Зміст:
Введення
1. Основні визначення та теореми
2. Стандартні ірраціональні рівняння і методи їх вирішення
2.1 Рівняння виду
2.2. Рівняння виду
2.3 Ірраціональні рівняння, які вирішуються введенням нової змінної
2.4 Рівняння виду ,
,
3. Нестандартні методи розв'язання ірраціональних рівнянь
3.1 Застосування основних властивостей функції
3.1.1 Використання області визначення рівняння
3.1.2 Використання області значень функції
3.1.3 Використання монотонності функції
3.1.4 Використання обмеженості функції
3.2 Застосування похідної
3.2.1 Використання монотонності функції
3.2.2 Використання найбільшого і найменшого значень функцій
4. Змішані ірраціональні рівняння і методи їх вирішення
4.1 Ірраціональні рівняння, що містять подвійну ірраціональність
4.2 Ірраціональні показові рівняння
4.3 Ірраціональні логарифмічні рівняння
Висновок
Література
Введення
Тема моєї курсової роботи - «ірраціональні рівняння". Я вибрала її тому, що в навчальному курсі, цьому матеріалу присвячено мало годин, а в задачниках велику кількість прикладів присвячено саме цій темі.
Тому у вивченні «ірраціональних рівнянь» я переслідую мету - дати основні визначення ірраціональним рівнянням і теорем. Визначити які бувають види рівнянь. Розглянути правила рішення ірраціональних рівнянь.
Завдання моєї роботи - вивчити наукову та методичну літературу, підібрати і розглянути задачі для даної теми, включаючи олімпіадні.
У моїй роботі показані рішення ірраціональних рівнянь як стандартного методу, так і не стандартного методу рішення. Я намагалася якомога доступніше охопити проблеми цієї теми. Звичайно, все можна врахувати в курсовій роботі, але я постараюся нижче викласти основні моменти. Я хотіла б зробити дану роботу допоміжним посібником при вивченні теми «Ірраціональні рівняння».
1. Основні визначення та теореми
Визначення 1. Рівняння - це два вирази, з'єднані знаком рівності; в ці висловлювання входить одна або кілька змінних, званих невідомими.
Приклад 1. - Є рівнянням з однією невідомою.
Приклад 2. - Є рівнянням з двома невідомими.
Визначення 2. Рівність виду називається рівнянням з однією змінною
.
Приклад 1. - Є рівнянням з однією змінною х.
Далі розглядаємо рівняння з однією змінною.
Визначення 3. Будь-яке значення змінної, при якому вираження і
приймають рівні числові значення, називається коренем рівняння або його рішенням.
Приклад 1. Рівняння має два корені: -1 і 1.
Визначення 4. Вирішити рівняння - значить, знайти безліч всіх його рішень або довести, що їх немає.
Приклад 1. Рівняння має єдиний корінь 4, тому що при цьому і тільки при цьому значенні змінної
звертається у вірне рівність, таким чином, відповідь записується в наступному вигляді:
П о в е т: {4}.
Приклад 2. Рівняння не має дійсних коренів.
П о в е т: .
Приклад 3. Рівняння має безліч рішень, тому що після тотожних перетворень отримали рівність
. Тобто дане рівняння
є тотожне рівність, вірне для будь-якого дійсного значення
.
П о в е т: .
Визначення 5. Тотожність (тотожне рівність) - це рівність двох виразів зі змінними, вірне при всіх допустимих значеннях вхідних у нього змінних. Тождествами вважаються і вірні числові рівності, а також рівності, що перетворюються в правильне числове рівність для всіх числових значень букв, для яких ці вирази визначені.
Приклад 1. Рівність , Справедливо для всіх числових значень
і в, є тотожним.
Приклад 2. Рівність 2 = 2 тотожність.
Визначення 6. Тотожне перетворення виразу - це заміна вираження на тотожно рівне йому вираження, тобто рівне для всіх числових значень вхідних у нього змінних.
До тотожним перетворенням належать, наприклад, приведення подібних доданків; розкладання на множники; приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника; розкладання їх на елементарні дроби та інші.
Визначення 7. Ірраціональним називають рівняння, в якому змінна міститься під знаком радикала або під знаком зведення в дробову ступінь.
Приклад 1. - Ірраціональне рівняння (змінна міститься під знаком радикала).
Приклад 2. ірраціональне рівняння (змінна міститься під знаком зведення в дробову ступінь).
Визначення 8. Областю визначення рівняння (або областю допустимих значень змінної - ОДЗ) називають безліч всіх тих значень змінної
, При яких і вираження
, І
мають сенс.
Приклад 1. Вираз (
і
визначені при всіх
. Значить, ОДЗ:
.
Приклад 2. . Вираз
не визначено при
, А вираз
не визначено при
.
Значить, ОДЗ: .
Приклад 3. . Корінь парному мірою має сенс лише при ненегативних значеннях подкоренного вираження. Значить, одночасно повинні виконуватися умови:
тобто ОДЗ:
Визначення 9. Нехай дано рівняння: (1),
(2).
Якщо кожен корінь рівняння (1) є одночасно коренем рівняння (2), то рівняння (2) називається наслідком рівняння (1). Слідство позначається наступним чином:
Приклад 1.
У процесі рішення рівняння часто доводиться застосовувати такі перетворення, які приводять до рівняння, що є наслідком вихідного. Рівнянню-слідству задовольняють всі корені вихідного рівняння, але, крім них, рівняння-наслідок може мати й такі рішення, які не є країнами вихідного рівняння, так звані, «сторонні» коріння. Щоб виявити і відсіяти «сторонні» коріння, зазвичай надходять так: всі знайдені коріння рівняння-наслідки перевіряють підстановкою в початкове рівняння.
Розглянемо приклади перетворень, які можуть привести до розширення ОДЗ, тобто до появи «сторонніх» коренів.
Заміна рівняння
рівнянням
Якщо при деякому значенні , Що дорівнює
, Вірно рівність
, То вірним є також рівність
. Значить, рівняння
є наслідком вихідного рівняння. При цьому може існувати таке значення
, Рівне
, При якому
і
. Тоді число
, Що є коренем рівняння
, Не є коренем вихідного рівняння, т.к. при
вихідне рівняння не має сенсу.
Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Рішення. . Тоді
.
Перевірка.
При знаменник рівняння не звертається в нуль, а при
- Звертається. Отже, вихідне рівняння має єдиний корінь: -10.
П о в е т: .
2. Зведення обох частин рівняння в квадрат.
Нехай дано два рівняння (1) і
. Якщо
- Корінь першого рівняння, то вірно рівність
. З рівності двох чисел випливає рівність їх квадратів, тобто
, А це означає, що
- Корінь рівняння (2). Значить з рівняння (1) випливає рівняння (2).
У той же час з рівності квадратів чисел не слід рівність цих чисел (числа можуть бути протиставленим). Тому з рівняння (2) не слід рівняння (1). Звідси випливає, що якщо при рішенні рівняння використовувалося зведення обох частин рівняння в квадрат, то потрібно повести додаткове дослідження, що дозволяє виключити «сторонні» коріння, якщо вони з'явилися.
Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Рішення. Зведемо обидві частини цього рівняння в квадрат.
;
. Тоді
,
.
Перевірка.
Якщо , То
, Рівність не вірно, отже, -1 - не є коренем вихідного рівняння.
Якщо , То 4 = 4, рівність вірно.
Отже, рівняння має єдиний корінь: 4.
П о в е т: {4}.
3. Виконання в одній частині (або в обох частинах) рівняння тотожних перетворень, що призводять до розширення області визначення рівняння.
Якщо деякий тотожне перетворення привело до розширення області визначення рівняння, то отримуємо рівняння - наслідок. При цьому можуть існувати такі значення змінної, які є країнами вихідного рівняння.
Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Рішення. Виконавши приведення подібних доданків, одержимо: . Тоді
,
.
Перевірка.
Якщо , То вираз
не має сенсу.
Якщо , То
, Рівність вірно.
Отже, рівняння має єдиний корінь: 5.
П о в е т: {5}.
Приклад 2. Розв'язати рівняння .
Рішення. або
. Тоді
,
.
Перевірка.
Якщо , То вираз
не має сенсу.
Якщо , То
, Рівність вірно.
Отже, рівняння має єдиний корінь: -2.
П о в е т: {-2}.
Якщо при вирішенні рівняння ми замінили його рівнянням - наслідком, то зазначена вище перевірка є невід'ємною частиною рішення рівняння. Тому важливо знати, за яких перетвореннях дане рівняння переходить в слідство.
Розглянемо рівняння (3) і помножимо обидві частини його на одне і теж вираз
, Що має сенс при всіх значеннях
. Отримаємо рівняння:
(4), корінням якого служать як коріння рівняння (3), так і коріння рівняння
.
Значить, рівняння (4) є наслідок рівняння (3). Ясно, що рівняння (3) і (4) рівносильні, якщо «стороннє» рівняння не має коренів. Таким чином, справедлива наступна теорема.
Теорема 1. Якщо обидві частини рівняння помножити на , То вийде рівняння, що є наслідком вихідного. Якщо рівняння
не має коренів, то отримане рівняння рівносильне вихідному (якщо область допустимих значень
не вже області допустимих значень змінної даного рівняння).
Приклад 1. .
Зауважимо, що подібне перетворення, тобто перехід від рівняння (4) до рівняння (3) діленням обох частин рівняння (4) на вираз , Як правило, неприпустимо, оскільки можна привести до втрати корінь, у цьому випадку можуть «загубитися» коріння рівняння
.
Приклад 2. Рівняння має два корені: 3 і 4.
Розподіл обох частин рівняння на призводить до рівняння
, Що має тільки один корінь 4, тобто сталася втрата кореня.
Знову візьмемо рівняння (3) і зведемо обидві його частини в квадрат. Отримаємо рівняння: (5), корінням якого служать як коріння рівняння (3), так і коріння «стороннього» рівняння
. Ясно, що рівняння (3) і (5) рівносильні, якщо у «стороннього» рівняння немає коренів.
Приклад 3. Рівняння має корінь 4. Якщо обидві частини цього рівняння звести в квадрат, то вийде рівняння
, Що мають два корені: -2 і 4. Значить, рівняння
- Наслідок рівняння
. При переході від рівняння
до рівняння
з'явився «сторонній» корінь: -2.
Теорема 2. При зведенні обох частин рівняння в квадрат (і взагалі в будь-яку парну ступінь) виходить рівняння, що є наслідком вихідного.
Приклад 1. .
При вирішенні ірраціонального рівняння найчастіше намагаються замінити його більш простим, але рівносильним вихідному. Тому важливо знати рівносильні перетворення.
Визначення 10. Рівняння, що має одні й ті ж коріння, називають рівносильними рівняннями. Рівняння, не мають коренів, також вважають рівносильними. Іншими словами два рівняння називають рівносильними, якщо множини їхніх рішень збігаються. Рівносильність позначається наступним чином: .
Приклад 1. Рівняння і
рівносильні, тому що кожне з них має єдиний корінь - число 3.
.
Приклад 2. Рівняння і
НЕ рівносильні, тому що перше має тільки один корінь: 6, а друге має два корені: 6 і -6.
Приклад 3. Рівняння і
рівносильні, тому що безлічі їх рішень порожні.
.
Визначення 11. Нехай дано рівняння і
і деяке безліч М. Якщо будь корінь першого рівняння, що належить безлічі М, задовольняють друге рівняння, а будь-який корінь другого рівняння, що належить безлічі М, задовольняє першому рівнянні, то ці рівняння називаються рівносильними на множині М.
Приклад 1. і
не є рівносильними на множині всіх дійсних чисел, тому що перше рівняння має єдиний корінь 1, а друге має два корені: -1 і 1. Але ці рівняння рівносильні на множині всіх невід'ємних чисел, т.к. кожне з них має на цій множині єдиний корінь: 1.
Відзначимо, що часто безліч М збігається або з ОДЗ рівняння , Або безліччю всіх дійсних чисел.
Є ряд теорем про равносильности рівнянь.
Теорема 3. При зведенні обох частин рівняння в одну і ту ж непарну ступінь виходить рівняння, рівносильне вихідному.
Приклад 1. .
Теорема 4. Якщо в рівнянні якесь доданок перенести з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то вийде рівняння, рівносильне вихідному.
Приклад 1. .
Теорема 5. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й теж відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне вихідному.
Приклад 1. (Обидві частини першого рівняння розділили на 2).
Теорема 6. Якщо в який або частини рівняння виконати тотожні перетворення, не міняють області визначення рівняння, то вийде рівняння, рівносильне вихідному.
У шкільній практиці при вирішенні ірраціональних рівнянь найчастіше використовуються два основні методи:
1) обох частин рівняння в одну і ту ж ступінь;
2) введення нових (допоміжних) змінних.
Ці методи будемо вважати стандартними. В обов'язковому шкільному курсі звичайно цими методами і обмежуються. Однак іноді доводиться застосовувати нестандартні методи і штучні прийоми рішення ірраціональних рівнянь.
Типова помилка при рішенні ірраціональних рівнянь полягає в тому, що школярі без додаткових пояснень використовують перетворення, які порушують равносильность, що призводить до втрати коренів і появі «сторонніх» коренів.
При зведенні обох частин ірраціонального рівняння в одну і ту ж ступінь треба мати на увазі, що якщо ступінь - не парне число, то отримаємо рівносильне рівняння, якщо ж ступінь - парне число, то одержимо рівняння - наслідок. Тому при вирішенні ірраціональних рівнянь в більшості випадків необхідна перевірка знайдених рішень.
Перевірки можна уникнути, якщо вирішувати ірраціональні рівняння з допомогою рівносильних замін. Для цього корисно знати такі теореми.
Теорема 7. Рівняння виду рівносильно змішаній системі
Рівняння виду
Теорема 8. Рівняння виду або
.
Рівняння виду .
Далі розглянемо більш докладно типи ірраціональних рівнянь і методи їх вирішення.
2. Стандартні ірраціональні рівняння
Як правило, в шкільному курсі розгляд ірраціональних рівнянь зводиться до розбору декількох нескладних прикладів. Вони в більшості випадків вирішуються зведенням у квадрат лівої і правої частин рівняння. Після рішення обов'язково виконується перевірка. Не звертається увага на те, що ірраціональні рівняння можуть вирішуватися і з використанням поняття равносильности. У цьому параграфі представлені різні види ірраціональних рівнянь, які можна віднести до стандартних і вирішувати одним з таких методів, а саме:
1) метод переходу до рівняння - слідству з подальшою перевіркою отриманих коренів;
2) метод равносильного переходу до рівняння або до змішаної системи;
3) метод введення нової змінної.
2.1 Рівняння виду
Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Рішення. Зведемо обидві частини вихідного рівняння в квадрат. .
П о в е т: {6}.
Приклад 2. Розв'язати рівняння .
Рішення. У лівій частині вихідного рівняння коштує арифметичний квадратний корінь - він за визначенням неотріцателен, а в правій частині - негативне число.
Отже, рівняння не має коренів.
П о в е т: .
Запишемо равносильность, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду.
, Якщо
і не має рішення, якщо
.
Приклад 3. Розв'язати рівняння .
Рішення. Зведемо обидві частини вихідного рівняння в куб.
;
.
П о в е т: {-5}.
Запишемо равносильность, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду: .
2.2 Рівняння виду
Досить часто при вирішенні рівнянь даного виду учні використовують наступне формулювання властивості твори «Твір двох співмножників дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю». Зауважимо, що формулювання властивості твору повинна виглядати таким чином: «твір двох співмножників дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю, а інший при цьому має сенс».
Запишемо равносильность, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду:
Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Рішення.
.
П о в е т: {-2; 6}.
Приклад 2. Розв'язати рівняння .
Рішення. В даному випадку рівняння не має виду, зазначеного в заголовку. Отже, його необхідно конвертувати. Але спочатку знайдемо ОДЗ змінної .
ОДЗ:
Перетворимо рівняння до виду
При вирішенні рівняння учні часто необгрунтовано ділять обидві частини рівняння на вираз, що містить невідоме (в даному випадку, на ), Що призводить до втрати кореня і придбання «стороннього». Подібні рівняння, що містять в обох частинах загальний множник, слід вирішувати переносом всіх членів в одну частину і розкладанням отриманого виразу на множники.
Вирішимо кожне рівняння з сукупності.
;
.
(1).
Враховуючи, що ОДЗ: отримуємо, що рівняння (1) рівносильно сукупності:
. Тоді
,
не задовольняє умові
, Дане рівняння не має коренів.
Отже, сукупність прийме наступний вигляд:
Повернемося до системи:
П о в е т: {-3; 6}.
2.3 Ірраціональні рівняння, які вирішуються введенням нової змінної
При вирішенні різних видів рівнянь: раціональних, тригонометричних, показових часто використовується метод введення нової змінної. Нова змінна в рівняннях іноді дійсно очевидна, але іноді її важко побачити, а можна виявити лише в процесі яких або перетворень. Буває корисно ввести не одну, а дві змінні. Бачимо типові випадки введення нових змінних в ірраціональних рівняннях.
Приклад 1. Розв'язати рівняння
Рішення. Введемо нову змінну. Нехай ,
, Де
. Одержуємо, що
. Тоді
- Не задовольняє умові
Виконаємо зворотну заміну.
П о в е т: {34}.
Приклад 2. Розв'язати рівняння
Рішення. Самота радикала і зведення в ступінь обох частин рівняння привело б до громіздкого рівняння. У той же час, якщо виявити деяку спостережливість, то можна помітити, що дане рівняння зводитися до квадратного. Дійсно, помножимо обидві частини заданого рівняння на 2, отримаємо, що
Введемо нову змінну. Нехай Одержуємо, що
. Тоді
- Не задовольняє умові
,
Виконаємо зворотну заміну. Тоді
,
Т.к. вихідне рівняння рівносильне рівнянню то перевірка отриманих коренів не потрібна.
П о в е т: {-2; 3,5}.
Приклад 3. Розв'язати рівняння
Рішення. Перетворимо дане рівняння.
Введемо нову змінну. Нехай, а
Одержуємо, що
. Тоді
- Не задовольняє умові
.
Виконаємо зворотну заміну. .
П о в е т: {1}.
2.4 Рівняння виду ,
,
Дані рівняння можна вирішити за допомогою основного методу рішення ірраціональних рівнянь (зведення в квадрат обох частин рівняння), але іноді їх можна вирішити й іншими методами.
Розглянемо рівняння (1). Нехай
- Корінь рівняння (1). Тоді справедливо числове рівність
. Знайдемо різницю чисел
і
, Позначивши її
, І запишемо дане рівність у вигляді
(2).
Використовуючи, що , Запишемо рівність (2) у вигляді
. Дане рівність означає, що число
є корінь рівняння
(3).
Таким чином, рівняння (3) є наслідком рівняння (1). Складаючи ці два рівняння і примножуючи отримане рівняння на а, одержимо рівняння (4), також є наслідком рівняння (1). Звівши рівняння (4) в квадрат і вирішивши отримане рівняння, треба виконати перевірку знайдених коренів, тобто перевірити, чи є його коріння корінням рівняння (1).
Зауваження. Відзначимо, що точно також доводиться, що рівняння (4) є наслідок рівняння .
Приклад 1. Розв'язати рівняння (5).
Рішення. Різниця подкоренного виразів і
є
.
,
то рівняння (6) є наслідком вихідного рівняння. Тоді, складаючи рівняння (5) і (6), отримаємо рівняння
(7), також є наслідком вихідного рівняння (5). Зведемо обидві частини рівняння (6) в квадрат, одержимо рівняння
(8), також є наслідком вихідного рівняння. Вирішуючи рівняння (8), отримуємо, що
,
Перевіркою переконуємося, що обидва ці числа є корінням вихідного рівняння.
П о в е т: .
Зауваження. Рівняння виду можна вирішувати множенням обох частин рівняння на деякий вираз, не приймає значення нуль (на поєднане лівій частині рівняння тобто
Приклад 2. Розв'язати рівняння (8).
Рішення. Т.к. , То помножимо обидві частини рівняння на вираз
, Що є сполученим лівої частини рівняння (8).
. Після приведення подібних доданків одержуємо рівняння
(9), рівносильне вихідному, т.к. рівняння
дійсних коренів не має. Складаючи рівняння (8) і (9) отримуємо, що
. Тоді
П о в е т: .
Зауваження. Також рівняння виду можна вирішувати з допомогою ОДЗ рівняння і рівносильних переходів від одних рівнянь до інших.
Приклад 3. Розв'язати рівняння
Рішення. Знайдемо ОДЗ змінної х.
ОДЗ: Отже,
На ОДЗ обидві частини рівняння позитивні, тому після зведення в квадрат отримаємо рівняння: , Рівносильне для
рівнянню
Іноді рішення рівняння можна знайти, вирішуючи його на різних числових проміжках.
Для будь-якого маємо
, А
. Отже, серед
немає рішень рівняння
.
Для маємо
. Отже,
для
.
. Тоді
. Т.к.
, То
є коренем рівняння
, Рівносильне рівнянню
для цих х.
П о в е т: .
Приклад 4. Розв'язати рівняння
Рішення. Перетворимо вихідне рівняння.
Зведемо обидві частини даного рівняння в квадрат.
Перевірка показує, що 5 є коренем вихідного рівняння.
Зауваження. Іноді значно простіше можна вирішувати рівняння виду , Якщо скористатися властивостями монотонності функцій, а саме тим, що сума двох зростаючих функцій є зростаючою функцією, і всяка монотонна функція кожне своє значення приймає, лише при одному значенні аргументу. Дійсно, функції
і
- Зростаючі. Отже, їх сума - зростаюча функція.
Значить, вихідне рівняння, якщо має корінь, то тільки один. У цьому випадку, враховуючи, що , Підбором легко знайти, що 5 є коренем вихідного рівняння.
П о в е т: {5}.
Приклад 5. Розв'язати рівняння
Рішення. Якщо обидві частини вихідного рівняння звести в квадрат, то вийде досить складне рівняння. Поступимо по-іншому: перетворимо рівняння до виду:
Вирішимо нерівність системи.
Рішенням системи є безліч:
.
Вирішимо рівняння системи.
Переконуємося, що 2 належить множині рішень нерівності (рис.1).
Зауваження. Якщо вирішувати дане рівняння зведенням обох частин у квадрат, то необхідно виконати перевірку. 2 - ціле число, тому при виконанні перевірки труднощів не виникає. А що стосується значення , То підстановка його у вихідне рівняння приводить до досить складних обчислень. Однак такий підстановки можна уникнути, якщо зауважити, що при цьому значенні права частина рівняння
приймає негативне значення:
. Тоді як ліва частина рівняння негативної бути не може. Таким чином,
не є коренем рівняння - наслідки даного рівняння. Тим більше, це значення не може бути коренем вихідного рівняння. Отже, корінь рівняння - число 2.
П о в е т: {2}.
Приклад 6. Розв'язати рівняння
Рішення. Знайдемо ОДЗ змінної х.
ОДЗ:
Отже,
Для будь-яких значень з ОДЗ, що задовольняють умові
, Тобто для
з проміжку
ліва частина рівняння негативна, а перша - неотрицательна, значить, жодне з цих
рішенням рівняння бути не може.
Нехай . Для таких
обидві частини рівняння ненегативні, і тому воно рівносильне на цій множині рівнянню:
.
Введемо нову змінну. . Одержуємо, що
. Тоді
- Не задовольняє умові
,
.
Виконаємо зворотну заміну.
;
;
.
Тоді - Не задовольняє умові
,
П о в е т: .
Приклад 7. Розв'язати рівняння
Рішення. Знайдемо ОДЗ змінної х.
ОДЗ:
Отже, що
Легко бачити, що , Тому що
.
Розділимо обидві частини рівняння на . Одержуємо, що
Перетворимо . Введемо нову змінну. Нехай
, А
. Тоді рівняння прийме вигляд:
;
;
:
. Тоді
- Не задовольняє умові
,
. Виконаємо зворотну заміну.
П о в е т: .
Приклад 8. Розв'язати рівняння
Рішення. Перетворимо вихідне рівняння.
Зведемо обидві частини отриманого рівняння в квадрат.
Тоді
Отже, перевірка показує, що -1,2 - не є коренем вихідного рівняння, а 3 - є.
Зауваження. Дане рівняння можна вирішувати і за допомогою рівносильних переходів, але тоді його рішенні буде набагато складніше, ніж наведене вище.
П о в е т: {3}.
Приклад 9. Вирішити рівняння
Рішення. Зауважимо, що всі квадратний тричлен позитивні щодо . Перепишемо рівняння у вигляді:
Позначимо для стислості подкоренного вираження через відповідно. Помножимо і поділимо ліву й праву частину рівняння на зв'язані співмножники. Одержуємо, що
Повернемося до рівняння.
Друге рівняння сукупності рішень не має, оскільки обидва знаменника позитивні. Отже,
Зауваження. Також рішення даного рівняння можна знайти, досліджуючи його на різних числових проміжках.
Спочатку виділимо і
відповідно в кожному з подкоренного виразів в правій частині рівняння.
Отже, вихідне рівняння має вигляд:
Позначимо для стислості подкоренного вираження через ,
,
і
відповідно. Т.к. вираз
звертається в нуль при
, То розглянемо рішення даного рівняння при
,
і
.
Якщо , То
>
,
>
+
>
+
.
Отже, при вихідне рівняння не має коренів.
Якщо , То
<
,
<
+
<
+
.
Отже, при вихідне рівняння не має коренів.
Якщо , То
=
,
=
+
=
+
.
Отже, -1 є єдиним коренем вихідного рівняння.
П о в е т: {-1}.
Зауваження. Отже, при вирішенні рівнянь із радикалами треба вміти користуватися будь-яким з цих методів і вибирати в кожному випадку оптимальний.
3. Не стандартні методи рішення ірраціональних рівнянь
Існують ірраціональні рівняння, які вважаються для школярів звичайних освітніх шкіл завданнями підвищеної труднощі. Для вирішення таких рівнянь краще застосовувати не традиційні методи, а прийоми, які не зовсім звичні для учнів. У цьому розділі наводяться рішення рівнянь заснованих на графічних міркувань, властивості функції (таких, як монотонність, обмеженість, парність), застосуванні похідної та т.д.
3.1 Застосування основних властивостей функції
3.1.1 Використання області визначення рівняння
Іноді знання області визначення рівняння дозволяє довести, що рівняння не має рішень, а іноді дозволяє знайти рішення рівняння безпосередній підстановкою чисел з неї.
Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Рішення. Знайдемо область визначення рівняння.
ОДЗ: .
Отже, дана система рішень не має.
Т.к. система рішень не має, то і дане рівняння не має коренів.
П о в е т: .
Приклад 2. Розв'язати рівняння
Рішення. Знайдемо ОДЗ змінної х.
ОДЗ: .
Отже, або
.
Таким чином, рішення даного рівняння можуть перебувати серед знайдених двох чисел.
Перевіркою переконуємося, що тільки 2 є коренем вихідного рівняння.
П о в е т: {2}.
3.1.2 Використання області значень рівнянь
Приклад 1. Розв'язати рівняння
Рішення. Т.к. , Отже,
, Але
(Права частина рівняння негативна, а ліва позитивна), значить дане рівняння не має рішень.
П о в е т:
Приклад 2. Розв'язати рівняння .
Рішення. Т.к. , То
;
;
;
;
;
;
.
Отже, ліва частина рівняння приймає ненегативне значення тільки при . А це означає, що його коренем може бути тільки значення 5, а може статися, що рівняння взагалі не буде мати коріння. Для вирішення цього питання виконаємо перевірку.
Перевірка показує, що 5 є коренем вихідного рівняння.
П о в е т: {5}.
3.1.3 Використання монотонності функції
Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей монотонності грунтується на наступних твердженнях.
1. Нехай f (x) - неперервна і строго монотонна функція на проміжку Q, тоді рівняння f (x) = c, де c - дана константа може мати не більше одного рішення на проміжку Q.
2. Нехай f (x) і g (x) - безперервні на проміжку Q функції, f (x) - строго зростає, а g (x) - строго убуває на цьому проміжку, тоді рівняння f (x) = g (x) може мати не більше одного рішення на проміжку Q.
Відзначимо, що в кожному з випадків проміжки Q можуть мати один з видів:
Приклад 1. Вирішимо рівняння
Рішення. Знайдемо ОДЗ змінної х.
ОДЗ: .
Отже, .
На ОДЗ функції і
безупинні і строго убувають, отже, безперервна і убуває функція
. Тому кожне своє значення функція h (x) приймає тільки в одній точці. Оскільки h (2) = 2, то 2 є єдиним коренем вихідного рівняння.
П о в е т: {2}.
3.1.4 Використання обмеженості функції
Якщо при вирішенні рівняння вдається показати, що для всіх
з деякого безлічі М справедливі нерівності
і
, То на безлічі М рівняння
рівносильне системі рівнянь:
.
Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Рішення. Функції, які стоять в різних частинах рівняння, визначені на . Для будь-якого
. Отже, дане рівняння рівносильне системі рівнянь
.
Вирішимо друге рівняння системи:
;
;
Тоді
Перевірка показує, що 0 є коренем даного рівняння, а-1-не є.
П о в е т: {0}.
Приклад 2. Розв'язати рівняння
Рішення. Оцінимо подкоренного вираження.
Отже, ,
Т.к. перший доданок лівої частини вихідного рівняння обмежено знизу одиницею, а другий доданок-3, то їх сума обмежена знизу 4. Тоді ліва частина рівняння стає рівної правої частини рівняння при .
П о в е т: {2}.
3.2 Застосування похідної
У вищенаведених рівняннях були розглянуті застосування деяких властивостей функції, що входять в рівняння. Наприклад, властивості монотонності, обмеженості, існування найбільшого і найменшого значень і т.д. Іноді питання про монотонності, про обмеженість і, особливо, про знаходження найбільшого і найменшого значень функції елементарними методами вимагає трудомістких і тонких досліджень, однак він суттєво спрощується при застосуванні похідної. (Наприклад, не завжди можна здогадатися, як і яке нерівність застосувати з «класичних»).
Розглянемо застосування похідної при рішенні рівнянь.
3.2.1 Використання монотонності функції
Надалі ми будемо користуватися наступними твердженнями:
1) якщо функція f (x) має позитивну похідну на проміжку М, то ця функція зростає на цьому проміжку;
2) якщо функція неперервна на проміжку
і має всередині проміжку позитивну (негативну) похідну, то ця функції зростає (зменшується) на проміжку;
3) якщо функція має на інтервалі (а; b) тотожно дорівнює нулю похідну, то ця функція
є постійна на цьому інтервалі.
Приклад 1. Розв'язати рівняння
Рішення. Розглянемо функцію
.
На цьому проміжку безупинна, усередині його має похідну:
Ця похідна позитивна усередині проміжку . Тому функція
зростає на проміжку М. Отже, вона приймає кожне своє значення в одній точці. А це означає, що дане рівняння має не більше одного кореня. Легко бачити, що -1 є коренем даного рівняння і за сказаним вище інших коренів не має.
П о в е т:
3.2.2 Використання найбільшого і найменшого значень функції
Справедливі наступні твердження:
найбільше (найменше) значення неперервної функції, прийняте на інтервалі
може досягатися в тих точках інтервалу
, В яких її похідна дорівнює нулю або не існує (кожна така точка називається критичною точкою);
щоб знайти найбільше і найменше значення безперервної на відрізку
функції, що має на інтервалі (а; b) кінцеве число критичних точок, досить обчислити значення функції у всіх критичних точках, що належать інтервалу (а; b), а також у кінцях відрізка і з отриманих чисел вибрати найбільше і найменше;
якщо в критичній точці
функція безперервна, а її похідна, проходячи через цю точку, змінює знак з «мінуса» на «плюс», то точка
- Точка мінімуму, а якщо її похідна змінює знак з «плюса» на «мінус», то
Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Рішення. Знайдемо ОДЗ змінної x.
ОДЗ: .
Розглянемо безперервну функцію на відрізку [2, 4], де D (f) = [2, 4].
Функція f (x) на інтервалі (2, 4) має похідну: , Звертаються в нуль тільки при х = 3.
Т.к. функція f (x) неперервна на відрізку [2, 4], то її найбільше і найменше значення перебувають серед чисел f (3); f (2); f (4). Оскільки f (3) = 2; f (2) = f (4) = ,
, То найбільше значення f (x) є f (3) = 2.
Отже, дане рівняння має єдиний корінь: 3.
П о в е т: {3}.
4. Змішані ірраціональні рівняння і методи їх вирішення
4.1 Ірраціональні рівняння, що містять подвійну ірраціональність
Приклад 1. Розв'язати рівняння
Рішення. Зведемо обидві частини рівняння в куб.
Зведемо обидві частини отриманого рівняння в квадрат.
Введемо нову змінну. Нехай , Тоді
. Одержуємо, що
. Тоді
.
Виконаємо зворотну заміну. Або
.
Тоді або
Перевірка показує, що не є коренем даного рівняння, а 1 - є.
П о в е т: {1}.
Приклад 2. Розв'язати рівняння
Рішення.
Введемо нову змінну. Нехай . Тоді
Тоді система прийме наступний вигляд:
П о в е т:
Приклад 3. Розв'язати рівняння
Рішення. Введемо нову змінну. Нехай . Тоді
. Одержуємо, що
.
Т.к. , То дане рівняння рівносильне наступного:
Одержуємо, що . Враховуючи, що
, То рішення:
. Отже,
.
Виконаємо зворотну заміну. . Тоді
П о в е т: [-4; 0].
Приклад 4. Розв'язати рівняння
Рішення. Перетворимо подкоренного вираження.
Повернемося до вихідного рівняння.
Останнє рівняння вирішимо методом інтервалів.
Нехай
. Одержуємо, що
.
Т.к. , То на даному проміжку рівняння не має коренів.
Нехай
. Одержуємо, що
Рівність вірно. Знайдемо всі значення
з даного проміжку.
. Отже,
Нехай
. Одержуємо, що
. Т.к.
, То на даному проміжку рівняння не має коренів.
Зауваження. Дане рівняння можна вирішувати, виконавши заміну змінної . Після рішення вихідного рівняння щодо змінної
, Виконавши зворотну заміну, знайдемо корінь рівняння.
П о в е т: [0; 3].
Зауваження. Вираз виду зазвичай називають подвійним радикалом або складним радикалом.
Якщо подкоренное вираз являє собою повний квадрат, то можна в подвійному радикалі звільнитися від зовнішнього радикала, скориставшись рівністю .
Перетворення подвійних радикалів.
Вправа 1. Звільнитися від зовнішнього радикала у вираженні .
Рішення. Доданок можна розглядати як подвоєну твір чисел
і
або чисел
і
. Число 7 має дорівнювати сумі квадратів цих чисел. Підбором знаходимо, що ця умова виконується для чисел
і
, Тобто
.
Одержуємо, що
П о в е т: .
4.2. Ірраціональні показові рівняння
Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Рішення. ;
- Рішень немає.
П о в е т:
Приклад 2. Розв'язати рівняння
Рішення.
- Рішень ні, тому що
П о в е т:
Приклад 3. Розв'язати рівняння
Рішення.
;
П о в е т: .
Примі 4. Розв'язати рівняння
Рішення.
;
Введемо нову змінну. Нехай . Одержуємо, що
. Тоді
Виконаємо зворотну заміну. Або
;
- Рішень немає.
;
.
П о в е т: {3}.
Приклад 5. Розв'язати рівняння
Рішення. Безліч М - загальна частина (перетин) областей існування функцій - Є всі
На безлічі М функції і
позитивні. Тому, Логаріфміруя обидві частини рівняння, одержимо рівняння, рівносильне вихідному на М.
Вирішимо рівняння сукупності.
. Введемо нову змінну. Нехай
. Одержуємо, що
. Тоді
. Виконаємо зворотну заміну.
або
. Тоді
або
.
Одержуємо, що вихідне рівняння рівносильне системі:
П о в е т: .
Зауваження. В задачах підвищеної складності зустрічаються рівняння виду , Де
- Деякі позитивні числа. Такі рівняння не є ірраціональними рівняннями, тому що не містять змінної під знаком радикала, але все, же розберемо їх рішення в даному пункті.
Приклад 6. Розв'язати рівняння
Рішення. Перетворимо вираз
Тоді вихідне рівняння прийме вигляд:
Зауваження. Можна зауважити, що , Отже,
і
- Взаємно зворотні числа. Тоді
. Введемо нову змінну. Нехай
, А
Одержуємо, що вихідне рівняння рівносильне наступного
. Тоді
Виконаємо зворотну заміну.
або
;
;
Тоді .
;
Тоді
П о в е т: {-2; 2}.
4.3 Ірраціональні логарифмічні рівняння
Приклад 1. Вирішити рівняння
Рішення. ;
Враховуючи, що , Дане рівняння рівносильне системі:
П о в е т: {32,75}.
Приклад 2. Вирішити рівняння
Рішення. . Перетворимо праву частину рівняння.
Повернемося до вихідного рівняння.
;
Введемо нову змінну. Нехай . Одержуємо, що
.
Вирішимо рівняння системи.
;
.
Тоді
Повернемося до системи: Отже,
Виконаємо зворотну заміну:
Перевірка показує, що 1 є коренем вихідного рівняння.
П о в е т: {1}.
Приклад 3. Вирішити рівняння
Рішення. Знайдемо ОДЗ змінної х.
ОДЗ:
.
На ОДЗ вихідне рівняння рівносильне рівнянню
;
;
Введемо нову змінну. Нехай або
;
;
П о в е т: {3; 81}.
Висновок
Ця курсова робота допомогла мені навчитися вирішувати ірраціональні рівняння наступних типів: стандартні, нестандартні, показникові, логарифмічні, підвищеного рівня. Застосовувати основні властивості функції, область визначення, область значення функції. Використовувати найбільше і найменше значення функції. Застосування похідної. Я вважаю, що цілі які поставлені перед виконанням курсової роботи виконані.
Література
О.В. Харкова «Ірраціональні рівняння».
А.Н. Колмогоров «Алгебра і початки аналізу».
Є.Д. Куланін, В.П. Норін "3000 конкурсних завдань по математиці».
В.А. Гусєв, А.Г. Мордкович «Довідкові матеріали з математики».
М.І. Сканаві «Збірник завдань з математики».